Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Возникновение и развитие неустойчивости в системах с тепломассопереносом 10
1.1. Механизмы возникновения межфазных неустойчивостей 11
1.1.1. Гравитационная конвекция Релея 13
1.1.2. Неустойчивость Марангони 16
1.3. Математические методы исследования межфазных неустойчивостей 18
1.3.1 Метод линейного анализа 18
1.3.2 Численные методы исследования конвекции 21
1.2 Возникновение конвективных течений в газовой фазе при испарении 25
1.2.1 Стефановский поток 26
1.2.2 Развитие конвективной неустойчивости 29
Выводы из обзора литературы и постановка задач исследований 35
Глава 2. Постановка начально-краевой задачи и алгоритмы численного решения 37
2.1 Модельная задача 37
2.2. Уравнения в безразмерных переменных и безразмерные параметры 43
2.3. Постановка задачи в переменных "функция тока - вихрь" 46
2.4. Постановка задачи в переменных скорость-давление 47
Глава 3. Математическое моделирование нестационарного процесса испарения однокомпонентних жидкостей 51
3.1 Конвективная неустойчивость Релея в процессе испарения 51
3.2 Стадии развития процесса в конвективном режиме 54
3.3 Влияние развитой конвекции на интенсивность массопереноса 56
3.4 Критические условия потери устойчивости в нестационарном процессе испарения 63
3.5 Сравнение численных методов, используемых при расчетах 70
3.6 Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными 74
3.7 Моделирование процесса испарения в плоском вертикальном канале 77
3.8 Моделирование испарения в условиях естественной и вынужденной конвекции 82
Глава 4. Моделирование процесса нестационарного испарения двухкомпонентных растворов 88
4.1 Условия конвективной неустойчивости при испарении бинарных растворов 88
4.2 Стационарная задача об испарении бинарного раствора 89
4.3 Изучение режима испарения в зависимости от начальных условий и физико-химических параметров системы 90
4.4 Сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными 103
Основные результаты и выводы 107
Литература 109
Приложение
- Математические методы исследования межфазных неустойчивостей
- Уравнения в безразмерных переменных и безразмерные параметры
- Стадии развития процесса в конвективном режиме
- Стационарная задача об испарении бинарного раствора
Введение к работе
Актуальность проблемы
Межфазный перенос в системах жидкость-газ играет важную роль в различных природных и технологических процессах. Интенсивность тепломассооотдачи во многом определяется режимом переноса в системе, который может осуществляться в результате молекулярного или конвективного механизма, в турбулентных потоках — за счет хаотического движения вихрей. В связи с этим исследование режима переноса в зависимости от физико-химических параметров является важной задачей при описании конкретных процессов.
Ряд процессов, таких как испарение, экстракция, растворение и др. в отсутствие вынужденной конвекции протекает в молекулярном режиме. Возникновение конвективной неустойчивости в системе приводит к развитию самопроизвольных течений, которые могут образовывать упорядоченные диссипативные структуры. По механизму возникновения разделяют неустойчивости, вызванные капиллярными либо плотностными эффектами, связанными, в свою очередь, с концентрационной или температурной неоднородностью. Переход к режиму развитой конвекции характеризуется интенсификацией межфазного тепломассопереноса. Исследование развития конвекции включает изучение следующих вопросов: определение критических условий потери устойчивости, определение скорости развития конвективной неустойчивости, анализ структуры стационарных конвективных течений и ее влияние на характеристики тепломассопереноса.
Развитие конвективной неустойчивости в основном исследуется в задачах теплопереноса. В задачах массопереноса конвективная неустойчивость исследуется реже, причем такие задачи имеют ряд особенностей: в общем случае необходимо рассматривать двухфазную
систему и учитывать возникновение конвективных потоков, связанных с межфазным переходом. Данная работа направлена на исследование возникновения конвективных течений в газовой фазе при испарении жидкостей. Возможность возникновения гравитационной конвекции в газовой фазе в процессе испарения часто не учитывается, в связи с этим его описание в литературе является недостаточно полным. Результаты экспериментальных исследований нестационарного процесса испарения чистых жидкостей и бинарных растворов [1,2] показали, что при определенных условиях, происходит возрастание скорости испарения. Переход к интенсивному режиму объяснялся сменой диффузионного режима испарения на конвективный.
