Содержание к диссертации
Введение
1 Уравнения с обратимым оператором
1.1 Дифференциально-операторное уравнение с м- оператором (— - л)и = h(u) 24 at
1.2 Дифференциальное естественное уравнение на торе — -{a0a + ai)u = h{u) 32
1.3 Дифференциальное естественное уравнение на сфере — - (а0а + али = h(u) 37
2 Линейные дифференциальные уравнения с модельным оператором 41
2.1 Линейное уравнение с модельным оператором а. Общая схема исследования 41
2.2 Линейные уравнения с естественным дифференциальным оператором на многообразии 59
2 3 Линейное уравнение типа шредингера 77
2 4 Приложения к некоторым уравнениям волнового типа 88
3 Нелинейные дифференциальные уравнения с модельным оператором 106
3 1 Нелинейное уравнение с модельным оператором а. Общая схема исследования . 106
3 2 Нелинейные уравнения с естественным дифференциальным оператором на много образии 118
З 3 Нелинейные уравнения типа шредингера 138
3 4 Нелинейное эволюционное уравнение на сфере
(-д + 1) о ( -— - од - a j и(х, t) = eh{u) 153
3.5 Приложения к некоторым нелинейным уравнениям волнового типа 158
Литература
- Дифференциальное естественное уравнение на торе — -{a0a + ai)u = h{u)
- Дифференциальное естественное уравнение на сфере — - (а0а + али = h(u)
- Линейные уравнения с естественным дифференциальным оператором на многообразии
- Нелинейные уравнения с естественным дифференциальным оператором на много образии
Введение к работе
В диссертации рассматривается задача о периодических решениях одного класса дифференциально - операторных уравнений - уравнений, содержащих "естественный" дифференциальный оператор i(d + 8) и оператор Лапласа A = (d + 8)2, действующий в пространствах внешних дифференциальных форм на римановом многообразии X.
Вопрос о существовании периодических решений для дифференциальных уравнений, дифференциально-операторных уравнений и уравнений с частными производными привлекал внимание многих исследователей в связи с его прикладным и теоретическим значением; такие вопросы возникают в теории устойчивости упругих систем, среди задач небесной механики, теории вибрации кораблей, при описании электромагнитных волн в волноводах и в ряде других задач.
Вопрос о существовании и свойствах периодических решений для произвольных уравнений с частными производными весьма сложен и общих результатов в этом направлении практически нет Отмегим, в частности, что условие периодичности имеет нелокальный характер и задача о периодических решениях содержит в себе специфику и сложности нелокальных краевых задач. Поэтому представляют интерес детальное исследование задачи о периодических решениях для конкреіньїх уравнений, позволяющее понять природу явлений, связанных с "правильными" или "неправильными" постановками граничных задач.
Основное внимание удалено уравнениям вида {—-A)u = uh{u) (0.0.1) в пространстве дифференциальных форм на римановом многообразии X с коэффициентами, зависящими от і Є [0,6]. Здесь Л = i(d + 8) или Л = А = —(d + 8)2, d - оператор внешнего дифференцирования, 8- ею сопряженный и Д- оператор Лапласа, h(u)— оператор ( линейный или нелинейный ) на пространстве дифференциальных форм
Рассматриваемый в диссертации дифференциальный оператор d+5 на многообразиях X является объектом исследования в дифференциальной геометрии [39], теории индекса эллиптических операторов [50] и возникав г во многих уравнениях математической физики, см. [37], [66], [67], [68].
Следует отметить, что хотя исходный волновой оператор определен на пространстве функций, операторы — ±i(d + 5), полученные при его фак-торизации действуют в пространстве дифференциальных форм.
