Введение к работе
Актуальность работы. Эмпирическими данными называются результаты регистрации количественных значений тех или иных параметров, отражающих свойства исследуемых объектов или процессов. При моделировании эмпирических данных достаточно широко используются частотные представления вида
f(t)= \F(co)eiadcol27r, (1)
— СО
где fit) - вещественный, регистрируемый (наблюдаемый) параметр, зависящий от переменной t, которая для простоты называется временем; F(co) - непрерывная, в общем случае комплексная, функция (частотная характеристика) аргумента со , называемого круговой частотой со = 2nv, где v - переменная, называемая частотой.
Предполагается, что условия существования интеграла в (1) выполнены и f{t) принадлежит пространству L2, так что справедливо имеющее физический смысл равенство Парсеваля
СО СО
|/|2 = J f\t)dt = \\F{cof dco/іж, (2)
— СО —СО
которое можно преобразовать к виду
1И12=1^ (3)
г=0
где Рг - части энергии
pr = j\F(afdo)/2x (4)
ojgDf
в частотных интервалах
Dr=[-Qr+1-Qr\j[Qr,Qr+1), Q0=0, г = 0,1,2,..., (5)
выбор которых может быть продиктован различными соображениями.
Ясно, что представление (1) можно преобразовать к сумме компонент, определяемых только соответствующими отрезками частотной характеристики
/(О = S fr (0, fr (0 = J F(co)exp(jcot)dco I In . (6)
r=0 COED,
Описание свойств эмпирических данных с точки зрения выбранной из тех или иных соображений системы частотных интервалов вида (5) в рамках данной работы называется субполосным моделированием.
Достаточно часто в приложениях используется априорное предположение о финитности области частот, где сосредоточена подавляющая доля энергии исследуемой функции, т.е. имеет место приближенное равенство
|/|2 * \\F(a)fd(Dl27r, (7)
где D - частотный интервал конечных размеров вида (5), либо объединение нескольких таких интервалов. Это представление в рамках данной работы называется субполосной моделью эмпирических данных, степень адекватности которой необходимо оценивать.
Ясно, что в реальности осуществить проверку адекватности модели субполосных представлений можно только на основе анализа эмпирических данных, зарегистрированных на временных интервалах конечной длительности Т, т.е. по отрезку f(t), т<і<Т + т, т - начало регистрации. В этих условиях аппроксимацией неизвестной частотной характеристики служит трансформанта Фурье функции с финитным носителем
FT(a>,T)=lf(t + r)e-}atdt, (8)
область определения которой финитной являться не может, а составляет всю числовую ось. Поэтому необходимо иметь эффективный метод проверки адекватности модели (7) на этой основе.
В задачах моделирования широко применяется частотно-временная интерпретация эмпирических данных в виде описания закономерности поведения исследуемого параметра на языке динамики изменений частей энергий
РгЛт)= \\Рт{со,т}2с1со/2ж, (9)
определяя в частности при этом множество частотных интервалов іЦг), суммарная ширина которых минимальна, и где сосредоточена заданная доля m энергии отрезков наблюдений, то есть выполняется условие
тШ\1 = 1Хг(0, її л \\l=) f\t+T)dt. (10)
Одним из самых эффективных методов моделирования эмпирических данных является разложение по функциональным базисам
/(/ + *) = ak(z)cpk(tl /є (0,7). (И)
Обзор специфик задач субполосного моделирования позволяет сформулировать следующие условия адекватности аппроксимационных свойств применяемых базисных функций (модель субполосного базиса): базисные функции должны с точностью до множителей полностью определяться отрезками своих трансформант Фурье из заданного частотного интервала; базисные функции должны быть ортогональны на интервале регистрации эмпирических данных; отрезки трансформант Фурье базисных функций в заданном частотном интервале должны быть ортогональны; должна обеспечиваться возможность интерполяции и оценивания производных частотных компонент по значениям эмпирических данных в дискретном наборе точек области регистрации (субполосные интерполяция и дифференцирование).
Используемые в настоящее время для субполосного моделирования базисы (дискретный базис Фурье, вейвлеты и другие) не отвечают
сформулированным выше условиям адекватности аппроксимационных свойств.
Поэтому совершенствование методов субполосного моделирования эмпирических данных за счет применения новых адекватных функциональных базисов является актуальной научной задачей.
Целью данной работы является разработка и исследование новых
методов субполосного моделирования эмпирических данных на основе
обладающих адекватными аппроксимационными свойствами
функциональных базисов, создание соответствующих численных методов обработки отрезков эмпирических данных, а также их алгоритмических и программных реализаций.
