Введение к работе
Актуальность работы. Одной из важнейших задач математического моделирования является построение новых простых математических моделей или упрощение существующих. Современный уровень развития вычислительных систем позволяет решать многие прикладные задачи с высокой точностью за достаточно малый промежуток времени. Однако, несмотря на огромное количество разработанных методов оптимизации вычислений, а также быстрое развитие вычислительной техники, во многих случаях скорость проведения необходимых расчетов остается недостаточной. Причиной тому могут служить ограничения, накладываемые на вычислительную систему по различным параметрам: весу, размерам, стоимости. Наличие этих ограничений связано с областью применения вычислительных систем. В авиационной и космической технике применение крупногабаритных компьютеров для проведения сложных вычислений является неприемлемым. При этом следует понимать, что объемы необходимых вычислений в основном зависят от вычислительной сложности используемого алгоритма для решений той или иной задачи, а также от размерности математической модели, которая описывает объект. На практике, достаточно точная математическая модель может состоять из десятков и даже сотен параметров, описывающих состояние объекта. Оперирование с такими моделями и решение практических задач на бортовом компьютере мобильных устройств невозможно, поэтому задача разработки быстрых вычислительных алгоритмов остается весьма актуальной.
Известно, что широкий круг процессов различной природы характеризуется существенным различием в скоростях изменения переменных, поэтому в качестве динамических моделей таких процессов используются дифференциальные системы, содержащие малый параметр при части производных. Использование сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений характерно для описания систем со слабой диссипацией энергии, таких как навигационные приборы и робототехнические устройства.
Решение задач управления и оценивания для таких систем в свою очередь приводит к необходимости решения сингулярно возмущенных дифференциальных систем Риккати высокой размерности. В связи с этим возникает необходимость в использовании значительных вычислительных ресурсов, что на практике нежелательно и не всегда возможно, особенно в авиационной и космической технике.
В диссертации предложен метод редукции таких задач, основанный на идеях теории интегральных многообразий. Истоки метода интегральных многообразий были заложены в работах Дж. Адамара, A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре и О. Перрона. Основы теории были заложены Н. Н. Боголюбовым, Ю. А. Митропольским и Дж. Хейлом. В 1957-1970 годах К. В. Задирака, В. И. Фодчук и Я. С. Барис показали условия существования устойчивых, неустойчивых и условно устойчивых медленных интегральных многообразий. Асимптотические разложения и принцип сведения были получены В. А. Соболевым и В. В. Стрыгиным. Все эти результаты относятся к системам с пограничными слоями. Различные методы приближенного построения интегральных многообразий и некоторые критические явления рассматривались В. А. Соболевым, Е. А. Щепакиной и другими авторами.
В данной работе метод редукции динамических моделей развивается и применяется для понижения размерности сингулярно возмущенных систем в критических случаях.
Целью работы является разработка математического аппарата редукции динамических моделей с сингулярными возмущениями и применение этого аппарата для понижения размерности задач оптимального управления и оценивания для моделей манипуляционных роботов.
Для достижения данной цели в работе решаются следующий задачи:
-
Получить достаточные условия существования интегральных многообразий медленных движений для сингулярно возмущенных дифференциальных систем в критических случаях.
-
Для обоснования возможности редукции динамических моделей с сингулярными возмущениями исследовать устойчивость интегральных
многообразий медленных движений.
-
Изучить возможности приближенного построения в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра интегральных многообразий медленных движений для рассматриваемого класса систем.
-
Исследовать задачи оптимального управления и оценивания для некоторых классов динамических моделей с сингулярными возмущениями.
-
Исследовать возможность применения метода редукции для понижения размерности математических моделей манипуляционных роботов и задач управления для некоторых классов таких устройств.
-
Разработать комплекс программ для численного моделирования движений таких моделей под действием управляющий и внешних случайных воздействий и проведения численных экспериментов.
Методы исследования. В работе использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы теории интегральных многообразий, а также методы численного моделирования решений линейных стохастических дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В работе получены условия существования интегрального многообразия для нового класса дифференциальных систем с сингулярными возмущениями, которые возникают при решении задач оптимального управления и оценивания для систем с быстрыми и медленными переменными. Показано, что для таких систем возможно получить устойчивые интегральные многообразия медленных движений, при этом такие многообразия могут быть представлены в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра.
Решены задачи оптимального управления и оценивания для гибкого однозвенного манипулятора и манипулятора с гибким сочленением. Для этих систем построены фильтры Калмана-Бьюси и оптимальные линейно-квадратичные регуляторы меньшей размерности на основе метода теории интегральных многообразий. Проведено численное моделирование движений манипуляторов под действием управляющих воздействий и внешних случайных возмущений. Показано, что при использова-
ний метода теории интегральных многообразий размерность задач понижается, при этом точность работы фильтров и оптимальных регуляторов оказывается сравнимой с точностью исходных решений задач фильтрации и управления.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в работе утверждения о существовании и устойчивости медленных интегральных многообразий могут быть использованы для редукции широкого круга динамических моделей. При помощи полученных результатов возможно построение фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов меньшей размерности, обеспечивающих решение задач управления и оценивания для манипуляционных роботов с необходимой точностью при значительно меньших затратах вычислительных ресурсов.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
-
Метод редукции для динамических моделей с сингулярными возмущениями. Получение достаточных условий существования медленного интегрального многообразия и его устойчивости, и конструктивный метод приближенного построения в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра.
-
Редукция задач оптимального управления и оценивания для некоторых классов динамических моделей с сингулярными возмущениями в случае слабой диссипации энергии.
-
Редукция задач оптимального оценивания и управления для моделей гибкого однозвенного манипулятора и манипулятора с гибким сочленением.
-
Разработка комплекса программ для численного моделирования движений манипуляторов и сравнения работы фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов для исходных и редуцированных систем.
Реализация работы. Результаты диссертационной работы нашли применение при выполнении научно-исследовательских работ:
Грант РФФИ № 12-08-00069 «Развитие фундаментальных основ
исследования критических явлений в химических, оптических и медико-биологических системах».
Грант РФФИ № 13-01-97002-р-поволжье-а «Развитие методов исследования нелинейных динамических моделей многотемповых управляемых процессов».
Грант РФФИ № 13-08-97000-р-поволжье-а «Обоснование методов для решения теоретических задач планирования наблюдений, оптимизации законов наведения и отказоустойчивого гиросилового управления ориентацией маневрирующих спутников с оценкой эффективности их применения в национальных средствах контроля и природопользования».
Грант РФФИ № 10-08-00154 «Моделирование критических явлений в химических и биологических системах».
Программы №14 и №15 фундаментальных исследований Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на тринадцатой и четырнадцатой международных конференциях «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 2011, 2012), на Всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011), на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011), на Региональной научно-практической конференции, посвященной 50-летию первого полёта человека в космос (Самара, 2011), на Международной молодежной конференции «Королевские чтения» (Самара, 2011) на X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 2012), на Девятом симпозиуме «IFAC Symposium Advances in Control Education» (Нижний Новгород, 2012), на Третьей Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2012), на
Международном научно-техническом форуме, посвященном 100-летию ОАО «Кузнецов» и 70-летию СГАУ «КОСМОС - 2012» (Самара, 2012), на Всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Г.И. Быков-цева «Актуальные проблемы математики и механики» (Самара, 2013), на XVI Международной конференции «Dynamical System Modeling And Stability Investigation» (Киев, 2013), на Одинадцатой Международной конференции «11th International Conference on Vibration Problems» (Лиссабон, 2013), на Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Управление большими системами» (Уфа, 2013).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1]-[17]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5] в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных с научным руководителем работ в диссертацию вошли только принадлежащие Осинцеву М. С. результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, 15 рисунков и списка литературы, содержащего 106 наименований. Объем диссертации составляет 120 страниц текста.
