Введение к работе
Актуальность темы. Динамическая система называется полностью управляемой, если существует такое управляющее воздействие, которое переводит систему из произвольного начального состояния в произвольное конечное состояние за конечный промежуток времени.
Рассматривается динамическая система, описываемая дифференциальным соотношением:
d^l = Bx{t) + Du{t), (1)
где В Є L(Rn,Rn), DeL(Rm,Rn), x(t) Є Rn, u(t) Є Rm, t Є [0,T].
Система (1) называется полностью управляемой, если существует вектор-функция u{t) такая, что после подстановки ее в уравнение (1), решение х(t) полученного дифференциального уравнения удовлетворяет двум краевым условиям:
ж(0) = ао, (2)
х(Т) = bo, (3)
где ао, bo - произвольные элементы из Rn.
В данной постановке задача (1), (2), (3) называется задачей управления, система (1) называется системой управления, вектор-функция x{t) - функцией состояния, состоянием, траекторией системы, вектор-функция u{t) - функцией управления, управлением.
Четкое определение полной управляемости для системы (1) было сформулировано Р. Калманом в 1961 г. Им и был сформулирован, ставший к данному моменту классическим, критерий полной управляемости, согласно которому система (1) является полностью управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости совпадает с размерностью исходного пространства Rn, то есть:
rank(> BD ...Bn~lD) = п. (4)
Этот критерий называется критерием Калмана, хотя условие вида (4) встречается в работах сороковых годов прошлого столетия акад. Крылова А.Н., акад. Понтрягина Л.С
Свойство управляемости динамических систем анализировалось в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса Андреев Ю.Н., Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л., Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р., Гамкрелидзе Р.В., Гончарова Н.Е., Гурман В.И., Егоров А.И., Зубова О.В., Зубова СП., Игнатов В.Г., Калман Р.Е., Ким Д.П., Красовский И.И., Кух-тенко А.И., Никитенко О.В., Удилов В.В., Ли Э.Б., Никулин Е.А., Параев Ю.И., Покорный Ю.В., Раецкая Е.В., Ройтенберг Я.Н., Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М.,
Марченко В.М., Асмыкович И.К., Уонэм М., Фельбаум А.А., Чаки Ф., Чистяков В.Ф., Щеглова А.А., Шолохович Ф.А.
На данный момент сформулировано значительное количество критериев полной управляемости динамических систем (Андреев Ю.Н., Бояринцев Ю.Е., Уонэм М., Раецкая Е.В) и разработаны различные методы исследования полной управляемости подобных систем (Чистяков В.Ф., Щеглова А.А., Мисриханов М.Ш., Зубова СП., ...).
Зачастую для решения вопроса полной управляемости подобных систем авторы прибегают к использованию пакетов прикладных програм MatLab, Mathematica ...(Зыбин Е.Ю., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.).
Наряду с вопросом об управляемости, весьма актуальной является задача построения управляющей функции u{t) и функции состояния x{t) рассматриваемых систем в том или ином виде.
Однако, трудно говорить о том, что в настоящее время теория и методы построения функций состояния и управления разработаны широко и полно. Гораздо меньшее количество работ посвящено отысканию функции состояния и управления для широкого класса динамических систем.
Как правило, авторами применяется формула Коши
выражающая состояние системы (1) как функцию от управления. Этот путь, однако, не является эффективным при построении искомых функций. В работе Андреева Ю.Н. функция u{t) найдена в виде:
u{t) = D*etB\j e-sBDD*esB*ds)-l(e-TBxT -xQ).
В работах Зубовой СП., Раецкой Е.В. разработан метод построения функций состояния и управления, основаный на поэтапном разбиении пространств на подпространства. Суть метода заключается в том, что исходное пространство расщепляется в прямую сумму некоторых подпространств. В результате исходное уравнение сводится к аналогичному уравнению в более "узком" подпространстве. В силу конечности исходного пространства процесс каскадного расщепления завершается за конечное число шагов и на последнем этапе получается система, аналогичная системе (1). При этом матрица, стоящая при функции псевдоуправления, является либо нулевой (тогда исходная система (1) неуправляема), либо сюръективной (исходная система полностью управляема).
Псевдосостоянием и псевдоуправлением называются функции, играющие роль состояния и управления в редуцированной системе.
В результате применения этого метода построена функция управления в виде:
u(t) = D+etB^Pr(t),
где Pr{t) - некоторый многочлен порядка г по степеням t с векторными коэффициентами, Dp и Вр -некоторые матрицы. Но наличие матричной экспоненты в этой формуле затрудняет дальнейшее исследование свойств u{t) и x(t).
В работе Ailon A., Barachart L., Grimm J., Langholz G. другим способом показано, что u{t) можно построить в виде многочлена, степень которого меньше, чем 2п, а в работе Ailon A., Langholz G. этот результат уточняется: "управление, переводящее систему из заданного начального состояния в заданное конечное положение, может быть представлено многочленом степени М = 2г + 1, где г = п — rankfi. Очевидно, что М < 2п действительно, поскольку система управляема, то rankfi > 0 и, более того, степень управляющего многочлена уменьшается, когда rankfi увеличивается".
Очевидно, однако, что степень многочлена не может не зависеть от свойств матрицы D.
Следующий пример показывает, что этот результат можно уточнить, то есть существуют управление и состояние системы (1) в виде многочленов меньшей степени.
