Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ структурных особенностей и существующих методов математического моделирования природных мультифракталов как трудноформализуемых объектов относительно деформационных свойств и поля напряжений 18
1.1. Структурные особенности и существующие методы математического моделирования природных мультифракталов 18
1.2. Динамические проявления напряженно-деформированного
1.3. Формулирование задач исследований 41
2. Мультифрактальное математическое моделирование природных мультифракталов как трудноформализуемых объектов относительно деформационных свойств и полей напряжений 52
2.1. Определение деформационных свойств природного мультифрактального объекта первого порядка сложности 52
2.1.1. Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в упругом
2.1.2. Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в упругопластическом состоянии 69
2.1.3. Компонентная математическая модель изменения количества движущихся дислокаций в структуре природного мультифрактального объекта первого порядка сложности 83
2.1.4. Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в упругопластическом состоянии с упрочнением 93
2.1.5. Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в идеально-пластическом состоянии .108
2.1.6. Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в нечетких
2.1.7. Мультикомпонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности относительно деформационных свойств 113
2.2. Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта второго порядка сложности как трудноформализуемого объекта относительно деформационных свойств 116
2.3. Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта третьего порядка сложности как трудноформализуемого объекта относительно деформационных свойств 124
2.4. Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта четвертого порядка сложности как трудноформализуемого объекта относительно деформационных свойств 132
2.4.1. Математическая модель однокомпозиционной фрактальной среды четвертого порядка 134
2.4.2. Математическая модель двухкомпозиционной фрактальной среды четвертого порядка 141
2.4.3. Математическая модель трехкомпозиционной фрактальной среды четвертого порядка 147
2.5. Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта пятого порядка сложности как трудноформализуемого объекта относительно деформационных свойств 154
2.5.1. Математическая модель однокомпозиционной фрактальной среды
2.5.2. Математическая модель двухкомпозиционной фрактальной среды
2.5.3. Математическая модель трехкомпозиционной фрактальной среды пятого порядка 169
2.6. Мультифрактальное математическое моделирование природных мультифракталов как трудноформализуемых объектов относительно полей напряжений 176
2.6.1. Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта четвертого порядка сложности относительно упругого поля напряжений 177
2.6.2. Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта третьего порядка сложности относительно упругого поля напряжений 179
2.6.3. Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта второго порядка сложности относительно упругого поля напряжений 181
2.6.4. Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности относительно упругого поля напряжений 185
2.7. Мультифрактальная математическая модель природного фрактала относительно упругого поля напряжений 190
2.8. Мультифрактальная математическая модель природного фрактала с микровключением относительно поля давлений 192
3. Математические модели анализа природных объектов различных порядков сложности 195
3.1. О представительном объеме природных объектов различных
3.2. Математическая модель анализа природного объекта первого
3.3. Математическая модель анализа природного объекта второго
3.4. Математическая модель анализа природного объекта третьего
3.5. Математическая модель анализа природного объекта четвертого
3.6. Математическая модель анализа природного объекта пятого
3.7. Фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта 280
4. Приложение теоретических положений мультифрактального моделирования к исследованию динамических проявлений в природных мультифракталах. разработка комплекса программ компьютерного моделирования 291
4.1. Перколяционная мультифрактальная математическая модель динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде внезапных выбросов пород и газа 297
4.2. Перколяционная мультифрактальная математическая модель динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде оползней 326
4.3. Программная архитектура комплекса программ 352
4.4. Архитектура подсистемы "AssessmentOfRepresentativeVol" 355
4.4.1. Детальная структура подсистемы "MineralSubsystem" 356
4.4.2. Детальная структура подсистемы "MWPoresInGrainsSubsystem" 361
4.4.3. Детальная структура подсистемы "MWInclusionsSubsystem" 364
4.4.4. Детальная структура подсистемы "RockSubsystem" 368
4.4.5. Детальная структура подсистемы "MassifSubsystem" 373
4.5. Архитектура подсистемы "AssessmentOfDPASTCM" 377
4.6. Реализация архитектуры комплекса программ 379
Заключение 383
Библиографический список 387
- Структурные особенности и существующие методы математического моделирования природных мультифракталов
- Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в идеально-пластическом состоянии
- Фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта
- Перколяционная мультифрактальная математическая модель динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде оползней
Введение к работе
Актуальность работы.
Среди существующих теоретических и практических проблем управления, информатики и вычислительной техники особое место занимает проблема математического моделирования трудноформализуемых объектов. Трудноформализуемые объекты – это такие объекты, при математическом моделировании которых невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, либо, c точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку.
На данный момент при упоминании термина «трудноформализуемый объект» в первую очередь к ним относят системы с заметным вмешательством людей, такие как экономические и социальные системы. При этом не совсем обоснованно к трудноформализуемым объектам не относят класс объектов, именуемых естественными или природными, или наконец, реально существующими мультифракталами. Действительно, поведение большинства природных мультифрактальных объектов сопровождается заметным вмешательством людей, и по этому признаку они могут быть по праву отнесены к трудноформализуемым.
