Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор математических методов и моделей, используемых для описания речного стока 13
1.1 Математические модели движения вязкой несжимаемой жидкости 13
1.2 Математические модели установившегося движения воды в русле реки 17
1.3 Математическая модель неустановившегося движения воды в русле реки 20
1.4 Конечно-разностные схемы, используемые для решения уравнений, описывающих неустановившееся движение потока жидкости 23
1.5 Методы линейной оптимальной фильтрации случайных процессов 29
1.5.1 Линейная оптимальная фильтрация 29
1.5.2 Оптимальная экстраполяция 31
1.5.3 Линеаризация нелинейных систем 31
Глава 2. Анализ системы уравнений Сен-Венана, описывающей неустановившийся поток жидкости 34
2.1 Построение аналитического решения краевой задачи, описывающей поток жидкости при больших уклонах русла и малых глубинах 34
2.2 Построение численного решения системы уравнений Сен-Венана при отсутствии инерционных членов методом расщепления 38
2.3 Построение аналитического решения задачи Коши, описывающей неустановившееся движение жидкости в сечении ее потока 44
2.4 Оптимальная оценка случайного расхода воды в гидрометрическом створе русла горно-равнинной реки 47
2.4.1 Оптимальная оценка расхода воды по результатам измерений, содержащих случайные ошибки 49
2.4.2 Оптимальная оценка случайного расхода воды в стохастической модели расхода в гидрометрическом створе 52
3 2.5 Аналитический метод расчета средней скорости потока воды в русле реки при неравномерном установившемся движении 53
Глава 3. Модели краткосрочного прогноза возникновения паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек 56
3.1 Модель прогноза возникновения паводковой ситуации на участке русла горно-равнинной реки при больших уклонах дна русла 56
3.2 Модель прогноза возникновения паводковой ситуации в гидрометрическом створе русла реки 58
3.3 Модель прогноза возникновения паводковой ситуации на заданном участке русла реки 60
3.4 Стохастическая модель краткосрочного прогноза возникновения паводковой ситуации в гидрометрическом створе реки 62
3.5 Методика прогноза возникновения паводковой ситуации на участке русла горно-равнинной реки, основанная на использовании уравнения водного баланса 63
3.6 Методика нивелирования профиля русла реки 68
3.6.1 Методика нивелирования продольного профиля русла реки 68
3.6.2 Методика нивелирования профиля гидрометрического створа русла реки 70
Глава 4. Численные эксперименты прогноза возникновения паводковой ситуации в русле горно-равнинной реки (на примере реки Кубань) 75
4.1 Гидрографические характеристики бассейна реки Кубань 75
4.2 Определение параметров паводковой волны с помощью аналитически построенного решения системы уравнений Сен-Венана 79
4.3 Определение параметров паводковой волны с помощью численно построенного решения системы уравнений Сен-Венана 81
4.4 Сравнительный анализ моделей движения жидкости в сечении потока на основе результатов численных экспериментов 83
4.5 Прогноз возникновения паводковой ситуации на основе решения системы уравнений Сен-Венана 86
4.6 Прогноз возникновения паводковой ситуации с помощью динамико-стохастической модели 91
4.7 Методика расчета расхода воды на участке русла горно-равнинной реки с помощью уравнения водного баланса 94
4.7.1 Расчет расхода воды на бесприточном участке 94
4.7.2 Расчет расхода воды на участке русла с притоком 96
4.8 Исследование продольного профиля русла реки Кубань 99
Основные результаты и выводы 102
Список литературы
- Математическая модель неустановившегося движения воды в русле реки
- Построение численного решения системы уравнений Сен-Венана при отсутствии инерционных членов методом расщепления
- Модель прогноза возникновения паводковой ситуации в гидрометрическом створе русла реки
- Определение параметров паводковой волны с помощью аналитически построенного решения системы уравнений Сен-Венана
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В настоящее время остро стоит проблема поиска методов и моделей прогноза возникновения паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек, наносящих значительный экономических ущерб регионам России. Например, на реке Кубань среднемноголетний ежегодный ущерб от наводнений составляет 2,1 млрд. рублей, а в последние годы наблюдается тенденция к его увеличению.
