Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Построение асимптотики вторичных течений для основного течения с ненулевым средним 20
1.1. Постановка задачи 20
1.2. Линейная спектральная задача 22
1.3. Сопряженная задача 30
1.4. Асимптотика автоколебаний 33
1.5. Нахождение функции 2 39
1.6. Нахождение функции 2 41
1.7. Нахождение амплитуды автоколебаний 45
1.8. Примеры основных течений 47
1.9. Заключение к первой главе 52
Глава II. Построение асимптотики вторичных течений для основного течения с нулевым средним 53
2.1. Постановка задачи 53
2.2. Линейная задача устойчивости 54
2.3. Сопряженная задача 69
2.4. Асимптотика автоколебаний 76
2.5. Нахождение функции ZQ 79
2.6. Нахождение функции z
2.7. Нахождение амплитуды колебаний щ 89
2.8. Примеры 93
2.9. Заключение ко второй главе 95
Глава III. Движение частиц жидкости в основных и вторичных потоках 96
3.1. Случай параллельного основного течения 96
3.2. Случай непараллельного основного течения 101
3.3. Движение частиц в автоколебательном потоке 105
3.4. Возникновение хаоса в окрестности сепаратрис 111
3.5. Поведение частиц во вторичном потоке, ответвляющемся от трехмерного сдвигового течения 117
3.6. Заключение к третьей главе 123
Заключение 124
Список литературы 126
Приложение
- Линейная спектральная задача
- Нахождение амплитуды автоколебаний
- Асимптотика автоколебаний
- Поведение частиц во вторичном потоке, ответвляющемся от трехмерного сдвигового течения
Введение к работе
Известно [1, 2], что характер движения вязкой несжимаемой жидкости сильно зависит от параметра течения — числа Рейнольдса. Например, из ламинарного течения в трубе, при увеличении числа Рейнольдса и переходе через некоторое критическое значение, внезапно могут возникать течения неравномерные, пульсирующие, так называемые турбулентные течения. Гаген, производя опыты с водой, движущейся в цилиндрической трубе, обнаружил это явление и заметил, что при увеличении скорости течения и радиуса трубы, или уменьшении вязкости происходит этот переход. О. Рейнольде показал, что переход одного типа в другой совершается, когда безразмерная величина Ur/v (U — средняя скорость течения, г — радиус трубы, v — вязкость) переходит через некоторую границу. Это число было названо впоследствии числом Рейнольдса.
В гидромеханике изучение турбулентных течений распадается на две задачи [3, 4]: определение перехода от основного течения к турбулентному и исследование движения уже в установившихся турбулентных течениях. Первая задача тесно связана с исследованием потери устойчивости основного течения.
Современное развитие теории устойчивости начинается с работ А. Пуанкаре [5] и A.M. Ляпунова [6]. Хотя А. Пуанкаре ограничивался частными случаями, но методы, которыми он пользовался, допускают широкие обобщения. Первый метод А. М. Ляпунова основан на отыскании решений уравнений возмущенного движения в виде рядов по целым положительным степеням произвольных постоянных. Первый член этих рядов соответствует решениям линеаризованных уравнений возмущенного движения. До работ A.M. Ляпунова обычно ограничивались анализом только этих членов. Исследованием устойчивости идеальной жидкости занимался Рэлей. В частности он показал [7], что для неустойчивости параллельного течения кривая распределения скоростей должна иметь точку перегиба.
В теории гидродинамической устойчивости первые две работы, в которых доказывается, используя метод линеаризации, неустойчивость основных стационарных течений вязкой жидкости в плоских течениях Куэтта и Пуазейля, даны в работах Дж. И. Тэйлора [8] и В. Гейзенберга [9] соответственно. Далее, исследования в этой области продолжили Толлмин, Шлих-тинг, Тэйлор, Линь, Шубауэр, Скрэмстед, Томас и др. (см. [7]). А. Л. Крылов в работе [10] делает проверку результатов Дж. И. Тэйлора для течения Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами и в [11] — результатов В. Гейзенберга для течения Пуазейля.
В работах В. И. Юдовича [12, 13, 14] впервые было дано строгое обоснование метода линеаризации в задаче об устойчивости стационарных и периодических по времени (вынужденных и автоколебательных) течений вязкой жидкости. В 60-е годы многие ученые сомневались в возможности распространить метод малых колебаний классической механики на задачи механики сплошной среды. Конец этим сомнениям положило полученное В. И. Юдовичем доказательство глобальной теоремы существования вынужденных периодических режимов течения вязкой жидкости при периодических по времени силах и граничных полях скорости [12, 13, 14].
Помимо теоретических, при исследовании устойчивости основного течения и исследования движения в установившихся турбулентных течениях применяются численные методы. С. Я. Герценштейн и сотрудники Института механики МГУ исследовали устойчивость течений, отличных от плоскопараллельных и зависящих не от одной, а от нескольких пространственных переменных и, вообще говоря, и от времени [15] - [19]. Был осуществлен поиск приближенных численных решений уравнений Навье-Стокса. Хорошее качественное соответствие полученных приближенных численных решений точным решениям было получено благодаря разработанной достаточно эффективной численной методике [20, 21, 22]. Эта методика фактически представляла собой симбиоз асимптотических и прямых методов.
С помощью разработанных численных методов для полных уравнений Навье-Стокса Н.В. Никитиным проведен прямой расчет турбулентного течения в трубе [23]-[26].