Словосочетания природные (естественные, реально существующие) мультифракталы применяют для обозначения естественных структур, которые с той или иной целью могут быть представлены в виде мультифрактального множества как математического понятия структуры. В тоже время предполагается, что они (природные мультифракталы) хорошо моделируются мультифракталами – математическими объектами, являющимися, согласно М. Шредеру, расширением понятия фрактала на сложные структуры с более чем одним показателем скейлинга. Более строгое определение сформулировал Ю.А. Данилов: «Фракталы, характеризуемые целым спектром размерностей, представляют собой как бы несколько «втиснутых» одна в другую фрактальных структур и называются мультифракталами».
Приведенное определение отражает важный отличительный признак мультифрактальных объектов. Однако ни это определение, ни более строгие определения, не дают полного представления о мультифракталах. Это утверждение, как нетрудно заметить, справедливо также и для фракталов, на основе которых строится определение мультифракталов. К тому же наличие в определении мультифрактала нечетких терминов, таких как «несколько» и «втиснутых», увеличивают и так существующую неопределенность в понятии «мультифрактал». Все это, от начала исследований природных мультифракталов до настоящего времени, не способствует построению общей теории мультифрактального моделирования. Не способствует этому и вынужденный отказ от самого эффективного подхода к изучению трудноформализуемых объектов – «метода
аналогий».
Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств математических моделей – их универсальности, т. е. их приложимости к объектам принципиально различной природы. Однако достаточно изученных объектов для проведения аналогии с природными мультифракталами до сих пор не существует. Здесь речь идет о привычной аналогии в рамках существующих методов ее проведения. В данном случае такой аналогии не проглядывается. И поэтому был выбран путь отличный от того, который предполагает «метод аналогий» – самый эффективный метод исследования трудноформализуемых объектов, в данном случае, таких как природных мультифрактальных объектов. Этот выбранный путь заключался в следующем.
Естественно, что вначале наблюдалось стремление при решении проблемы не слишком удаляться от привычной немультифрактальной терминологии и немультифрактальных математических методов, приспособляя их, так или иначе, к новым обстоятельствам. Так, например, понятие «мультифрактал» подменяется термином «тело», понимаемое как бесконечное множество частиц, которым можно поставить во взаимнооднозначное соответствие упорядоченные тройки вещественных чисел, называемых координатами. В качестве же математического аппарата используется классический математический анализ, в рамках которого математические модели сводятся к локальным дифференциальным уравнениям в частных производных. При этом приходилось добавлять придуманные дополнения, без чего нельзя было, конечно, получить нужных ответов. Такой подход является всегда искусственным из-за пренебрежения осторожным применением уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен путь «от задачи к методу», а не наоборот).
Другой подход состоит в том, что каждая конкретная проблема трактуется уже как мультифрактальная, но индивидуально, с применением того или иного, наиболее к ней подходящего метода, и с учетом ее специфических особенностей. Этот подход, конечно, сам по себе правилен. В его рамках ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие все свое значение и в настоящее время. Сюда в первую очередь нужно отнести работы Б.Б. Мандельброта, Дж. Э. Мартина, Х. Де Виджеса, Е. Федера, П. Микина, Х. Э. Стенли, Л. Нимайера, Т.А. Виттена и др., сыгравшие существенную роль в развитии интересующей нас области. И в настоящее время иногда удобно в том или ином случае идти в данном направлении исследований.
Но при этом необходимо отметить, что фактически такие решения отдельных задач, которые не имели достаточного математического обоснования, а именно: ограничивались определением спектра фрактальной размерности, и делалась попытка связать его с числом существенных параметров системы, вряд ли целесообразны. Эти решения в таком виде не ведут к установлению той базы, как математической, так и физической, которая необходима для разработки теоретических положений мультифрактального моделирования
трудноформализуемых объектов.
Отсутствие математической базы особенно проявляется при решении конкретных задач о деформировании и разрушении природных мультифракталов как трудноформализуемых объектов. В то время как участие «человеческого фактора» сводится в большинстве своем к воздействию, при котором происходит деформирование с последующим разрушением этих природных мультифрактальных объектов. И вот еще одна причина, по которой имеет смысл в первую очередь обратиться к исследованию задач деформирования и разрушения, при этом не нарушается общность – разработанные методы применимы и для других физических и технических задач.