Проблемам математического моделирования в гидрологии посвящены многочисленные исследования как в нашей стране (Кучмент Л. С., Гельфан А. Н., Корень В. И., Карасев И. Ф., Бураков Д. А., Демидов В. Н., Мотовилов Ю. Г., Найденов В. И. и др.), так и за рубежом (Кюнж Ж. А., Холли Ф. М., Прейсман А., Эббот М. Б., Тсенг, Фрэд Д. Л. и др.).
Основой моделирования прогноза возникновения паводковой ситуации на участке русла реки является моделирование процесса формирования речного стока. Многие из существующих на сегодняшний день математических моделей и методик позволяют осуществлять прогноз возникновения паводковых ситуаций в руслах равнинных рек. Однако предлагаемые модели нецелесообразно использовать для прогноза паводков на горно-равнинных реках, так как результаты расчетов, проведенных по данным моделям, значительно расходятся с реальными данными.
В связи с этим возникает необходимость создания новых моделей прогноза возникновения паводковых ситуаций, использующих материалы непосредственных наблюдений за потоком, учитывающих специфику горно-равнинных рек и факторы, оказывающие основное влияние на формирование стока. Другой важной задачей является задача разработки методов исследования продольного профиля русла реки и профиля гидроствора, поскольку геометрия русла реки также оказывает существенное влияние на изменение гидрологических характеристик потока. Решение этих задач способствует повышению точности прогнозов возникновения паводковых ситуаций. Следовательно, тема диссертационной работы является важной и актуальной.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования является процесс движения потока воды в русле реки. Предметом исследования – процесс возникновения паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек.
Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка и анализ (численными и аналитическими методами) моделей прогноза возникновения паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек, которые учитывают параметрическую специфику рассматриваемых участков этих рек.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Разработать алгоритмы решения (аналитическими и численными методами) моделей движения потока воды, основанные на преобразовании исходной классической математической модели неустановившегося движения потока воды в русле реки. Реализовать предложенные алгоритмы в программных продуктах для ЭВМ.
2. Разработать и исследовать новые математические модели прогноза возникновения паводковых ситуаций на различных участках русла горно-равнинной реки.
3. Разработать методики исследования морфометрических характеристик (уклона, ширины, площади сечения) русла реки, используемых при построении моделей прогноза.
4. Применить предложенные модели и методики для расчета и прогноза возникновения паводковых ситуаций на различных участках русла реки Кубань.
Научная новизна диссертации заключается в следующем:
-
Разработан алгоритм численного решения методом расщепления системы дифференциальных уравнений, описывающей нестационарное движение потока воды в русле горно-равнинной реки при характерных для данных рек (больших) величинах уклона дна русла. Данный алгоритм реализован в программном продукте «Calculation of flow characteristics (COFC)», зарегистрированном в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.
-
Построено аналитическое решение уравнения, описывающего нестационарное движение воды на участке русла горно-равнинной реки при малых глубинах потока.
-
Построено аналитическое решение уравнения, моделирующего движение воды в гидрометрическом створе русла реки произвольной глубины при заданной в этом уравнении зависимости глубины потока от времени.
-
Предложена новая математическая модель прогноза возникновения паводковой ситуации на заданном участке русла реки при больших уклонах дна русла.
-
Предложена новая математическая модель прогноза возникновения паводковой ситуации в гидрометрическом створе русла реки.
-
Предложена новая стохастическая модель прогноза возникновения паводковой ситуации в створе русла реки, учитывающая помехи в результатах измерений характеристик потока. Данная модель основана на построенной в работе оптимальной в среднеквадратическом смысле оценке расхода воды.
-
Разработана методика расчета средней скорости потока воды в русле при неравномерном установившемся движении.
-
Предложена уточненная методика расчета расхода потока на участке русла горно-равнинной реки, основанная на использовании уравнения руслового водного баланса.
-
С помощью геоинформационных систем и программ статистической обработки данных усовершенствована методика исследования морфометрических характеристик русла реки.
-
Предложенные в работе методики и модели применены для расчета характеристик потока воды и прогноза возникновения паводка на участках русла реки Кубань.
Теоретическая значимость результатов проведенных исследований заключается в возможности широкого использования предложенных в работе методов и алгоритмов для дальнейшего исследования уравнений, описывающих движение потока жидкости, а также для расчета характеристик потока воды в руслах горно-равнинных рек и построения на их основе моделей прогноза возникновения паводковых ситуаций на этих реках.
