Содержание к диссертации
Введение
1 Минимальные лагранжевы сплайны 18
1.1 Полиномиальные минимальные лаграпжсвы сплайны 18
1.1.1 Элементарные минимальные сплайны 18
1.1.2 О лагранжсвых гранично минимальных полиномиальных сплайновых аппроксимациях . 27
1.1.3 Оценки погрешности приближения кубическими сплайнами 32
1.1.4 О построении мультипликативных координатных функций на плоскости 39
1.2 Неполиномиальные минимальные сплайны 41
1.2.1 Построение непрерывных базисных функций 41
1.2.2 Построение решения ассоциированного уравнений 43
1.2.3 Оценка погрешности 45
2 Минимальные эрмитовы сплайны 46
2.1 Полиномиальные эрмитовы сплайны 47
2.1.1 Общие сведения 47
2.1.2 О существовании минимальных эрмитовых сплайнов 48
2.1.3 Частные случаи минимальных эрмитовых сплайнов 54
2.1.4 Примеры 57
2 2 Неполиномиальные эрмитовы сплайны 60
2.3 Аппроксимации первой и второй высоты 64
2.3.1 Построение приближений третьего порядка . 64
2.3.2 Построение приближений четвертого порядка 66
2.3.3 Приближение сплайнами шестого порядка . 67
2.3.4 Результаты численных экспериментов 69
3 Аппроксимации Эрмита-Биркгофа 74
3.1 Решение задачи Эрмита-Биркгофа при применении неполиномиальных сплайнов 74
3.2 Решение задачи Эрмита-Биркгофа при применении полиномиальных сплайнов 82
3.3 Квадратурные формулы, согласованные с построенными аппроксимациями 86
4 Описание программного комплекса 88
4.1 Первая версия программы 88
4.2 Система "SPTools" 90
4.2.1 Основные принципы 90
4.2.2 Реализация "SPTools" 91
4.2.3 Организация интерфейса "SPTools" 92
4.2.4 Основные возможности 94
4.2.5 Модификация информационной части 94
4.2.6 Экранные формы 95
Заключение
- О лагранжсвых гранично минимальных полиномиальных сплайновых аппроксимациях
- Неполиномиальные минимальные сплайны
- О существовании минимальных эрмитовых сплайнов
- Квадратурные формулы, согласованные с построенными аппроксимациями
Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время остается актуальной задача совершенствования методов решения известных интерполяционных задач Лагранжа, Эрмита и Эрмита-Биркгофа. Всем хорошо известно классическое решение этих задач с помощью интерполяционных полиномов. В ряде случаев применение интерполяционных полиномов не дает желаемого эффекта. Так, например, решение задачи Эрмита- Виркгофа с помощью интерполяционных полиномов в ряде случаев не существует.
При решении разнообразных задач хорошо зарекомендовало себя применение различных видов сплайновых приближений, рассмотреных в работах Стеч-кина СВ., Субботина Ю.Н., Вагера Б.Г., Серкова Н.К., Квасова Б.И. Применение минимальных полиномиальных сплайнов позволяет проводить последовательную интерполяцию в реальном масштабе времени. Стимулом к изучению этого направления приближения функций послужили работы В.С.Рябенького С.Г. Михлина и Ю.К. Демьяновича.
Решение задач Лагранжа и Эрмита с помощью полиномиальных минимальных сплайнов подробно рассмотрено в работах Буровой И.Г., Демьяновича Ю.К. , где в частности показано преимущество данного подхода при решении ряда задач математической физики, приближение строится на отдельном сеточном интервале в виде линейной комбинации нескольких соседних значений приближаемой функции в узлах сетки и некоторых функций, называемых базисными сплайнами. Набор базисных сплайнов вычисляется в аналитическом виде один раз для решения данной задачи интерполяции и далее при построении приближения никаких дополнительных систем решать не требуется. Полиномиальные минимальные сплайны обладают свойством точности на степенях аргумента.