А между тем в рамках метода аналогий, основы математического аппарата, адекватного не только отдельным задачам, но и всему циклу проблем фрактального моделирования относительно процессов деформирования и разрушения, которые тесно связаны с мультифрактальным моделированием, существуют относительно давно. Они заложены в известных работах В. Фойгта, А. Ройсса, Дж. Эшелби, Р. Хилла, Е. Кренера, З. Хашина, С. Штрикмана, И. А. Кунина, С. К. Канауна, Т.Д. Шермергора, К. В. Халкечева, Д.Д. Ивлева, Г.А. Иосифьяна, Г.П. Черепанова и др., преследовавших, правда, другие цели. Но решенных в этих работах отдельных задач, не допускающих должного обобщения, и разработанного математического аппарата, а также методов математического моделирования недостаточно для того, чтобы они стали основой, в полном смысле этого слова, разработки теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов. В частности, методы исследований математических моделей, или в случае указанных работ попросту говоря – решений полученных математических задач, не отличаются той необходимой общностью, чтобы их (методы) применить при исследовании мультифрактальных моделей природных мультифракталов с включениями в виде объектов с произвольными группами нечувствительности, ответственными за агрегатное состояние. Особенно это актуально, когда речь идет о мультифрактальных моделях природных мультифрактальных объектов, в которых среди «втиснутых» фракталов есть объекты с группой нечувствительности, совпадающей с унимодулярной группой.
Во всех существующих разработках есть еще один недостаток, не позволяющий адекватно описывать как природные фрактальные, так и мультифрактальные объекты. С одной стороны, при исследовании математических моделей вводится процедура усреднения по ансамблю полей неоднородностей, которая фактически является отказом от механического описания. Это вызвано непомерно огромным числом участников в исследуемой системе, в результате состояние индивидуальной неоднородности почти не сказывается на состоянии системы в целом. А такая система является термодинамической, и в связи с этим, для ее описания должны быть использованы термодинамические понятия. С другой стороны, система в целом является механической, и поэтому для ее описания
используются макроскопические механические понятия, как в уравнениях, так и в ее решениях, т. е. не используются термодинамические понятия. При таком некорректном описании невозможно получить адекватную модель исследуемого природного мультифрактального объекта.
Все вышеизложенное позволяет сделать вывод о необходимости и возможности разработки теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов, которые можно квалифицировать как научное достижение по направлению - управление, вычислительная техника и информатика.
Цель исследования – разработка теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов.
Основная идея работы. Математическое моделирование трудноформализуемых объектов в виде природных мультифракталов следует производить на основе мультифрактального подхода. Он заключается в построении для исследуемого объекта мультифрактальной модели, представляющей собой совокупность связанных между собой математических моделей фрактальных сред. При этом каждая из данных сред описывает фрактальные объекты, входящие в состав исследуемого трудноформализуемого объекта -природного мультифрактала.
Методы исследований. Выполненный комплекс исследований включает совокупность методов математического моделирования, численную реализацию на ЭВМ и сравнение с известными точными решениями в простейших случаях, с натурными и экспериментальными (лабораторными) исследованиями для отдельных объектов.
Объект исследований – класс природных мультифрактальных объектов.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
мультикомпонентная математическая модель природного мультифрактала первого порядка сложности как трудноформализуемого объекта относительно деформационных свойств, описывающая упругое и упругопластическое состояния, а также с учетом полученного закона изменения количества движущихся дислокаций: упругопластическое с упрочнением, идеально-пластическое, нечеткое идеально-пластическое, нечеткое упругопластическое с упрочнением и нечеткое пограничное состояния;
мультифрактальные математические модели природных мультифракталов второго, третьего, четвертого и пятого порядков сложности как трудноформализуемых объектов относительно деформационных свойств;
мультифрактальные математические модели природных мультифракталов различных порядков сложности и фракталов как трудноформализуемых объектов относительно полей напряжений;
представленный в алгоритмическом виде фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта, позволяющий определить границы применимости разработанных мультифрактальных математических моделей природных
мультифракталов как трудноформализуемых объектов;
перколяционная мультифрактальная математическая модель динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде внезапных выбросов пород и газа, на основе которой разработан алгоритм проверки газосодержащего породного массива на предмет такого динамического проявления; – перколяционная мультифрактальная математическая модель динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде оползней, на основе которой разработан алгоритм проверки жидкостьсодержащего породного массива на предмет данного динамического проявления;
комплекс программ компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения природных мультифрактальных объектов различных порядков сложности.