Практическая значимость. Разработанные методы и модели могут быть использованы для прогноза возникновения паводковых ситуаций в районах, прилежащих к руслу реки, позволяя предотвратить затопление прибрежных построек и сельхозугодий, обезопасить проведение работ по обустройству гидротехнических объектов, находящихся в русле реки. Модели прогноза могут быть применены для расчета экономического ущерба, наносимого паводками; при планировании проведения административно-хозяйственных мер, направленных на предотвращение паводка путем чистки русел, спрямления извилистых потоков, отсыпки дамб и т.д., а также на ликвидацию его последствий.
Результаты диссертационного исследования используются ООО «Вперед» (г. Армавир), а также в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Армавирская государственная педагогическая академия», что подтверждено соответствующими актами о внедрении.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Методика расчета характеристик потока воды в русле горно-равнинной реки, основанная на использовании численных методов решения системы уравнений, описывающей движение потока воды в русле горно-равнинной реки при больших уклонах дна русла.
Данная методика реализована в программном продукте «COFC», зарегистрированном в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, и является основой для моделирования прогноза возникновения паводковых ситуаций.
2. Методики прогноза возникновения паводковых ситуаций на участке русла горно-равнинной реки при небольших глубинах русла, а также в заданном створе русла реки, которые основаны на использовании аналитических методов решения упрощенной системы уравнений Сен-Венана.
Построенные аналитическими методами решения данной упрощенной системы позволяют представить в явном виде зависимости характеристик потока от его длины и времени.
3. Стохастическая модель прогноза возникновения паводковой ситуации в окрестности заданного створа русла горно-равнинной реки.
Построенная модель позволяет увеличить, по сравнению с детерминированными моделями, достоверность прогноза, учитывая наличие помех в результатах измерений характеристик потока.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: VII объединенной научной конференция студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики КубГУ «Прикладная математика XXI» (г. Краснодар, 2007 г.); V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2008 г.); VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2009 г); X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2009 г. (весенняя сессия); Сочи-Дагомыс, 2009 г. (осенняя сессия)); XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, региональном макросимпозиуме «Насущные задачи прикладной математики на Кубани» (Сочи-Дагомыс, 2010 г. (осенняя сессия)); V Международной конференции «Экологические системы, приборы и чистые технологии» (Москва, 2011 г.).
Область исследования. Содержание диссертационного исследования соответствует пунктам 1, 4 и 7 паспорта специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки).
Публикации. По результатам диссертационных исследований опубликованы 13 печатных работ, в том числе: 7 работ опубликовано в изданиях из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук. Программный продукт «COFC», используемый для расчета и прогноза глубины и расхода воды на участке русла горно-равнинной реки, зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, что подтверждено свидетельством о регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы, содержащего 104 наименования и 3 приложений. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста (не включая приложений), содержит 30 рисунков.
Математическая модель неустановившегося движения воды в русле реки
Неправильная форма естественного русла, а также изменение в различные моменты времени t основных характеристик потока движущейся жидкости обуславливают наличие неустановившегося и неравномерного движения воды в русле реки. Однако, в период между паводками, такое изменение происходит достаточно медленно и движение можно условно считать установившимся. Модели установившегося движения воды широко используются при предварительных гидравлических расчетах, а также при моделировании неустановившегося потока, например, обеспечения приемлемых начальных условий.
Рассмотрим участок русла реки с положительным уклоном дна, заключенный между двумя сечениями 7 и 2, расположенными на бесконечно малом расстоянии друг от друга dx (рисунок 1). где y1 - высота расположения точки свободной поверхности в сечении 1 относительно плоскости сравнения, v - средняя скорость движения жидкости в сечении 1, у2 - высота расположение точки свободной поверхности в сечении 2 относительно плоскости сравнения 0, v + dv средняя скорость движения жидкости в сечении 2, р0 - атмосферное давление, g - ускорение свободного падения, а - коэффициент кинетической энергии (Кориолиса), h - потери напора (удельной энергии) на участке между рассматриваемыми сечениями.
Уравнение (1.9) представляет собой модель движения установившегося плавно изменяющегося потока жидкости в открытом русле [85].