Возникновению автоколебаний из стационарных состояний при математическом описании отвечает бифуркация рождения цикла. Исследование бифуркации рождения цикла также восходит к работам А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. Открыл бифуркацию рождения предельного цикла из равновесия А. А. Андронов [27]. Обобщение результатов А. А. Андронова с двумерного случая на n-мерные системы выполнено Н. Н. Баутиным [28, 29], Э. Хопфом [30], Ю. И. Неймарком [31], Н. Н. Брушлинской [32]. Для бесконечномерных систем, и, в частности, для уравнений Навье-Стокса, исследование бифуркации рождения предельного цикла было проведено в работах В. И. Юдовича [33], Ж. Иооса [34], Д. Джозефа [35] и Д. Саттин-гера [36].
Для нахождения вторичных режимов, ответвляющихся от основного решения, применяется метод ветвления теории нелинейных уравнений — метод Ляпунова-Шмидта. В работах [37, 38, 39, 40, 41] A.M. Ляпунов рассматривал задачу о фигурах равновесия вращающейся однородной жидкости, в которой был разработан и применен этот метод для интегральных уравнений. Независимо от него Э. Шмидт в своей работе [42], посвященной исследованию нелинейных интегральных уравнений, также построил теорию ветвления решений. Дальнейшее развитие метод Ляпунова-Шмидта в теории нелинейных интегральных уравнений получил в работах Л. Лихтенштейна [43], А. Гамерштейна [44], Р. Иглиша [45, 46], А. И. Некрасова [47, 48], Н. Н. Назарова [49], А. Э. Стапана [50, 51] и др. Для нахождения всех малых решений уравнения разветвлений А. Э. Стапан воспользовался методом диаграммы Ньютона [52, 53]. В дальнейшем метод Ляпунова-Шмидта был распространен на нелинейные уравнения в банаховых пространствах в работах Т. Симидзу [54], Р. Бэртла [55], Л. Грэйвса [56],
В. А. Треногина [57, 58, 59] и др. Метод Ляпунова-Шмидта изложен в [60, 61]. Отметим, что для исследования вопроса о продолжаемости и ветвления решений нелинейных уравнений также применяются топологические и вариационные методы [62, 63].
В настоящей диссертации применяется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в работах В. И. Юдовича [64, 65]. Разработанный им вариант метода Ляпунова- Шмидта в задаче о возникновении стационарных и автоколебательных режимов при потере устойчивости стационарного течения не только привел к теоретическому пониманию этого явления, но и был многократно применен к различным задачам гидродинамики и неконсервативной теории устойчивости. Часть этих результатов отражена в монографии [66] (перевод на английский язык [67]).
А. Н. Колмогоровым на руководимом им семинаре была поставлена задача [68, 69] об устойчивости плоского периодического течения вязкой несжимаемой жидкости, возникающего под действием пространственно-периодической силы (течения Колмогорова): параллельного течения вида V = (0,7/^sini) в предположении, что возмущения периодичны по xi, Х2 с периодами 2тг, 2тт/а. Отличие от задачи устойчивости в плоских трубах состоит в допущении периодичности по xi, вместо условия прилипания. Л. Д. Мешалкин, Я. Г. Сипай [70] исследовали устойчивость этого течения. Показано, что при а > 1 основное решение всегда устойчиво; когда а < 1 при больших числах Рейнольдса происходит монотонная потеря устойчивости; при возрастании числа Рейнольдса неустойчивость наступает при малых значениях а, т. е. самыми опасными возмущениями являются длинноволновые. В работе В. И. Юдовича [33], посвященной течению Колмогорова, построен один из первых примеров неединственности решений стационарных задач динамики вязкой жидкости. С. М. Зеиьковская [71] рассматривала задачу устойчивости периодического по времени течения, близкого к течению Колмогорова.
Исследованием возникновения вторичных режимов движения в случае основного течения Колмогорова и их устойчивостью занимались В. И. Кляц-кин [72], Т. С. Грин [73] А. А. Непомнящий [74], Б. Ю. Скобелев, В. В. Стру-минский [75]. В [74] показано, что вторичный режим неустойчив по отношению к возмущениям с произвольной длиной волны.
Н. Ф. Бондаренко, М. 3. Гак, Ф. В. Должапский [76] привели результаты лабораторного исследования плоского периодического течения электролита, возбуждаемого магнитогидродииамическим методом в канале конечных размеров. Результаты экспериментов находятся в хорошем качественном согласии с предыдущими работами по течению Колмогорова. Обзор исследований и лабораторных экспериментов квазидвумерных течений приведен в [77] (см. также [78]). Работа [79] посвящена исследованию течения Гольфстрим, одного из самых известных крупномасштабных движений океана. Исследование течения Колмогорова продолжилось в [80, 81, 82].
В работе В. И. Юдовича [83] рассматривались параллельные течения вида V = (0,^2(0:1)), частным случаем которых является течение Колмогорова. Исследовалась их устойчивость относительно возмущений, периодических по жі, х<2 с периодами 27Г, 2п/а. Доказано, что все такие течения неустойчивы при достаточно больших числах Рейнольдса и малых а. Если среднее значение продольной компоненты скорости отлично от нуля: () ф 0, то происходит колебательная потеря устойчивости, а если V
В. И. Юдовичем [84] было доказано, что неустойчивость параллельных течений относительно длинноволновых возмущений приводит к возникновению сверхкритического автоколебательного режима типа простой вол-
ны. Доказано, что построенный автоколебательный режим устойчив относительно пространственно-периодических возмущений одинаковой с ним длины волны. Для расчета этого режима применялся метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в [64, 65], в сочетании с асимптотикой длинных волн.