Основной задачей при изучении испарения является определение скорости испарения в различных режимах процесса, а при испарении бинарных и более сложных растворов - кроме того, определение состава отходящего пара в зависимости от физико-химических свойств и условий протекания процесса. Для развития представлений о механизме процессов, протекающих при нестационарном испарении, необходимы теоретические исследования, которых к настоящему моменту недостаточно. Одним из основных методов исследования устойчивости систем является линейный анализ, однако его возможности ограничены классом стационарных задач, т.е. изучением систем с линейным распределением плотности по высоте в начальный момент времени. При изучении нестационарных процессов линейная теория не позволяет точно определить критические условия потери устойчивости и может быть применена при определенных допущениях, которые требуют обоснования в каждом конкретном случае. Кроме того, невозможно на основе линейной теории описать структуру конвективных течений, а также кинетику массопереноса в условиях развитой межфазной неустойчивости. Данные вопросы могут быть решены с помощью численных методов математического моделирования.
Использование численных методов для решения уравнений динамики движения среды с учетом свободной и вынужденной конвекции позволяет моделировать физико-химические процессы в широком диапазоне параметров. В данной работе проводится моделирование массопереноса при испарении в условиях развитой конвекции на основе решения нестационарных уравнений Навье—Стокса и конвективной диффузии.
Цель работы - исследование условий возникновения и закономерностей развития гравитационной конвекции, изучение режимов массопереноса в процессе нестационарного испарения чистой жидкости и бинарных растворов.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
разработка численного алгоритма, его верификация и создание на его основе программ для решения уравнений конвективного массопереноса при моделировании процессов испарения чистых жидкостей и бинарных растворов в газовой фазе;
анализ условий возникновения конвективной неустойчивости и изучение скорости испарения при разных режимах процесса в зависимости от физико-химических параметров системы и начальных условий;
исследование динамики развития конвективных течений и их структуры в газовой фазе;
исследование влияния конвекции на массоперенос.
Научная новизна
На основании результатов численных расчетов для одно- и двухкомпонентных систем определены критические условия потери устойчивости для нестационарных процессов испарения. Рассчитана скорость испарения жидкости и определена структура течений в режиме интенсивной конвекции. Для бинарных систем установлено существование
более одного стационарного режима, т.е. скорость испарения и состав пара могут различаться в зависимости от распределения концентрации компонентов пара по высоте газовой фазы в начальный момент времени. Показано, что вынужденная конвекция может как увеличивать, так и уменьшать скорость испарения в условиях развития естественной конвекции.
Математические методы исследования межфазных неустойчивостей
Теоретическое исследование явления неустойчивости при различных физических механизмах их возникновения первоначально проводится с помощью линейного анализа. В основе линейной теории устойчивости лежит исследование роста бесконечно малых возмущений скорости, давления, температуры или концентрации соответствующего стационарного профиля. Исследование проводится на основе линеаризованных уравнений, описывающих физическую систему. Предположение о малости возмущений позволяет найти их аналитическое решение. Полученное таким образом решение описывает поведение возмущений соответствующих переменных во времени и определяет критические условия нейтральной устойчивости, т.е. такое состояние системы, в котором инкремент возрастания возмущений равен нулю. На основе линейного анализа Релеєм были получены условия потери устойчивости для бесконечного горизонтального слоя жидкости с линейным распределением температуры по высоте и фиксированных значениях на границах. Система в задаче Релея-Бенара является наиболее простой и наглядной для определения критических условий, процедура нахождения которых подробно описана в [5, 7]. Линейный анализ межфазной неустойчивости Марангони при массопереносе между двумя жидкими бесконечными фазами приводится в [40]. Критическому значению числа Релея соответствуют конвективные течения, имеющие форму параллельных валов. При этом амплитуда критического движения бесконечно мала.