Ввиду бурного развития информационных технологий вычислений, актуальной является задача построения приближений, обладающих свойством точности на произвольном множестве функций, что во многих случаях способствует уменьшению вычислительных ресурсов ввиду достижения более высокой точности результата с меньшими затратами памяти ЭВМ и меньшим количеством операций. Некоторый подход к построению таких приближений в классе сплайнов дан в работах Буровой И.Г., Демьяновича Ю.К. и Квасова Б.И.
В диссертации рассматриваются построение и свойства минимальных лаг-ранжевых, эрмитовых неполиномиальных сплайнов, изучаются решение задачи Эрмита-Вир кгофа минимальными полиномиальными и неполиномиальными сплайнами. Предлагаемые виды приближений были реализованы в виде модулей для пакета аналитических вычислений Maple, позволяющих получать соответствующие базисные функции в аналитическом виде.
Для удобства пользователя создана оболочка в среде разработки Borland C++ Builder.
При построении минимальных сплайнов, так же как в работах Демьяновича Ю.К. и Буровой И.Г., используется идея аппроксимационных соотношений, благодаря чему удается построить приближения с заданным порядком аппроксимации и обладающие точностью на заданном множестве функций как на конечной, так и на бесконечной сетке. При этом рассмотрены несколько типов ап-
проксимационных соотношений, порождающих различные типы минимальных сплайнов (Лагранжа, Эрмита). Для сохранения свойств приближения на конечной сетке в структуру минимальных сплайнов вблизи концевых точек вводится некоторая неоднородность. Полученные таким образом сплайны называются гранично-минимальными.
Для приближения функций одной переменной предлагается использовать базисы полиномиальных и неполиномиальных минимальных сплайнов, позволяющие строить приближения, точные на соответствующих полиномах.
Для аппроксимации функций многих переменных вводятся мультипликативные базисные функции, причем здесь возможна аппроксимация разного типа по разным координатным направлениям (смешанная аппроксимация).
Цель диссертационной работы
Построить минимальные и гранично-минимальные сплайны, обладающие локальным интерполяционным базисом, точные на алгебраических или обобщенных полиномах заданного порядка, исследовать их свойства, составить оптимальные алгоритмы и отладить соответствующие программные модули. Создать программный комплекс, позволяющий быстро проводить сравнение различных видов приближений с удобным интерфейсом, способствующим быстрому знакомству со свойствами различных видов возможных аппроксимаций и выбору наиболее подходящей для эффективного решения конкретной задачи.
Методы исследования
Для построения базисов минимальных сплайнов разрабатывается метод ап-проксиманионных соотношений, методы теории функций вещественного переменного (разложения в ряды Тейлора и др.), теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Программирование осуществляется в среде СН—Ь Builder. Аналитическое моделирование осуществляется в среде Maple.
Достоверность и обоснованность Достоверность результатов подтверждена доказанными теоремами и проведенными многочисленными тестами. Результаты численных экспериментов приведены в диссертации.
Результаты, выносимые на защиту
Построены минимальные сплайны, удобные для решения интерполяционных задач Лагранжа и Эрмита, обладающие локальным интерполяционным базисом и свойством точности на обобщенных полиномах заданного порядка, исследованы их свойства, составлены оптимальные алгоритмы и отлажены соответствующие программные модули.
Создана оболочка, позволяющая быстро проводить сравнение различных видов приближений. Составлены программные модули и разработана удобная оболочка для изучения тонкостей применения разных видов аппроксимаций, что позволяет эффективно исследовать поведение различных сплайновых приближения на конечной и бесконечной сетках.
Построены семейства неполиномиальных элементарных непрерывных гранично минимальных сплайнов, мультипликативных неполиномиальных сплайнов.
4. Построены решения некоторых задач Эрмита-Биркгофа с помощью семейства полиномиальных и неполиномиальных минимальных сплайнов.
Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные:
Построены семейства неполиномиальных лагранжевых непрерывных гранично минимальных сплайнов, мультипликативных неполиномиальных сплайнов.
Построены семейства эрмитовых минимальных неполиномиальных сплайнов
Построены решения некоторых задач Эрмита-Биркгофа с помощью семейства полиномиальных и неполиномиальных минимальных сплайнов.
Составлены программные модули и создана удобная оболочка для изучения тонкостей применения разных видов аппроксимаций, что позволяет эффективно исследовать поведение различных сплайновых приближения на конечной и бесконечной сетках.
Разработаны алгоритмы для генерации базисных Лагранжевых и Эрмитовых сплайнов.
Теоретическая и практическая полезность
Работа носит теоретический характер и имеет практический интерес. Может быть использована как в обучающих так и в исследовательских целях. Полученные результаты могут быть использованы для создания высокоэффективных алгоритмов решения различных практических прикладных программ. Результаты могут найти применение при решении задач интерполяции и аппроксимации вещественных функций одной и многих переменных как на конечной, так и на бесконечной сетке узлов, сгущающейся к точке особенности, при сжатии и последующем восстановлении с заданной погрешностью больших объемов графической информации, при численном решении ряда задач математической физики, в том числе при решении краевых задач вариационными методами, а также при построении параллельных форм алгоритмов перечисленных здесь задач.
Апробация работы
Основные результаты были доложены на следующих конференциях и семинарах:
International conference in memory of V.I.Zubov. Stability and Control Processes. 29.06-1.07.2005. SPb.
XXXVII Международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", 11-13 апреля 2006 г. СПб.
Результаты были использованы при чтении лекций по вычислительной математике для студентов математико-механического факультета
Основные результаты опубликованы (см. раздел "Публикации автора по теме диссертации "в конце автореферата) в статьях [2-5] и материалах конференций [1], [6].
Структура и объем работы
Диссертация объемом 146 страниц состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы и параграфы, приложения и списка литературы. Содержит 13 таблиц, 9 рисунков и список цитируемой литературы.
О лагранжсвых гранично минимальных полиномиальных сплайновых аппроксимациях
Пусть функция и Є С" 4"1 1), {х}} сетка упорядоченных узлов такая, что для некоюрого Кц 1 выполняется соотношение
Нетрудно видеть, что для равномерной сетки с шагом h KQ = 1. Аппроксимацию й(х) функции и на промежутке [x x +i) также, как и раньше, будем строить в виде: и(х) J2U(%J)WJ(X), (2.1) з где LOj(x) - интерполяционный базис полиномиальных сплайнов (см. [1]), определяемый из условия точности аппроксимации (2.1) на полиномах степени т. При построении сплайнов из3(х) предполагаем, что SUpp Ш3(х) = [Xj-r-a,Xj+ri-a], где г и т\ некоторые натуральные числа, задающие носитель сплайна м3{х), а а = — г + 1,..., г\ — 1. Будем предполагать, что m = г + г\ — 1. Считая, что кратность накрытия произвольной точки х носителями базисных сплайнов и)3{х) ограничена числом m-hl, нетрудно заметить, что в сумме выражения (2.1) небольшое количество слагаемых: k+r u(x) = Y1 и(х3)іі;3(х). (2.2) j-ki+l При г + v\ = m + 1 сплайны ш}(х) определяются однозначно. Система уравнений k+r-a ijj3{x)xv] = х", г/= 0,...,т при х [хк, Xk+i] однозначно задаем1 минимальные интерполяционные сплайны Wj(x): uJx) = (х - Ху) -n+i j -fc r (2.3) k = 3-r7...,j + n-l, U, X j [Xj-r-ai Xj+T —a\.
Заметим, что приближенные значения производных функции и легко вычисляются, если известны производные оА (х): йЮ(х)= u{x})uf\x). j=k r\+l Построенные таким образом сплайны и)3(х) имеют следующие свойства: 1) ш3(х3) = 1, ш3(хк) = 0 при j ф к, 2) и — й = 0 для и = 1, ж,..., т, 3) supp ujj = [Xj-r a, х3+Гі_а\, 4) ш, Є C( ). 5) « ) - # hm+1 C, где /І = тах3(х3+1 - х3): С = cons -зависит от и 3 и Ко.