В 1990 г. задача устойчивости основного течения была рассмотрена В. И. Юдовичем в трехмерной постановке, в предположении, что один из пространственных периодов стремится к бесконечности: Ьз = 27г/а, а —> 0, а два других фиксированы. Длинноволновая асимптотика задачи устойчивости трехмерных стационарных течений вида
V = (aVuaV2,V3) (0.1)
построена в [85]. Для главных членов асимптотики получены явные формулы. Явное построение асимптотики оказывается возможным потому, что скорость в поперечном направлении предполагается малой (порядка а), так что сохраняется неизменным уравнение неразрывности в продольно-сжатой системе координат ах$. Для определения коэффициентов разложения в ряды по а служат условия разрешимости высших приближений, которые получаются в результате осреднения исходных уравнений по переменным х\,Х2- В частности, показано, что если () ф 0, то при уменьшении вязкости происходит колебательная потеря устойчивости. Если же (Уз) = 0, то искомые собственные функции и декременты опеределяются как решения некоторой самосопряженной краевой задачи с переменными коэффициентами.
Асимптотическими методами длинноволновая асимптотика в кинематической проблеме магнитного динамо построена в [86]. В случае ненулевого продольного расхода жидкости явно указаны условия неустойчивости и критическое значение магнитной вязкости. Подчеркнем, что в [83] -[86] осреднения возникают естественно, как условия разрешимости соответствующих неоднородных задач, а не вводятся извне. Дальнейшее развитие
метода осреднения вообще, и для систем со связями, в частности, дано в [87], [88].
В [89] построена асимптотика автоколебательного режима, ответвляющегося от трехмерного стационарного пространственно-периодического течения (0.1) при малых <у, когда число Рейнольдса переходит критическое значение, найденное в [85].
На основании полученных асимптотических формул численно построены траектории движения частиц жидкости во вторичных потоках.
Подобно фазовым кривым консервативных неавтономных систем [90]-[92], траектории движения частиц несжимаемой жидкости (пассивной примеси) в фазовом пространстве обнаруживают как регулярное, так и хаотическое поведение. Характеристиками хаоса являются показатели Ляпунова, спектр Фурье, отображение Пуанкаре, явление перемешивания [90] -[95]. Хаотическое поведение частиц жидкости (пассивной примеси) при регулярном поле скоростей называется лаграижевой турбулентностью.
Макроскопипические движения пассивной примеси и возникающая при этом лагранжева турбулентность в двумерных вторичных по отношению к течению Колмогорова течениях жидкости, сдвиговых течениях несжимаемой жидкости численными методами исследована в [96]-[98]. Хаотическая динамика в спиральных трехмерных течениях невязкой сжимаемой жидкости изучена в [99]. Исследование лагранжевой турбулентности методом сечений Пуанкаре в задаче о течении вязкой жидкости в слое между вращающимися эксцентричными цилиндрами проведено в [100].
Актуальность темы. Интерес к проблеме потери устойчивости и рождению новых режимов в нелинейных моделях математической физики обусловлен как технологическими применениями, так и запросами теории. Известно, что в течениях жидкости, например, при увеличении скорости, возникают хаотические (так называемые турбулентные) течения. Было предложено несколько сценариев (Ландау-Хопф, Рюэль - Такенс, Фейгенбаум)
перехода от регулярного течения к хаотическому, но до сих пор проблема перехода (как и природа развитой турбулентности) до конца не понятна.
Проблема этого перехода тесно связана с потерей устойчивости основного регулярного течения. В природных и искусственных системах при изменении параметров, определяющих внешние условия или внутренние свойства системы, стационарные состояния теряют устойчивость. При этом могут возникать незатухающие периодические колебания. Это явление широко распространено. Им объясняется переменная светимость некоторых звезд, появление периодически протекающих биохимических реакций, флаттер в самолетных конструкциях, колебания скорости в потоке жидкости и т.д.
В диссертационной работе рассматривается задача устойчивости двумерных стационарных пространственно-периодических течений вязкой несжимаемой жидкости. Двумерные течения служат моделью реальных течений жидкости или газа, в которых под влиянием тех или иных физических причин горизонтальная составляющая поля скорости существенно преобладает над вертикальной. Указанные течения играют важную роль в природных и технических гидродинамических системах. К ним относятся, в частности, крупномасштабные движения океана и атмосфер вращающихся планет (включая Землю), циркуляция плазмы на солнце и других звездах, эволюция галактик и течения в замагниченной плазме.
В диссертационной работе с помощью асимптотических разложений моделируются вторичные автоколебательные режимы, ответвляющиеся от основного стационарного решения нелинейных уравнений Навье-Стокса. При этом инструментом исследования является разработанный В. И. Юдо-вичем вариант метода Ляпунова-Шмидта. Этот метод был неоднократно применен и продолжает применяться к различным моделям гидродинамики и неконсервативной теории устойчивости (течения жидкости в каналах и трубах, автоколебания вязкоупругих стержней, автоколебательная коп-
векция многокомпонентной жидкости и т.д.). В диссертационной работе метод позволяет получить явные представления сложных вторичных течений, что при решении подобных задач удается довольно редко.
При исследовании реальных течений жидкости изучается поведение пассивной примеси. Например, для исследования океанических течений, таких как Гольфстрим, используются дрифтеры — свободно дрейфующие поплавки с антенной, информация о положении которых передается с помощью спутниковой связи. В настоящей работе на основе полученного асимптотического представления вторичных течений проводятся компьютерные эксперименты по исследованию поведения частиц жидкости (пассивной примеси) в автоколебательных потоках. При периодическом (регулярном) поле скоростей обнаружено возникновение хаотического поведения пассивной примеси, — так называемая лагранжева турбулентность.