Исследование устойчивости нестационарных процессов на основе линейной теории проводится в предположении о "замороженных" концентрационных и температурных полях. В этом случае принимается, что в первоначально устойчивой системе возникают возмущения, скорость развития которых много больше скорости изменения соответствующего невозмущенного профиля. При данном подходе постановка задачи сводится к стационарной [53, 54]. Такое приближение использовалось для анализа неустойчивости Релея в процессе нестационарного испарения [55] и при изучении неустойчивости Марангони, возникающей при испарении бинарной смеси [51].
Таким образом, с помощью линейной теории устойчивости решается важная задача - определение пороговых значений параметров, выше которых сколь угодно малые возмущения приводят к потере устойчивости в системе. Однако, как отмечается в [5], в линейном приближении рассматриваемые возмущения развиваются во времени по экспоненциальному закону, что имеет место только на начальной стадии. В связи с этим, критические параметры потери устойчивости, полученные на основе линейного анализа, не всегда достоверно отражают поведение реальных возмущений.
Определить условия потери устойчивости, которые зависят от амплитуды конечных возмущений, и описать их развитие в закритической области можно с помощью слабо-нелинейного анализа. Этот метод основан на представлении решения в виде ряда по степеням малого амплитудного параметра. Исследование неустойчивости Релея-Бенара методом слабонелинейного анализа проведено в работах [5, 56, 57].
При переходе в закритическую область вопросы об устойчивости и реализуемости конвективных течений остаются открытыми [7]. В связи с этим, для исследования течений удобно использовать численное моделирование, поскольку оно позволяет исследовать стационарные и нестационарные надкритические течения при числах Релея, значительно превышающих Racr. Результаты численных расчетов позволяют провести исследование влияния различных параметров задачи и выявить основные закономерности исследуемого процесса. По сравнению с реальными физическими экспериментами численные расчеты дают возможность проследить эволюцию возмущений без влияния осложняющих внешних факторов. Современные вычислительные средства позволяют решать задачи в трехмерной геометрии, тем не менее некоторые важные результаты могут быть получены при решении двумерных задач. Такое приближение вполне допустимо, поскольку в определенном диапазоне параметров развитая конвекция в замкнутой области носит квазидвумерный характер.
Уравнения в безразмерных переменных и безразмерные параметры
В литературе применяется несколько способов перехода к безразмерным переменным и определяющим задачу параметрам при моделировании процессов с учетом конвективных течений. При определении способа обезразмеривания необходимо правильно выбрать масштаб времени, характеризующий рассматриваемый процесс. Чаще всего используются следующие варианты: H2/D - время распространения вещества за счет молекулярной диффузии на высоту /, либо гидродинамическое время H2/v время передачи импульса за счет вязкости. Оценка значений этих величин при развитии конвекции Релея-Бенара обсуждается в [32]. В данной работе применяются оба эти способа.
Первый вариант перехода к безразмерным переменным используется при описании испарения чистой жидкости. Для решения уравнения приводятся к безразмерному виду с помощью масштабов: длины — Н, времени - H2/D, скорости - D/H, концентрации — С и давления -(pvD)/H2. При использовании в дальнейших выкладках прежних обозначений, в безразмерных переменных система (2.1) - (2.3) принимает вид:
Поставленная задача характеризуется следующими безразмерными параметрами: Ra - числом Релея, Sc - числом Шмидта, L/H - удлинением области и г - числом Фурье. Число Релея определяет свободное конвективное движение, а число Sc характеризует параметры среды.
В задаче испарения бинарного раствора удобно использовать второй способ обезразмеривания с помощью следующих соотношений: за масштаб длины принимается высота системы Н, времени - Н21 у, скорости - у IН, давления - р0у2 IН2, концентрации С,. - концентрация С соответствующего компонента. В качестве безразмерных параметров используются записанные для каждого компонента числа Грасгофа Grt =Ra Sci = и Шмидт; Sc{ =— .В этом случае уравнения принимают вид: Граничные условия в безразмерном виде записываются следующим образом:
Для решения поставленной задачи с помощью разностных методов проведены численные расчеты на основе двух различных подходов к решению уравнений. В первом из них уравнения (2.15) - (2.17) были представлены в переменных "функция тока - вихрь", для решения которых использовалась неявная численная схема. Во втором - использовались уравнения в "естественных" переменных на основе квазигидродинамических уравнений (КГД), в этом случае применялась явная схема. Проведено сравнение полученных результатов расчетов, которые представлены в виде полей концентрации и функции тока на разных стадиях процесса и зависимостей потока испаряющегося вещества, характеризующих скорость испарения.
В данной работе уравнения гидродинамики в переменных функция тока - вихрь использовались при моделировании процесса испарения только однокомпонентных жидкостей при различных значениях физико-химических параметров. Для преобразования уравнений (2.15) - (2.17) в качестве независимой переменной вводится функция тока у/{х,у), которая связана с компонентами скорости следующими выражениями: и определяется вектор вихря скорости как со = V, U . На основе этих соотношений, уравнение движения, из которого обычно исключают давление с помощью оператора ротора, преобразуется в уравнение переноса вихря. Уравнение неразрывности (2.16) можно представить в виде уравнения Пуассона. В результате уравнения принимают вид:
Граничные условия для вихря отсутствуют в дифференциальной постановке задачи и задаются в разностном виде путем разложения в ряд Тейлора функции тока вблизи границы.
Дифференциальные уравнения аппроксимируются консервативной разностной схемой с использованием направленных разностей против потока для конвективных членов [59, 76]. Применяемый в работе метод расчета описан в [64]. Для решения разностных уравнений вихря и концентрации используется метод переменных направлений. При вычислении решения разностного уравнения для функции тока на каждом шаге по времени применяется метод установления. Этот метод заключается в том, что стационарные задачи можно рассматривать как результат установившегося процесса во времени, расчет которого может оказаться проще, чем прямой расчет равновесного состояния [104]. Значения функции тока в узлах сетки находятся итерационным методом переменных направлений с выбором оптимальных итерационных параметров по Жордану [69]. Данная разностная схема имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени.
Стадии развития процесса в конвективном режиме
Анализ устойчивости нестационарных процессов с помощью аналитических методов исследования проводится в предположении о "замороженных" концентрационных полях, на фоне которых происходит развитие возмущений. Таким способом исследуемая задача сводится к квазистационарной. При численном моделировании нестационарной задачи условия потери устойчивости можно оценить на основе зависимостей различных характеристик процесса от времени. Рїнтересно сопоставить критические условия, полученные этими двумя методами, для квазистационарной и нестационарной задачи. Такое сравнение позволит оценить корректность использования линейной теории при изучении устойчивости для нестационарных процессов.
Численные расчеты проводились для закрытой (условие 2.11) и открытой системы (условие 2.12 на верхней границе). Наиболее подробно изучена система при значениях параметров Ra= 7.7208 105, Sc = 0.6024. Число Релея выбрано достаточно большим, что заведомо определяет потерю устойчивости в системе и позволяет проследить все этапы развития конвективных течений.
Особенности развития конвекции в газовой фазе можно проследить по изменению изоконцентрационных линий и линий тока, которые реализуются в системе в разные моменты времени (рис. 3.2). В начале процесса, при малых временах, испаряющаяся жидкость занимает тонкий приграничный слой области у поверхности жидкости, толщина которого / растет со временем. Массоперенос в системе на этой стадии происходит в режиме молекулярной диффузии. Распределение концентрации пара в газовой фазе совпадает с профилем, соответствующем решению задачи о диффузии вещества в полубесконечную область: С = C0erf
Следовательно, на данном этапе влиянием верхней границы на развитие процесса можно пренебречь. В это время в области возникают слабые течения на уровне толщины диффузионного слоя с характерными скоростями порядка 10"5 м/с, которые первоначально не влияют на поле концентрации (рис. 3.2, I) и скорость испарения.
По мере расширения диффузионного слоя наступает момент, когда изоконцентрационные линии искривляются (рис. 3.2, /7), и формируются конвективные ячейки, значения скоростей в которых возрастают. Рост величины максимального значения скорости в системе с течением времени в начале процесса происходит достаточно быстро (рис. 3.3). В дальнейшем, при существенном переходе в закритическую область, наблюдается развитие конвективных течений (рис. 3.2, III), при этом скорости движения в ячейках достигают величины 10" м/с. Результаты расчетов показывают, что конвективные течения реализуются в виде крупномасштабных вихрей, которые занимают всю область сосуда.
На заключительной стадии испарения в случае закрытой системы конвекция затухает, и окончательное насыщение газовой фазы парами жидкости происходит в диффузионном режиме (рис. 3.2, IV). В открытой системе (по аналогии с задачей Релея - Бенара) устанавливается стационарный конвективный режим (рис. 3.2, V). В этом случае линии тока образуют одну ячейку, которая занимает всю область системы, а значения скоростей достигают до 0.05м/с. Соответствующее данному полю скоростей на рис. 3.4 показано распределение в ячейке горизонтальной составляющей скорости (и) по высоте области при х=0.5 и времени t=3Q0c. Видно, что вблизи твердых границ величина конвективной скорости убывает, а внутри области достигает наибольшего значения.
Одним из основных вопросов при изучении нестационарных процессов тепломассопереноса при потере устойчивости в системе является определение критического времени потери устойчивости - tcr. Значение tcr позволяет уточнить представления о начальной стадии развития неустойчивости, поскольку оно должно зависеть от скорости развития возмущений.
В процессе испарения tcr соответствует моменту времени, при котором диффузионный режим испарения теряет устойчивость и происходит переход к конвективному режиму. Необходимо выбрать критерий, по которому можно определить величину критического времени. Основными признаками потери устойчивости являются: появление замкнутых линий тока и искривление изоконцентрационных линий, достижение минимального значения безразмерного потока Sh на нижней границе. В экспериментальных работах время перехода к конвективному режиму определялось по излому зависимости полного количества испарившейся жидкости с единицы площади от квадратного корня из времени Q[ylt).
Стационарная задача об испарении бинарного раствора
При испарении чистой жидкости причиной возникновения конвекции является неустойчивая стратификация по плотности: конвекция возникает, если градиент плотности направлен вверх и по величине превосходит значение Racr. При этом степень неустойчивости в системе может только возрастать. На основании результатов моделирования испарения чистой жидкости было показано, что возникает проблема неоднозначности определения критических условий потери устойчивости, которая связана с нестационарностью исследуемого процесса. При нестационарном испарении многокомпонентных и, в частности, бинарных растворов задача определения критических условий становится еще более сложной.
Режим, в котором происходит испарение бинарного раствора, определяется соотношением молекулярных масс компонентов испаряющейся жидкости и принимающего газа. Если молекулярные массы обоих компонентов больше или меньше молекулярной массы газа, развитие процесса качественно не отличается от испарения чистой жидкости. Более интересная ситуация возникает, если молекулярная масса одного компонента больше молекулярной массы принимающего газа (Д 0), а другого меньше
Распределение относительной плотности в газовой фазе в зависимости от концентрации этих компонентов описывается соотношением:
Следовательно, если коэффициенты Д. (/=1,2) имеют разные знаки, соответствующее распределение плотности может быть существенно немонотонным. В этом случае задача об определении критических условий возникновения конвекции и существования стационарных конвективных режимов становится значительно более сложной.
В данной главе - приводятся результаты моделирования процесса испарения бинарного раствора в инертный газ. Результаты расчетов получены на основе численного решения задачи (2.29)-(2.37) при граничных условиях для концентрации (2.34) и проведены в предположении, что коэффициенты Д. имеют разные знаки (Д 0, Д2 0), т.е. относятся к тяжелому и легкому компонентам смеси, соответственно.
В процессе испарения характер профиля плотности по высоте области от времени определяется следующими факторами: граничными условиями, соотношением коэффициентов диффузии Д. и распределением концентрации компонентов пара в начальный момент времени. Пусть выполняются следующие соотношения: (1) плотность в приповерхностном слое больше плотности принимающего газа, т.е. р(0,т)Iр0 1, тогда справедливо неравенство \РХС[ I(j32Cl)\ \ или эквивалентное ему неравенство Grx + Gr2 О; (2) подвижность молекул легкого компонента больше, чем тяжелого, т.е. (3) в начальный момент времени задано линейное распределение концентраций обоих компонентов пара по высоте области: С(. (z, 0) = 1-z. При такой постановке задачи (2.18)-(2.20) и граничных условиях для открытой системы (2.21)-(2.23) линейное распределение концентрации является абсолютно устойчивым стационарным решением, соответствующим устойчивому диффузионному режиму в течение всего времени процесса.
В случае, когда Z), / D2 1, устойчивость начального линейного распределения зависит от соотношения между остальными параметрами системы. В общем случае роль одного из компонентов может выполнять температура. Для капельных жидкостей выполняется соотношение a/D l, где а- коэффициент температуропроводности. Если в рассматриваемой задаче температура исполняет роль тяжелого компонента с большим коэффициентом молекулярного переноса, связанный с температурой градиент плотности направлен вниз, а градиент плотности, образованный диффузией, направлен вверх (т.е. вверху расположены более плотные слои жидкости). Подобная ситуация рассмотрена в [5] как парадокс устойчивости, поскольку непривычно иметь дело с конвективной неустойчивостью в стратифицированном слое, в котором общий градиент плотности направлен вниз. В этом случае возможность развития конвективной неустойчивости объясняется конкуренцией процессов молекулярного переноса разных компонентов.
При нестационарном испарении компоненты пара в начальный момент времени отсутствуют в газовой фазе, т.е. C,(z,0) = C2(z,0) = 0. В этом случае, возможность возникновения конвекции и характер стационарного режима определяются соотношением физико-химических параметров системы.
Пусть для компонентов системы выполняются соотношения (1) и (2) параграфа 4.1. В процессе испарения при малых временах у поверхности жидкости формируется слой, плотность которого больше плотности принимающего газа p/pQ 1. Естественно ожидать, что он устойчив к возникновению конвекции. Однако, поскольку D, / D2 1, диффузия легкого компонента происходит быстрее, чем тяжелого. В результате в газовой фазе формируется нелинейный профиль плотности: у поверхности жидкости образуется слой, плотность которого больше плотности принимающего газа, а выше него - слой пониженной плотности, где р/р0 1. Возможность возникновения конвективных течений выше тяжелого слоя определяется соотношением молекулярных масс, заданной концентрацией компонентов раствора на нижней границе и соотношением между коэффициентами диффузии. На рис. 4.1 показано распределение относительной плотности, которое образуется в результате независимой молекулярной диффузии двух компонентов в системе с р(0,т)/ р0 1 при разных отношениях коэффициентов диффузии DxlD2: \-Dx D2, 2 - DX D2, З - Dx-D2, и прочих одинаковых физико-химических параметрах. Даже для стационарной задачи с подобным нелинейным распределением плотности отсутствует четкий критерий потери устойчивости. В рассматриваемом случае определение критических условий потери устойчивости дополнительно осложняется нестационарным характером процесса.
Динамика развития системы в течение времени от т = 0 до установления конечного стационарного режима прослеживается на основе численного решения поставленной задачи об испарении бинарного раствора (2.18)-(2.23).