Дифференциальное естественное уравнение на торе — -{a0a + ai)u = h{u)
Рассмотрим на торе X = IP граничную задачу для нелинейного уравнения ди Си = — -{аоА + (ц)и = Ци) (1.2.1) с условием периодичности 4=0 = 4=6 (1-2.2) где h : Я - Я - нелинейный оператор на Я = L2([0,b],H()),t Є [0,Ь],ао,аі - комплексные числа. К поставленной задаче применима общая схема из теоремы 1.3. Явное описание собственных значений оператора A = i{d + 8) позволяет получить конкретные результаты. Пусть п = 1,-Х- = П1 - окружность (одномерный тор). Верна теорема Теорема 1.4. Пусть выполняется одно из следующих условий: 27Г7722 (г) Reao ф 0, а\ + аокк ф —-— V к, m Є Z; (гг) Reao = 0, Rea\ ф 0; (ггг) Reao = Rea\ = 0, Ітпаф -рациональное число, а\ + ац-кк ф —;— Vfc,meZ о Тогда А& = 0 и р = 1п/щхь\ехр(аопк + о \)Ь— 1 0. Предположим также, что оператор h удовлетворяет условию Липшица: существует вещественное число q, 0 q 1 такое, что ЦЛ(«)-ВД щ«-«, (12 3) для любых u,v Є Я.
Тогда задача (1 2.1), (1.2.2) имеет единственное решение. (Замечание. Неравенство (1 2 3) заменяется неравенством 11М«)-ОДН у11«- 0 2 4) при выполнении условия (ггг))
Доказательство. В случае тг = 1 собственные формы оператора Л = d + 5 имеют вид и{х) = ехр (±гккх)(1 ± idx), а соответствующие собственные значения есть /с7т, к Є Z, причем каждое собственное значение имеет кратность 2. Поэтому собственные значения оператора аоЛ + а\ выражаются формулой Afc = ао7гА; + аі, к Є Z, и собственные значения оператора С есть числа 27Г гш Afon = -awk - а\ + —-—, fc,ra6Z. о В этом случае множество Ль имеет вид Ль = {к I ———Ь Є Z} и число р определяется равенством Р = »п/ Ль1 ехР {аоък + сц)Ь - 1. a07rfc + аі llo условию (г) числа — о не являются целыми числами для лю бого к поэтому Ль = 0. Так как Reao ф 0 то множество чисел ехр {ацък + а\)Ъ\ = ехр (Rea\ -\- Reaonk)b образует геомеї рическую прогрессию с положительным знаменателем q = ехр Reaoirb. Так как по условию q ф 1, то число 1 не может быть предельной точкой для последовательное!и ехр(ао7Г& + а\)Ь, то есть р 0. _ аотг + oi . rt Поэтому р 0. Число о не целое число, значит Л& = ДО. 2ттг
По условию (гг) гак как Rea — 0, то ехр (ао7гА; + a\)b\ = expRea\b. В случае Rea\ ф 0 имеем expRea\b ф 1, значит ехр (аотгк + а\)Ь\ Ф 1. тому р 0. Число ; По условию {гіг) числа не являются целыми числами для любого к Є Ъ и, поэтому, Л& = 0. г Так как, по условию Reao = Rea\ = 0 и Ітаф = - - рациональное s число, то точки ехр (аотск + a\)b лежат на единичной окружности и число этих точек конечно. Поэтому, р = rm nfcgzl ехр (aoirk + a\)b - 1 0. Итак, мы доказали, что Л& = 0 и р 0.
В силу условий (1 2.3) из теоремы 1.3 делаем вывод, что задача (1 2.1), (1.2.2) имеет единственное решение. Теорема доказана. Пусть п 2,Х = Пп ( п - мерный тор). Верна теорема. Теорема 1.5. Пусть выполняется одно из следующих условий: (г) Rea0 Ф 0, ах ф ж(±а0у/к { + к\ + ... + к% - - для любых т Є Z, к = (к\,к2,...,кп) Є Ъп (гг) Reao = 0, Rea\ ф 0; Тогда Ль = {к (±а07ГлД?+А; + ... + А;2 + аі)— Є Z} = 0, Р = 1п1щ\ъ I ехр [±aoTTyJkj + к% + ... + к% + сц)Ь - 1 0.
Предположим также, что оператор h удовлетворяет условию Липшица существует вещественное число q, 0 q 1, такое, что 1Л(«)-Л(«)1 ущ«-«, (1.2.3) Ллл любых u,v Є Я. ЛЫа задача (1 2.1), (1.2.2) имеет единственное решение Доказательство. По теореме (11) собственные значения оператора А = d + 8 на торе П" имеют вид
Поэтому собственные значения оператора аоЛ+а\ выражаются формулой Ajb = ai ± a07ry к\ + к\ + f- к\, и собственные значения оператора С есть числа Ъ Множество Ль имеет вид Аьп = —т (ai ±отгуЩ. +$ + к%), Ab = {k\ (ai ± а07г /А;? + +--- + )- Є Z} и число р задается формулой Р = W J ехР (±аотгу А;2 + fcf + + А + ai)b - 1.
По условию (г) ai ф 7r(±aoy/kf Л-Щл V к% —) для любых т Є Ъ и к Є Ъп. Поэтому, множество Ль = 0. Так как Reao ф 0, то 1 не является предельной точкой множества exp (±aoTVyJkj + Щ + 1- к + а\)Ъ.
Отсюда следует, что р О. По условию (н) Reao = 0, Rea\ ф 0, откуда следует, что число ехр (±а$-Ку/к\ -\-k\-\ V к\ + а\)Ь\ равно expReaib. Оно не равно 1 для любого к Є Z"
Дифференциальное естественное уравнение на сфере — - (а0а + али = h(u)
Рассмотрим на сфере X = Sn краевую задачу ди Си = ——{UQA + а\)и = h(u) (1.3.1) и =о = 4=ь (1-3.2) где h : Я - Я - нелинейный оператор на Я = І,2([0,6],Я0()),і Є [0,6] uQ,a\ -комплексные числа, п 2.
В этом пункте основным результатом является следующая теорема. Теорема 1.6. Пусть выполняется одно из следующих условий: (г) Reao ф 0, (а\ ± аоу/к(к + п — 1))6 ф 2тгтг для любых к Є N, т Є Z (гг) і?еао = 0, Rea\ ф 0; (ггг) Reao = .Reai = 0, Ітаф -рациональное число, (±ao(fc + ) + /тої) # 2ТТ1 для всех к Є N, І Є Z. (oi ± aoy/k(k + n - 1))6 7 27ггш d/ш любых к Є N, m Є Z. Тогда Ab = 0, p= inf ехр(±а0д/&(Л: + п- l) + oi)6- 1 0. Предположим также, что оператор h удовлетворяет условию Липшица: существует вещественное число q,0 q l, так что ВД-ВД и-4 (13 3) для любых u,v Є Я тогда задача (1.3.1), (1.3.2) имеет единственное решение (Неравенство (1 3 3) можно заменить неравенством \\h{u) h{v)\\ P \\u-v\\ (13 4) при выполнении условия (ггг)).
Доказательство. Собственные значения оператора Л = d + 5 на Sn имеют вид ± /k(k + п — 1), к Є N. Поэтому собственные значения оператора а$А + ai выражаются формулой X±k — ±л/к(к + п- 1) + ai, а собственные значения оператора С имеют вид 27ГЇ771 Л±к = -{±а0у/к(к + п - 1) + сі) + —г—. А; Є N, т Є Z. о При этом, 27гг р = Infk\b\ ехр (±оод/А(А: + п - 1) + ai )Ь - 1. По условию (г) число ехр (±аоу/к(к + те - 1) + ai)6 = ехр (±йеоо\А(/г 4- те — 1) + Rea\)o равно 1 тогда и только тогда, когда
Так как это уравнение имеет не более двух целых решений, число разных точек ехр (±аоу/к(к + те — 1) + a\)b, лежащих на единичной окружности, не более двух. Очевидно, число 1 не являеіся предельной точкой для множества чисел ехр(±аоу/к(к + те — 1) + а\)Ь и значит р 0. Так как (±ао\/к(к + те - 1) + a\)b ф 2птг для любых к N, m Є Z, то Ль = 0.
Так как по условию (гг) Reao = 0 и Rea\ ф 0, то exp(±ao\/fc(fc + те — 1) + ai)6 = ехрЯеаіб ф для любого к Є N. Поэтому ехр(±аоу/к(к + п — 1) + ai)b — 1 ехрі2еаі&— 1 0. Итак, Ль = 0 и р 0. Если же выполнено условие (hi), то множество Ль = 0, так как, но этому условию (±ао\/к(к + п - 1) + а\)Ь ф 2тттг для любых чисел т Є Z, к Є N. Так как iteao = -Reai = 0, то точки ехр (±аоу/к(к + п — 1) + ai)6 = ехрг(±7гаао\А(; + п - 1) + Ima\)b лежат на единичной окружности.
При к -» оо справедливо соотношение ехрi(±Imaoyfk(k + n — 1) + Ima\)b n - 1 expz (±/mao(A; Н —) + 1та\)Ъ. Li Поскольку Ітаф - рациональное число, то число различных точек п - 1 ехрг(±1тао(к Н —) + Ima\)b конечно и эти точки отличны от единицы ввиду условия п - 1 (±1тао(к -\ —) + Іта\)Ь ф 2п1 для всех / Є Z, к Є N. Поскольку эти і очки являются предельными для величин ехр (±ао у/к(к + п — 1) + а\ )Ь, то, как легко видеть, р 0. Мы доказали, что Ль = 0 и р 0. В силу условий (13 3), из теоремы 1 3 сразу следует, что задача (13 1), (1.3 2) имеет единственное решение, что и требовалось доказать
Рассматриваемый оператор С = — — Л имеет обратный оператор С (JL и в этом случае оператор С1 ограничен. Но типичным оказывается именно тот случай, когда обратный оператор С 1 неограничен. Этот случай будет рассмотрен в следующей главе диссертации. Пусть Я - (епарабельное бесконечномерное гильбертово нроиранство над полем С, А - линейный оператор в Я. Предположим, чш операюр А есіь М -оператор и у него существует система собственных векторов {А}; к = {к\,к2,.. ,ks) Є Ъ3, образующих базис Рисса в Я. Соответствующие собственные значения обозначим А , А Є С
Будем считать, что {Д} есіь орюнормированный базис в Я, А - со при \к\ = yjk\ + к\ + ... + к] - со и для каждого значения \к\ имееі ся не более двух разных значений Л . Кроме того, собственные вектора fk могут повторяться конечное число раз при фиксированном к, і о есть fk = fk-y могут зависеть от дополнительного параметра (или нескольких параметров), пробегающего конечное множество значений при любом фиксированном к. Поскольку это не имеет принципиального значения, мы не будем ниже указывать зависимость fk от возможных дополнительных параметров.
Рассмотрим задачу о периодических решениях для уравнения (jjt+A-\"ju(t) = uG(u-f)1 (2.1.1) с условием периодичности по t : u\t=0 = u\t=b. (2.1.2)
Здесь G - непрерывный линейный оператор на пространстве Н, f = f(t) Є 2((0, b),H) - фиксированная функция, X,v - заданные числа.
Как обычно, заменой t = Ьт наша задача сводится к задаче с фиксированным, равным единице, периодом, но для нового уравнения, в котором коэффициент при производной по г есть — : о (; +1 Л) и{Ьт) = uG{u{bT)" /(Ьг)) Пусть V(L)- подпространство пространства L2QO, 1],#), (чхтоящее из таких элементов, у которых при разложении в ряд u=Y,Mt)fk, (2 1.3) kZs коэффициент Uk{t) абсолютно непрерывны, удовлетворяют условию периодичности u (0) = itjfe(l) и выполнены условия
Линейные уравнения с естественным дифференциальным оператором на многообразии
1. Рассмотрим сначала простейший случай, когда многообразие X является окружностью- X = П = M/(2Z). Исследуем задачу о периодических решениях для уравнения (j(jt + аА) - \\ и(х,t) = vG{u- /), (2.2.1) с условием периодичности по t: 4=о = 4=ь» (2-2 2) Заменой t = Ьт наша задача сводится к задаче с фиксированным периодом, но для нового уравнения, в котором коэффициент при производной 1 по г есть - : о Итак, задача (2.2.1), (2.2.2) сводится к задаче о периодических решениях для уравнения (L - Х)и ==7i( А + аА) - \\ и{х, t) = uG{u - /), (2 2 3) с фиксированным условием периодичности по t 4=о = 4=ь (2 2 4) где i{x,t)= (l dx ) I uo{x,t) \ ( uQ(x,t) u{x,t) = I 1 dx I I = ui{x,t) ) \ ui(x,t) - комплексная форма на окружности с коэффициентами, зависящими от , t Є [0,1]; а ф 0,A,f - заданные числа, f(x,t) - заданная форма, п V 9ю{х,у) 9п(х,у) J У щ(у,t) есть интегральный оператор на пространстве #() с гладким ядром , v ( 9оо{х,у) 9ог{х,у) д{х,у) = \ gw(x,y) дп(х,у) Заметим, что задача (2.2.3), (2.2.4) может рассматриваться как "плос кая"задача, определенная при х Є Ш, но с дополнительным условием периодичности u(t,x + 2) = u(t,x) по пространственной переменной. Считаем, что операция -(ттг + аА) = тт-тг + a(d+ 5) задана на про г bat toot странстве форм и(х, t) Є С([0,1],С()), таких, что u\t=o = u\t=i.
Обозначим через L - замыкание операции — — + a(d + 8) в 2((0, l],#(f)) Итак, элемент и Є г([0,1],#()) принадлежит обла-сти определения V(L) оператора L = -(тої + аА) ) если сущесівует последовательность {и3} С ([0,1),6100 )) Ujt=o = uj\t=i іакая, чю lim щ = и, HmLuj=Lu в L2([0,1],#()).
Лемма 2.6. Фо/мш ekmj = el2nTntfkl, A7 = - et7r7fcc(l +7Mfo), /г,т Є Z, 7 = іі есть собственные формы оператора L с соответствующими собственными значениями 2т717Г Afon = —; Ь Afc, Afc = 7гаА; (2.2 5) о «а npocmpawrnee 2((0,1],#()). Эти формы образуют ортонормиро-ванный базис в указанном пространстве. Область определения оператора L есть V(L) - { U = 22 Ukm km-) /_, hmV-kmr 00 }. Спектр cr(L) оператора L есть замыкание множества {Хкт} Лемма 2.7. Пусть д{х,у) Є 2(П х П) и М0 = Ы2=Ц J \\g(x,y)\\2dxdy .
Тогда G - ограниченный линейный оператор на #() и его норма \\G\\ Mo. Здесь \\g(x,y)\\ - операторная норма матрицы , ч ( 9оо{х,у) 9oi{x,y) 9 = 9(х,у)=[ \ 9ю{х,у) 9u{x,y) \\g\\ = suP{ \\gu\\ \иЄШ2, \\u\\ 1 } . Доказательство. Имеем при u(x) Є #() \\Gu(x)\\2 = \\ j\(x,y)u(y)dy\\2 ( Mx,y)u(y)\\dy") (J M ,v)\\ ll«(y)dy) f \\g(x,y)\\3dy f \Hy)\\2dy, \\Gu\\2 = [ \\Gu{x)\\2dx Jo at /-2 \\g(x,y)\\2dy J u(y)2dy) cfa, HG«II2 Г f \\9{x,y)\\2dxdy f \\u{y)\\2dydt M2\\u\t Jo Jo Jo \\G\\ M0. Лемма доказана.
Рассмотрим оператор Ви = ихх. Тогда В есть М -оператор на Я() и Bfk-y = Hklk-y, где собсівенньїе значения /ik = —к2к2. Очевидно, композиция BoG является иніегральньш оператором Gxx с ядром gxx{x,y) = {{gu)xx{x,y)),i,j = ОТТ. Положим М = max{Gxx,G} Применяя общую лемму 2 2, получим, что справедлива следующая Лемма 2.8. Пусть v = Gu = Yl Ufon7e&m7, тогда , 4М2ЦЦ2 S(7r2A;2 + l)2 l bj Более того, при к Ф О 2 4Q!fcm7 ) —ІП \ vkm-y — (7,-211.12 і i\2 akm — \bxxW, ekm-y/ Мы предположим что, о, А- вещественные числа. Тогда по лемме 2.6 спектр a(L) оператора L лежит на вещественной оси Возможны следующие случаи. 1) ab/2 - рациональное число. В этом случае a(L) = {Afcm} и это множество дискретно. Поэтому, если А ф Xkm Vfc, т Є Z, то существует ограниченный обратный оператор (L — А)-1 и норма этого оператора оценивается через расстояние от А до спектра. Заметим, что множество рациональных чисел имеет меру нуль и такой случай исключительный. 2) ab/2 - иррациональное число Это типичный случай.
В этом случае, множество чисел А&т всюду плотно на вещественной оси и a(L) = R. Теперь мы также предположим, что А ф Xkm V/г, т Є Z, тогда определен обратный оператор (L — А)-1, но эгот оператор не ограничен
Нелинейные уравнения с естественным дифференциальным оператором на много образии
1. На сфере X = Sn, п 2 рассмотрим задачу о периодических решениях для уравнения ( \{— + аА) - А ) и{х,t)=eGoh{u), (3.2.1) \г ot J с условием периодичности по t : «t=0 = u\t=b, (3.2.2) где и(х, t) - комплексная форма на сфере с коэффициентами, зависящими от t Є [0, b]; а ф О, A, v - заданные числа , г2 = -1.
Здесь G - интегральный оператор с тензорным ядром д(х, у). Напомним ( см. 2.2, п. 2 ), что при фиксированных х,у Є Sn д{х,у) является линейным отображением слоя AT (Sn) в слой AT (Sn), Gu{x, t) = [д(х, у), и(у, t)) dy Jsn (dy-мера, Лебега-Хаусдорфа на сфере Sn ). Считаем, что операция -(-г- + аА) задана на пространстве диффе г ot ренциальных форм u(x,t) Є ( ([0,6),000 )), таких, что его элементы удовлетворяют условию u\t=o = u\t=b Неограниченный операюр -(—+аА) на пространстве L2QO, Ь],Н()) С С/6 1 Q является замыканием операции -(- - + аА) (см 2 2). Следующая лемма аналогична Лемме 2 9. Лемма 3.3. Собственные значения оператора L на гильбертовом пространстве Z/2([0,6],Я()) имеют вид . 2т7г і — 2ш7г Чт = —г- + sign(k) а у/\к\[\к\ + п-1) = —— + Хк, о о 118
Здесь Afc = sign(k) a \/\k\(\k\ + n — 1), k, m Є Z. Соответствующие собственные формы екэт = et27Tmt/bfkj{х), j Є Л/с = {1,2, — ,Jfc} (здесь /fcj Є Я() - ортонормированный базис, состоящий из собственных форм естественного дифференциального оператора i(d + 5) на сфере) образуют ортонормированный базис в Ьг([0,Ь],Я()). Область определения оператора L есть V(L) = {» = eL2([0,b],H(i)) I A,m m2 oo}. Заметим что оператор Лапласа А = — (d + 5)2 является формально самосопряженным относительно скалярного произведения (и, v) = / (u(x),v{x))dx Jsn на пространстве С(). Произведение Ах о G = AXG есть интегральный оператор с ядром Ахд(х, у). Положим М = max{\\AxG\\,\\G\\}. Имеем оценку ( Лемма 2 10) \\G\\2 M%= { j \\g(x,y)\\2dxdy. JSn Jsn Лемма 3.4. Пусть v = Gu = Y vkjm kjmi тогда . .о AM2 .. .., К-І (fc(ni + n_i) + i).IMI При этом, если к ф 0, то ,%т2 - (Л(Л + п- 1) + 1)2 (3-2 3) о Доказательство Нужно лишь применить Лемму 3.2 с операюром 5 = где а.к]т = (AxGu,ekjm) = / ( xGu,ekjm)dt. Да:, для которою Bfkj = ukfk], где собственные значения (ik = -\к\(\к\ + п-1) Jo
Предположим, что параметры а, А - вещественны. Тогда по лемме 3.3 спектр a(L) оператора L лежит на вещественной оси. Заметим, что ton 2тж/Ь + si9n(k)a\/\k\(\k\ + п - 1) = 1 к-+оо 2ттг/Ь+ ак
Рассмотрим типичный случай, когда число а6/(27г) - иррационально. В этом случае, как это следует из предельного соотношения (3.2.4) и теоремы Вейля, множество чисел Afcm всюду плотно на вещественной оси и значит a(L) — Ж. Теперь мы также допустим, что А Ф Хктп Vfc, m Є Z, тогда определен обратный оператор (L—А)-1, но этот оператор не ограничен. В выражении для обратного оператора (L — А)"1 появляются малые знаменатели. (L-X)-lv(x,t)= T rekjm, (3 2 5) к,тЄІ,3ЄІкЛкт Л где Vkjm есть коэффициенты Фурье ряда V{X,t) = у vkjmekjm k,meZ, jeJfc
Для положительных чисел а и С через Аа(С) обозначим множество таких положительных чисел b, для которых при всех целых тп и к выполнено неравенство 2fn,7T С Аы - А = — + 8ідп(к)ау/\к\(\к\ + п-1) - А цц + 1)1+а- (3-2 6) Через Аа обозначим объединение по С 0 множеств Аа(С) По іеоре-ме 2 9 множества Аа(С), Аа - борелевские и Аа является множесівом полной меры (и первой каїегории). Пусть d = min ±a\/fc(fc + ті - 1) -А, к Є Z.
Теорема 3.4. Пусть оператор L задан выражением (3 2.1) и b Є Аа{С) при некотором о, удовлетворяющем условию 0 а 1. Тогда, если G есть интегральный оператор па пространстве 1/2([0,&],Я0()) с ядром 120 д{х,у) класса С2 , то оператор (L — А) 1 oG ограничен и для его нормы имеет место оценка \\(L-X)-loG\\ M (3.2.7) где 4(\k\ + 1)2+2а M = max{\\AxoG\l\\G\\}, A = sup 6z (1 1(1 1+ " -1) + I)2" Доказательство. Достаточно применить Теорему 3.1 с оператором В = Ах. Заметим, что при условии 0 а 1 (fe + l)2+2g (fej + 1)2+2 IfcHoo (Ы +1)2 «іїоо(А;(А; + п-1) + 1)2 а при условии а = 1 (Ц + 1) »= (И + 1)»» = IfcHoo ( fci + l)2 fcHoo(fc(fc + Tl-l) + l)2 Поэтому (\k\ + 1)2+2" - = SUP /її i/ii і 7 ТТо + kez (\k\(\k\ + п - 1) + 1)2