Для достижения цели были сформулированы и решены следующие задачи:
Разработка и исследование функциональных базисов, свойства которых адекватно отражают специфику задач субполосного моделирования эмпирических данных (субполосных базисов).
Разработка вычислительных алгоритмов субполосного моделирования на основе дискретных эмпирических данных конечной длительности.
Разработка субполосных методов и алгоритмов интерполяции и численного дифференцирования дискретных эмпирических данных.
Разработка методов и алгоритмов проверки адекватности модели субполосных представлений и частотно-временной интерпретации эмпирических данных.
Разработка программных реализаций алгоритмов субполосного моделирования эмпирических данных.
Методы исследований базируются на теории преобразований Фурье, моделях субполосных представлений, методах линейной алгебры и вычислительных экспериментах.
Научную новизну работы составляет следующее:
Методы субполосного моделирования эмпирических данных на основе новых ортогональных базисов функций, аппроксимационные свойства которых адекватно отражают специфику задач описания закономерностей поведения исследуемых процессов в терминах характеристик их частотных компонент (субполосные базисы);
Численные методы обработки отрезков эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам;
Алгоритмы моделирования эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам и их программные реализации;
Методы и алгоритмы проверки адекватности моделей субполосных представлений и частотно-временной интерпретации эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам.
Практическая значимость работы определяется тем, что использование полученных в ней результатов позволит повысить
эффективность процедур субполосного моделирования эмпирических данных, и прежде всего их точность и достоверность выводов. Положения, выносимые на защиту:
Модели субполосных ортогональных базисов функций, включая результаты исследований их аппроксимационных свойств при дискретизации области определения.
Методы и алгоритмы субполосного моделирования эмпирических данных на основе разложений по новым субполосным базисам и их программные реализации.
Методы субполосной интерполяции и численного дифференцирования дискретных эмпирических данных на основе интерполяции и дифференцирования базисных функций.
Метод проверки на основе разложений по субполосным базисам адекватности моделей субполосных представлений (предположений о финитности области частот, где сосредоточена подавляющая доля энергии исследуемой функции).
Метод и алгоритм частотно-временной интерпретации эмпирических данных на основе разложений по субполосным базисам.
Достоверность выводов и рекомендаций обусловлена адекватностью аппроксимационных свойств разработанных базисов задачам субполосного моделирования эмпирических данных, корректностью применяемых математических преобразований, непротиворечивостью полученных результатов с установленными ранее фундаментальными фактами теории анализа эмпирических данных на основе частотных представлений, а также подтверждается результатами вычислительных экспериментов с реальными эмпирическими и модельными данными.
Личный вклад соискателя. Все изложенные в диссертации результаты исследования получены либо соискателем лично, либо при его непосредственном участии.
Апробация результатов диссертационного исследования.
Результаты диссертационного исследования обсуждались на следующих научно-технических конференциях: Первая и Вторая Международная научно-техническая конференция, «Компьютерные науки и технологии», 2009 г., 2011 г.г., Белгород, Россия; 12-я и 13-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение», DSPA - 2010., DSPA - 2011., Москва, Россия; XXIII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-23» Россия, 2010, Саратов; Одиннадцатая международная научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности», 2011 г., Санкт-Петербург, Россия.
Связь с научными и инновационными программами. Диссертационное исследование проводилось в рамках следующих программ фундаментальных, поисковых и инновационных исследований: Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» Федерального агентства по
образованию, подраздел 2.1.2. «Проведение фундаментальных исследований в области технических наук», проект 2.1.2/656 «Разработка на основе частотных представлений математических моделей и оптимальных методов обработки речевых сигналов при хранении и передаче речевых сообщений в информационно-телекоммуникационных системах (ИТС)»; ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры для инновационной России» на 2009-2013 годы, гос. контракт №14.740.11.0390, проект по теме: «Разработка вариационных методов и алгоритмов обработки изображений земной поверхности в задачах их дешифрирования»; ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры для инновационной России» на 2009-2013 годы, гос. контракт №02.740.11.5128, проект по теме: «Разработка автоматизированной системы количественного синтеза результатов внедрения технологий электронного обучения».
Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 14 печатных работ (из них 6 в журналах из списка ВАК РФ), в том числе два Свидетельства Роспатента РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и Приложений. Работа изложена на 178 страницах машинописного текста, включая 30 рисунков, 34 таблиц и список литературных источников из 134 наименований.
