Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке численных методов оптимального управления в задачах, связанных с гашением колебаний жидкости со свободной поверхностью, а также минимизации ухода геометрических размеров вытравливаемых элементов в технологическом процессе ионно-лучевого травления
В работе рассматриваются две нелинейные задачи оптимального управления. Первая задача посвящена гашению колебаний слабо возмущенной свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Необходимость гашения колебаний жидкости возникает во многих задачах, связанных с движением космических аппаратов, перевозками жидкого топлива и др.
Вторая задача посвящена построению оптимального управления процессом ионно-лучевого травления, который является одним из этапов изготовления интегральных схем субмикронных размеров. Рассматриваемый процесс описывается существенно нелинейным гиперболическим уравнением.
Актуальность работы
В диссертационной работе основное внимание сосредоточено на построении численных методов расчета оптимального уравнения, которые основаны на применении принципа максимума Л. С. Понтрягина. Стоит отметить, что методы построения оптимальных режимов в значительной степени развиты для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для процессов, которые описываются уравнениями в частных производных, возникают значительные
трудности при поиске оптимального управления. Только для некоторого класса задач можно установить принцип максимума. Основные результаты в теории оптимального управления принадлежат Л. С. Понтрягину, Н. Н. Моисееву, В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе.
Цель работы.
Цель диссертации - разработка численных методов расчета оптимального управления для некоторых нелинейных трехмерных уравнений в частных производных, которые представляют собой математические модели процессов колебания жидкости со свободной поверхностью и ионно-лучевого травления.
Научная новизна.
Развиты методы расчета оптимального управления, основанные на применении принципа максимума Л. С. Понтрягина. С этой целью установлен принцип максимума в форме Л. С. Понтрягина для обеих рассматриваемых в диссертационной работе задач.
Задача гашения колебаний жидкости со свободной поверхностью в трехмерном сосуде сведена к решению задачи Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, анализ которой позволяет установить ряд механических эффектов, связанных с эффективностью оптимального управления.
Математическая модель процесса ионно-лучевого представляет существенно нелинейное уравнение гиперболического типа. Управляющая функция, а именно, угол падения ионного луча, зависит от времени, и, таким образом, задача оптимального управления становится задачей с нефиксированным временем. При установлении принципа максимума вместо независимой переменной времени, рассматривается
монотонная функция - глубина протравливаемого элемента, что позволило поставить задачу оптимального управления как задачу с фиксированным временем. На основе применения сингулярных вариаций было установлено, что нет необходимости решать возникающую систему сопряженных уравнений.
Практическая значимость.
В диссертационной работе разработан математический аппарат применительно к модельным задачам и комплекс расчётных программ, позволяющий рассчитьшать оптимальные режимы соответствующих нелинейных процессов. Разработанные программы позволяют проводить расчеты для широкого класса различных параметров, краевых и начальных условий обеих задач. Построены многочисленные графики и проведен анализ эффективности оптимального управления.
Кроме того, получены результаты, которые дают возможность делать выводы о свойствах и возможностях оптимального управления. Так, например, симметричные колебания невозможно погасить, применяя лишь воздействия по осям х и у; управления в уравнения для определения коэффициентов потенциала поля скоростей входят линейно и другие утверждения, которые установлены в диссертации.
Полученные результаты расчётов в задаче моделирования процесса ионно-лучевого травления показывают высокую эффективность оптимального управления процессом. В связи с этим можно рекомендовать фирмам, производящим технологические установки, предусматривать возможность управления, способом, рассмотренным в диссертации.
В целом можно заключить, что разработанные в диссертации методы решения задач оптимального управления могут найти применение в разных областях техники, связанных с авиацией, космическими исследованиями, в микроэлектронике и других сферах деятельности человека. Результаты диссертации, посвященные установлению принципа максимума Л. С. Понтрягина, используются в учебном курсе «Дополнительные главы прикладной математики» в ФГБОУ ВПО «МАТИ - Российского государственного технологического университета имени К. Э. Циолковского» при обучении магистров по направлению «Прикладная математика и информатика».
Апробация работы.
Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Conference on Mathematics for Industry, San Francisco, USA, 2009; Международный авиационно-космический салон «МАКС-2009» «Современные наноматериалы и технологии их обработки», 2009; 1062nd AMS MEETING, Syracuse University, Syracuse, New York, 2010; III International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2012). Costa da Caparica, Portugal, 2012; International conference on optimization methods and applications (ОРТГМА-2013),2013.
На международных молодежных научных конференциях Гагаринские чтения №№ XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII, XXXIX.
Личный вклад автора.
Автор принимал участие во всех этапах работы: в постановке задачи и цели исследования, в разработке теоретических методов при
выполнении основной части работы, в анализе полученных результатов, в разработке программных комплексов для сформулированных задач.
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объем диссертации
