Введение к работе
Актуальность темы. В современной теории оптимального управления одно из центральных мест занимает проблема быстродействия, в частности линейная проблема быстродействия. Поскольку время быстродействия является наиболее естественным критерием оптимальности, задачи на быстродействие стали одним из наиболее распространенных объектов применения различных методов оптимального управления. Начиная с создания принципа максимума Л. С. Понт-рягиным, В.Г. Болтянским, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, и до настоящего времени широко исследуются задачи быстродействия. Основными методами решения задач быстродействия являются методы, основанные на принципе максимума, впервые полученном Р.В. Гамкрелидзе для решения линейных задач быстродействия; на сведении к L-проблеме моментов, инициированном Н.Н. Красовским; на идеях динамического программирования, предложенных Р. Беллманом. В настоящее время оказались эффективными методы решения линейных задач быстродействия, основанные на min-проблеме моментов А.А.Маркова, предложенные В.И. Коробовым и Г.М. Скляром. Задачами быстродействия занимались многие математики. Работы А.В. Арутюнова, Р.Ф. Габасова, А.И. Егорова, В.И. Зубова, Ф.М. Кирилловой, Ю.Н. Киселева, А.Б. Куржанского, Н.Н. Моисеева, М.С. Никольского, Р.П. Федоренко, AIM. Формальского, Ф.Л. Чер-ноусько и других авторов в той или иной мере были связаны с вопросами, рассматриваемыми в диссертации.
Решение задач линейного быстродействия важно и с точки зрения нелинейных систем, поскольку решение таких задач может быть сведено к решению линейных систем.
Интенсивное развитие математической теории управляемых процессов привело к возникновению принципиально новых направлений в качественной теории дифференциальных уравнений. Одним из таких направлений является исследование проблемы синтеза управления. К проблеме синтеза на бесконечном интервале времени относится задача стабилизации систем управления, глубокое исследование которой дано в трудах В.И. Зубова, Н.Н. Красовского, AM. Летова, В.В. Румянцева и других авторов. Методами исследования задачи
РОС НАЦИОНАЛЬНА* «HUMOTEJU
Mmpfetrz-
синтеза управления, обеспечивающего попадание траекторий в 0 за конечное время, занимались Р. Беллман, Н.Н. Красовский, Л .С. Понт-рягин и другие авторы. В работах В.И. Коробова предложен метод решения задачи синтеза за конечное время с помощью функции управляемости, играющей роль, аналогичную функции Ляпунова в задачах устойчивости.
Важным звеном, связывающим теоретические исследования с практикой, является разработка для решения задач быстродействия численных методов, ориентированных на компьютерное применение. Особый интерес представляет решение задач быстродействия для систем с большой размерностью. Одна из трудностей, связанная с решением таких задач, состоит в том, что в процессе вычислений приходится иметь дело с плохо обусловленными матрицами.
Отсюда видно, что создание численных методов решения линейных задач быстродействия представляет интерес для развития теории оптимального управления. Эти методы могут использоваться как для решения линейных задач быстродействия, так и служить основой для создания методов решения нелинейных задач быстродействия.
Цель диссертационной работы состоит в решении линейных задач быстродействия на основе степенной min-проблемы моментов А.А.Маркова с четными пропусками и решении задачи допустимого синтеза для линейных неавтономных систем.
Основными задачами исследования являются следующие:
исследовать степенную min-проблему моментов А.А. Маркова с четными пропусками;
получить аналитическое решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр cr(A) = {(2к — 1)А}=1, на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками;
получить аналитическое решение задачи быстродействия для неавтономной канонической системы;
на основе аналитического решения задачи быстродействия для неавтономной канонической системы получить численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы;
получить аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.
Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них.
1. Введена система специальных полиномов 72«.—і(я>0>й)
(к= 1,2,... п), определяемых рекуррентными соотношениями.
Для степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками введена новая порождающая функция, а именно гиперболический ареатангенс, с помощью которой получены уравнения для нахождения времени быстродействия.
Получен явный вид полинома, корнями которого являются все моменты переключения управления.
Приведено аналитическое описание области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр cr(A) = {(2&—1)А}=1
Получен явный вид опорного вектора к области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр
Предложен численный метод решения задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.
Получено аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.
Научное и практическое значение результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы при решении задач быстродействия в различных прикладных задачах. Также они могут стать основой при решении нелинейных задач быстродействия. Кроме того, они могут найти применение в качестве материала для спецкурса по методам оптимизации. Полученные методы решения задач быстродействия могут быть использованы для создания пакета прикладных программ.
Положения, выносимые на защиту.
Решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр cr(A) = {(2fc - 1)А}=1
Численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.
3. Решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докла
дывались и обсуждались на Всероссийской молодежной научной кон-
ференции «XXTV Гагаринские чтения»(Москва, 1998); Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения» (Москва, 1999); Международной молодежной научной конференции «XXVI Гагаринские чтения»(Москва, 2000); Международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Одесса, 2000); XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2001); на научно-исследовательском семинаре по оптимальным управлениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.И. Коробова в Харьковском государственном университете (2003 - 2004 гг.).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 публикациях. В отраслевом фонде алгоритмов и программ по теме диссертационного исследования автором зарегистрирована программа, реализующая численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.
Личный вклад соискателя.
Исследована степенная min-проблема моментов А.А. Маркова с четными пропусками.
Получено аналитическое решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр ст(А) = {(2к — 1)А}"_1, на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками.
Получено аналитическое решение задачи быстродействия для неавтономной канонической системы.
Приведено аналитическое описание области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр cr{A) = {(2fc—1)Л}"_1
Получен явный вид опорного вектора к области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр a(A) = {(2k-l)\}U
На основе аналитического решения задачи быстродействия для неавтономной канонической системы получено численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.
Получено аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. Она изложена на 130 страницах машинописного текста. Библиографический список содержит 97 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