При установившемся движении жидкости, в случае отсутствия бокового притока, величина расхода не изменяется как по длине потока, так и по времени, поэтому уравнение неразрывности (1.3) примет следующий вид:
В общем случае движение потока в естественном русле является неравномерным, однако, при предварительных гидравлических расчетах в русле допускается наличие условно-равномерного движения. Это позволяет использовать для расчетов характеристик потока уравнение, которое является частным случаем (1.9).
К Уравнение (1.10) является формулой Шези для средней скорости потока при равномерном движении и имеет большое значение в гидравлике и гидрометрии. На практике формула Шези часто используется при моделировании течения жидкости в каналах и расчете параметров потока в реках с достаточно неизменными морфологическими характеристиками русла по длине потока.
Математическая модель неустановившегося движения воды в русле реки Неустановившееся движение воды в русле реки характеризуется изменением параметров потока во времени в любом створе русла и наблюдается в период прохождения паводков. Рассмотрим поток жидкости и выделим в нем два сечения на расстоянии dx друг от друга. Уравнение Бернулли для потока воды при неустановившемся движении имеет вид [85]:
Уравнение динамического равновесия (112) и уравнение неразрывности или баланса расхода (1.13) представляют собой систему дифференциальных уравнений Сен-Венана и описывают медленно изменяющееся неустановившееся неравномерное движение жидкости.
Искомыми для данной системы являются функции средней скорости потока v = v(x,t) и глубины наполнения русла h = h{x,t).
Решение системы нелинейных уравнений гиперболического типа (1.12) - (1.13) может быть получено при заданных начальных v(x,t0)=v0(x), h(x,t0)= h0(x), (1.14) и граничных условиях v(x0,t) = v1(t), h(x0,t)=h1(t), (1.15) v\x ,t)=v2(h). (116) При рассмотрении движения потока воды в русле реки ось х располагается по направлению течения реки (рисунок 2) [52]. Рисунок 2 – Геометрическая форма русла реки Уравнения Сен-Венана могут быть получены различными способами из основных законов механики жидкости [1, 28, 81, 100]; при этом может быть использовано уравнение количества движения, либо уравнение энергии. Коэффициенты кинетической энергии (Кориолиса) а и количества движения (Буссинеска) /3 в уравнении (1.12) характеризуют неравномерность распределения скоростей по поперечному сечению. Значения коэффициентов могут быть определены экспериментально или с помощью эмпирических формул [21, 85], однако в большинстве методов расчета характеристик потока в русле реки пренебрегают отклонением этих коэффициентов от единицы (принимают а = /3 = 1).
В уравнении динамического равновесия (1.12) первое и второе слагаемые левой части учитывают влияние на неустановившееся движение скоростей частиц жидкости и называются инерционными членами. Первое слагаемое представляет собой конвективную силу инерции или уклон, соответствующий изменению скоростного напора — в пространстве. Он отражает неравномерность течения и для рек обычно невелик, имея значительную величину лишь в зонах резкого изменения поперечного сечения потока. Второе слагаемое выражает локальную часть силы инерции. Этот член также обычно мал, кроме зоны резкого неустановившегося движения.
Второе слагаемое правой части уравнения (1.12) - уклон трения - для речных бьефов играет главную роль. Для вычисления коэффициента Шези С воспользуемся эмпирической формулой Маннинга [82]:
Построение численного решения системы уравнений Сен-Венана при отсутствии инерционных членов методом расщепления
Для решения гидрологических задач важно не только оценивать текущее состояние системы, но и прогнозировать будущее состояние системы по результатам ее поведения. Задача прогнозирования или экстраполяции состоит в оценивании вектора состояния системы x\t) на момент времени t + т , т 0. Согласно [59, 71] несмещенная среднеквадратическая оптимальная оценка xyt + r) состояния линейной стохастической дифференциальной системы (1.22), построенная по результатам наблюдений (1.24) является решением векторного дифференциального уравнения
На основании результатов исследований движения потока воды в руслах рек, представленных в работах [7, 39, 89 - 91, 97, 103 и др.], можно сделать следующие выводы:
1. Система уравнений Сен-Венана является наиболее широко используемой для описания неустановившегося потока воды в руслах рек и является основой для моделей прогноза возникновения паводковых ситуаций.
2. Преимуществом моделей прогноза возникновения паводковых ситуаций, построенных на основе уравнений Сен-Венана, является их четкая физико-математическая обоснованность.