Пример. Рассмотрим систему
' Х\ = щ,
Х'і = Х\, , .
х3 = щ,
Х4 = Щ
с условиями Хі(0) = О, Х{(1) = 1, і = 1,4. Здесь п = 4, rank> =2, М = 5. В работе Ailon A., Langholz G. функции Uj(t), j = 1,2, и Xi(t), і = 1,4, строятся в виде многочленов по t степени 5.
Однако система (5) состоит из двух независимых систем
Лі.
Здесь г = 1 и 3. Каждая (следуя Ailon A., Langholz G.) имеетМ = 2(2-1) + 1 = 3. Следовательно функции Ui(t), X{(t) можно построить в виде многочленов 3-го порядка.
Результат Ailon A., Langholz G. совпадает с результатом данной работы в том и только том случае, когда rankD = 1 и добавление каждой матрицы B%D в мат-
рице управляемости добавляет один линейно независимый вектор. В остальных случаях степени полученных в работе многочленов меньше М.
Цель диссертации и основные задачи. Построение функций состояния и управления для различных динамических систем в виде многочленов по t с векторными коэффициентами минимальной степени. С этой целью разработанный ранее в работах Зубовой СП., Раецкой Е.В. метод каскадного расщепления пространств модифицируется следующим образом. Совершается пошаговый переход от краевых условий (2), (3) к дополнительным условиям для функции псевдосостояния последнего этапа и ее производные.
В отличие от работы Раецкой Е.В., где на последнем этапе получены дополнительные краевые условия для функции псевдоуправления и ее производные, в данной работе на каждом этапе получаются дополнительные краевые условия на функцию псевдосостояния и ее производные. Предлагаемый способ получения дополнительных краевых условий именно для функций псевдосостояний позволяет получить в полиномиальном виде функции состояния и управления исходного уравнения, что является весьма удобным при исследовании поведения данных функций и их свойств.
Применяемый в данной работе метод позволяет решать задачи управления, то есть строить функции состояния и управления для систем с различными дополнительными требованиями.
Нахождение функций состояния и управления в виде многочленов эффективно и для решения задач оптимального управления в классе гладких функций. Для этого следует строить функцию псевдосостояния редуцированного уравнения xp(t) в виде многочлена степени большей, чем указано в соответствующих теоремах. В этом случае коэффициенты многочленов будут функциями дополнительных параметров, которые могут быть найдены из условий оптимальности (или других каких-либо условий).
Указаным методом можно решать задачу управления для дескрипторной системы
A^^- = Bx(t) + Du(t), (6)
где А, В є L(Rn,Rm), D є L(Rl,Rm), te [0,T].
Особенность уравнения (6) в сравнении с уравнением (1) состоит в следующем. Дифференциальное уравнение (1) при любой непрерывной функции u{t) имеет решение, удовлетворяющее одному из краевых условий (2), (3), и требуется подобрать функцию u{t) так, чтобы выполнялось другое краевое условие.
Решение же уравнения (6) может не принимать заданного значения в точках t = 0 или t = Т ни при каком u{t).
Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, аналитические методы анализа, отдельные методы функционального анализа, специальные методы теории матриц.
Научная новизна работы. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Модифицирован известный метод каскадной редукции исходной системы.
Разработан метод построения функций состояния и управления линейных стационарных динамических систем в полиномиальном виде.
Проведено построение состояния и управления динамических систем при условии прохождения траектории системы через произвольное количество контрольных точек.
Решены задачи управления при дополнительных ограничениях на функции состояния и управления и их производные в контрольных точках.
Рассмотрена возможность нахождения оптимального управления в классе гладких функций.
Проиллюстрировано применение пакетов "Mathematica" и "MatLab" для решения задач управления методом каскадного расщепления уравнений на уравнения в подпространствах.
Результаты работы могут быть использованы для выявления полной управляемости линейных стационарных динамических систем, а также для построения функций управления и состояния в полиномиальном виде для широкого класса задач управления.
Практическая и теоретическая значимость работы. Результаты работы имеют теоретический характер. Они могут оказывать помощь исследователям и в различных прикладных задачах, например, при необходимости решения задачи управления с предварительно заданной траекторией введение достаточного количества контрольных точек, принадлежащих этой траектории, позволяет найти управление, под воздействием которого состояние системы (1) сколь угодно мало отличается от заданной траектории. А также в задачах межотраслевой динамики, которые в ряде случаев можно формализовать как задачи управления линейными динамическими системами (6).
Нахождение функций состояния и управления в виде многочленов эффективно и для решения задач оптимального управления в классе гладких функций.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались в Воронежских Весенних математических школах "Понтрягинские чтения XVII", Воронеж;,
2006 г. и "Понтрягиниские чтения XIX", Воронеж, 2008 г.; на конференции "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж;, 2007 г.; на II международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"; на научном семинаре математического факультета ВГУ (рук. проф. Курина Г.А.).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 7 работах совместно с соавторами. Вклад диссертанта в работу над публикациями составляет 66% в статьях [2], [4], в остальных статьях 50%. Списку ВАК соответствуют работы [1], [2].
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, приложения и библиографического списка из 96 наименований. Общий объём диссертации - 106 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (5 рисунков), выполненной в вычислительно - программном комплексе Mathematica.
В заключении выражаю глубокую признательность научному руководителю проф. Покорному Ю.В. и научному консультанту Зубовой СП..
