Введение к работе
Актуальность темы исследования
В настоящее время активно развиваются актуарные исследования по анализу рисков в страховании. Предложено много моделей, одной из таких моделей является Модель Уилки. В частности, для описания соответствующих моделей используются временные ряды, стохастические дифференциальные уравнения, статистическое моделирование и другие.
Актуарные расчеты - это система расчетных методов, построенных на математических и статистических закономерностях. Они являются основой для регламентации страховых отношений между страховщиком и страхователями, для расчета тарифов по любому виду страхования, для определения доли участия каждого страхователя в формировании страхового фонда, для определения и анализа расходов на страхование конкретного объекта, себестоимости страховой услуги.
Ряд широко известных приложений использует подход, позволяющий применять теорию марковских процессов для моделирования ситуации как поведение системы со многими состояниями. Примерами могут служить задачи, связанные со всевозможными системами массового обслуживания, задачи о рекламе, задачи надежности, а также различные приложения к биологии, химии, физике и т.п. Широкое применение этот подход получил и в актуарной практике, когда модель многих состояний используется для описания состояния застрахованного лица.
При математическом моделировании на основе марковских процессов возникают две взаимно противоположные задачи. Прямая задача состоит в расчете вероятностей соответствующих состояний и другие характеристики процесса. Параметры модели при этом предполагаются известными. Обратная задача состоит в определении параметров модели на основе известных из эксперимента результирующих характеристик процессов.
В марковской модели исходные параметры - это интенсивности, или силы, перехода из состояния в состояние. Когда речь идет о страховых моделях, то эти интенсивности заранее, как правило, неизвестны.
Если методы решения прямых задач хорошо известны, то тематика, связанная с обратными задачами для марковских моделей, начала развиваться только в последние годы.
В задачах медицинского страхования интенсивности переходов - это количество заболевающих, требующих медицинского обслуживания того или иного уровня, количество выздоравливающих, количество умерших в ту или иную единицу времени. В результате решения обратных задач медицинского страхования, как правило, находят интервалы возможных значений для искомых параметров. Величина интервала характеризует уровень изменения интенсивности переходов, оставляющих неизменным некоторые характеристики качества процесса, например, неизменность величины страховых премий и выплат.
Цель работы
Построение методологии решении обратных задач медицинского страхования на основе математических моделей марковских процессов.
Задачи исследования:
- построение математической модели медицинского страхования на основе теории марковских процессов;
разработка вычислительного алгоритма и компьютерного обеспечения решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса на основе статистических данных;
численное решение и проведение реальных актуарных расчетов для математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза.
Методы исследования
Поставленные в работе задачи решены с использованием теории марковских процессов, теории графов, интервального анализа, математической теории двойственности для задач линейного программирования. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам актуарной и финансовой математики, математической теории измерений, математического моделирования в задачах страхования.
Научная новизна работы:
-
Разработана математическая модель медицинского страхования на основе теории марковских процессов.
-
Выписана соответствующая модели система дифференциальных уравнений Колмогорова и соответствующая ей графическая интерпретация. Доказана математическая корректность - неотрицательность, ограниченность и существование решения.
-
Сформулирована задача определения интервалов по интенсивностям переходов, сохраняющих неизменными страховые тарифы. Сформулирована двойственная задача, решение которой позволяет оценивать чувствительность границ интервалов к вариации исходных статистических данных.
-
Разработан комплекс программ решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса.
-
Проведен актуарный анализ математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза. Выявлены реальные границы величин страховых взносов в задачах профилактики и лечения туберкулеза.
Практическая значимость работы
Проведенные исследования дают специалистам по медицинскому страхованию реальные механизмы расчета страховых тарифов. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ использован при
анализе реальных данных по заболеванию туберкулезом, полученным в Противотуберкулезном диспансере Республики Башкортостан. Результаты исследования использованы в курсах лекций по актуарной и финансовой математике на математическом факультете Башкирского государственного университета.
Апробация работы
Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на:
-
VI Всероссийской научно—методической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (г. Бирск 2007г.).
-
Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи - Адлер, 29 сентября - 7 октября 2007г.).
-
Девятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 1 мая - 8 мая 2008г.).
-
Всероссийской научно - практической конференции «Обратные задачи в приложениях» (г. Бирск, 19-20 июня 2008г.).
-
III Международной научной конференции, современные проблемы прикладной математики и математического моделирования (г. Воронеж, 2-7 февраля 2009г.).
-
Всероссийской научно - практической конференции по финансовой и актуарной математике (г. Нефтекамск, 30 марта- 1 апреля 2009г.).
-
IV Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 6-18 августа 2009г.).
-
Научных семинарах математического факультета Башкирского государственного университета, факультета информатики и робототехники Уфимского государственного авиационного университета, Института социально-экономических исследований Уфимского научного центра РАН, Противотуберкулезного диспансера Республики Башкортостан.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 3 статьи в журналах, Рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертаций и 5 работ в сборниках тезисов Международных и Всероссийских научных конференций.
Структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (ПО наименований). Работа изложена на 100 страницах, содержит 19 рисунков и 6 таблиц.