3. Большинство существующих моделей и методик предназначены для прогноза возникновения паводковых ситуаций в руслах равнинных рек. Численные эксперименты показывают, что данные модели неприменимы для прогноза паводков на реках горно-равнинного типа. В связи с чем необходимо создание новых моделей прогноза возникновения паводковых ситуаций, использующих материалы непосредственных наблюдений за потоком, учитывающих специфику горно-равнинных рек и факторы, оказывающие основное влияние на формирование стока.
4. Данные измерений гидрологических характеристик потока часто содержат случайные ошибки. Значительно улучшить результаты прогностических расчетов позволит разработка динамико-стохастических моделей прогноза возникновения паводков, учитывающих ошибки в наблюдениях с применением методов линейной оптимальной фильтрации случайных процессов. Выполнен анализ аналитическими и численными методами системы уравнений Сен-Венана. Исследованы уравнение движения потока в сечении русла реки и уравнение, описывающее установившееся движение воды в русле. Описана методика построения оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки расхода воды в гидрометрическом створе реки.
Построение аналитического решения краевой задачи, описывающей поток жидкости при больших уклонах русла и малых глубинах где t - время, t є [0,7і], x - пространственная координата, ориентированная по направлению движения потока, хє[0,/], 0, / - границы рассматриваемого бесприточного участка реки, J - уклон дна русла, g -ускорение свободного падения, v(x,t) - средняя скорость воды в сечении русла в точке х в момент времени t, Q\x,t) - расход воды в указанном сечении.
Рассмотрим аналитический метод решения системы уравнений Сен-Венана (2.9) - (2.10). Пусть в (2.9) В = const. Продифференцировав левую и правую части уравнения (2.9) по х, уравнения (2.10) - по t, и учитывая, что дК dK dh dK ( 1 dQ zz zz dt dh dt dh\ В дх J систему уравнений Сен-Венана (2.9), (2.10) сведем к дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка [66]:
Рассмотрим начально-граничную задачу, представляющую собой объединение уравнений конвекции-диффузии (2.11) и уравнения неразрывности (2.3) при условиях (2.6) - (2.8). Решение данной задачи имеет практическую значимость при рассмотрении движения потока воды в русле горно-равнинной реки произвольной глубины.
Численное решение рассматриваемой задачи целесообразно находить с помощью неявной разностной схемы. Использовать явную схему нецелесообразно. При использовании явной схемы необходимо потребовать выполнения условия Куранта-Фридрихса-Леви (1.19). Это условие подразумевает небольшой расчетный шаг по времени (At не должно превосходить нескольких минут), что при исследовании паводковых ситуаций, учитывая время их протекания, явно недостаточно. Построим решение рассматриваемой задачи методом расщепления ее по физическим процессам [44].
Алгоритм численного решения задачи (2.3), (2.6) - (2.8), (2.11), методом расщепления, реализован в программном продукте «COFC», написанном в среде Maple [64]. Листинг программы представлен в приложении А. Граничные условия, задаваемые для решения задачи, могут быть известны из результатов непосредственных наблюдений расхода и уровня воды в створах реки, расположенных на границах рассматриваемого участка русла.
В случаях, когда известны только результаты измерения уровня воды, рассчитываются значения средней скорости v[t) потока с использованием метода решения уравнения движения воды в створе русла реки, описанного далее в п. 2.3. Затем, при известной зависимости площади сечения потока от его глубины coyh), вычисляется расход Q\t), при различных значениях времени t по формуле:
Далее, методом расщепления находятся значения расхода и глубины потока в расчетных точках рассматриваемого участка. После решения каждой из расщепленных задач методом матричной прогонки на каждом частичном интервале времени проводится проверка устойчивости метода.
Модель прогноза возникновения паводковой ситуации в гидрометрическом створе русла реки
Функции у{х) и Уь\х) могут быть найдены по результатам аппроксимации данных измерений уровня воды, полученных на гидропостах, и данных нивелирования на некотором участке реки. Искомой для данного уравнения является зависимость средней скорости потока от длины участка v{x).
Уравнение (2.85) представляется собой линейное дифференциальное уравнение, общее решение которого имеет вид: 2 1 При заданном начальном условии v(x0) = v0 полученная функциональная зависимость может быть использована для нахождения скорости движения потока в расчетных точках и на границе рассматриваемого участка, определения расхода при известном значении площади поперечного сечения, а также для решения задач моделирования неустановившегося течения, например, для обеспечения приемлемых исходных условий.
1. Предложено аналитическое решение методом Фурье дифференциального уравнения конвекции-диффузии с постоянными коэффициентами, полученного из системы уравнений Сен-Венана. Данное решение позволяет в явном виде представить зависимость расхода потока от его длины и времени при больших уклонах дна русла (J 0,001) и малых глубинах (h 1м).
2. Разработан алгоритм численного решения методом расщепления системы, состоящей из уравнения конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и уравнения неразрывности. Решение каждой из расщепленных задач выполнено методом матричной прогонки. Данный алгоритм реализован в зарегистрированном программном продукте «COFC».
3. Предложено аналитическое решение задачи Коши, описывающей неустановившееся движение воды в гидрометрическом створе русла горноравнинной реки.
4. Построена оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка расхода воды в гидрометрическом створе реки. Рассмотрены случаи детерминированной и стохастической модели расхода воды в створе.
5. Предложен алгоритм расчета средней скорости потока воды в русле реки при неравномерном установившемся движении. Глава 3. Модели краткосрочного прогноза возникновения паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек
Предложены новые математические модели прогноза возникновения паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек. Описана методика исследования продольного профиля русла реки и профиля гидрометрического створа с помощью геоинформационных систем.
Модель прогноза возникновения паводковой ситуации на участке русла горно-равнинной реки при больших уклонах дна русла
Задача прогноза возникновения паводковой ситуации на участке русла реки основывается на экстраполяции кривых зависимостей гидрологических характеристик потока (глубины, средней скорости, расхода) от времени за пределы диапазона измеренных или вычисленных значений.
Под чрезвычайной (паводковой) ситуацией, возникшей на заданном участке русла реки, будем понимать такую ситуацию, при которой будет наблюдаться превышение значения характеристики потока некоторой критической величины.
Поставим задачу прогноза возникновения паводковой ситуации на участке русла горно-равнинной реки. Движение воды в русле реки является неустановившемся и описывается приводимой ранее системой уравнений Сен-Венана (2.3), (2.5):
Члены уравнения (2.5) при различных условиях движения жидкости имеют различную относительную значимость [39]. Анализ паводков показывает, что даже при значительном изменении во времени и по длине реки скорости потока в период прохождения паводка величина двух первых членов в уравнении (2.5) не превышает 10 . В то же время, величины Q2 уклонов дна J и трения 2 для рек горных и предгорных районов составляют, примерно, 10-3, например, известно, что уклон дна реки Кубань в предгорной зоне превышает эту величину. Поэтому при исследовании и прогнозировании паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек Рассмотрим бесприточный участок русла горно-равнинной реки с достаточно неизменной по длине потока шириной, то есть примем В = const. Математическая модель возникновения чрезвычайной ситуации на заданном участке русла реки, согласно п. 2.1, 2.2 имеет вид
Уравнения (3.1) - (3.2) описывают движение потока воды на бесприточном участке русла реки. Начальные условия (3.3) представляют собой изменение по длине потока расхода и глубины в предпаводковый период или при установившемся движении. Граничные условия (3.4) - (3.5) 58 изменение расхода и глубины потока в граничных створах рассматриваемого участка русла до момента времени t включительно.
Для прогноза возникновения паводковой ситуации необходимо решить краевую задачу (3.1) - (3.5), аналитический и численный методы решения которой рассмотрены в п. 2.1, 2.2.
Результатами решения краевой задачи (3.1) - (3.5) являются величины расхода и глубины потока воды при различных значениях времени в створах русла реки, расположенных на рассматриваемом участке. Зная зависимости этих величин от времени, мы можем вычислить расход и глубину потока в каждом створе в любой момент времени t, а также найти прогнозные значения этих величин в будущий момент времени t + т .
Паводковая ситуация на заданном участке русла горно-равнинной реки будет наблюдаться при выполнении в заданном сечении неравенств (3.6).
На практике значительный интерес представляет также задача определения момента времени, при котором рассматриваемая характеристика примет свое критическое значение.