Научная новизна работы состоит:
в разработке нового математического метода мультикомпонентного моделирования, отличающегося тем, что переход из одного состояния объекта в другое осуществляется посредством разработанной динамической модели;
во введении нечеткого тензора - нового научного понятия, позволяющего описать напряженно-деформированное состояние природного мультифрактала в рамках теории нечетких множеств, когда отсутствуют достаточно точные знания о трудноформализуемом анизотропном объекте мультифрактальной структуры;
в разработке комплексного метода самосогласованного поля, развивающего методы приближенного исследования многокомпонентных систем и их моделей, разрешающего противоречие между термодинамическим и механическими подходами к решению проблем деформирования трудноформализуемых объектов мультифрактальной структуры;
в построении мультикомпонентной математической модели природного мультифрактала первого порядка сложности относительно деформационных свойств, позволяющей адекватно описать полную диаграмму «напряжение – деформация» для объектов мультифрактальной структуры, путем учета изменения количества линейных дефектов в процессе деформирования;
в разработке нового математического метода мультифрактального моделирования труноформализуемых объектов в виде природных мультифракталов различных порядков сложности относительно деформационных свойств, расширяющего возможности применения вновь разработанного комплексного метода самосогласованного поля к фрактальным и мультифрактальным средам, составленным из компонент, сильно отличающихся по упругим свойствам;
в построении мультифрактальных математических моделей природных мультифракталов второго, третьего, четвертого и пятого порядков сложности относительно деформационных свойств. Развитый при этом математический аппарат позволяет свести локальные начально-краевые задачи к усредненным, более адекватно описывающим неоднородные
моделируемые объекты;
в разработке мультифрактальных математических моделей природных мультифракталов различных порядков сложности и фракталов относительно полей напряжений, каждая из которых сводится к уравнениям в частных производных в рамках теории обобщенных функций – аппарата адекватно описывающего физическую теорию поля;
в разработке эффективного численного метода определения представительного объема природного объекта, представленного в виде алгоритма. Данный метод позволяет различать между собой природные и незавершенные мультифракталы, и тем самым определять границы применимости разработанных мультифрактальных математических моделей природных мультифракталов как трудноформализуемых объектов; – в построении перколяционной мультифрактальной математической модели динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде внезапных выбросов пород и газа. Главной особенностью, отличающей ее от аналогов, является то, что в построенной модели при определении напряженно-деформированного состояния природного мультифрактала и его последующего разрушения, приводящего к выбросу, учитывается главный фактор – влияние газа как агрегатного состояния природного мультифрактального объекта, группа преобразований которого совпадает с унимодулярной группой. На основе данной модели предложен новый алгоритм проверки газосодержащего породного массива на предмет динамического проявления в виде внезапного выброса пород и газа;
– в разработке перколяционной мультифрактальной математической модели динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде оползней. Главной особенностью данной модели, отличающей ее от аналогов, является то, что в ней при определении напряженно-деформированного состояния природного мультифрактала и его последующего разрушения, приводящего к сходу оползня, учитывается главный фактор – влияние жидкости как агрегатного состояния природного мультифрактального объекта, группа преобразований которого совпадает с унимодулярной группой. На основе данной модели предложен новый алгоритм проверки жидкостьсодержащего породного массива на предмет динамического проявления в виде оползня;
- в разработке комплекса программ компьютерного моделирования процессов
деформирования и разрушения природных мультифракталов различных порядков
сложности, позволяющий осуществлять оперативный мониторинг состояния
газосодержащего (или жидкостьсодержащего) породного массива как природного
мультифрактала пятого порядка сложности на предмет выбросоопасности (или реализации
оползневого процесса).
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждается следующим:
– корректностью применения апробированного математического аппарата: методов математического моделирования трудноформализуемых объектов, теории потенциала, тензорного исчисления, теории псевдодифференциальных операторов, теории интегральных уравнений, методов фрактальной и мультифрактальной геометрии, нечеткой теории динамических систем, теории возможностей, уравнений в частных производных, понимаемых в смысле обобщенных функций;
- корректностью применения методологий информационных технологий: объектно-
ориентированного проектирования и программирования, унифицированного языка
моделирования;
– согласованием результатов, вытекающих из предложенных математических моделей, с экспериментальными данными других исследователей и натурных наблюдений.
Результаты диссертационной работы имеют практическую ценность: – при исследовании трудноформализуемых объектов в виде природных мультифракталов различных порядков сложности;
при разработке методов контроля и снижения рисков возникновения выбросов пород и газа в горных выработках;
при составлении проектной документации на строительство инженерных сооружений в районах, опасных по оползневым процессам.
Результаты исследования реализованы на спецкурсах для студентов, специализирующихся по профилям: математическое и компьютерное моделирование, материаловедение, вычислительные методы в физике с применением компьютерных технологий, инженерия программного обеспечения, а также для студентов инженерных специальностей.
Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:
– на девятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Весенняя сессия (г. Кисловодск, май 2008г.);
– на девятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Осенняя сессия (г. Волгоград, октябрь 2008г.); – на тринадцатом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Летняя сессия (г. Петрозаводск, июнь 2012г.);
– на тринадцатом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Осенняя сессия (г. Сочи, октябрь 2012г.);
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 28 научных статьях, из которых 21 статья опубликована в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 229 наименований, включает 1 таблицу, содержит 116 рисунков.
Структурные особенности и существующие методы математического моделирования природных мультифракталов
Следует сразу отметить, что не существует научных работ, посвященных разработке методов математического моделирования процессов деформирования природных мультифракталов как такового, то есть имеющих целью само моделирование таких трудноформализуемых объектов.
