Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Линейные системы 14
1.1. Постановка задачи 15
1.2. Теоремы существования и единственности решения 16
1.3. Примеры с неединственностью решения 24
1.4. Примеры несуществования решения 31
1.5. Непрерывная зависимость решения от параметров 33
1.6. Формула Коши 39
1.7. Расщепляющиеся и связанные по состоянию задачи 44
1.8. Численные методы и сходимость к точному решению 48
1.9. Численное моделирование 56
Глава II. Нелинейные системы 67
2.1. Постановка задачи 67
2.2. Теорема существования и единственности решения 68
2.3. Непрерывная зависимость решения от параметров 69
2.4. Расщепляющиеся и связанные по состоянию задачи 72
2.5. Численные методы и сходимость к точному решению 74
2.6. Численное моделирование 82
Глава III. Задачи оптимального управления 89
3.1. Постановка задачи 89
3.2. Линейный случай 91
3.3. Квазилинейный случай 92
3.4. Численное моделирование 94
Список литературы
- Теоремы существования и единственности решения
- Непрерывная зависимость решения от параметров
- Теорема существования и единственности решения
- Линейный случай
Введение к работе
Математическая теория дифференциальных уравнений с запаздыванием, бурно развивавшаяся в последние десятилетия [1-14], во многом приобрела законченный вид и сейчас активно применяется при моделировании различных объектов и процессов [14-29]. Разработаны также различные численные алгоритмы решения уравнений с запаздыванием различных видов (см., например, [30, 31], а также обзорные работы [20, 32-36] и ссылки в них).
В то же время уравнения с опережением времени практически не изучены, хотя упоминания о них встречаются давно, в основном, в связи с классификацией уравнений с отклоняющимся аргументом [2, 6]. Причинами такого «невнимания» можно назвать отсутствие «физической осуществимости» в математическом моделировании таких систем, а также сложность и, зачастую, некорректность математических постановок задач. Из общих результатов можно упомянуть результаты работ пермской школы [5], в которые, в частности, можно вложить и многие постановки задач с опережением. Линейным уравнениям второго порядка с опережением и запаздыванием посвящена третья глава в книге [6].
Между тем, интерес к задачам с одновременным наличием опережения и запаздывания обусловлен рядом задач, в которых такие системы появляются как необходимый объект изучения. Упомянем некоторые из таких задач.
В некоторых прикладных задачах, например, из области электротехники (передача электрических сигналов в высоковольтных линиях электропередачи), биологии (исследование динамики популяций), математические модели приводят к дифференциальным уравнениям с опережением и запаздыванием или к уравнениям с опережением (см. упоминания об этом в работах [3, 37-47], см. также библиографию в них). Во многих таких работах исследуются в основном вопросы качественной теории таких уравнений [24, 48-55]. В прикладных исследованиях часто рассматриваются уравнения [37, 38, 44, 48, 51]
y(t) = а y(r{t)) + 6 y{t) , t Є [t0, оо) ,
где r(t) может принимать следующие значения
(а) т() = t + т , т = const > 0 ,
(b) т(і) — А t , A = const > 1 ,
(с) г (і) =ta, a = const > 1
(в случаях (b) и (с) подходящей заменой переменной и искомой функции уравнение может быть приведено к случаю (а));
y(t) = y(t) [ а - Ъ lg y(t) - с lg у(Х t) ] ;
y(i) + w y{t) =a-y{t-r)+(3-y{t + o-) + (p(t) .
В численных методах решения краевых задач [56-63] одним из основных алгоритмов является метод прогонки [61], сводящий краевую задачу к начальной путем обращения времени. Если система имела запаздывание, то при обращении времени возникнет опережение. Другие алгоритмы решения краевых задач для систем с запаздыванием изучались в [63].
В теории управления движением, если система имеет запаздывание, то при применении необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума, соответствующая сопряженная система будет иметь опережение [15, 70, 71]. Совместное рассмотрение исходной системы с запаздыванием и сопряженной системы с опережением приводит к системе с одновременным наличием опережения и запаздывания.
Отметим также, что вопросы разрешимости отдельных уравнений или некоторых узких классов уравнений с опережением и запаздыванием рассматривались, например, в работах [4, 64-69].
Эти и другие модельные задачи дифференциальных систем с одновременным запаздыванием и опережением делают актуальным разработку методов исследования подобных задач, причем в силу сложности задач, основным инструментом решения должны стать численные методы.
Приведем постановки основных краевых задач, которые встречаются в приложениях и будут рассматриваться в данной работе. Будет рассматриваться система дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием следующего вида
x(t) = f(t,x(t),x(t-T),x(t + T)), a^t^b, (0.0.1)
ще х Є W1, п Є N, а Є R, 6 Є R, а < 6, Ш+ Э т — величина запаздывания и опережения (величины запаздывания и опережения для простоты считаются одинаковыми), / — некоторая заданная п-мерная вектор-функция, определенная на множестве [а,Ь] х Шп х Шп х М.п. Пусть заданы также какой-нибудь элемент xq Є W1 и какие-нибудь n-мерные вектор-функции <>() и ф('), определенные на промежутках [о — г, а) и (6, Ъ + г] соответственно. Пусть далее для простоты Ъ — а ^ г.
