Введение к работе
Актуальность работы
Распространение тепла в различных средах оказывает большое влияние на характер протекания многих важных для практики процессов. Поэтому изучению вопросов, связанных с распространением тепла, посвящено огромное количество работ, как физических, так и математических.
Среди задач, связанных с распространением тепла, выделяется важный класс задач, в которых исследуемое вещество претерпевает превращения, в результате чего оно переходит из одной фазы в другую с выделением или поглощением тепла. Подобные задачи (они называются задачами типа Стефана) возникают в случаях плавления и затвердевания вещества.
Существенной чертой таких задач является наличие движущейся поверхности раздела между двумя фазами (жидкой и твердой), причем закон движения этой поверхности заранее неизвестен и его следует определять. Именно на этой поверхности происходит поглощение или выделение тепла, связанное с фазовым переходом. Термические свойства фаз по обе стороны движущейся поверхности могут оказаться различными. Задачи этого класса заметно сложнее тех, в которых отсутствует переход вещества из одной фазы в другую.
Важной и интересной задачей такого класса, которой посвящена настоящая работа, является задача оптимального управления процессом кристаллизации металла в литейном деле.
Актуальность представленной работы обусловлена как практической востребованностью математического моделирования процесса кристаллизации для объекта со сложной геометрией, так и необходимостью разработки методологии численного решения задачи оптимального управления этим процессом, что вносит вклад в теорию оптимизации сложными динамическими системами.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является создание адекватной математической модели процесса кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией, разработка методологии и алгоритма численного решения задач оптимального управления этим процессом, и реализация этой методологии и алгоритма в виде комплекса программ.
Практическая ценность работы
Возникающие практические задачи требуют не только описания и изучения процесса кристаллизации металла, но и оптимального управления этим процессом, т.к. это позволяет улучшить качество получаемых изделий. В настоящей работе исследуется процесс остывания жидкого металла в литейной форме, имеющей сложную структуру. Остывание объекта происходит в специальной установке, которая позволяет управлять этим процессом. Объекты и установки, подобные рассматриваемым в работе, используются в авиационной промышленности.
Научная новизна работы
Задача оптимального управления процессом кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией, рассматриваемая в работе, актуальна, интересна и до сих пор нигде не рассматривалась. Все полученные результаты являются новыми. Кроме того, решение сложных задач, подобных рассматриваемой в диссертации, обогащает общую теорию оптимального управления сложными динамическими системами.
На защиту выносятся:
— Разработанная математическая модель процесса кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией.
— Разработанные численные методы решения задачи расчета температурного поля для объекта со сложной геометрией (прямой задачи).
— Формулировка задачи оптимального управления процессом кристаллизации для объекта со сложной геометрией и разработанный эффективный алгоритм для её численного решения.
— Два программных комплекса, первый из которых реализует указанные численные алгоритмы, а второй позволяет визуализировать результаты решения прямых задач и задач оптимального управления.
Апробация работы
Результаты, полученные в диссертации, докладывались на 23-й международной конференции по исследованию операций (EURO XXIII) (Бонн, Германия, 2009); на международной конференции “Optimization and applications (OPTIMA 2009)” (Петровац, Черногория, 2009); на международной конференции “Моделирование-2010” (Киев, Украина, 2010); на международной конференции “MODELARE MATEMATIC, OPTIMIZARE I TEHNOLOGII INFORMAIONALE ” (Кишинев, Молдова, 2010); на 4-й европейской конференции по вычислительной механике (ECCM 2010) (Париж, Франция, 2010); на семинаре кафедры высшей математики МФТИ под рук. Половинкина Е.С. (Москва, 2010); на 53-й научной конференции МФТИ “Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук” (Москва, 2010); на семинаре “Методы оптимизации” под рук. Ф.П. Васильева (факультет ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова)(Москва, 2011); на семинаре отдела прикладных проблем оптимизации ВЦ РАН (Москва, 2011); на международной конференции по исследованию операций (OR 2011) (Цюрих, Швейцария, 2011).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе две [8,9] – в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.
Личный вклад автора
Подобная задача оптимального управления для объекта простейшей формы (параллелепипеда) рассматривалась ранее коллективом, в котором работает автор. В работах с соавторами личный вклад соискателя состоит в разработке математической модели, алгоритмов численного решения прямой задачи и задачи оптимального управления (в том числе вывод сопряженной задачи и формулы для вычисления градиента целевого функционала на основе методологии быстрого автоматического дифференцирования) для объекта сложной конфигурации, который представляет практический интерес. Для реализации этих алгоритмов автором был разработан и отлажен комплекс программ. Также автором создан комплекс программ для визуализации результатов расчетов задач, описывающих сложные динамические процессы.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации – 111 страниц. Список использованных источников содержит 62 наименования.