Деформационные свойства, такие как упругость, упругопластичность, пластичность, прочность и другие характеристики, связанные с деформированием, являются структурно-чувствительными, то есть наряду с химической природой вещества они еще определяются и структурой. Поэтому выбранный тип математической модели должен быть структурным, то есть в математической модели должна быть отражена структура моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта. Отсюда следует, что без представления о структуре невозможно адекватное математическое моделирование выбранных для исследования свойств объектов. Однако мы вынуждены отметить, что не во всех случаях понятие «структура» определяется однозначно.
Таким образом, прежде чем приступить к математическому моделированию, необходимо дать определение понятию «структура», и на его основе получить представление о структуре исследуемых в данной работе объектов.
Формирование структур в математике идет от простого к сложному -вначале образуют простые структуры, а затем на их основе строят более сложные. При этом исходят из предположения о существовании множества элементов. Причем неважно, какие именно элементы составляют это множество. Обычно утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: а є А. Это отношение и есть первый важный признак структуры. Другие отношения и операции над элементами, которые также являются признаками структуры, можно найти в любом учебнике по теории множеств.
Итак, математическое понятие структуры безотрывно связано с понятиями «множество», «элемент», «отношение», «операции» и т.д. При этом природа элементов не играет существенной роли, а вот отношения между ними определяют характер структуры, например, топологические, метрические, алгебраические и т.п. структуры.
Сформируем наиболее простую структуру. Для этого в качестве элементов выбирается бесконечное множество точек, которым можно поставить во взаимно-однозначное соответствие упорядоченные тройки вещественных чисел, называемых координатами точек. Затем каждой точке приписывается некая мера, называемая массой. Причем предполагается, что она абсолютно непрерывна в том смысле, что при стремлении к нулю произвольного объема тела то же самое происходит и с его массой. В результате мы получаем бесконечное множество бесструктурных частиц, которые составляют структуру - тело. Расположение множества частиц, образующих тело, в какой-либо момент времени называется конфигурацией. Последовательность конфигураций в различные моменты времени называется движением тела.
При представлении естественных структур в виде тела методы математического моделирования соответствующего природного объекта относительно деформационных свойств и поля напряжений сводятся к локальным уравнениям вида
Эти уравнения выписаны на основе содержательной модели, в которой существенным является представление природного объекта как тела.
Данные методы математического моделирования сформировались в отдельное направление – «Механика деформированного твердого тела», основные положения которого разработаны в работах [66, 72, 76, 89, 102, 103, 105, 117-119, 123, 152]. Применение данных методов для исследования более сложных природных объектов изложено в трудах [8-12 , 43, 47, 52, 67, 81, 82, 113, 115]. В них объект представляется в виде сплошной среды – множества элементов, каждый из которых не имеет структуры, что недопустимо для исследования природных мультифракталов. К тому же в этих и им подобных работах в качестве математического аппарата используется классический анализ, имеющий дело с функциями точки. И это притом, что в рассматриваемых проблемах мы имеем дело с полевыми представлениями физических величин. А в рамках указанного математического аппарата не совсем адекватно описывается физическая теория поля, в которой рассматриваются величины, усредненные по некоторой области.
На основе сформированной наиболее простой математической структуры построим более сложную.
Обратимся к следующему определению мультифрактала [42]: «Фракталы, характеризуемые целым спектром размерностей, представляют собой как бы несколько «втиснутых» одна в другую фрактальных структур и называются мультифракталами». Это определение не является исчерпывающим, но для нас оно является достаточным. И вот почему. Приведенное определение отражает важный отличительный признак мультифрактальных объектов. При этом ни это, ни более строгие определения не дают полного представления о мультифракталах. Это утверждение, как нетрудно заметить, справедливо также и для фракталов, на основе которых строится определение мультифракталов.
Наличие в этом определении мультифрактала нечетких терминов, таких как «несколько» и «втиснутых», увеличивает итак существующую неопределенность в понятии «мультифрактал» и требует некоторого уточнения.