В соответствии с выбором вершины j базисного сплайна и)3{х) относительно носителя базисные сплайны (1.3) будем называть левыми, если r-\-a р1 ], и, соответственно, правыми, если г\ — а [ 2 ] Здесь и далее [т] - наибольшая целая часть числа т, не превосходящая эго число.
Нетрудно видеть, что левые базисные сплайны дают большую погрешность аппроксимации (хуже оценки свойства 5) вблизи левого конца конечного промежутка [a, b], а правые базисные сплайны - вблизи правого конца соответственно. Для того чтобы на всем промежутке [а, Ь] был одинаковый порядок погрешности аппроксимации, будем вблизи левого конца использовать правые базисные сплайны, а вблизи правого конца - левые базисные сплайны. Далее будем рассматривать конечную сетку а = х0 xi ... хх = Ь.
Пусть mi = [у]. Выбор базисных функций (1.3) для аппроксимации (1.2) можно осуществить, например, следующим образом. На промежутках [хи хг+\], г = 0,..., mi берем г\ = 1, а = — і. На промежутках [ж ,ж +і] при к = mi + 1,... ,N — тп\ — 1 полагаем г\ = 1, а = -т/ц, На промежутках [хр?-ті+и sjv-m,+i+i], і = 0,..., mi - 1 задаем г = 1, а = тп\ — г — 1. Примеры а) При j = 0,..., N — 1 функцию и приближаем выражением и = u(xj)ujj(x) + u{x3+\)u)]+i(x), (2.4) где а; — #j+i г , X fc Xj Xj -iJ, vb f X 14-І w, = a - aj-i r x (2.5) i -і J/j—. ,0, x [х3-1,х]+1]. б) Пусть a = 0, n = 2, г = 1. Аппроксимация и на промежутке [#о,жі] задается выражением й = U(XQ)UQ[X) + «(іі)ші(яг) + и(х2)ь 2{х), (2.6) где гранично-минимальные сплайны из3{х) на промежутке [#0)] определяются формулами
Неполиномиальные минимальные сплайны
Пусть l,s — целые неотрицательные числа, связанные соотношением I -\- 5 = n, {xj} — упорядоченная по возрастанию сетка узлов на промежутке [а,Ь]. Функция и(х) задана в узлах сетки. Будем считать, что и Є Cn[a,b]. Приближение й{х) для функции и(х) на промежутке [ж а +і] строим но формуле й(х) = Т,к {хк) к{х). Функции и (ж), называемые базисными, будем находить из условий и(х)-й(х) = 0, u = (pi(x)1 t = 1,2,...,п, где yt Є C"[o;j_/+i,a;;+J. При условии suppojj = [xjs, xJ+i] количество уравнений в системе совпадает с количеством неизвестных. Система принимает вид: Е ViW JtW = ViW» « = l,2,...,n. fc=j-l+i В предположении, что определитель Вандермонда, построенный по системе { рг}, г = 1,2,., . ,n, D = П ( р(ж) — (яу)) обличен к+1-1 з к+8 от нуля на промежутке [xj-i+i,xJ+!)] С [а,Ь] получаем u)j{x) = Ф(Х) — Ф(ХА r . n Y\ ; Yy x Є [xk,xk+i), k+l-l j k+s k=j-8,...J + l-\\ , 0, X ft [Xj-si xj+l\ Заметим, что в соответствии с результатами [1], при I 1, s 1 базисные сплайны ьзі непрерывны на промежутке [а, 6].