Объект исследования. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости на плоскости под действием поля внешних сил F(x,t), х Є К2, периодического по пространственным переменным х\,Х2 с периодами Li, L2 соответственно, причем Z/2 ^ Ь\. Период L\ считаем равным 27Г, а отношение периодов характеризуем волновым числом а« 1: L2 = —. Поле скорости v и давление р удовлетворяют системе уравнений Навье-Стокса:
-z- + (y,V)v-i/Av = -Vp + F, divv^O, (0.2)
CJ ь
где v = — безразмерная вязкость — величина, обратная к числу Рей-
Re
нольдса.
Поле скорости v предполагается периодическим по пространственным переменным Х\, Х2'.
v(xi + Lux2,t) = v(xuX2,t), v(xi,x2-\- L2,t) = v(xi,x2,t). (0.3)
Здесь и далее через (д) обозначается среднее по периоду L\ значение функции д, а через ((g)) — среднее по прямоугольнику периодов Q =
[0,Li]x[0,L2]:
(g) = — I g(xi, x2) dxi, ((g)) = TqT / 9Ы, x2) dxxdx2.
0 fi
Среднее значение скорости по прямоугольнику пространственных периодов считается заданным:
««» = Я- (0.4)
Если F = (0, F2(xi)), 9 = (0, дг), то задача (0.2) - (0.4) имеет стационарное решение:
V = (0,1^1)), (0.5)
частным случаем которого является течение Колмогорова V = (0, Asinxi). Объектом настоящего исследования является течение вида
V = (aVi (xi,X2),V2(xi,X2)), а«1, (0.6)
близкое к параллельному течению (0.5).
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является моделирование пространственно-периодических стационарных и периодических по времени течений жидкости и лагранжевой турбулентности асимптотическими и численными методами.
В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:
Исследовать устойчивость основного стационарного решения (0.6) задачи (0.2)-(0.4) и построить длинноволновую асимптотику задачи устойчивости двумерных стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости.
Найти асимптотики вторичных режимов, ответвляющихся от основного течения при уменьшении вязкости в двух случаях: когда поток основного течения вдоль длинного периода L2 отличен от нуля и когда он равен нулю.
Программно реализовать численные методы построения и исследования вторичных течений.
На основании полученных аналитически асимптотических разложений — провести компьютерное моделирование поведения «частиц» жидкости (пассивной примеси) в основных и вторичных потоках, исследовать возникновение лагранжевой турбулентности.
Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:
Исследована устойчивость относительно длинноволновых возмущений двумерных стационарных пространственно-периодических течений, близких к параллельным. Показано, что при уменьшении параметра вязкости происходит бифуркация рождения цикла.
Для течений общего вида явно найдены первые члены асимптотики вторичных режимов с помощью нового подхода и модификации метода Ляпунова-Шмидта. Рассмотрен новый практически важный случай течения со средним продольной компоненты скорости вдоль длинного периода, равным нулю.
Численно исследовано поведение частиц жидкости (пассивной примеси) в основном и вторичном течениях, для чего был создан комплекс программ.
Показано, что для вторичных течений возможно два типа траекторий: регулярные и хаотические. Обнаружена лагранжева турбулентность.
Методы исследования. Для исследования потери устойчивости основного стационарного режима течения используется метод линеаризации
в теории гидродинамической устойчивости и разложение по малому параметру. При построении вторичных автоколебаний используется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в работах В. И. Юдовича, в сочетании с длинноволновыми асимптотическими разложениями. Компьютерный эксперимент проводился с помощью методов Рунге-Кутта 4-го порядка и — повышенной точности — 8-го порядка для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, при численном решении контролировалось сохранение условия несжимаемости.
Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением строгих математических методов, использованием надежных численных методов, сопоставлением полученных результатов с результатами других исследователей, а также с имеющимися экспериментальными данными.
Научная и практическая ценность. Результаты работы углубляют понимание гидродинамических явлений, происходящих при потере устойчивости основного стационарного режима и бифуркации рождения цикла. В данной работе научную и практическую ценность представляют построенные явно асимптотические разложения сложных автоколебательных режимов. Полученные результаты для течений общего вида могут применяться для теоретических исследований и численных расчетов в гидродинамических и геофизических моделях.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры «Вычислительной математики и математической физики» Южного федерального университета, на следующих научных конференциях: V, VI, VII, VIII, IX, X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону; 2000, 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007), международной школе-семинаре «Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики» (Ростов-на-Дону; 2000, 2001), международной
зимней школе-семинаре МГУ «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (пятнадцатая и шестнадцатая школа НеЗаТеГиУс) (Москва; 2002, 2004), международной школе-семинаре «Симметрия и косимметрия и их приложение в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Сочи; 2002, 2003), международной конференции посвященной 70-летию В. И. Юдовича «Математическая гидродинамика: модели и методы» (Ростов-на-Дону; 2004).
