Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Развитие методов математического моделирования конвекции жидкостей и газов в пористой среде (фильтрационной конвекции) обусловлено многочисленными приложениями в геофизике, энергетике и космических технологиях. Наличие примесей в насыщающей пористую среду жидкости существенно влияет на возникающие стационарные и нестационарные движения. Кроме того, исследование задач фильтрационной конвекции представляет интерес из-за новых явлений, недостаточно изученных современной математической физикой. К ним относится обнаруженное Д.В. Любимовым образование однопараметрического семейства стационарных конвективных режимов в плоской задаче Дарси. Сильная неединственность решений в этой задаче была объяснена В.И. Юдовичем на основе разработанной теории косимметрии. В настоящее время большой интерес представляет исследование трехмерных задач фильтрационной конвекции, в которых имеются непрерывные семейства режимов.
При решении нелинейных уравнений в частных производных важно использовать численные схемы, которые приводят к аппроксимациям, сохраняющим основные свойства исходных уравнений. Моделирование фильтрационной конвекции требует развития численных методов и специальных вычислительных средств для проведения компьютерных экспериментов. Для расчета конвективных движений на основе уравнений в естественных переменных эффективны конечно-разностные дискретизации, использующие введение смещенных сеток. На их основе возможно создание специализированных комплексов программ для расчета и анализа конвективных течений, исследования бифуркационных переходов и устойчивости стационарных и нестационарных режимов.
Объектом исследования являются конвективные движения многокомпонентной жидкости в пористой среде, возникающие при ее подогреве снизу.
Предмет исследования составляют численные методы математического моделирования фильтрационной конвекции на основе модели Дарси и программы численного исследования конвективных движений в пористой среде.
Методы исследования. Методы вычислительного эксперимента представляют в настоящее время важнейший инструмент изучения конвективных движений жидкости. В работе применяются аппроксимации на основе метода смещенных сеток для решения трехмерных задач фильтрационной конвекции в естественных переменных (скорость, давление, температура). Методами прямого вычислительного эксперимента на основе разработанного комплекса программ моделирования нестационарных режимов и семейств стационарных решений в задачах фильтрационной конвекции исследуется развитие структур течений одно- и многокомпонентной жидкости в трехмерной задаче конвекции Дарси.
Цель и задачи диссертационной работы. Цель работы моделирование конвекции жидкости с учетом насыщающих ее примесей на основе
разработанных программных комплексов решения трехмерной задачи фильтрационной конвекции.
Основными задачами являются: разработка численных методов исследования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, изучение сценариев развития конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде, численный анализ эффектов сильной неединственности решений для ряда трехмерных задач фильтрационной конвекции.
Положения, выносимые на защиту.
На основе схемы смещенных сеток разработаны новые численные методы моделирования гравитационной конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде, что позволяет в численном эксперименте воспроизвести сильную неединственность решений трехмерных задач в виде семейства стационарных движений.
Разработаны программные комплексы для проведения вычислительного эксперимента в трехмерных задачах фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, которые позволяют исследовать ответвление изолированных конвективных режимов и семейств стационарных движений, продолжать решения по параметрам задачи, изучать устойчивость конвективных движений по отношению к температурным и кинематическим возмущениям.
Проведено параметрическое исследование конвективных движений теплопроводной жидкости в параллелепипеде, заполненном пористой средой, при линейном распределении температуры по высоте. Дан анализ ответвления стационарных режимов от состояния механического равновесия для двух типов граничных условий. В численном эксперименте впервые установлено, что с ростом числа Рэлея плоские конвективные режимы становятся устойчивы в меньшем диапазоне расстояний между теплоизлированными гранями.
Выполнено численное моделирование конвекции в параллелепипеде с двумя теплоизолированными противоположными стенками и линейным распределением температуры по высоте для других граней, что позволило обнаружить новый эффект - неодновременную потерю устойчивости плоских конвективных режимов из семейства по отношению к трехмерным возмущениям при превышении критической глубины области.
Научная новизна работы. Построены конечно-разностные аппроксимации уравнений движения многокомпонентной жидкости, наследующие свойства исходных систем уравнений. Развиты методы решения нелинейных систем уравнений, в которых имеются непрерывные семейства стационарных решений.
Достоверность полученных результатов. Результаты вычислительных экспериментов обоснованы использованием апробированных методов дискретизации и проведением апостериорного анализа для применяемых численных схем, а также подтверждены сопоставлением с данными, имеющимися в литературе.
Практическая значимость работы. Полученные результаты имеют широкую область применения для моделирования и прогнозирования важных природных конвективных течений в пористой среде, для анализа геофизических явлений и процессов, при разработке технических устройств теплоизоляции и энергетики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывалось на следующих конференциях:
III Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика», Ростов-на-Дону, 2004; III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Абрау-Дюрсо, 2006; Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике ICIAM-07, Цюрих, 2007; XII Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 2008; Международная конференция-школа «Advanced Problems in Mechanics» APM'2009, Санкт-Петербург, 2009; III международная конференция «Математический анализ и математическое моделирование», Владикавказ, 2010; XIV Всероссийская конференция-школа «Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо, 2011.
Результаты докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики и кафедры математического моделирования Южного федерального университета.
Связанная с диссертацией тематика была поддержана грантами РФФИ 04-01-96815-р2004юг, 05-01-00567-а, 11-01-00708-а, грантом Президента РФ для поддержки ведущих научных школ: «Математическая теория движения жидкости - разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№ НШ-5747.2006.1), целевой программой Министерства образования и науки «Развитие научного потенциала высшей школы» (р.н. 2.1.1/6095).
Публикации. По результатам диссертации автором опубликовано 12 работ. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-3, 8].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 158 страниц, включая фигуры, таблицы и список литературы из 181 наименования.