Приведенные здесь сплайны успешно использовались при решении соответствующих интерполяционных задач. Приведем результаты численных экспериментов. -43 1.2.2 Построение решения ассоциированного уравнений
Построим однородное линейное уравнение, имеющее фундаментальную систему решений рх{х),..., рп{х). В соответствии с разделом 6,2.10 книги [22], при х [х:-і+і,х3+3] составим соотношение (р[{х), р 2{х), ... tfifn(x), и {х) = 0.
Предположим, что определитель Вронского W(a;), рі(х), 4 г(х)і ... ірп{х) отличен от нуля при х Є [xj-i+i,xJ+s]. Разлагая определитель по элементам последнего столбца и деля все члены полученного уравнения на W(x), получим искомое уравнение Lu = u{n){x)-\-Pl(x)u{n-l)(x) + ... + рп{х)и{х) = 0. Построим теперь общее решение неоднородного уравнения Lu — f(x) методом вариации произвольных постоянных. Положим п u{x) = Ct(x)ipt(x). 1=1 Для определения С\{х) в соответствии С [22] получаем систему п дифференциальных уравнений первого порядка Функцию и Cm+l(a,b) будем приближать функциями й вида где s неотрицательное число, а шй{и)ЗА \з Є Z, а = 0,1,..., s} — семейство функций с компактным носителем на {а, Ь). Предположим, что кратность семейства ш конечна: азам(ш) +оо.
Аппроксимации вида (2.1) удобно использовать при решении интерполяционной задачи Эр мита, поэтому будем называть их эрмитовыми аппроксимациями высотой s. Нетрудно видеть, что аппроксимация (2.1) точна на пространстве многочленов тгт тогда и только тогда, когда s ха а ta (J M W = i « = 0,1,...,m; (2.2) здесь считаем, что і7/7! = 0 при j 0 и х7/7! = 1 при 7 — 0-Определение. Выражение $ j а=0 называется минимальным эрмитовым сплайном, если выполнены соотношения (2,2) и для любого t Є (atb)\X верно равенство ае(в)ь)И = m + l.
Рассмотрим вопрос о существовании, единственности и гладкости функций и)3 Выделим на интервале (а, Ь) множества G_,,a,j = 0,±l,...;a = 0,l,...,5j, и предположим, что supp uJha С Gha. Некоторые множества GJiQ могут быть пустыми, в этом случае полагаем u)Jfa(t) = 0, t (a, 6)-Пусть для любых целых чисел к и j множество Akj = {а G3ia П (хк, хш) ф 0} либо пусю, либо представляет собой некоторую совокупность последовательных целых неотрицательных чисел {0,1,..., SktJ}. Сделанное предположение эквивалентно соотношениям
О существовании минимальных эрмитовых сплайнов
Пусть в узлах сетки {х3}, ... x3 j х3 х3+\ ... за даны поочередно значения функции и(х) и ее производной и (х): ...,и}_і,и3,и +і,... Считаем, что и C3(R}). На промежутке \x3,x3+i) функцию и(х) приближаем выражением й(х) = ur(xj-i)Uj-iti(x) + и(х3)и)3А(х) + u {x3+i)ujj+iti(x). Пусть if\(x) и р2{х) — достаточно гладкие линейно независимые функции. Из условий й(х) = и{х) при и = \,ip\{x),ip2(x) получаем Wj,oM = 1, vifo-iH-uM + VifoHoM + 1( +1) +1,1(3:) = tpi(x), Рг(х3-і)ш}-\Л(х) + р2{х3)и 3у0{х) + Р2(х3+і)ш3+і,і{х) = рг{х) Пусть р2(х) = р\[х), тогда определитель системы равен В предположении Д_, ф 0 нетрудно получить формулы базисных сплайнов: ojh0{x) = 1, _ УІ+ito - РМ)(2 +І - j - і(ж)) Wj_i,i(a;) = Wj+i,i(a;) = _ V -i(y(a?) - lj)(2lj-i - ?M - j) Аналогичные формулы имеем на промежутке [х3-\ьх3).