Требуется найти решение дифференциального уравнения (0.0.1), удовлетворяющее следующим краевым условиям
x(t) = ip(t), а-т ^t < а; х{а) = х0; x(t) = if)(t), b
Под решением краевой задачи (0.0.1)-(0.0.2) обычно будет пониматься кусочно-непрерывная n-мерная вектор-функция х = x(t), а—т ^ t ^ Ь+т, которая непрерывна на отрезке [a, b], почти во всех точках этого отрезка дифференцируема и почти во всех точках этого отрезка удовлетворяет системе (0.0.1), в точке t = а принимает значение xq, на промежутке [а — т, а) совпадает с функцией а на промежутке (6, Ь + т] совпадает с функцией ф(-).
Другая краевая задача, подлежащая рассмотрению, имеет вид
< < >
xi(t) = fi(t, xi(t),xi(t - T),x2(t)), a
x\{t) = (fi(t), a — t ^t < a ,
(0.0.3) x2{t) = f2(t, x2{l), x2{t + r), xx(t)), a^t ,
x2(b) = x\ ,
x2(t) = ij)2(t), b
где xi Є Rni, пг є N, x2 Є R7*2, n2 Є N, а Є M, 6 Є R, a < b, R+ Э r — величина запаздывания и опережения, /і и /2 — некоторые заданные вектор-функции соответствующих размерностей, определенные на множествах [а, Ь] х Rni х Rni х R"2 и [а, 6] х Rn2 х R"2 х Rni соответственно. Заданы также элементы х\ Є ШП1, х\ Є Rn2, пі-мерная вектор-функция <Рі('), определенная на промежутке [а—т, а), и П2-мерная вектор-функция ф2{')-, определенная на промежутке (6, b + т].
Требуется найти пару вектор-функций х\ = x\{t), х2 = x2(t), а — т ^ t ^ Ь + т, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и краевым условиям из (0.0.3). При этом под решением краевой задачи (0.0.3) будет пониматься пара кусочно-непрерывных вектор-функций х\ = x\(t), %2 = %2{t), а — т ^ t ^ Ь + т, которые непрерывны на отрезке [а, Ь], почти во всех точках этого отрезка дифференцируемы и почти во всех точках этого отрезка удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям из (0.0.3), вектор-функция х\ = xi(-) в точке t = а принимает значение ж" и на промежутке [а — т, а) совпадает с функцией
<>i(-), вектор-функция X2 = X2(') в точке t = b принимает значение x\ и на промежутке (b,b + т] совпадает с функцией т/'гО)- Краевую задачу (0.0.3) будем называть задачей, связанной по состоянию, имея в виду, что дифференциальные уравнения из (0.0.3) зависят от состояния другой компоненты решения только в момент времени t.
Возможны и другие постановки краевых задач для систем с опережением и запаздыванием, но они во введении рассматриваться не будут.
Цель работы состоит в исследовании вопросов корректной разрешимости краевых задач типа (0.0.1)-(0.0.2) и (0.0.3), исследовании свойств решений, разработке конструктивных методов приближенного нахождения этих решений, разработке комплекса программных средств для численного моделирования систем с опережением и запаздыванием, а также применении разработанных средств для решения некоторых классов задач управления для систем с запаздыванием.
Работа содержит список обозначений, введение, три главы, список литературы, три приложения. В работе принята тройная нумерация объектов: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер параграфа, вторая — на номер объекта в данном параграфе.
Опишем кратко содержание диссертации по главам.
В первой главе изучаются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием. Для таких систем формулируется краевая задача на конечном промежутке времени. Она состоит в нахождении непрерывной на заданном отрезке функции, которая почти всюду дифференцируема на этом отрезке и удовлетворяет соответствующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием на рассматриваемом отрезке, с левой стороны отрезка искомая функция должна совпадать с известной функцией, на левом конце отрезка искомая функция должна принимать заданное начальное состояние, с правой стороны отрезка искомая функция должна совпадать с известной функцией (аналогично (0.0.1)-(0.0.2)). Для сформулированной краевой задачи исследуется вопрос о существовании и единственности решения, исследуются свойства решения, разрабатываются методы приближенного нахождения этого решения и проводится численное моделирование.
Вопросы о существовании и единственности решения исследуются с помощью принципа сжимающих отображений. При решении этих вопросов будем следовать подходам работы [64]. Отметим, что условие, состоящее
в том, что соответствующий показатель сжатия строго меньше единицы, выступает достаточным условием как для существования, так и для единственности решения рассматриваемой краевой задачи. Далее приводятся примеры, показывающие, что это достаточное условие является существенным условием, без него краевая задача может иметь несколько (и даже бесконечное число) решений, а может и вообще не иметь решений. Далее также приводятся примеры, показывающие, что это достаточное условие не является необходимым условием как для существования, так и для единственности решения.
Показано, что решение сформулированной краевой задачи при соответствующих условиях непрерывно зависит как от исходных данных (начальной функции, начального состояния системы, финальной функции), так и от матричных коэффициентов системы, при варьировании всех этих параметров в их естественных пространствах.
Далее рассматривается один подкласс рассматриваемого класса краевых задач, задачи из которого допускают расщепление на запаздывающую составляющую и составляющую с опережением. Запаздывающая составляющая при соответствующих ограничениях всегда имеет единственное решение при любых допустимых исходных данных. Составляющая с опережением имеет единственное решение при любых допустимых исходных данных, если соответствующая система с опережением обладает некоторым свойством достижимости (для любого заданного состояния системы на левом конце отрезка изменения независимой переменной существует хотя бы одно состояние системы на правом конце этого отрезка, такое, что решение соответствующей системы с опережением, совпадающее на правом конце с существующим состоянием, на левом конце совпадает с заданным состоянием). Конструктивность нахождения решения опережающей составляющей во многом зависит от конструктивности нахождения подходящего состояния системы на правом конце. В этом отношении могла бы оказаться полезной формула, аналогичная формуле Коши для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений или систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Наличие такой формулы удалось установить и для систем с опережением, ее вывод приведен в шестом параграфе первой главы. Анализ этой формулы показывает, что при достаточной конструктивности нахождения соответствующей фундаментальной матрицы Коши и при невырожденности этой матрицы, задача для опережающей составляющей
может быть решена достаточно конструктивно.
Затем разрабатывался численный метод решения краевых задач, основанный на явном разностном методе Эйлера (из-за наличия опережения схема в целом является неявной). Предложено несколько вариантов итерационных методов решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации. Доказана теорема о сходимости приближенных решений, найденных по схеме Эйлера, к точному решению исходной дифференциальной задачи при стремлении шага разностной сетки к нулю. Приводится также оценка скорости сходимости.
В последнем параграфе главы проводится описание численного моделирования рассматриваемых краевых задач. Исходная дифференциальная задача аппроксимируется по явной разностной схеме Эйлера. Затем получившаяся в результате аппроксимации система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решается тремя различными итерационными методами : методом Гаусса-Зейделя, методом сопряженных градиентов и методом минимальных невязок. Результаты расчетов сравниваются между собой и сравниваются с точным решением исходной дифференциальной задачи. Для каждого из методов решения СЛАУ указаны условия их сходимости. Проведены вычислительные эксперименты и приведены сравнительные характеристики результатов вычислений. В одном из примеров, в котором решение дифференциальной задачи существует и единственно, итерации каждого из рассматриваемых методов решения СЛАУ достаточно быстро сходятся к точному решению СЛАУ и при соответствующем измельчении разностной сетки приближенные решения достаточно быстро сходятся к точному решению исходной дифференциальной задачи. В другом примере, в котором не выполняются соответствующие условия существования и единственности решения дифференциальной задачи, итерации рассматриваемых методов решения СЛАУ дают некоторые приближения решения СЛАУ, причем каждый метод дает некоторое свое приближение и, вообще говоря, не наблюдается сходимости к какому-нибудь одному приближению при увеличении числа итераций; при измельчении разностной сетки приближенные решения не сходятся к предъявленному точному решению исходной дифференциальной задачи. В третьем примере, в котором заведомо существует несколько решений дифференциальной задачи, итерации каждого из рассматриваемых методов решения СЛАУ достаточно быстро сходятся к точному решению СЛАУ и при измельчении разностной сетки приближенные решения достаточно быстро
сходятся к одному из точных решений исходной дифференциальной задачи. Программные средства, предназначенные для численного моделирования, описаны в Приложении-1. Там же приводятся несколько иллюстраций пользовательского интерфейса.
Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для некоторых классов нелинейных систем с опережением и запаздыванием. В этой главе результаты, полученные в первой главе для линейных систем, обобщаются на нелинейные краевые задачи. Сформулированы и доказаны некоторые теоремы о разрешимости краевых задач, указаны условия непрерывной зависимости решения от параметров (исходных данных краевой задачи и правой части системы). Исследуются также некоторые специфические краевые задачи, которые возникают при рассмотрении задач оптимального управления для систем с запаздыванием и квадратичным критерием качества. Указаны условия разрешимости таких задач. Разработаны численные методы нахождения приближенных решений нелинейных задач, основанные на подходе Эйлера. Указаны методы приближенного решения нелинейных систем алгебраических уравнений, появляющихся при дискретизации дифференциальной задачи. В частности, приведены некоторые условия сходимости метода простых итераций, который оказывается весьма удобным и нетрудоемким при численном моделировании. Сформулированы также условия сходимости решения дискретизированной задачи к точному решению дифференциальной задачи. Указаны оценки точности приближений. Проведены вычислительные эксперименты, результаты которых приведены в заключительном параграфе. Описание программного комплекса, с помощью которого можно проводить численное моделирование решений нелинейных краевых задач для систем с опережением и запаздыванием, помещено в Приложении-2. Там же имеется несколько вкладок пользовательского интерфейса.
В третьей главе рассматриваются задачи оптимального управления для систем с запаздыванием и квадратичным критерием качества. Хорошо известно [15, 21, 72-74], что принцип максимума в таких задачах приводит к сопряженным системам, которые являются системами с опережением. Совместное использование исходной и сопряженной систем дает систему опережающе-запаздывающего типа (систему оптимальности). Как сами системы такого типа, так и содержательные задачи для таких систем изучены в литературе достаточно слабо. Для исследования и численного моделирования таких систем могут применяться подходы,
алгоритмы и методы, разработанные в первых двух главах. В некоторых случаях оптимальное управление может быть выражено через решение системы оптимальности и эффективно вычислено. Среди таких случаев выделяются задачи с линейной и квазилинейной системами. В заключительном параграфе главы приводятся результаты численного моделирования. Описание программного комплекса для численного моделирования решения системы оптимальности приведено в Приложении-3.
Относительно методов исследования можно отметить следующее. В основе исследований лежат понятия и методы теории функций и функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, численных методов анализа, теории оптимального управления. Для исследования разрешимости краевых задач использовались теоремы функционального анализа о неподвижных точках. Для исследования непрерывной зависимости решения от параметров использовались общие методы и подходы, аналогичные тем, которые используются в теории дифференциальных уравнений при оценивании решений. Для разработки численных методов применяются общие подходы вычислительной математики, в частности, разностные методы и вычислительные методы линейной и нелинейной алгебры. При исследовании задач оптимального управления используется принцип максимума Понтрягина. Для разработки программных средств применялись современные технологии программирования, языки программирования C++, Pascal, Delphi.
Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
получены теоремы о корректной разрешимости некоторых классов линейных и нелинейных краевых задач для систем с опережением и запаздыванием;
найдены условия непрерывной зависимости решения краевых задач от параметров этих задач;
разработаны конструктивные методы приближенного решения линейных и нелинейных краевых задач для систем с опережением и запаздыванием, указаны условия сходимости разработанных методов и получены некоторые оценки их скорости сходимости;
для некоторых классов задачи оптимального управления с запаздыванием и квадратичным функционалом качества получены системы оптимальности, представляющие собой системы с опережением и запаздыванием, указаны условия их корректной разрешимости, описаны методы
численного интегрирования и проведено численное моделирование; — разработан комплекс программных средств для численного моделирования решений соответствующих краевых задач, в котором реализованы разработанные в работе численные методы и алгоритмы, а также выполнена визуализация результатов расчетов.
Достоверность полученных в работе результатов подтверждается соответствующими математическими доказательствами, соответствием полученных теоретических результатов надежным результатам компьютерного моделирования, использованием общепризнанных апробированных математических методов вычислений и согласованностью результатов, полученных различными способами.
Работа имеет теоретическую и практическую значимость. Системы с опережением и запаздыванием играют важную роль при описании различных процессов и явлений в науке и технике. С одной стороны, в работе получен ряд новых теоретических результатов по методам исследования свойств таких систем (разрешимость, устойчивость, численные методы, сходимость, оценки скорости сходимости). Эти результаты имеют теоретическую ценность и могут быть использованы для дальнейшего развития теории функционально-дифференциальных уравнений и ее приложений. С другой стороны, полученные в работе результаты, могут иметь и практическую ценность. Они могут использоваться при решении прикладных задач, моделировании рассматриваемых систем в различных ситуациях. Для этих целей может оказаться полезным разработанный программный комплекс, в котором реализованы разработанные в работе численные методы и алгоритмы. Полученные результаты применены для исследования и моделирования важного с теоретической и прикладной точек зрения класса задач оптимального управления для систем с запаздыванием.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2-6 февраля 2004); конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвященной 50-летию Ижевского математического семинара и 30-летию кафедры "Прикладная математика и информатика" Ижевского государственного технического университета (Ижевск, 31 января - 4 февраля 2006); конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 3 июля -8 июля 2006), посвященной 75-летию Удмуртского государственного университета; конференции-семинаре "Теория управления и математическое
моделирование" (Ижевск, 4-9 мая 2008), посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева; научных семинарах кафедры вычислительной математики Уральского госуниверситета; научном семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики и механики УрО РАН.
Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, 3 из них опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК:
Пименов В.Г., Короткий Д.А. О решении систем дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием // Известия Уральского госуниверситета. 2006. № 44. (Серия: Математика и механика. Выпуск 9.). С. 113-139.
Короткий Д.А. Численное моделирование задачи оптимального управления для системы с запаздыванием // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 1.2 (31). С. 291-295.
Короткий Д.А. Решение задачи оптимального управления для системы с запаздыванием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Выпуск 2. С. 61-62.
Короткий Д.А., Пименов В.Г. Численное моделирование решений уравнений с опережением и запаздыванием // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.). Екатеринбург: Изд-во Урал, унта. 2004. С. 119-120.
Короткий Д.А. Системы с опережением и запаздыванием: численное решение // Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2006. Выпуск 2 (36). С. 185-188.
Короткий Д.А. Нелинейная краевая задача с опережением и запаздыванием // Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2006. Выпуск 3 (37). С. 71-72.
Короткий Д.А. Системы с опережением и запаздыванием // Тезисы студенческих научных работ: Направление "Естественные науки". Екатеринбург: Издательство Уральского госуниверситета. 2006. С. 18-20.
Короткий Д.А. Моделирование оптимальных процессов для систем с запаздыванием // Информационные технологии моделирования и управления. 2008. № 3 (46). С. 304-310.
В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Германовичу Пименову за постановку задачи и помощь в работе; коллективу кафедры вычислительной математики Уральского госуниверситета за ценные советы и поддержку.
Теоремы существования и единственности решения
В этом параграфе, опираясь на принцип сжимающих отображений, докажем некоторые утверждения о существовании и единственности решения краевой задачи (1.1.1) - (1.1.2). В утверждениях первого типа матрицы-функции А(-), В(-), С(-) и вектор-функция D(-) будут считаться произвольными, но длина отрезка [а, Ь] будет считаться "малой". В утверждениях второго типа длина отрезка [а, Ь] будет считаться произвольной, но матрицы-функции Л(-), В(-), С(-) и вектор-функция D(-) будут считаться "малыми" в некотором смысле и должны удовлетворять некоторому дополнительному условию. Использование термина "малый" здесь является условным, как в одном, так и в другом случаях можно говорить о некотором едином условии, которому должны удовлетворять нормы соответствующих матриц и длина отрезка [a, b].
Пусть X обозначает множество всех n-мерных вектор-функций, которые кусочно-непрерывны на отрезке [а — т,Ь + т]: непрерывны на отрезке [а, Ь] и полуинтервалах [а — г, а), (6, Ъ + т] и имеют разрывы первого рода только в точках t — а и t — Ъ. На множестве X будем рассматривать равномерную метрику р(х1,х2)= sup \\xi(t) - x2(t)\\, а-т t 6+7 где — какая-нибудь норма в Rn.
Во множестве X рассмотрим подмножество П, состоящее из функций, которые на полуинтервале [а — т, а) совпадают с функцией / (), на полуинтервале (b, Ь + т] совпадают с функцией ф(-), а на отрезке [а, Ь] удовлетворяют условию \\x(t) — ж0 L, a t b: где L — некоторая заданная фиксированная положительная константа; П = {х: [а-т,Ь + т] -+ Шп \ х Є С([а, b];Rn), \\x(t) - ж0 L, а і б; ж(і) = (), а-т t a; x(t) = -0(0: 6 0 + т}. Заметим, что для элементов х\ и х2 из П /9(3:1,3:2)= max жі() — з:2() . а t 6
Множество 7, наделенное метрикой /О, является полным метрическим пространством. Это следует из полноты пространства непрерывных функций С([а: Ь];Шп) и замкнутости в М.п шара S[x0, L] = {х Є Ж1 : \\х - х0\\ L} . Рассмотрим оператор Т : Г2 — X, определенный следующим образом: если / = Тх, то (), а — т а , а Ь ,
Найдем некоторые условия, при которых оператор Т будет сжимающим на Г2, т.е. будет удовлетворять следующим двум свойствам: 1) V х Є ft Та: Є О; 2) 3 о; Є (0,1) : Ужі.агг Є П р{ТхъТх2) се (жі.жг). Сначала рассмотрим свойство 1).
Итак, при выполнении условий (1.2.1) и (1.2.2), оператор Т является сжимающим, действующим из полного метрического пространства Г2 в себя. Значит, согласно принципу сжимающих отображений [79], он имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и является единственным решением задачи (1.1.1) - (1.1.2). Действительно, подынтегральная функция в равенстве (означающем, что х є ft является неподвижной точкой оператора Т) (), а — т t а, (О х о + Л А(0х{ + В{$х( - г) + С{$х( + г) + D(0] d , а а t Ъ , tl (t), b t b + r , кусочно-непрерывна, поэтому интеграл с переменным верхним пределом является не только непрерывной, но и почти всюду на отрезке [а, b] дифференцируемой функцией (он даже дифференцируем всюду, кроме, быть может, конечного числа точек отрезка [а, 6]). Отсюда следует, что функция х = x(t), а — т : t 6 +г, дифференцируема почти всюду на отрезка [а,Ь], удовлетворяет уравнению (1.1.1) и краевым условиям (1.1.2), т.е. является решением краевой задачи (1.1.1) - (1.1.2).
Сформулируем полученное утверждение в виде теоремы. Теорема 1.2.1. При выполнении условий (1.2.1) и (1.2.2) краевая задача (1.1.1) - (1.1.2) имеет единственное решение.
Вторая теорема существования и единственности решения. Пусть X обозначает то же самое множество, что и выше. На множестве X будем рассматривать метрику Рх(хъ х2) = sup [ е At \\xi(t) - x2{t)\\ } , а—т $J t b+т и согласованную с ней норму ИА= sup [e-»\\x(t)\\], а—т t $С Ь+т где — какая-нибудь норма в Жп, Л — какое-нибудь положительное число (Л 0). Во множестве X рассмотрим подмножество Г2, состоящее из всех функций, которые непрерывны на отрезке [а, Ь] и совпадают с функциями () и тр(-) на полуинтервалах [а — т,а) и (6, b + т] соответственно П={х: [а-т,Ь + т] -+ W1 \ х еС([о,Ь];Г), x(t) = p{t), a r t a; x(t) = ф(і), b t b + r \ . Заметим, что для элементов Х\ и х% из О, P\(xi,x2) = max [е Лі a;i(t) -ж2(і) ] . a : b Множество Г2, наделенное метрикой p\, является полным метрическим пространством. Это следует из полноты пространства непрерывных функций C([a,6];Rn). Рассмотрим оператор Т : Q — Q, определяемый равенством (f(t), а — г і а , (Гх)(0 = о + Л Л() (0 + «) « - г) + С(0 ( + г) + ()] , a Для ж Є Г2 имеет место включение Тх Є П. Это следует из непрерывности интеграла с переменным верхним пределом для кусочно-непрерывной подинтегральной функции. Найдем некоторые условия, при которых оператор Т является сжимающим.
Непрерывная зависимость решения от параметров
В связи с использованием условия (1.2.3) встает вопрос о его значимости для существования решения. Ниже в примерах показано, что это условие существенно для того, чтобы краевая задач имела решение. Однако оно не является необходимым для существования решения задачи. В этих примерах условие (1.2.3) не выполняется, в первом и втором примерах соответствующие задачи не имеют решений, в третьем — имеет единственное решение.
Пример 1.4-1. Рассмотрим пример, аналогичный примеру 1.3.3, в котором возьмем XQ у О, т — x(t) = x{t + т) , а = 0 2т = 6; x(t) = 0 , -т t 0 ; х(0) = х0 0 ; ч x(t) =0 , 2т Зт , т = 1.
Для этой краевой задачи условие (1.2.3) не выполняется ни при каком Л 0. Это показано при рассмотрении примера 1.3.3. Там же показано, что решение этой задачи на промежутке (0, Зт] должно иметь вид (C2t: є(0,т], x(l) = 1 С2, і Є (г, 2т] , [о , te (2т, Зт] . Поскольку решение должно быть непрерывным слева в точке t = 0, то получаем противоречивое равенство 0 Хо = 0 = С2-0 , следовательно решения рассматриваемой краевой задачи не существует.
Пример 1.4-2. Рассмотрим пример, аналогичный примеру 1.3.1, но с ненулевыми начальными данными x(t) =x{L)-x{t + r) , а = 0 t 2т = b ; x(t) = ср = const , —т t 0 ; x(0) = x0 ; x(t) = ip = const , 2r t Зт .
Для этой краевой задачи условие (1.2.3) не выполняется ни при каком Л 0. Это показано при исследовании примера 1.3.1. Исследуем задачу на разрешимость. Сведем исходную задачу к соответствующей задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений посредством следующей замены xi(t) = x(t) , 0 t т ; x2{t) = x(t + r) , 0 t г . Исходная задача равносильна следующей задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка x\{t) = -x2(t) + ip , O t r, хі{0)=х0] x2(t) = xi(t) - ф , O t r, х2{0)=хі(т).
Общее решение этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (без учета начальных данных) имеет вид ( "sin( ) )+ъ-(cosW ) + (ф x2(t) ) \ cos(t) ) + 72 sin(t) ) \ч Для выполнения начальных условий a?i(0) = XQ и х2 (0) = жі(т) необходимо выполнение двух равенств 72 = Х0 — ф , 71 ( 1 + Sin(r) ) 72- COS(T) = ф — р .
Пусть величина запаздывания г такова, что 1 + sin(r) = 0, например, г = 37г/2. Тогда cos(r) = 0 и второе из равенств будет иметь вид 71-0 — 72 -0 = ф — (р . Если ф — ср ф 0, то это равенство невозможно. Итак, при ф ф р рассматриваемая задача не имеет решения.
Приведенные примеры показали, что условие (1.2.3) является существенным достаточным условием для существования решения краевой задачи (1.1-1) - (1.1.2). Однако оно не является необходимым условием для существования решения этой задачи. На это указывает следующий пример.
Пример 1.4-3. Рассмотрим задачу из примера 1.4.2. Дальнейший анализ задачи показывает, что при 1 + sin(r) = 0 и ф = ip она имеет однопараметрическое семейство решений ц , te [-т, 0) , XQ , t = 0 , x(t) = x\(t) = —7i sin(i) + 72 cos() +ф , t Є [0, т] , x2(t - r) = 7i cos( - r) + 72 sin(t — r) + tp , t Є [г, 2т] , ф, є(2г,3г], где 7i — произвольная константа, 72 = о Ф При 1 + sin(r) т 0 задача имеет единственное решение х ( ) V?, є[ т,0), жо , = 0 , x\(t) = -71 sin(t) + 72 cos(t) +ф , t[0,r] г( - r) = 71 cos( — r) + 72 sul( _ r) + V3 1 , іє(2г,3г], t Є [г, 2т] , где - + 72- cos(r) 7i = 72 = жо - ф 1 + sin (г) Таким образом, условие существования и единственности решения (1.2.3) в данном примере не выполнено. Однако, при этом задача может иметь одно или несколько решений.
Теорема существования и единственности решения
По аналогии с линейным случаем сформулируем и докажем следующее утверждение. Теорема 2.2.1. Если при некотором Л 0 выполняется условие \ _ е- е_Лт — е-Л(/+г) еЛг — еЛ(т Эх = Ьх— + Ly + Lz 1 , (2.2.1) то краевая задача (2.1.1) - (2.1.2) имеет единственное решение. Доказательство. Пусть X, Г2, р\ и л есть те же самые пространство, множество, расстояние и норма, что рассматривались в пункте 1.2.2 параграфа 1.2. Рассмотрим оператор Т : Q —» П, определяемый равенством Тх = у, /?(), а — т t а , t y{t) = { x0 + ff( x(t),x(t):x( + T)d, a t b, a $(t), b t b + r, Для х Є ft имеет место включение Тх Є П. Это следует из непрерывности интеграла с переменным верхним пределом для кусочно-непрерывной подинтегральной функции. Для элементов х 1 и х из Х7 справедлива оценка (эта оценка выводится так же как выводится подобная оценка в пункте 1.2.2 параграфа 1.2)
Если при некотором Л 0 выполняется условие 7д 1, то оператор Т является сжимающим на полном метрическом пространстве Q, и имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и является решением исходной краевой задачи (2.1.1) - (2.1.2). Теорема доказана.
Непрерывная зависимость решения от параметров
По аналогии с линейным случаем сформулируем и докажем следующее утверждение.
Теорема 2.3.1. Пусть при некотором Л 0 выполняется условие Э\ 1. Тогда решение х(-) = х(-; р, xo,ip) краевой задачи (2.1.1) - (2.1.2) непрерывно зависит в равномерной метрике от варьирования ip} XQ и ф в нормах пространств С([а,а — т];Ш.п), Шп и С([6, Ъ + r];Rn) соответственно.
Доказательство. Пусть решение х\{-) соответствует исходным функциям pi(-), Фі{-) и начальному состоянию х\, а решение х2(-) соответствует исходным функциям tp2( ), ф2(-) и начальному состоянию х- Рассмотрим разности х(-) = хг(-) - х2(-), (р(-) = pi(-) - р2{-), (0 = Фі(т) г(-) х = х — х\. Итак, при выполнении условия 1 Э\ из последней оценки следует устойчивость (непрерывная зависимость) решения краевой задачи (2.1.1)-(2.1.2) по начальному состоянию XQ, начальной функции р и финальной функции ф при малом варьировании последних в нормах пространств Шп, С([а, а — т];Жп) и С([6, Ъ + г]; W1) соответственно. Теорема доказана.
Укажем теперь некоторые условия, при которых решение краевой задачи (2.1.1)-(2.1.2) непрерывно зависит от варьирования правой части дифференциального уравнения. При этом будем считать, для варьируемой функции выполняются условия существования и единственности решения краевой задачи (2.1.1)-(2.1.2).
Пусть решение xi(-) соответствует правой части Л(-); решение х2{-) соответствует правой части /г(-); начальные состояния как в одном, так и в другом случаях одинаковы;
Предположим, что исходная краевая задача для системы с опережением и запаздыванием (2.1.1) допускает расщепление на соответствующие задачи для системы с опережением и системы с запаздыванием i( ) = fi(t,xi(t),xi(t-r)), a t b, xi(a) =x% , x\(t) = Pi(t), a — T t a , (2.4.1) X2(t) = /2( ,x2(t),x2(t + т)), a t b , x2(b) = x\ , ) = 2(0. Ь Ь + т, где a; = (жі,жг), xi имеет размерность пі Є N, 2:2 имеет размерность п2 Є N, причем п\ + п2 = п; о = (ж?, ) Є МПі х R"2; (р = ((рі, р2), рі(і) Є Rni, V2W Є І П2, а-т t а; ф = (фъф2), ViW Є R"1, 2( ) М"2, & t 6 + т. При рассматриваемой структуре системы, составляющие p2(t) и V i( ) не влияют на решение задачи, поэтому они могут быть исключены из рассмотрения.
Здесь первая х\ = xi(t), а t Ь, и вторая х-2 = (t), а і = Ь, составляющие общего решения х = х(і), а і Ь, находятся независимо от друг друга и могут быть найдены, например, методом шагов. Поэтому при соответствующих условиях на функции /і и f2 (см., например, условия в параграфах 2.1 и 2.2 или в [1-31] ) сравнительно просто могут быть установлены разрешимость и единственность решения задачи (2.4.1).
При рассмотрении задач оптимального управления для некоторых классов нелинейных систем с запаздыванием приходится иметь дело с системами с опережением и запаздыванием, которые можно условно назвать системами, связанными по состоянию, а соответствующие краевые задачи для них — связанными по состоянию краевыми задачами xi{t) = /i(t, xi(t),xi(t - r),x2{t)), a t b , xi(a) = x\ , х\(і) = pi(t), a — т t a , x2(t) = /г( , x2(t), x2{t + r), xi(t)), a t b , ж2(Ь) = x x2(t)=ip2(t), b t b + r . Сформулируем теорему существования и единственности решения такой задачи. Пусть X, О,, р\ и [ л есть те же самые пространство, множество, расстояние и норма, что рассматривались в п. 1.2.2 параграфа 1.2. Рассмотрим оператор Т : Q — Г2, определяемый равенством Тж = Т(хьх2) = (уьуг) , (pi(t), а — т t а , 3/1W = { ї + / /і( і(Є),ягіК-г),я;2(0) а /?i(t), a — r t a , 6 г -і !&( ) = 4-/ /гК. Ю. К + г), )) , a t b, і L J k ), b t b + r . Для з; Є Г2 имеет место включение Га; Є Гі. Это следует из непрерывности интеграла с переменными пределами для кусочно-непрерывной подинтегральной функции. Для элементов х и х из Г2 справедлива оценка
Линейный случай
Опираясь на результаты параграфа 2.4, можно сформулировать следующее утверждение. Теорема 3.3.1. Если при некотором Л 0 выполняется условие егд 1, то задача (3.3.1) имеет единственное решение.
Путем дискретизации задача (3.3.1) сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, которая затем может решаться различными численными методами. Соответствующие детали одного из численных методов можно найти в параграфе 2.5. Если (жд(-), ФА(-)) — какое-либо приближенное решение системы оптимальности, то тем самым будет найдено и соответствующее приближение к оптимальному управлению
Предварительно система оптимальности сводится к задаче с начальной предысторией, чтобы можно было воспользоваться программами, написанными для расчетов примеров из главы I. Для этой цели используется метод стрельбы. При этом систему оптимальности удобно записать в матричном виде с использованием расширенных матриц. Затем модифицированная система оптимальности решается численно путем дискретизации с использованием явной разностной схемы Эйлера. Полученная при этом система линейных алгебраических уравнений может решаться какими-либо численными методами (хорошо зарекомендовали себя метод Гаусса-Зейделя, метод сопряженных градиентов и метод минимальных невязок). Приведем несколько конкретных примеров численного моделирования.
Пример 3.4.1. Параметры эксперимента: t Є [0,3], шаг дискретизации Л = 1/20, величина запаздывания т = 1, количество шагов в итерационных численных методах Гаусса-Зейделя и минимальных невязок 100000, в методе сопряженных градиентов количество итераций определяется автоматически. Функция предыстории (p(t) = —0.1, t Є [—1,0]; . ил , -0.1 0.5 \ 0 ,. I 0.01 0 Ao(t)=\ 2 0 1; ад= 0 Co(t) = 0 0 -0.01
При таком выборе параметров условие (1.2.3) существования и единственности решения задачи выполняется. Результаты расчетов приведены на рисунке 3.4.1 : на верхнем графике приведено приближенное решение по первой координате х, на нижнем графике приближенное решение по второй координате ф. Результаты расчетов, полученные тремя различными численными методами, упомянутыми выше, практически совпадают. При этом ./(гід) = 0.875. Значения функционала на других управлениях больше.
Пример 3.4.2. Параметры эксперимента: t є [0,3], шаг дискретизации Д — 1/20, запаздывание т — 1, количество шагов в итерационных численных методах Гаусса-Зейделя и минимальных невязок 10000, в методе сопряженных градиентов количество итераций определяется автоматически. Функция предыстории tp(t) = 2 + 0.11, t Є [—1,0];
При таком выборе параметров условие (1.2.3) существования и единственности решения задачи выполняется. Результаты расчетов приведены на рисунке 3.4.2, аналогичном рисунку 3.4.1. В данном случае количество итераций в численных методах не столь велико, как в примере 3.4.1, и на рисунках можно видеть незначительные отличия в приближениях, полученных различными численными методами. При этом J(uA) = 1.074. Значения функционала на других управлениях больше.