Не нарушая общности под термином «несколько» мы будем понимать значения 1,2,,..,n. Термин «втиснутых» может быть раскрыт следующим образом. Пусть каждый элемент структуры тела наделяется и конечным объемом и собственной симметрией, частным случаем которой является самоподобие, что является признаком самоподобного фрактала. В таком случае эти элементы структуры будут плотно прилегать друг к другу и составят мультифрактал, которым моделируется природный мультифрактальный объект первого порядка сложности с точки зрения теории трудноформализуемых объектов. Пусть теперь элементы исходного мультифрактала содержат пустоты, заполненные другим объектом с собственной симметрией, отличной от симметрии рассматриваемых элементов. Причем эти включения обладают группой нечувствительности, (равноправности – термин, введенный У. Ноллом [214]), совпадающей с унимодулярной группой. В результате получаем мультифрактал, моделирующий природный мультифрактальный объект второго порядка сложности. Если теперь в полученную мультифрактальную структуру внести включения с таким же содержанием, но с большими размерами, то в результате получим мультифрактал, являющийся математической моделью природного мультифрактального объекта третьего порядка сложности. Для получения следующей более сложной математической структуры достаточно внести в отдельные области предыдущего мультифрактала отдельные фрагменты такого же типа структуры, но другого состава. При этом их число может меняться от 1 до N . Таким мультифракталом моделируют природный мультифрактальный объект четвертого порядка сложности. Проделывая такую же процедуру, но уже с мультифракталом, полученным в предыдущем случае, имеем мультифрактал, моделирующий природный мультифрактальный объект пятого порядка сложности. И так продолжая по аналогии, мы можем получить мультифракталы все более и более сложной структуры, способные моделировать природные мультифрактальные объекты до n- го порядка сложности.
Очевидно, что при решении проблем, связанных с мультифрактальным моделированием, имеем дело в широком представлении с теорией физических полей, так как природные мультифрактальные объекты представляют собой системы многих взаимодействующих элементов, свойства которых зависят от средних свойств элементов. Все это предполагает рассмотрение величин, усредненных по некоторой области.
Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в идеально-пластическом состоянии
Идеально-пластическое состояние реализуется в природном мультифрактале первого порядка, когда начальное количество дислокаций N0 принимает значения в интервале (mN + fiN , оо), где mN + fiN соответствует правой границе особого интервала нечеткого состояния равновесия N = N2 динамической системы, описываемой уравнением (2.64).
Применяя мультикомпонентный подход к моделированию, придем к выводу, что разрабатываемая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в идеально-пластическом состоянии эквивалентна представленной выше математической модели природного мультифрактала первого порядка в упругопластическом состоянии с упрочнением. Единственным отличием разрабатываемой модели является то, что функция N(t) при идеально-пластическом состоянии природного мультифрактала первого порядка, является возрастающей, т.е. модальное значение нечеткого параметра N(t) с течением времени увеличивается.
Таким образом, математическую модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в идеально-пластическом состоянии можно представить в следующем виде (рис. 7).
Применить математическую модель изменения количества дислокаций в структуре природного мультифрактала первого порядка Преобразовать N0 в N(t = 0) Входной набор отсортирован в порядке возрастания : Величины N при t = 0,1...t Применить математическую модель природного мультифрактала первого порядка в упругопластическом состоянии для определения нечеткого эффективного тензора упругих податливостей :Нечеткий эффективный тензор упругих податливостей природного мультифрактала X первого порядка Применить математическую модель природного мультифрактала первого порядка в упругопластическом состоянии для определения нечеткого эффективного тензора модулей упругости :Нечеткий эффективный тензор модулей упругости природного мультифрактала первого порядка
Действия данной модели рассматривать не будем, поскольку они полностью идентичны действиям из математической модели природного мультифрактала первого порядка в упругопластическом состоянии с упрочнением.
Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в нечетких состояниях
Результатом определения деформационных свойств в любом из представленных нечетких состояний (нечетком упругопластическом с упрочнением, нечетком идеально-пластическом, нечетком пограничном) являются эффективные тензоры модулей упругости и упругих податливостей, каждому из которых сопоставляются две степени принадлежности /лип и //
Данные степени принадлежности характеризуют соответственно возможности реализаций в природном мультифрактале первого порядка идеально-пластического и упругопластического состояний с упрочнением.
Если juу juип, то возможность того, что природный мультифрактал
первого порядка с течением времени достигнет упругопластического состояния с упрочнением выше, нежели идеально-пластического. В этом случае имеем природный мультифрактальный объект первого порядка сложности в нечетком упругопластическом состоянии с упрочнением. Когда Iйу ип – наоборот, возможность реализации идеально-пластического состояния выше, чем упругопластического с упрочнением. Тогда природный мультифрактальный объект первого порядка сложности находится в нечетком идеально-пластическом состоянии. И наконец, если // = цип, то с одинаковой степенью возможности в природном мультифрактале первого порядка с течением времени реализуется как упругопластическое с упрочнением, так и идеально-пластическое состояния. В этом случае природный мультифрактальный объект первого порядка сложности - в нечетком пограничном состоянии.
Исходя из приведенных рассуждений, компонентную математическую модель природного мультифрактала первого порядка в нечетких состояниях можно представить в следующем виде (рис. 8).
Первое действие в рассматриваемой модели «Определить N0 » заключается в установлении начального количества дислокаций, совершающих движение в структуре природного мультифрактального объекта первого порядка сложности.
Второе действие «Применить математическую модель природного мультифрактала первого порядка в упругопластическом состоянии для определения эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей» состоит в вычислении следующих выражений:
Фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта
Итак, математические модели анализа природных объектов первого, второго, третьего, четвертого и пятого порядков сложности разработаны. Аналогичным подходом могут быть получены математические модели анализа природных объектов более высокого порядка: шестого, седьмого, …, до n-го порядка включительно.