1.2. Получим оценки погрешностей приближений и(ж) на промежутке [rCj,;rj+i] при ф2{х) = Vlt ) Для ( ) - и у і (ж) — х 1.2.1. Пусть v?i(#) " е , у?2(#) = е2х. Следуя методу, предложенному в [3], построим однородное линейное дифференциальное уравнение, имеющее фундаментальную систему решений l,ipi(x),tp2{x): Ьи = иш-ги" + 2и = 0. Общее решение неоднородного уравнения Lu = f(x) имеет вид ф) = ci + с2ех + с3е2х + f (1 - e - )2 ft, где т/ [х3,х3+і], q, С2, сз произвольные постоянные. Пусть Г] = х, югда Полагая Uk,i(hs + j /i) = Wjt,i(s), s [0,1], k = j - l,j + 1, при достаточно малом h (например, h 1/4) получаем a,-i,iM = f + o(AJ), UJ+UW = + o(h% Поэтому имеем j-i,i(-s)I /і/4, [( +14(5) З/ї/4. Таким образом, искомая оценка погрешности приближения на промежутке [ j,a;j+i] принимает вид \й(х) - и(х)\ Kh3\\u" - Зи" + 2uf\\[xj Xj+lh где К и 0,58. 1.2.2. Аналогично при щ{х) = х, ірг{х) = %2 получаем оценку погрешности приближения на промежутке [sj,a;J+i]: /і3 \й{х)-и(х)\ j\\u "\\[Xj_uX3+l]. 1.3. Приведем результаты численных экспериментов по приближению некоторых функций на промежутке [0,1]. Пусть в узлах равномерной сетки с шагом h = 0,1 заданы значения функции и или ее производной. В табл. 1 приведены значения тах д] \й(х) — и(х)\, при ip2{x) = f it )) полученные при решении задачи Эрмита-Биркгофа в среде Maple. 2. Пусть в узлах сетки {х3} заданы поочередно значения то функции ц;, то второй производной: ..., и"_ъ и3, и ь .... Функцию и(х) будем приближать на [х3,хх+{) выражением й(х) = u j Uj-i x) + UjW3fl{x) + u 3+1uJ+h2(x). 2.1. Базисные функции ш3гі(х) определяем из условий и(х) = й(х), и{х) = 1,фі{х)}ір2{х)} которые задают следующую систему уравнений: ш3 0(х) = 1, y l{x3-i)uh2(x) + 4 i{x3)w3S (x) + tp {{x3+1)u3+h2{x) = щ(х), 4 {(x3-i)u h2(x) + ip2(x3)u)3${x) + 4%{х3+і)ш3+іі2{х) = p2{x). Если p2{%) = р\{х) — V ix), то определитель равен Д, = -2 -IK+IVJ+I - (4+i)2) + M+i(W-i)2 - -1 -1)-В предположении, что Aj 0 нетрудно получить 4 3-1,2{х) = А, ш,+і,2(а:) = = (Ф) - У3)(Щ-і)2 + ЪРз-itf-i - У?-іРМ - Ч?3-хФ)) Аналогичные формулы применяем на [а;л_і, a?j].
2.2. Получим оценку погрешности. Следуя методу, предложенному в [3], построим однородное линейное дифференциальное уравнение, имеющее фундаментальную систему решений 1,1р(х), р (х): 1 р ц О // &2) и О р" (if2) и" О р " {ср2) и" и ч2 = 0 Lu — -78 Имеем 1 ip(x) 2(#) tf \\3 W{x)= 0 p {x) 2ф)0 {х) =2{(f/{x)) О 0 {х) 2( р (х)У + 2у(х) р"{х) Решая систему уравнений: сі + (я) + 2(ж) = О 0 + 4 ) + 4( )/ = 0 o + 4/w + 4( wy = /w находим: іИ 2 ) ЧИ " И ))2 - 2(у {х)Г таким образом, решение уравнения Lu = f(x) имеет вид: з , rx f(A 3 Щ ( ) = сім и = І жУрМ) - )P + Ew - M. 1 = 1 откуда (=1 , \At)\ Итак, при г] — х\ X,-\ u"№ = 2/ г (И )]2 + Mx) - ( )№) + V W u(x) — u(x) = = _li2w / [№,-i)]4Mvi)-vM№-i)] + Tj+1 f(t) -79 т.о. при U = Є \u{x)-u{x)\ \\f\\[Xj ]+l](\x-x3-i\ max \u3.lt2{x)\e2 -x-x4 +\x-Xj{ max \uJh (x)\e2 X3 x)-Y\x x3+]\ max wJ+i,2(a:)e2 +I" ). 3. Пусть опять заданы в узлах сетки поочередно значения то функции, то второй производной: ..., и"_ь и3, и"+1,.... Функцию и(х) приближаем на [a a +i) й(х) = UjUJjfi(x) + u"+lujJ+lt2{x). 3.1. Система уравнений принимает вид ujfl(x) = 1, fp3w3fl(x) + p"+iu3+it2(x) = tp(x). Отсюда
Квадратурные формулы, согласованные с построенными аппроксимациями
"SPTools" разрабатывалась как система персонального пользования, с помощью которой пользователь может в интерактивном режиме получать теоретическую информацию о заинтересовавшем его виде приближения, проводить численные эксперименты над выбранным приближением и экспортировать результаты для последующего использования.
Основными входными данными являются: промежуток интерполяции, шаг сетки или набор упорядоченных по возрастанию узлов сетки; параметры сплайна: аналитические выражения для функций, задающих базисный сплайн (в случае неполиномиалыюго базисного сплайна), целые числа, задающие расположение носителя базисного сплайна относи і ел ьно вершины, целое число, определяющее количество используемых производных при построении приближения (высоту аппроксимации), аналитическое выражение приближаемой функции или ее значения в узлах сетки.
В предположении, что система будет применяться пользователями, не имеющими большого опыта работы с компьютером, в качестве целевой операционной системы было выбрана Windows 98, 2000, ХР, как распространенная на настоящий момент времени операционная система. Язык интерфейса русский. В качестве среды разработки была выбрана интегрированная среда разработки Borland С і і Builder, преимуществами которой являются:
1. Высокопроизводительный 32-х разрядный компилятор С/C-i—н с поддержкой 64-разрядных вычислений.
2. Удобная среда разработки и расширяемая библиотека готовых компонентов, существенно сокращающее обьем работ по разработке пользовательского интерфейса.
3. Поддержка технологий работы с базами данных
4. Досі атомно высокая степень эффективности кода с точки зрения работы приложения.
В качестве вычислительного модуля было принято использовать систему "Maple 9"фирмы Waterloo Maple Inc., - лидера среди универсальных систем аналитических вычислений, по следующим причинам:
1. Необходимо аналитически получать формулы аппроксимаций как для отображения их пользователю, іак и для повышения точности вычислений.
2. Необходимо аналитически задавать входные параметры аппроксимаций, виды сеток, функции, на которых требуется точность.
3. Возможность функционирования в скрытом для пользователя режиме, не требующем его участия.
4. Система позволяет проводить автономную разработку модулей для интеграции их в "SPTools" .
В результате работы программного комплекса аналитически генерируются формулы базисных сплайнов пулевой и ненулевой высоты, рассчитывается приближение, строятся графики базисных функций, приближений и погрешностей для аппроксимаций Лагранжа и Эр мита.
Система "SPTools" реализована в виде Windows-приложения со вложенными окнами (MDI), позволяющее максимально эффективно использовать рабочее пространство монитора. Предусмотрены следующие режимы расположения окоп: два режима автоматического распределение выбранных окон по рабочему полю программы без их наложения друг на друга, каскадное распределение окон, режим одного окна на экране, позволяющий максимально подробно анализировать графики и таблицы, ручное распределение, когда пользователь сам определяет местоположение окон и их количество.