Исследования по диссертационной работе были составной частью работ по проектам:
«Математическая теория конвекции жидкости (переходы, селекция, эффекты вибрации и турбулентности)» (РФФИ 99-01-01023-а);
«Программа поддержки молодых ученых (для проекта 99-01-01023)» (РФФИ 01-01-06341-мас, рук. А. П. Мелехов);
«Математическая теория конвекции жидкости (переходы, параметрическое возбуждение волн, асимптотические методы, магнитогидродинами-ческие и вибрационные эффекты)» (РФФИ 02-01-00337-а);
«Программа поддержки молодых ученых (для проекта 02-01-00337)» (РФФИ 02-01-06300-мас, рук. А. П. Мелехов);
«Программа поддержки молодых ученых (для проекта 02-01-00337)» (РФФИ 03-01-06556-мас, рук. А. П. Мелехов);
Грант Президента РФ по поддержке ведущих научных школ «Математическая теория движения жидкости — разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№НШ-1768.2003.1).
«Математическая теория конвекции жидкости (динамическая неустойчивость, асимптотические эффекты, переходы при разрушении косиммет-рии в фильтрационной конвекции)» (РФФИ 05-01-00567-а);
«Математическое моделирование и исследование динамики жидкости со сложными физико-химическими свойствами при электромагнитных и
вибрационных воздействиях» (РФФИ 07-01-92213-НЦНИЛ-а).
Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, из них 2 работы в изданиях, входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», утвержденный ВАК. Получено свидетельство на программу [118].
Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [101, 102] — построение длинноволновой асимптотики задачи устойчивости, применение метода Ляпунова-Шмидта для нахождения асимптотики автоколебательных режимов, расчет вторичных течений для конкретных примеров основных течений; [108, 111, 112] —- построение длинноволновой асимптотики линейной задачи устойчивости в случае среднего значения продольной компоненты скорости вдоль длинного периода, равного нулю; [110] — программная реализация численных методов, проведение компьютерных экспериментов для моделирования поведения пассивной примеси во вторичных течениях; [113, 114] — применение метода Ляпунова-Шмидта для нахождения асимптотики автоколебательных режимов в случае среднего значения продольной компоненты скорости, равного нулю; [115, 116] — проведение сравнения результатов двумерного случая с трехмерным; [117] — построение длинноволновой асимптотики, программная реализация численных методов, моделирование поведения пассивной примеси, проведение компьютерных экспериментов.
Структура и объем. Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (118 наименований) и приложения. Общий объем диссертации — 145 страниц, включая 26 рисунков и одно приложение объемом 7 страниц.
Краткое содержание работы. Первая глава посвящена исследованию устойчивости основного течения общего вида, близкого к параллель-
ному, с ненулевым средним компоненты скорости вдоль длинного периода
V = (аУіОсі, х2), V2{xu х2)): (V2) ф О
при уменьшении параметра вязкости — величины, обратной числу Рей-нольдса. Показано, что в невырожденном случае возникает колебательная потеря устойчивости. Найдены явные формулы первых членов асимптотики по волновому числу а критического значения параметра вязкости и, собственных значений а и собственных функций <р соответствующей линейной спектральной задачи. Найдена асимптотика автоколебательного режима, ответвляющегося от основного течения при малых се, когда вязкость переходит критическое значение. Приведены примеры расчета вторичных течений для нескольких частных практически важных случаев.
Во второй главе исследуется устойчивость основного течения общего вида, близкого к параллельному, в случае нулевого среднего
V = (aV1(x2),V2(x1)), (У2>=0.
Найдены первые члены асимптотики критического значения вязкости, собственных значений и собственных функций. Показано, что в отсутствие вырождений, происходит колебательная потеря устойчивости. Построена длинноволновая асимптотика ответвляющегося автоколебательного режима. Полученные результаты сравниваются с результатами первой главы.
В третьей главе на основе асимптотик, построенных в первой и второй главах, исследуется поведение пассивной примеси в основных и вторичных потоках, моделируется лагранжева турбулентность. Для этого рассматриваются системы уравнений на плоскости, описывающие движение частиц жидкости (пассивной примеси) в основном течении
x = V,
а также в возмущенном потоке
х = V -f и.
Здесь х = (^1,^2), V — поле скоростей основного течения, и — скорость соответствующего автоколебательного режима.
Проведенные компьютерные эксперименты свидетельствуют, что уже в двумерном случае, движение вторичного потока приводит к лагранжевои турбулентности — хаотическому поведению частиц жидкости при регулярном поле скоростей.
В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы и выводы.
В приложении приводится описание комплекса программ, созданного для компьютерного моделирования движения частиц жидкости (пассивной примеси).
Я выражаю глубокую благодарность научному руководителю С. В. Ре-виной за предложенное направление исследований и постоянное внимание к работе, а также семинару кафедры Вычислительной математики и математической физики мехмата ЮФУ за внимание и полезные обсуждения.
Линейная спектральная задача
Применяется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в [64, 65], в сочетании с асимптотикой длинных волн. Если F = (0,vf(xi)), q = (0,g), то единственное стационарное параллельное течение V = (0,г (а;і)) определяется как решение задачи: —v" = f{x\) — (/), (v) = q. К классу таких движений относится течение Колмогорова [69]. Длинноволновая асимптотика (а —» 0) задачи устойчивости двумерных параллельных течений v = (0,v2(xi)) получена в [83]. Показано, что при достаточно больших числах Рейнольдса основное течение неустойчиво. В случае, когда (v2} ф 0 происходит колебательная потеря устойчивости, а, например, когда v2{x\) — нечетная, то — монотонная. В [84] построена асимптотика автоколебаний, возникающих при потере устойчивости параллельных течений. Для расчета этого режима применен метод Ляпунова-Шмидта, развитый в [64, 65], в сочетании с асимптотикой длинных волн. Задача устойчивости пространственно-периодических стационарных трехмерных течений вида v = (avi,av2,V2,): (г з) ф 0 рассмотрена в [85]. Показано, что при уменьшении вязкости происходит колебательная потеря устойчивости. В данной главе исследована задача устойчивости основного течения, получены явные формулы для нескольких первых членов асимптотических разложений вторичных автоколебаний.
Для течения общего вида (1.4) показано, что возможна как мягкая, так и жесткая потеря устойчивости, а также приведены примеры нахождения автоколебаний ответвляющихся от конкретных течений. Методы и идеи работы базируются на статьях В. И. Юдовича [83], [84], [85]. Случай параллельного течения вида v — (0,112( 1)) рассмотрен в работах [83], [84], а линейная задача для трехмерного течения вида v = (0 1, 2, 3)( 1) 2, 3) рассмотрена в работе [85]. В настоящей работе двумерное течение вида (1.4) исследуется без применения функции тока, что позволяет обобщить полученные результаты на трехмерный случай. 1.2. Линейная спектральная задача Полагая для любого решения v , Р уравнений Навье-Стокса где V, Рдг — поле скоростей и давление основного решения, и, Р — возмущение, приходим к возмущенной системе Сделаем замену переменных: z = ax2. Для нормальных возмущений вида и = (р(х\, z)e(Tt, Р = p(xi, z)eat получается задача Заметим также, что функция р = p(xi,z) — периодична по обеим переменным. Действительно, из уравнений (1.6) и (1.7) видно, что функции дР дР п - А. —— и — периодичны. Отсюда получаем общий вид для функции р: дх\ oz где функция f(x\,z) периодична по обеим переменным, А и В — константы. Осредним уравнение (1.6) по xi, z: Интегрируя 1-е и 3-е слагаемые в левой части этого равенства по частям и воспользовавшись условиями несжимаемости из (1.1) и (1.8), получаем
Следовательно, левая часть равна пулю. Подставив общий вид р (1.11) в уравнение (1.13), получаем А = 0, то есть Теперь осредним уравнение (1.7) по переменной х\\ Дифференцируя по частям и подставляя найденный общий видр (1.14), получаем Тогда из (1.16) следуют два утверждения. Во-первых, из осреднения этого равенства по z находим В = 0. То есть функция p(x\,z) = f(xi,z) — периодична по обеим переменным. Что и требовалось доказать. Во-вторых, для (р) можно записать равенство Интересуясь колебательной неустойчивостью, будем разыскивать критические значения параметра v и отвечающие им собственные значения СУ на мнимой оси, а также собственные функции — поле скоростей и давления ( /?,р) в виде формальных рядов по степеням а: Найдем коэффиценты разложения (1.18). Для этого в систему (1.6)-(1.9) подставим ряды (1.18) и найдем решения систем возникающих при различных степенях а. Выписываем из системы (1.6)-(1.9) слагаемые при а0: Из (1.21) имеем ip\ = 1(2). Тогда, из осреднения уравнения (1.19) получаем 7Q PI(Z) = 0. Отсюда следует, что GQ — 0. Уравнение (1.19) принимает вид —— = 0. Следовательно, ро — Po(z)- Из уравнения (1.20) находим ip\ дх\ где функция #(2:1,2:) определяется из соотношений Теперь приравняем в (1.6)-(1.9) выражения при а1: Осредиив уравнение (1.25), приходим к уравнению
Нахождение амплитуды автоколебаний
В данной главе исследована устойчивость относительно длинноволновых возмущений двумерных стационарных пространственно-периодических течений, близких к параллельным. Исследование проведено для течений общего вида (1.4). Показано, что при уменьшении параметра вязкости происходит бифуркация рождения цикла: от основного стационарного решения ответвляется автоколебательный режим. Получены явные формулы для нескольких первых членов асимптотических разложений вторичных автоколебаний. Для течения общего вида (1.4) показано, что возможна как мягкая, так и жесткая потеря устойчивости. Применяется подход, когда устойчивость двумерных стационарных течений исследуется и вторичные течения строятся без применения функции тока — в той форме, которая является общей как для двумерных, так и для трехмерных течений, что позволяет обобщить полученные результаты на трехмерный случай. При построении асимптотики применяется модификация метода Ляпунова-Шмидта. В отличие от стандартного метода, разложение происходит не только по малому параметру — иадкритичпости. На каждом шаге метода Ляпунова-Шмидта строится также асимптотика по волновому числу.
Приведены примеры нахождения автоколебаний, ответвляющихся от конкретных течений. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости на плоскости х = (#1, х2) Є R2 под действием поля внешних сил F(x,t), периодического по пространственным переменным х\ и х2 с периодами L\ и Ь2 соответственно. Поле скоростей v и давление р удовлетворяют системе уравнений Навье-Стокса и условию несжимаемости: где v — безразмерная вязкость. В качестве краевых условий задается условие периодичности поля скорости v по пространственным переменным xi, Х2 с периодами Li, L2 соответственно: Предполагается также, что один из пространственных периодов стремится к бесконечности: L2 — 2-к/а, а — 0. Всюду в дальнейшем через (/) будем обозначать среднее по переменной хг\ Первая часть настоящей главы посвящена исследованию задачи устойчивости стационарного течения вида при условии, что (V2) = 0. Явно найдены первые члены асимптотики по параметру а собственных значений и собственных функций соответствуюгцей спектральной задачи. Показано, что в отсутствие вырождений, происходит колебательная потеря устойчивости. Потом находится асимптотика автоколебания (далее называемого вторичным течением), ответвляющегося от стационарного пространственно-периодического двумерного течения (2.7) (далее называемого основным течением) при изменении параметра вязкости v. Для нахождения асимптотики автоколебаний применяется метод Ляпунова-Шмидта в форме, данной в [64, 65], в сочетании с асимптотикой длинных волн. 2.2.
Линейная задача устойчивости Полагая для любого решения v , Р уравнений Навье-Стокса: приходим к возмущенной системе: Введем новую координату z = ax2. Тогда поле скоростей периодично по 2-й пространственной переменной z с периодом 2л". Для нормальных возмущений вида (fi(xi, z)eat получается задача: Из уравнений (2.14) следует, что ( 2) = 0. Заметим также, что функция р = p(xi, z) — периодична по обеим переменным. Действительно, из урав др др нений (2.12) и (2.13) следует условие периодичности функций —— и —. KJJb J_ СУ v Отсюда получаем общий вид для функции р: где функция f(xi,z) периодична по обеим переменным, А и В — константы. Из осреднения уравнения (2.12) по Ж], z получаем Следовательно, левая часть равна нулю.
Подставив найденный общий вид р (2.16) в уравнение (2.17), получаем А = 0. Теперь выпишем осреднение уравнения (2.13) по переменной х\\ Дифференцируя по частям и подставляя общий вид р, получаем Тогда из (2.19) следуют два утверждения. Во-первых, из осреднения этого равенства по z находим В — 0. То есть функция p(xi,z) = f(xi,z) — периодична по обеим переменным. Что и требовалось доказать. Во-вторых, для (р) можно записать равенство Интересуясь колебательной неустойчивостью, будем разыскивать критические значения параметра и и отвечающие им собственные значения сг, а также собственные функции — поле скоростей и давления ( /?, р) в виде формальных рядов по степеням а
Асимптотика автоколебаний
В данной главе исследована устойчивость относительно длинноволновых возмущений двумерных стационарных пространственно-периодических течений общего вида (2.7).
Показано, что в отсутствии вырождений, происходит колебательная потеря устойчивости. Получены явные формулы для нескольких первых членов асимптотических разложений вторичных автоколебаний. Для течения общего вида (2.7) показано, что возможна как мягкая, так и жесткая потеря устойчивости.
Во второй главе главные члены асимптотики автоколебаний находятся из разложений более высокой степени по а, чем в случае основного течения первой главы. Разложения имеют в этих случаях разный вид. d(zn) В случае () ф 0 из уравнения ()—-— = 0 было найдено, что (zo)i = 0, в отличии от случая () = О (см. (2.222)).
Также как и в первой главе разложение по а функции z2 в разных случаях начинается с различных степеней а: в случае (вв 2) ф 0 — с нулевой, в случае (9в 2) = О, V\ = const — с минус первой степени.
Рассмотрены два примера основных течений, которые отличаются друг от друга только средним значением второй компоненты скорости. Для них выписаны асимптотики автоколебаний.
В данной главе рассматриваются примеры течений, исследуется поведение частиц в основных и вторичных потоках, вычисляются параметры хаоса.
Как показано в [84], при критическом значении вязкости vc в двумерном случае для параллельного основного течения длинноволновая неустойчивость — мягкая. Т. е. основное параллельное течение при v — vc теряет устойчивость, и возникает автоколебание — вторичное течение.
Применив формулы, полученные в первой главе, выпишем несколько первых членов разложения в ряд по параметрам єна вторичного автоколебательного режима и = (ui,U2), ответвляющегося от основного течения вида и ведущие члены асимптотики по а критического значения вязкости ис. Для возмущений щ, U2 с ошибкой порядка О (є3 + а3) имеем. U2 =є25//4 vA sin x\ cos a(x2 — t) — 24\/2 cos x\ cos2a(x2 — t). Рассмотрим поведение частиц жидкости в возмущенном потоке v + и, отвечающем автоколебанию — вторичному течению.
Движение частиц жидкости в возмущенном потоке описывается системой Для исследования вторичного течения удобно перейти к системе координат, ДВИЖущеЙСЯ СО Средней СКОРОСТЬЮ ТечеНИЯ. После Замены Z = Х2 — t система (3.4) становится автономной, и ее можно привести к гамильтоновой форме:
Здесь функция тока ф имеет вид:
Таким образом, в движущейся системе координат (xi,z) мы приходим к двумерной автономной гамильтоновой системе. Движение двумерных систем с правой частью не зависящей от времени t исследованы, в таких системах хаотическое поведение невозможно. Следовательно в автоколебаниях, ответвляющихся от параллельного основного потока нет хаотического движения. Траектории частиц совпадают с линиями уровня гамильтониана ф. Приведем здесь исследование движения частиц в этом случае.
Очевидно, что при любых значениях коэффициентов А, В, С и Т точки с координатами являются равновесиями системы (3.5). Точки, соответствующие значениям /і и її одинаковой четности (її + І2 — 2к), при условии А 2п/2(єа)2 являются центрами, а в противном случае — седловыми точками. Точки, для которых /і + І2 = 2к + 1, всегда являются центрами. В случае, когда все указанные неподвижные точки являются центрами, существуют другие неподвижные точки, зависящие от параметров.