Как показали проведенные выше исследования, для определения представительных объемов природных объектов первого, второго, третьего, четвертого и пятого порядков сложности в различных комбинациях используются численные методы Drvof , Drvos и Drvot.
Если сравнить алгоритмы, описывающие данные методы, то можно заметить, что отличаются они друг от друга только типом обрабатываемых входных данных – структурных элементов и их атрибутов. Так для определения величины представительного объема природного объекта первого порядка численный метод Drvof обрабатывает данные о таких структурных элементах как фрактальные неоднородности. В свою очередь метод Drvos имеет дело с атрибутами таких объектов как фрактальные неоднородности с микровключениями. Ну и наконец, метод Drvot для определения представительного объема обрабатывает входные данные о структурных элементах в виде блоков Вороного.
Теперь если учесть, что у каждого структурного элемента имеются свои атрибуты (например, для фрактальной неоднородности, одним из таких атрибутов является параметр g ; для блока Вороного – параметр w), и для обработки значений таких атрибутов существуют свои процедуры и функции, то можно прийти к одному единому численному методу определения представительного объема природных объектов различных порядков сложности. В тоже время все рассмотренные выше природные объекты являются структурными составляющими по отношению друг к другу. Так природный объект пятого порядка сложности состоит из множества объектов четвертого порядка, каждый из которых агрегирует природные объекты третьего порядка, и т.д. вплоть до объектов первого порядка, состоящих из фрактальных неоднородностей.
Вследствие этого, для любого природного объекта пятого порядка сложности и для его частей - природных объектов четвертого, третьего, второго и первого порядка справедлив один и тот же численный метод определения представительного объема.
Это свидетельствует о том, что такой единый численный метод определения представительного объема является масштабно инвариантным или фрактальным.
Итак, обобщим полученные численные методы и разработаем на их основе фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта. Построение такого численного метода будем производить в алгоритмическом виде с помощью нотации Д. Кнута [73-75].
Численный метод Fmdrv (Фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта) Fmdrvl. [Обработать входные данные графического вида природного объекта]. Произвести обработку входных данных графического вида исследуемого природного объекта.
{ Для природных объектов первого и второго порядков данный шаг заключается во введении декартовой системы координат на графическом виде структуры данных объектов.
Для всех остальных природных объектов на данном шаге осуществляется построение эквивалентной структуры этого объекта, ввод декартовой системы координат в соответствующей эквивалентной структуре, а также выполняются процедуры по формированию блоков Вороного.} Fmdrv2. [d -l]. Счетчику количества плоскостей d присвоить значение 1, т.е. рассмотрим структуру исследуемого природного объекта в первой плоскости XOY.
{ Для плоскостей XOY, ZOY и XOZ переменная d соответственно равна 1, 2 и 3.} Fmdrv3. [Определить множество вспомогательных параметров Асэ]. Для каждого структурного элемента природного объекта определить вспомогательный параметр, состоящий из координаты маркера (центр фрактальной неоднородности или центр макровключения в блоке Вороного) и характеристического вектора (вектора с наибольшей длинной, исходящий из маркера до точки на границе структурного элемента). Полученные параметры объединить во множество Асэ = {(х1,у1,11),(х2,у2,12),...,(хм Ум м)} где N - количество элементов в природном объекте в соответствующей плоскости. { Для природного объекта первого и второго порядков сложности структурными элементами являются соответственно фрактальная неоднородность и фрактальная неоднородность с микровключением. Для всех остальных природных объектов структурным элементом является блок Вороного.} Fmdrv4. [f -1]. Установить счетчик горизонтального уровня t равным 1. Fmdrv5. [и -1]. Установить счетчик общего количества элементов п в природном объекте равным 1. Fmdrv6. [Установить длину Ро природного объекта]. Определить длину Ро исследуемого природного объекта. Fmdrv7. [k -1]. Установить счетчик вертикального уровня k равным 1. Fmdrv8. [Выбрать первый структурный элемент природного объекта на t-м уровне]. Из множества Асэ найти aE=(xE,yEJE) = тіптах{(х1,_у1,/1),(х2,_у2,/2),...,(хлг, лг,/лг)}. Полученное значение будет хі У і соответствовать маркеру структурного элемента, находящегося на t-м 282 горизонтальном и наЬм вертикальном уровнях. Fmdrv9. [Определить и добавить параметр jun к множеству параметров структуры М]. Для структурного элемента, находящегося на t-м горизонтальном и к-м вертикальном уровнях, определить параметр /лп и добавить его к множеству М .
Перколяционная мультифрактальная математическая модель динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде оползней
Механические процессы, протекающие вблизи поверхности породного массива (на склоне), в виде формирования напряженно-деформированного состояния, могут реализовываться в виде динамических проявлений -оползней. В свою очередь формирование напряженно-деформированного состояния в породном массиве обусловлено внутренним строением и местом положения объема горных пород, подверженного оползневому процессу. При этом необходимо различать микроскопическое (напряжения в зернах) и макроскопическое неоднородное поле напряжений. Суперпозиция данных двух видов напряжений определяет поверхность сдвижения (скольжения). Напряжения в зернах могут быть определены с помощью выражения (2.257), а поле давлений в наполненных жидкостью порах посредством выражения (2.261). Макроскопическое неоднородное поле напряжений обусловлено неполной заглубленностью объема пород, подверженных оползневому процессу. Отсюда, неоднородность обусловлена различными полями напряжений по обе стороны поверхности сдвижения. То есть различны напряженно-деформированные состояния в объеме горных пород, подверженному сдвижению (оползневое тело), и прилегающих к нему породах в массиве. Как известно из [146], неустойчивость оползневого тела, находящегося на склоне, подразделяется на локальную и глобальную. Стремление к одновременной реализации глобальной и локальной неустойчивостей определяет неоднородность макроскопического поля напряжений и неустойчивую конфигурацию трещин, при которой происходит разрушение с потерей устойчивости.
Итак, стремление к синхронной реализации глобальной и локальной неустойчивостей с одной стороны, и наличие связи, удерживающей оползневое тело с породным массивом с другой стороны, ответственны за макроскопическое неоднородное поле напряжений в нем (оползневом теле), и, как следствие, определяют место расположения неустойчивой конфигурации трещин, которая ведет к оползню. Причем данные два вида неустойчивости по-разному проявляются в зависимости от формы оползневого тела и профиля склона, на котором находится это тело. Отсюда, от формы склона и оползневого тела зависит напряженно-деформированное состояние, место расположения и вид неустойчивой конфигурации трещин, а также разрушение с потерей устойчивости.
Разработаем перколяционную мультифрактальную математическую модель, позволяющую описать процесс разрушения природного мультифрактального объекта пятого порядка сложности в виде жидкостьсодержащего породного массива, и тем самым определить условия, при которых происходит сход оползня. Здесь и далее будем считать, что исследуемое оползневое тело и его составляющие геоматериалы являются природными мультифрактальными объектами.
Рассмотрим оползневое тело, представляющее собой природный мультифрактал пятого порядка сложности. Это оползневое тело находится в напряженно-деформированном состоянии на вогнутом участке склона. Как известно из [146], оползневое тело, локальная неустойчивость которого стремится реализоваться путем вращения как целого вглубь массива, а глобальная – сползанием со склона, находится в состоянии изгиба выпуклой стороной вглубь массива. Поэтому в глубине породного массива на выпуклой стороне породного массива происходит растяжение, а на внутренней - сжатие. Кроме того внутри оползневого тела имеется нейтральная поверхность, на которой напряжение отсутствует. Таким образом, мы имеем оползневое тело, которое может быть смоделировано как система, находящаяся в состоянии изгиба, под действием внешнего одноосного напряжения вдоль склона. При этом оползневое тело можно разделить на области, в каждой из которых действуют только сжимающие, или есть зерна, в которых действуют растягивающие напряжения.
Компьютерным экспериментом над реальными жидкостьсодержащими породными массивами, посредством модели (2.257), были установлены границы и форма областей, в которых на отдельные зерна действуют либо только сжимающие (область сжимающих напряжений – «2»), либо сжимающие с растягивающими напряжениями (область частично растягивающих напряжений – «1»); схематически данные области можно изобразить в следующем виде (рис. 85).
Процесс разрушения зерен в рассматриваемых областях обусловлен двумя причинами, а именно: давлением жидкости в порах и внутренним напряжением в зернах под действием внешних сжимающих нагрузок вдоль склона, обусловленных глобальной неустойчивостью, и растягивающих напряжений, индуцированных изгибом.
Итак, разрабатываемая перколяционная мультифрактальная математическая модель должна описывать процессы разрушения зерен с наполненными жидкостью порами как в области частично растягивающих, так и в области сжимающих напряжений. Для этого, как и в случае с задачей о выбросах соли и газа, воспользуемся перколяционной теорией.
Рассмотрим область частично растягивающих напряжений оползневого тела в трехмерной плоскости (рис. 86).
Разобьем полученную трехмерную фигуру ABCDEFGH на одинаковые кубики (рис. 87), объем каждого из которых равен среднему объему зерна из рассматриваемой области частично растягивающих напряжений оползневого тела.
Полученную криволинейную фигуру, разделенную на кубики одинакового размера, будем называть трехмерной перколяционной решеткой. По существу такая решетка является графической моделью области частично растягивающих напряжений оползневого тела, в которой каждому зерну с наполненной жидкостью порой соответствует кубик.
Похожие диссертации на Разработка теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов
