Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель страхования при немонотонной деградации 13
1.1 Постановка задачи 13
1.2 Модель деградации в виде процесса регенерации 16
1.3 Кусочно-монотонная полумарковская модель 23
1.3 Начало страхования при деградации диффузионного вида . 33
Глава 2. Модель профилактики 45
2.1 Постановка задачи 45
2.2 Модель деградации в виде процесса регенерации 48
2.3 Диффузионная полумарковская модель деградации 51
Глава 3. Винеровский процесс в качестве модели деградации 60
3.1 Решение дифференциальных уравнений в случае винеровского процесса 60
3.2 Винеровская модель при наличии предсказуемых отказов . 62
3.3 Винеровская модель без предсказуемых отказов 67
3.4 Винеровская модель со сносом в виде модели деградации . 69
3.5 Геометрический винеровский процесс в качестве опасности отказа 81
3.6 Интерпретация винеровской модели для задач страхования и профилактики 86
Заключение 93
Литература 97
- Модель деградации в виде процесса регенерации
- Кусочно-монотонная полумарковская модель
- Модель деградации в виде процесса регенерации
- Винеровская модель при наличии предсказуемых отказов
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации проводится исследование математических моделей эксплуатации технических объектов на примере задач надежности и риска. Моделируются следующие объекты:
процесс деградации технической системы;
страхование невосстанавливаемой технической системы, отличающееся тем, что в качестве процесса деградации технической системы рассматривается случайный процесс;
длительное функционирования восстанавливаемой технической системы с профилактическим обслуживанием, отличающееся тем, что в качестве процесса деградации технической системы рассматривается случайный процесс.
Модели В) и С) обычно приводят к необходимости решения различных задач оптимизации. В области страхования наиболее полно исследован класс задач, связанный с оптимизацией поведения страховщика. Решением этих задач занимались многие выдающиеся математики, начиная с Крамера и Лундберга. В качестве примера работ, рассматривающих оптимальное поведение клиента, можно привести работу Норберга [7]. В диссертации исследуется модель страхования и связанный с ней функционал цели, учитывающий интересы клиента.
С точки зрения математического метода исследования задача о выборе оптимального режима отключений на профилактический ремонт оказалась близка к задаче страхования. Проблемы профилактики в модели с детерминированным неубывающим процессом деградации впервые были затронуты в работах Р. Барлоу и Ф. Прошана, которые исследовали ставшую теперь классической задачу о нахождении оптимального режима профилактики, приводящую к фиксированному графику остановок на профилактический ремонт. Ситуация со случайной неубывающей деградацией была рассмотрена Б. П. Харламовым, который высказал предположение, что оптимальные режимы профилактики при монотонной и немонотонной деградации не отличаются друг от друга. В диссертации на основании предложенной модели обслуживания технической системы рассматривается задача оптимизации правила профилактических остановок на ремонт для немонотонных случайных процессов деградации. Показано, что предположение Харламова в общем случае не выполняется.
В последнее время в связи с проблемой ускоренных испытаний на надежность появилось большое число работ по исследованию связи опасности отказа со степенью износа (деградацией). В частности, в этом направлении работают такие исследователи, как Леманн [6], Ди Крещенцо, Мартинуччи [5] и др. Сформулировано несколько моделей такой связи в работах [2-4]. В диссертации используется одна из таких моделей (модель Кокса), в которой опасность отказа является положительной неубывающей функцией от степени деградации. В этом отношении диссертация близка к работам Аалена и Гжессинга [1], где рассматриваются марковские диффузионные процессы в качестве модели деградации.
Из вышесказанного можно заключить, что исследование математических моделей, рассматриваемых в диссертации, актуально с точки зрения технических приложений и принадлежит к развивающейся области математики.
Цель работы заключается в построении и проведении исследования перечисленных выше моделей деградации, страхования и профилактического обслуживания. Для моделей страхования и профилактики была поставлена задача определить моменты остановки данных немонотонных случайных процессов деградации (процессов регенерации и диффузионных процессов), оптимальные относительно полученных нелинейных функционалов цели. В частности, необходимо было для каждого из рассматриваемых процессов произвести разделение пространства параметров процесса деградации и технической системы на области, соответствующие возможным решениям следующей альтернативы: или оптимальное решение существует и равно моменту первого достижения заданного уровня, или оптимального решения в области конечных марковских моментов не существует.
Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы математического моделирования, математического анализа, дифференциальных уравнений и теории вероятностей.
Научная новизна. В работе была впервые построена математическая модель процесса деградации в виде непрерывного немонотонного полумарковского процесса. Были впервые построены и изучены модели страхования невосстанавливаемых систем и профилактики восстанавливаемых си-
стем при условии немонотонного случайного процесса деградации. В задаче оптимального выбора момента остановки процесса деградации была впервые установлена альтернатива выбора в ситуации, когда оптимальный уровень может многократно пересекаться процессом деградации. Впервые были получены определяющие функции (функции, от знака которых зависит вид решения) для рассматриваемых процессов в аналитическом виде и численно найдены разбиения пространства параметров технической системы и процесса деградации на две области, соответствующие двум решениям альтернативы.
Практическая и теоретическая ценность. В рамках принятых моделей полученные результаты позволяют сводить к минимуму объём вычислений в процедуре принятия решения о выборе момента остановки процесса деградации. В зависимости от параметров модели в случае страхования нужно или заключать страховой договор в момент первого выполнения необходимого условия оптимальности — достижение процессом некоторого вычисленного уровня, или не заключать его совсем, а в случае профилактики нужно или производить отключение на профилактику в момент первого выполнения необходимого условия оптимальности, или продолжать работу системы до её отказа. Теоретическую ценность могут представить ряд теорем и формул, полученных в диссертации.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории методов анализа надежности ИПМаш РАН, а также на следующих конференциях и школах: Международной научной школе "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (Санкт-Петербург, 4-8 июля 2006, 24-28 июня 2008); VI международной конференции "Математические методы в теории надежности. Теория. Методы. Приложения." (Москва, 22-29 июня 2009).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах [9-14].
Организация текста и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы из 21 наименования, изложена на 99 страницах, включает 27 иллюстраций.
Модель деградации в виде процесса регенерации
Необходимым условием оптимальности момента г относительно функционала EfT является соотношение [12] при h(x) = х что следует из формулы (0.1). Ясно, что для непрерывного монотонного процесса марковский момент с таким свойством определяется единственным образом. Это момент первого достижения уровня Ъ = v/W. В диссертации рассматривается немонотонный процесс опасности отказа, для которого выполнение условия (1.3) не означает, что момент первого достижения оптимальный. Изучим немонотонный процесс Xti t О частного вида, который представляет собой кусочно-непрерывный процесс регенерации, непрерывный справа в точках разрыва, с моментами первого выхода из интервала (0, с) в качестве моментов регенерации и с возвращениями в точку 0 в момент регенерации. Траектория данного процесса состоит из последовательности отрезков непрерывных неубывающих процессов со значениями из интервала [0, с), с 0. Данный процесс определяется последовательностью независимых и одинаково распределенных случайных процессов (Х&()) , к = 1,2,..., причем для процесса Х выполняется Х (0) = 0, и этот процесс является неубывающим непрерывным процессом, заданным на интервале [0,7), где Т - момент первого достижения процессом уровня с, с 0. Предполагается, что Р(0 Tk со) = 1. Отсюда следует, что случайная величина т = ]Г) 1} ко- г=1 нечна и стремится к бесконечности с вероятностью 1 при к — со, и поэтому однозначно определен процесс где ІА(І) — индикаторная функция множества А, который называется процессом регенерации и для которого моменты rcfc являются моментами регенерации, при этом X (rcfc) = 0, X (т - 0) = с. Такой процесс полностью определяется распределением отрезка траектории до момента первого возвращения на уровень 0, а далее используется марковское свойство процесса относительно этого момента. Обозначим распределение этого процесса как Л). Процесс такого вида встречается в реальной жизни: момент регенерации при достижении процессом некоторого уровня соответствует замене элемента, за степенью износа которого ведется наблюдение [14].
Он бесконечно много раз пересекает снизу вверх любой уровень b Є (0, с). Пусть т — к-й момент достижения уровня Ъ. При этом т — марковский момент и Х(т) = b для всех траекторий процесса, т. е. выполняется условие (1.3). Согласно данному определению процесс X(t) непрерывен справа в точках разрыва. Следовательно, к нему можно применить все определения, относящиеся к пространству Скорохода 5) функций : [0, оо) — Ж. = (—оо, оо) непрерывных справа на [0, со) и имеющих пределы слева на (0, оо). На этом пространстве для любого t 0 определен оператор сдвига 0t : V — , @t(,)(s) — (s + )) и Два оператора первого выхода: для любого Act В частности, 7 = сг(о,ь)5 0 6 с, на множестве траекторий, для которых X(t) 0 для любых достаточно малых t 0. Обозначим Т1+Т2 = т\ + 7 о вТ1, т\ оо, где Т{ — марковские моменты; ЄСЛИ Т\ = ОО, ТО Т1+Т2 = оо. Рассмотрим функционал (1.1) (средние потери клиента) для марковского момента т = r6fc. То, что это момент к-го достижения процессом уровня Ъ Є (0, с), означает, что до данного момента процесс к — 1 раз прошел цикл регенерации, поэтому
Кусочно-монотонная полумарковская модель
Вывод относительно возрастания или убывания последовательности (Fk) сделан на основании теоремы из [8]: Теорема 2: Пусть Xt — полумарковский процесс общего вида, определяемый согласованным семейством вероятностных мер Рх; (тк) — неубывающая последовательность простых точек локального минимума функции потерь такая, что XTk = b и тк = Tk-vYot-k, где ак — марковский момент со свойством Хак = Ъ па миоэюестве ак со и такой, что относительно этого момента процесс Xt обладает марковским свойством. Пусть Gk{b) — определяющая функция последовательности (FTk(x)): то есть разность двух последовательных значений функции потерь представима в виде FTk(x) — FTfcl(a:) = ipkGk(b): где фк — положительная функция и знак mo есть допустимая смесь простых моментов достижения уровня Ъ не может уменьшить функцию потерь по сравнению со значением, реализуемым на простых моментах. Здесь () — фильтрация (возрастающая последовательность сигма-алгебр), порожденная значениями процесса (Xt), Зу — сигма-алгебра событий, предшествующих марковскому моменту т.
Полумарковские процессы подробно изучены в работе [11]. Когда мы имеем дело с полумарковским процессом, функционалы /&, дь, /с, дс можно преобразовать. Поскольку монотонный полумарковский процесс является обращенным процессом с независимыми положительными приращениями, то для него справедливо разложение Леви—Хинчина [9]: где /?(А, х) = Ха(х) + /о (1 — exp(—\u))v(du\ х); а(х) — интегрируемая неотрицательная функция; v{du\ х) — интегрируемое семейство мер на интервале (О, со). Тогда, согласно теореме [12], при h(x) = х (0 х с) имеем где (3(x) = (3(x,x). Заменив в этих формулах с на 6, получаем выражения для fb и дь. Если на интервалах монотонности в качестве нолумарковского рассмотреть где S — параметр формы и j — параметр масштаба. Подставив с вместо &, выводим выражения для /с и дс. Проверка модели Обращенный гамма процесс в качестве модели износа нашел подтверждение на практике. Лаборатория трения и износа ИПМаш РАН предоставила данные по изнашиванию материалов (разные грани сапфиров, медь). Данные имеют вид таблицы, в одном столбце которой находятся моменты времени, в которые производились измерения, в другом — приращения износа за эти моменты времени. Была выдвинута гипотеза о том, что процесс износа является обращенным гамма процессом (частный случай непрерывного монотонного полумарковского процесса).
При этом величина приращения времени, соответствующая фиксированной величине износа, подчиняется гамма распределению. Для проверки гипотезы был использован стандартный критерий Пирсона. С этой целью была составлена программа в среде Delphi. Программа считывает данные из файла, обрабатывает их, вычисляя общий износ и разбивая все данные по износу на равные промежутки. Затем вычисляются моменты времени, к которым были накоплены соответствующие равные между собой величины износа. Здесь возникает ситуация, когда для полученного уровня износа, возможно, не найдется табличного значения по времени, так как новые уровни износа могут не совпадать со значениями износа в таблице. Поэтому моменты времени, соответствующие этим уровням износа, были найдены с помощью линейной интерполяции. После того, как получена новая таблица данных по времени и износу, первичная обработка завершена. Проводится она для того, чтобы впоследствии все промежутки вносили в статистику равнозначный вклад.
Модель деградации в виде процесса регенерации
Уравнению (1.8) удовлетворяют дь-г(х), Ъ — г х, с граничными условиями дь-г{Ь — г) = 0, дь-г(оо) ограничено и дь(х), х Ь, с граничными условиями дь(Ь) — 0 и дь(—оо) ограничено (последнее условие будет далее уточнено).
Далее будут рассматриваться диффузионные процессы однородные по пространству. Это значит, что коэффициенты а(х) и 6(А, х) не зависят от ж. Даже в этом случае уравнения (1.7), (1.8) можно решить далеко не для всех сочетаний коэффициентов 6(A) и h(x).
Заметим, что в том случае, когда рассматриваемый процесс износа является винеровским процессом (однородным в пространстве и во времени марковским диффузионным процессом), выведенные уравнения также справедливы, так как такой процесс представляет собой частный случай полумарковского процесса диффузионного типа. В этом случае 6(A) = jiX при некотором 7i 0, а уравнения (1.7), (1.8) могут быть получены как следствия из формулы Фейнмана-Каца, которая, однако, не применима для немарковского процесса.
В Главе 3 диссертации разобраны случаи, когда 6(A) = А (винеровский процесс) с опасностью отказа h(x) = тах(є,гс), є 0, и h(x) = ехр((3х), (З 0. Поддаются анализу также варианты полумарковских процессов с параметрами вида 6(A) = 1п(А + 1) (винеровский процесс с заменой времени с помощью гамма процесса) и 6(A) = \/Х + 1 — 1 (винеровский процесс с заменой времени с помощью процесса максимумов). Для этих процессов функции h(x) выбраны так, что b(h(x)) = х при х 0. Полумарковская модель деградации реалистичнее винеровской, но приводит к более сложным вычислениям.
Рассмотрим задачу профилактики для некоторой технической системы. Процесс функционирования системы состоит из периодов работы и периодов ремонта. После ремонта система становится как новая. Ремонт может быть вызван отказом системы или быть запланированным (профилактический ремонт). Профилактический ремонт начинается в некоторый момент, подлежащий определению. Правило, по которому выбирается этот момент, является объектом оптимизации. Критерием оптимизации может быть коэффициент готовности системы или какой-либо другой функционал, зависящий от неодинаковой оценки потерь от простоя системы в результате отказа и простоя, явившегося следствием отключения на профилактику.
Подобная система с точки зрения надежности описывается процессом регенерации, порожденным последовательностью независимых и одинаково распределенных четверок (Хп, (,n,Tn,wn), п = 1,оо. Элементы каждой четверки зависимы в совокупности. Здесь (Xn(t)) (t 0) — одномерный случайный процесс, фактически рассматриваемый на случайном интервале [0, п Л тп) и интерпретируемый как степень деградации системы в n-том цикле регенерации; п — случайный момент отказа, связанный с процессом Хп через опасность отказа h(Xn) 0, где h(x), а; 6 1, - неубывающая положительная функция; тп — момент отключения на профилактический ремонт, являющийся марковским моментом; wn — случайная длительность простоя системы в результате ремонта после отказа или профилактического обслуживания.
Таким образом, Тп = п Л тп + wn — длительность n-го цикла регеиерации; (Тп) — последовательность независимых и одинаково распределенных соответствующий процесс восстановления. Один период регенерации (цикл) начинается с периода работы, в течение которого происходит деградация системы, и заканчивается периодом простоя в результате ремонта после отказа или профилактического обслуживания. Пусть в течение одного цикла система терпит потери
Винеровская модель при наличии предсказуемых отказов
В качестве модели деградации (модель А) рассматривается непрерывный полумарковский процесс [11]. Первой рассмотренной моделью немонотонной деградации является процесс регенерации кусочно-монотонного типа, где каждый цикл регенерации представляет собой монотонный обращенный гамма процесс. Модель деградации в виде обращенного гамма процесса прошла статистическую проверку по материалам лаборатории трения и износа ИП-Маш РАН. Второй рассмотренной моделью немонотонной деградации является процесс регенерации, где каждый цикл регенерации представлен возрастающей линейной функцией случайного наклона. Эта модель используется в медицине, где регенерация интерпретируется как результат временного улучшения состояния пациента после некоторой лечебной процедуры (см. Багдо-навичюс и Никулин). Третьей рассмотренной моделью немонотонной деградации является полумарковский процесс диффузионного типа. Этот процесс используется в финансовой математике. При анализе технической системы диффузионная составляющая процесса деградации обычно понимается как статистический шум, вызванный ошибками измерения или неконтролируемыми внутренними причинами развития.
Задачи страхования, связанные с моделью В, в последнее время получили широкое распространение. На русском языке современное состояние математической теории страхования достаточно полно отражено в работе [4]. В области страхования лучше всего исследован класс задач, связанный с оптимизацией поведения страховщика. Решением этих задач занимались многие выдающиеся математики, начиная с Крамера и Лундберга. В качестве примера работ, рассматривающих оптимальное поведение клиента, можно привести работу Норберга [21], в которой, в частности, исследуется случай, когда клиенту предоставляется право выбора оптимального с его точки зрения условия страхования. В диссертации исследуется модель страхования и связанный с ней функционал цели, учитывающий интересы клиента.
С точки зрения математического метода исследования задача о выборе оптимального режима отключений на профилактический ремонт (модель С) оказалась близка к задаче страхования. Проблемы профилактики в модели с детерминированным неубывающим процессом деградации впервые были затронуты в работах Р. Барлоу и Ф. Прошана [1], которые исследовали ставшую теперь классической задачу о нахождении оптимального режима профилактики, приводящую к фиксированному графику остановок на профилактический ремонт. Ситуация со случайной неубывающей деградацией была рассмотрена Б. П. Харламовым [10], который высказал предположение, что оптимальные режимы профилактики при монотонной и немонотонной деградации не отличаются друг от друга. В диссертации на основании предложенной модели обслуживания технической системы рассматривается задача оптимизации правила профилактических остановок на ремонт для немонотонных случайных процессов деградации. Показано, что предположение Харламова в общем случае не выполняется, но подтверждается для диффузионных процессов деградации с положительным сносом.
Цель работы заключается в построении и проведении исследования перечисленных выше моделей деградации, страхования и профилактического обслуживания. Для моделей страхования и профилактики была поставлена задача определить моменты остановки данных немонотонных случайных процессов деградации (процессов регенерации и диффузионных процессов), оптимальные относительно полученных функционалов цели. В частности, необходимо было для каждого из рассматриваемых процессов произвести разделение пространства параметров процесса деградации и технической системы на области, соответствующие возможным решениям следующей альтернативы: или оптимальное решение существует и равно моменту первого достижения заданного уровня, или оптимального решения в области конечных марковских моментов не существует.