Гамильтониан ф в точках равновесия принимает следующие значения: Рассмотрим случай А 211І2(єа)21 когда особые точки, соответствующие l\ + h — 2к, являются седловыми. Из формулы (3.6) ясно, что в особых точках этого типа ф может принимать два различных значения (h, h четны, 1\,І2 нечетны). Этим двум значениям соответствуют два семейства седел. При эти значения совпадают, все седла находятся на одной линии уровня гамильтониана ф, а сепаратрисы, их соединяющие, разбивают плоскость на ячейки: инфинитное движение отсутствует (рис. lb). В данном случае сепаратрисами называются траектории, которые при t —» оо и при t — —оо приводят к различным неподвижным точкам. На рис. 1 сепаратрисы выделены жирными линиями.
Отметим, что на этом и на следующих рисунках масштабы по координатным осям существенно различны, поскольку L\ С /У2- Рис. 1 построен для случая г = а = 0.1, Л и 2.828. Если амплитуда скорости основного течения меньше А (рис. 1а), седла, расположенные на одной горизонтальной линии, соединены сепаратрисами, и поэтому движение частиц по переменной z ограничено. Однако частицы, находящиеся в «коридорах», по координате х\ могут уходить на бесконечность, двигаясь вдоль сепаратрис.
Поведение частиц во вторичном потоке, ответвляющемся от трехмерного сдвигового течения
Указанные особенности вторичного течения иллюстрирует рис. 2, на котором показана эволюция квадратной «капли» жидкости в неподвижных координатах (х\,Х2) Для различных значений А. Пунктирными линиями отмечены траектории вершин квадрата. Каждая ячейка координатной сетки соответствует прямоугольнику периодов. Разрыв контура на рис. 2d связан с тем, что точности вычислений не достаточно, чтобы разрепшть наиболее растянутую часть «хвоста».
Таким образом, при малых значениях амплитуды А в координатах (х\} z) часть частиц уходит на бесконечность по переменной ее і, часть движется периодически, образуя ячейки. Траекториям, замкнутым в движущейся системе координат (xi,z), в неподвижных координатах (xi,x2) отвечают движения по спиралям в положительном направлении х2 (см. рис. 2а, Ь), инфинитным траекториям — движения по спиралям, расположенным под углом к Х2. Таким образом, финитность движений по оси z свидетельствует о том, что скорость движения по оси Х2 порядка средней скорости fa). Однако часть частиц может неограниченно смещаться в поперечном направлении.
При А — А ъ координатах (x±,z) остается только финитное движение (рис. lb, рис. 2с). При А А одни частицы уходят на бесконечность по переменной z, другие образуют циклы, расположенные в вертикальной полосе (рис. 1с). В координатах {х\,Х2) как финитным, так и инфинитным фазовым кривым отвечают движения по спиралям параллельно оси Х2 (рис. 2d), но для инфинитных абсолютное значение скорости движения существенно больше, чем для финитных. Таким образом, в сильном сдвиговом потоке (А А ) потеря устойчивости не приводит к качественному изменению картины течения: по-прежнему имеются частицы, хронически опережающие основное течение, и частицы, отстающие от основного течения.
Проведенные эксперименты свидетельствуют, что при значениях амплитуды, отличных от критического значения А , в системе координат, дви-жущейся со средней скоростью основного потока, траектории движения частиц ведут себя подобно фазовым кривым математического маятника: частицы совершают финитное движение по циклам, окружающим особые точки типа центра или уходят на бесконечность вдоль сепаратрис. Для критического значения А = А остается только финитное «движение по циклам: сепаратрисы, соединяющие седла, разбивают фазовую плоскость на ячейки.
В этом пункте приводятся результаты статьи [107]. В отличие от случая параллельного основного течения, для описания движения частиц в автоколебаниях, ответвляющихся от непараллельного основного течения приходим к двумерной неавтономной гамильтоновои системе, в которой обнаруживается слабый хаос. Исследуем сначала траектории частиц жидкости в невозмущенной системе. Линии тока основного течения Линии тока основного течения (3.7) являются фазовыми кривыми системы
Эту систему можно привести к гамильтоновои форме с гамильтонианом ф = Xi + A cos i cosaa - Линии уровня функции ф будут одновременно и линиями тока системы (3.8). Неподвижными точками системы (3.8) являются точки фазового пространства с координатами, удовлетворяющими системам где Іі,І2 Є Z. Равновесия, удовлетворяющие первой системе, являются седлами, а второй — центрами. На рис. 3 показаны линии тока невозмущенного поля скорости для случая А = 2. Точками указаны центры, а крестиками — седловые точки. Выделен прямоугольник периодов. В силу двойной периодичности течения можно считать, что движение частиц жидкости происходят на поверхности тора или в прямоугольнике периодов со склеенными краями (х\ mod L\, Х2 mod L2). На рис. 4 показана эволюция «фазовой капли» в невозмущенной системе (3.8) с течением времени. В начальный момент времени частицы расположены на контуре квадрата (рис. 4). К моменту времени t = 100 контур под действием фазового потока деформировался: вытянулся вдоль оси Х2 и соответственно сузился по х\ так, что фазовая площадь осталась неизменной.
Таким образом, в случае непараллельного основного течения в отсутствие возмущений приходим к двумерной автономной гамильтоиовой системе, и линии тока основного течения аналогичны фазовым кривым возмущенной системы для случая параллельного основного течения в движущейся системе координат (a?i,2r). Асимптотика вторичного течения
В двумерном непараллельном случае возможна как мягкая, так и жесткая потеря устойчивости. В рассматриваемом случае основного течения (3.7) автоколебательный режим ответвляется мягко. Жесткая потеря устой чивости возможна только в случае, когда присутствуют ненулевые компоненты при є2а 1 в приводимых ниже формулах. Для случая основного течения (3.7) они равны нулю.