Определить момент времени t + т начала затопления территории в районе рассматриваемого створа русла реки можно из алгебраического уравнения Будем осуществлять прогноз возникновения паводковой ситуации в некотором створе реки на основе математической модели неустановившегося движения потока в гидрометрическом створе. В п. 2.3 предложено описывать рассматриваемую модель уравнением (2.56):
Пусть функция h\t) для фиксированного створа построена путем аппроксимации результатов измерений глубины потока. Регрессионный анализ статистических данных, полученных с гидропостов реки Кубань, показывает, что h\t) можно аппроксимировать степенной функцией
Коэффициент шероховатости п находится по справочным таблицам (см., например, [35]) или рассчитывается с помощью уточненных формул, учитывающих деформацию и зарастание русла, представленных в работе [33]. Уклон дна русла реки J определяется путем продольного нивелирования русла реки (методика определения уклона рассмотрена в п. 3.6 настоящей главы).
Определение параметров паводковой волны с помощью аналитически построенного решения системы уравнений Сен-Венана
Подтвердим экспериментально возможность представления уравнения движения потока в створе русла реки (2.52) в виде уравнения (2.56) путем сравнения аналитических и численных решений исходного и упрощенного уравнений. Рассчитаем скорость потока воды при нестационарном движении в створе реки Кубань в районе города Армавира.
Выполним сравнительный анализ аналитических решений уравнений (2.52), (2.56). По результатам наблюдений глубины потока, полученным при прохождении паводковой волны в русле реки Кубань, построим функцию h\t)= 1,1788-ґ01311, с коэффициентом детерминации і?2 =0,9013. Величину уклона J = 0,00113 определим путем продольного нивелирования русла реки, осуществляемого с помощью картографического ресурса Google Earth, и представления эмпирической зависимости высоты русла над уровнем моря от длины реки, с последующим его дифференцированием [53]. Коэффициент шероховатости п = 0,04 найдем по справочным таблицам [85]. Уравнение (2.52) запишем в виде:
Сравнительный анализ результатов аналитических расчетов
Максимальная относительная погрешность вычислений по формуле (2.56) (при і 5мин) составляет 5тах =3%. В работе также проанализированы результаты численного решения рассматриваемых уравнений. Данные измерений уровня воды в русле реки Кубань на гидропосту города Армавира в июне 2010 года (12.06.10 - 21.06.10) [80] аппроксимированы многочленом пятой степени: /г(ґ) = 1,76 -\0 29t5 — 6,56 10 23ґ4 + 6,85 10 17ґ3 — 2,38 10_1V2 + 2,52 10 6ґ + 2 (коэффициент детерминации R2 = 0,974). Результаты численного решения уравнений (2.52) и (2.56) методом Рунге-Кутта 4-го порядка представлены на рисунке 19. 1,60 Сравнительный анализ результатов решений уравнений (2.52), (2.56) показывает, что при расчетах средней скорости потока воды в сечении русла реки может быть использовано упрощенное уравнение (2.56). На основе данного уравнения может быть осуществлен прогноз возникновения паводковой ситуации в створе русла реки.
Прогноз возникновения паводковой ситуации на основе решения системы уравнений Сен-Венана Применим рассмотренный метод для прогнозирования изменения параметров паводковой волны на реке Кубань в районе города Армавира. В данном районе профиль русла имеет ярко выраженную ассиметричную форму. Левый берег является крутым с быстро увеличивающимися отметками высот при движении от русла реки, правый берег реки пологий. Русло реки в районе станицы Старой резко сужается, что создает опасность затопления жилых и хозяйственных построек в случае прохождения волны паводка.
В качестве исходных данных для нахождения vi ) и h yt) рассмотрим результаты измерения скорости и глубины потока в различные моменты времени во время паводка, наблюдавшегося в июне 2002 года (данные получены в Управлении по делам ГО и ЧС г. Армавира). Для обработки экспериментальных данных использована прикладная статистическая программа DataFit, позволяющая найти аппроксимирующую функцию с наибольшим значением коэффициента детерминации К . Аппроксимация данных квадратным трехчленом имеет следующий вид (см. приложение В): Уклон определяем в соответствии с методикой, изложенной в пункте 3.5, то есть путем продольного нивелирования русла реки и представления эмпирической зависимости высоты русла над уровнем моря от длины реки, с последующим ее дифференцированием: / , = 0,00113 .
Похожие диссертации на Моделирование и прогноз возникновения паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек
