Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ проблематики математического моделирования и анализа собственных колебаний стержневых систем . 11
1.1. Обзор методов динамической устойчивости стержневых систем при воздействии периодических продольных сил 11
1.2. Модель собственных колебаний разгруженного стержня. 22
1.3. Определение базисных функций и критических скоростей вращения при действии распределенной нагрузки . 30
1.3.1. Случай нагрузки силой веса. 31
1.3.2. Случай действия распределенной нагрузки. 42
1.4. Влияние массы конструкции на критические частоты. 48
1.5. Влияние жесткости конструкции на критические частоты. 49
1.6. Цель работы и задачи исследования 50
Глава2. Модель параметрических поперечных колебаний стержней . 51
2.1. Сведение задачи о параметрических поперечных колебаний стержней к уравнению Матье, 51
2.2. Определение области устойчивости. 54
2.3. Уравнение и вычисление вынуждающих частот . 62
2.3.1. Уравнение вынуждающих частот. 62
2.3.2. Вычисление вынуждающих частот. 65
2.4. Определение устойчивости системы. 66
Выводы , 70
Глава 3. Модель параметрические поперечные колебания стержней при нали чии вязкого трения в конструкции . 71
3.1. Сведение задачи параметрических поперечных колебаний стержней к уравнению типа Матье. 71
3.2. Определение области устойчивости. 74
3.3. Уравнения вынуждающих частот. 81
3.4. Вычисление вынуждающих частот. 82
3.5. Определение устойчивости системы 83
Выводы 87
Глава 4. Программная реализация программного обеспечения модели анализа устойчивости стержневых конструкций 88
4.1. Определение форм колебаний стержневой модели без действия продольных сил 88
4.2. Определение форм колебаний стержневой модели при действии продольных сил 91
4.3. Параметрические поперечные колебания 93
Заключение 100
Список используемой литературы
- Определение базисных функций и критических скоростей вращения при действии распределенной нагрузки
- Уравнение и вычисление вынуждающих частот
- Определение области устойчивости.
- Определение форм колебаний стержневой модели при действии продольных сил
Введение к работе
Работа бурильных двигателей при бурении нефтяных и газовых скважин характеризуется значительными вибрациями, вызывающими не только поломки и повышенный износ их узлов и деталей, но и приводит в некоторых случаях к потере устойчивости конструкции в целом.
Практическую значимость приобретает задача, связанная с возможностью рассчитывать области усиленных вибраций во всем диапазоне изменения скорости вращения [14, 15]. При наличии информации по оборотам, знание областей повышенных вибрации позволяет оптимально организовать процесс бурения: с одной стороны, избежать нежелательного резонанса, с другой - на околорезонансных режимах достигать максимальной скорости бурения.
Для получения более точных значений, как критических скоростей вращения, так и областей устойчивости деталей в расчетной схеме приходится учитывать дополнительные факторы, влияющие на динамику конструкции, что в свою очередь приводит к усложнению дифференциального уравнения и граничных условий.
Известно, что колебания механических систем могут вызываться внешними воздействиями, изменяющими заданным образом параметры системы (жесткость, массу). Такие колебания носят названия параметрических колебаний. Они, в зависимости от свойств системы и характера изменения ее параметров, могут быть затухающими или возрастающими. Явление возникновения нарастающих колебаний при параметрическом воздействии называется параметрическим резонансом. Параметрический резонанс отличается от обычного. Он возникает, когда возбуждающая частота совпадает с удвоенной собственной частотой.
В параметрических колебаниях существует не одно резонансное состояние, а целый ряд состояний или даже целые области резонансных состояний. Ширина этих областей зависит от амплитуды параметрического воздействия. Большой интерес представляет первая область динамической неустойчивости,
вблизи которой возможно возникновение возрастающего колебания. Оно возникает, когда со = 0/2 (со - частота собственных колебаний, О - частота возмущающей силы). Эту область называют главной областью динамической неустойчивости. Она является наиболее опасной.
Рассматривая двигатель (турбобур) как стержневую конструкцию следует отметить, что одной из характерных особенностей его работы является переменность действующих не только по длине, но и во времени активных сил и сил реакции. Это изменение зависит от твердости и ухабистости забоя, скорости вращения долота, давления промывочной жидкости и других факторов. Вследствие названных причин возможен параметрический резонанс [13].
В частности представляет теоретический и практический интерес задача исследования параметрических поперечных колебаний двигателя под действием переменной по длине силы, изменяющейся во времени по гармоническому закону.
Сложность расчетов конструктивных параметров и характеристик рабочей конструкции требует поиска средств, значительно сокращающих время проектирования новых конструкций, автоматизирующих расчеты с момента выбора исходных данных до момента оценки устойчивости работы такой системы. Современные средства вычислительной техники значительно упрощают и ускоряют процесс проектирования новых конструкций с использованием математического аппарата, анализа и синтеза с программными приложениями.
Вместе с тем, использование современных средств вычислительной техники при определении критических режимов работы бурильной установки, позволяет использовать сложный аппарат математических моделей, реализация которых в недавнем прошлом была невозможна. Несмотря на необходимость математических расчетов в анализе при конструировании бурильных моделей, в настоящее время работы проведены лишь на уровне решения отдельных задач.
Таким образом, актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью автоматизации процедур анализа устойчивой работы стержневых систем за счет создания соответствующих средств математического, алгоритмического и программного обеспечения модели формирования и оценки критерия устойчивости.
Тематика диссертационной работы соответствует одному из направлений Воронежского государственного университета "Вычислительные системы и программно-вычислительные комплексы."
Целью диссертационного исследования является разработка математической модели анализа устойчивости стержневых систем, в условиях воздействия периодических продольных сил, а также средств численного решения дифференциального уравнения, описывающего работу газовых и нефтяных бурильных установок.
В соответствии с заданной целью были поставлены и решены следующие задачи:
S анализ существующих подходов к моделированию стержневых систем, находящихся под действием продольной силы; ^ разработка алгоритма численного анализа критических частот и собственных форм колебаний математической модели двигателя при действии распределенной нагрузки; S разработка средств численного анализа вынуждающих частот при действии
периодических продольных нагрузок; / уточнение границы диаграммы Айнса-Стретта для систем без трения и для
систем с вязким трением, с целью упрощения расчета; S разработка алгоритма вычисления параметров уравнения Матье и типа Ма-
тье; S разработка алгоритма оценки устойчивости модели по графическому положению "изображающей точки" на плоскости диаграммы Айнса-Стретта;
S разработка программного обеспечения модели анализа устойчивости стерж-стержневых систем. Методы исследований. В работе использованы методы теории математического моделирования, вычислительной математики, разделы теории динамической устойчивости упругих систем и сопротивления материалов, математического программирования.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:
S модель анализа критических частот и собственных форм колебаний бурового двигателя при действии распределенной нагрузки, основанная на собственных формах колебания разгруженного двигателя; / модель анализа вынуждающих частот работы стержневого двигателя при действии распределенной периодической нагрузки, базирующаяся на формах колебания двигателя, находящегося под действием распределенной нагрузки для младшей формы колебаний; S модель анализа координаты "изображающей точки" и ее графического положения на плоскости диаграммы Айнса-Стретта (учитывающей вязкое трение); S модель границы диаграммы Айнса-Стретта для главной области неустойчивости, определенной по младшей функции Матье, что дает некоторый запас прочности и упрощает процесс вычисления; S программное обеспечение модели анализа устойчивости стерневых систем, отличающееся организацией взаимодействия вычислительных модулей программной среды Mathcad с учетом сложных логических связей между процедурами численной реализации.
Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса моделей, реализующих графический метод определения собственных частот, форм колебаний и устойчивости стержневого двигателя для решения задач
8.-
промышленного проектирования устойчивых буровых газовых и нефтяных систем.
Разработанные методы математического моделирования стержневой конструкции позволяет существенно снизить затраты на конструирование новых двигателей и могут быть использованы в условиях принятия проектных решений.
Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Автоматики и информатики в технических системах" ВГТУ в дисциплине "Моделирование и идентификация объектов управления".
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались: на Четвертой Всероссийской научно-практической конференции "Новое в экологии и безопасности жизнедеятельности" (г. С.-Петербург, 1999 г.); на второй, третьей и седьмой международной научно-технической конференции "Высокие технологии в экологии" (г. Воронеж, 1999 г., 2000т., 2004 г.); в материалах 55-56 научно-технической конференции ВГАСУ (г. Воронеж 2001 г.), в материалах Воронежской весенней математической школы "Понтрягин-ские чтения - XVI" (г. Воронеж, 2005 г.), а так же на научных семинарах кафедры АИТС в 2003-2005 г.г.
Публикации. Основные результаты нашли свое отражение в 9 опубликованных в печати научных работах, тезисы докладов представлялись на четырех международных конференциях. В работах опубликованных в соавторстве и приведенных в конце диссертации, лично соискателем предложены: в [31] -реализация автоматического расчета критических частот, в [32] - аналитический вывод составляющих уравнения собственных частот, в [26] — реализация автоматических расчетов критических частот и форм собственных колебаний стержня, в [29] - аналитический вывод уравнения вынуждающих частот и создание алгоритма их вычисления, в [30] — описание взаимодействия функцію-
нальных модулей программного средства, позволяющего определить параметры уравнения Матье (координаты "изображающей точки").
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, списка используемых источников из 91 наименований. Работа содержит 108 страницы сквозной нумерации, включая 23 рисунка и 16 таблиц.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка.
В первой главе рассматриваются собственные поперечные колебания двигателя, загруженного переменной по длине силой Р(х) = Р0 - qx; где q- интенсивность продольной нагрузки при постоянной реакции забоя Р0 = Я. Находятся
критические скорости вращения и формы поперечных колебаний. Здесь же приводятся частотные характеристики системы в зависимости от параметров влияющих на динамику поперечных колебаний - m,EJ\
Во второй главе найденные формы собственных поперечных колебаний двигателя используются при исследовании более сложной задачи о параметрических колебаниях, когда реакция забоя меняется во времени по гармоническо-му закону Р(х) = Р0+а0 cos 9t, тогда продольная сила Р(х) = Р0-дх + а0со&в{,гд& а0-глубина модуляции, в - вынуждающая частота. Показывается возможность сведения исследований к задаче Матье. Определяются границы областей устойчивости и графическое положение "изображающей точки" на диаграмме Айнса-Стретта. Имеется возможность отслеживать движение "изображающей точки" по диаграмме, изменяя параметры работы двигателя,,
В третьей главе рассматривается задача, учитывающая вязкое трение между стенками скважины и самой бурильной колонной. Так же показывается возможность сведения исследований к задаче типа Матье и отслеживания движения "изображающей точки" по диаграмме Айнса-Стретта.
Четвертая глава посвящена описанию программного продукта - пакета прикладных программ для расчета параметрических поперечных колебаний. Программа для расчета параметрических поперечных колебаний написана на
Mathcad 200H Professional и состоит из 3-х блоков. В рамках первого блока определяются критические скорости вращения и формы поперечных колебаний стержневой конструкции без учета действия продольной силы. При реализации второго блока определяются те же параметры, но с учетом продольной силы и вязкого трения между стенками скважины и бурильной колонной. В третьем блоке автоматически вычисляются вынуждающие частоты и координаты "изображающей точки". Здесь же строится диаграмма Айна-Стретта и указывается положение "изображающей точки" на ней.
Заключение обобщает результаты проведенных исследований и отражает основные результаты работы.
Определение базисных функций и критических скоростей вращения при действии распределенной нагрузки
Дифференциальное уравнение продольного изгиба прямолинейного стержня, сжатого по длине переменной продольной силой Р(х), учитывающее силы инерции имеет вид [13, 68]: д + — дх Kia-Y дх d2Y + m?-L = Q. (20) дх1 дх ді2 V } Выполним разделение переменных Y(x,t) = y(x)T(t) : EJy v (x)T(t) + Пх)у (х) + P(x)y\x)T{t) + mTV)y(x) = 0. (21) Для тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из частей равенства была постоянной, обозначим которую через -о2, = -со\ \EJylv (х) + РХх)у (х) + Р(х)у"(х)] ГЦ) ту(х) T(t) тогда получим два уравнения: EJy,v{x) + Р\х)у\х) + Р{х)у"(х) - а гту{х) = 0 (22) T"(t)+o)2T(!) = 0 (23)
Уравнением (22) определяются формы колебаний и собственные частоты, вторым уравнением (23) определяется устойчивость системы.
В настоящей главе нас будет интересовать только первое уравнение из последней системы, которое отвечает за формы колебаний. Устойчивости отводятся следующие главы работы.
Пусть на стержень действует продольная сила Р(х) = Р0-{р + q)x, где PQ=R- реакция забоя, р- погонный вес стержня, q- интенсивность продольной нагрузки, которая в данном случае отсутствует, тогда уравнение (22) имеет вид [32]: EJy \x) + (Р0 - рх)у\х) - ру (х) - а 2ту(х) = 0 или, что тоже самое, „ + Ъ_рс_ р_ 4 EJ EJ В уравнении (24) A4 =ormlEJ квадрат собственной частоты. Переходя к безразмерной координате x = x/l, уравнение (24) принимает вид: уп\х)+ Pf-pl x рі\,ґ EJ -у"{х)- у {х)-1АҐу(х) = 0 EJ Введем обозначения Р0= ,р = =Р Л — 0 EJ EJ EJ EJ (25) 2;4 и опустим черту у безразмерной координаты, тогда уравнение (28) имеет вид у 1 (х) + (Р0 - рх)у"(х)-qy\x)- Ґу(х) = 0. (26) В данном разделе рассматриваются формы колебания стержня представленного на рисунке 6. 0 Рис.5. Расчетная схема стержня, находящегося под действием силы веса, для определения собственных функций. Решение уравнения (26) с граничными условиями (10) ищется методом Бубнова - Галеркина в виде Л( )в2 /Я( ). (27) где в качестве базисных функций yt(x) выбираются формы собственных колебаний стержня при отсутствии распределенной нагрузки (19) [6].
Выбор в качестве базисных функций загруженной продольной силой задачи форм колебаний представленных на рис. 4 является наилучшим. Используя программные средства, нарисуем поверхность F(x,A) = 0, (28) где F(x,A) = F(xAai) = y" (x,Al) + (P0-px)y"(xA,)-qy (x l)-A4y(x,A,), (29) для наименьших четырех характеристических чисел таблицы 1.
Уравнение (28) при подстановке определенной функции у(х,А,) в уравнение (26) является уравнением от двух переменных - независимой переменной х и искомого характеристического числа нагруженной собственным весом задачи - А.
Графическое изображение поверхности z = F(x,A,A,) На рисунках в плоскости (Л,х) показаны линии уровня рассматриваемых поверхностей. На каждом рисунке видна линия Я « с, именно при этом значении левая часть уравнения (28) принимает наименьшее значение, а значит использование форм колебаний незагруженного продольной силой стержня для определения решений уравнения (22) является наиболее оптимальным.
Далее, используя уже определенные базисные функции, определим собственные формы колебания стержня, представленного на рис.5. Для этого определим в уравнении (27) произвольные постоянные а,, а2)... Подставляя уа(х) (27) в уравнение (26) получаем невязку Rn(x): Rn(x) = a{(yll,\x) + (P[)-px)y[ (x)-qy[(x)-ryl{x)) + +а2(у21У(х) + (Р0-рх)у ;(х)-ду 2(х )-Ґу2(х)) +... + a(yi!v{x) + {Pu-px)y"lXx)-qy n{x)-X4yn{x))
В соответствии с методом потребуем, чтобы результат подстановки (невязка) Rn(x) был ортогонален каждой из базисных функций ук на отрезке [0,1]: \RK{x)yk{x}dx = 0, (30) где ук(х) = у(х,Лк). Введем следующие обозначения і Кь = j(yJV(x) + (Po-px)y:(x)-gy m(x)-A4ym(x))yk(x)dx, (31) о Используя обозначения (31), перепишем (30) в виде системы линейных уравнений относительно неизвестных параметров Й : Впаг+ В12аг + ...+ ВХпап =0 В21ах + В22а2+ ...+ В2пап=0 (32) Аіяі + Вп2 2+ Вппап = 0. Для того чтобы система (32) имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель из коэффициентов при ait а2, аз,... ап был равен нулю:
Полученное уравнение А=0, есть уравнение для нахождения нужного числа критических частот со, (/ =1,2,...,п), каждой из которых соответствует своя форма колебаний и ненулевой набор коэффициентов а системы (32).
Заметим, что задача вычисления характеристических чисел, в данном случае, очень сложная, по - этому выполним вычисления, оставив в уравнении (27) два, три и четыре слагаемых, далее оценим погрешности вычислений.
Уравнение и вычисление вынуждающих частот
Рассмотрим уравнение Матье (48) Г(т) + [Q - Ifi1 cos2r]Г(г) = 0 , где Q = —тг-2и =— г—— - собственная частота (вычисленная при опре 02 ml2&2 Y(x) v F F делении поперечных форм колебаний стержневых конструкций), О - вынуждающая частота, частота при которой и происходит параметрический резонанс в системе, ее необходимо определить. У(х) Наличие множителя —— в одной из координат "изображающей точки У(х) указывает на то, что рассматривается устойчивость конкретного среза стержня. Таким образом, стержень можно считать устойчивым, если он устойчив в каждой точке. Ось Оц - это вертикальная ось на диаграмме Айнса-Стретта, тогда если имеется возможность оценить для конкретного стержня Мах Y\x) —— , и оп Цх) ределить, попадает ли изображающая точка для конкретного среза стержня в область устойчивости, то можно оценить устойчивость стержня в целом. Поскольку формы колебания оси двигателя определяются формулой (27) п Уя ( ) = ІА (ci e + С2 Х + c,kCos( x) + cuSin( x)), где \ одно из характеристических чисел, то будем именно для него оценивать ft отношение ук (х)/ук(х). С этой целью введем некоторую функцию A( ) и для каждого Лк будем считать ее константой.
Данная оценка справедлива лишь для некоторых видов стержней, в силу знаменателя ——, а именно, для стержней, изгиб которых не пересекает вер тикальную ось - это всегда формы колебания, соответствующие наименьшей П ) Г(х) частоте. Укажем ниже для первой формы Мах Введем обозначения і Y2(x,A,) = y2(x)=J ak(clke +сие +c3kCos(Akx) + cikSifi(Akx)) Г2Р(х .Л,) = y"2{x) = J 42 (clke + c2ke x - cuCos(Akx) - cAkSm{ x)) 4-І используем их на следующих рисунках. Например, для стержня нагруженного только силой веса А(Л,)=6.2, Нечетная функция-71(0= ]Г (4 sinfo- cosAx) является периодическим реше-нием уравнения Матье с периодом 2л, если выполняется равенство (см. 2.2.) (53):
Полученное уравнение позволяет определить уравнение для вычисления вынуждающих частот. Для определения вынуждающей частоты по нечетной функции Матье первой степени, в уравнений критических частот (53) оставим только главный минор второго порядка Q-1+//2 0 0 Q-l-//: = 0, а для определения 0 по нечетной функции Матье третьей степени, в уравнении критических частот (53) нужно оставить главный минор четвертого порядка Q-1 + /T 0 -у 0 Q-1-//2 0 -//2 -pi2 0 П 9 0 0 = 0. -// О Q-9 (62) (63)
Соответственно, уравнения вынуждающих частот имеют вид //-(П-1)г=0 // -//(Q - 9)(3Q -11) + (0-Г)2 (П-9)2 =0, 4ty2 , 2а0 У(х) -,ft- = — где Q = в2 ті22 У(х). Окончательно получаем вынуждающие уравнения, составленные по разному числу гармоник функций Матье: Обратим внимание на то, что второе уравнение является более точным, т.к. построено по функции Матье старшей степени. со Четная функция 7X0= (4 +4003 ) является периодическим решением 1ЫД5 уравнения Матье с периодом Г, если выполняется равенство (см. 2.2.) (58):
Полученное уравнение позволяет определить уравнение для вычисления вынуждающих частот. Для определения частоты 0 по четной функции Матье второй степени, в уравнении критических частот (53) оставим только главный минор первого (очевидно, он не дает ни каких частот 0) и третьего порядка, соответственно, тогда уравнение вынуждающих частот имеет вид
Определение области устойчивости.
Система линейных, однородных уравнений имеет отличное от нуля решение только в том случае, если равен нулю определитель, составленных из коэффициентов этой системы. Это положение сохраняет свою силу и в том случае, когда система имеет бесконечное число неизвестных. Итак, условием существования периодических решений, в данном случае уравнения типа Матье, является равенство нулю определителя полученной однородной системы, т.е.
Перед применением данных определителей в качестве уравнений, определяющих границы диаграммы Айнса-Стретта, необходимо отметить, что он является сходящимся, последнее доказано в [72], [24].
Полученное уравнение позволяет найти те области неустойчивости, которые ограничены периодическими решениями с периодом Т. По имеющемуся уравнению построим часть диаграммы Айнса-Стретта. Для этого определим следующую функцию 1Щм,є) = Q-1+У -є -ft 0 0 0 0 0 є Q-l-//3 0 V 0 0 ,.. 0 0 -ft 0 Q-9 -Зє -ft 0 0 0 0 -ft Зє Q-9 0 -ft 0 0 0 0 -ft 0 Q-25 -5є 0 0 0 0 0 -ft 5є Q-25 » 0 0 ... ... ... ... (ь -ft 0 0 0 0 0 -it 0 а-(2л+і)2 -І2п+\)2є 0 0 0 0 0 0 -ft (2л+\)2є Cl (2n+\f (84) Очевидно, сечение плоскостью z = 0 функции двух переменных и параметра є - z = F(Cl fe) и будет искомая диаграмма Айнса-Стретта. 7і» 5—1 Eps=0 1 4- \ \ / 3-г2- \ V 0- 0 1 110 20 ЗО 4 Omega R,R,R
В заключении данного раздела осталось объединить части диаграммы Айнса-Стретта определенных по четным и нечетным функциям Матье. Очевидно, границы области устойчивости определяются уравнением F(Q, //,) xR(Q,iu,e) = Q, подставляя F(Q,/u,e) и R(Q,ju,s) в полученное уравнение, имеем Перед применением данных определителей в качестве уравнений, определяющих границы диаграммы Айнса-Стретта, необходимо отметить, что он является сходящимся, последнее доказано в [72].
Оставляя одинаковое количество первых строк и столбцов в каждом определителе всегда можно построить диаграмму Айнса-Стретта необходимого размера по оси OQ.. Заметим, что программа Mathcad позволяет вычислять определитель до 10 порядка включительно, а следовательно, имеется возможность определить границы устойчивости, где Qe[0,100]. Ограничением данного интервала может быть только размер шага сетки по осям.
В нашем случае будем использовать первые четыре строки и столбца первого определителя, и первые пять строк и столбцов второго определителя. Поверхность, определяемая равенством z = F(Q,{i,s)xR(Q,p,s), имеет вид w , w ,s и сечение плоскостью z = 0 и будет искомая диаграмма Айнса-Стретта [53]. W,W,R Рис. 18. Диаграмма Айнса-Стретта для систем с трением. W(x,y) := F(x,y) R(x,y) Из диаграмм АйнсаСтретта определенных для уравнения Матье и уравнения типа Матье видно, что наличие трения в системе расширяет поля устойчивости.
Уравнения вынуждающих частот.
Для определения вынуждающего уравнения составленного по нечетным функциям Матье вернемся к системе (78): (0-1+/ )4.-/ 4 -єВ} =0 $4+(0-1-// -// =0 -/j24 -ЗсВъ +(-9 + ОЫ3 -fi2 = 0 -//2fi,--+(3e)4+(-9 + n)B,-//:5j =0 -//24_, -тВп+(-п2 +П)4 -//24+2 =о 4 -/ Ч_2 +Ы +&)вп-м2вп+2 = о Как известно, система линейных, однородных уравнений имеет отличное от нуля решение только в том случае, если равен нулю определитель, составленных из коэффициентов этой системы. Это положение сохраняет свою силу и в том случае, когда система имеет бесконечное число неизвестных. Итак, условием определения вынуждающих частот является равенство нулю определителя полученной однородной системы, т.е. Q-1 + //2 - -//2 О є Q-l-/i2 0 -//2 (87) = 0 -//2 О 0-9 -3s О -//2 Зє Q-9 Полученное уравнение позволяет определить уравнение для вычисления вынуждающих частот. Для определения частоты 0 по нечетной функции Матье первой степени, в уравнении критических частот (87) оставим только глав Q-1 + //2 -є ный минор второго порядка = 0, а для определения 0 по не є Q-1-// четной функции Матье третьей степени, нужно оставить главный минор четвертого порядка:
Определение форм колебаний стержневой модели при действии продольных сил
На последнем этапе программы рассматривается действие периодической продольной нагрузки, что может привести к явлению параметрического резонанса. Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид (40), в случае вязкого трения (69). Основным будем считать уравнение (69), т.к. уравнение (40) есть частный случай уравнения (69),
Определяются параметры периодической нагрузки а0 глубина модуляции и наличие трения v: а0:= 0.5 v 0.005
Далее определяем собственную частоту, при которой необходимо оценить устойчивость работы двигателя. Заметим, что на этапе 2 уже вычислены первые два характеристических числа сложной задачи, и нам необходимо переменной w - присвоить любое из них. гт W:=WW1 Например:
Обратим внимание на то, после разделения переменных в уравнении (69) в качестве базисных функций мы выбираем базисные функции, определенные на этапе 2, т.е. задачи в которой на стержень действует распределенная продольная нагрузка. В этом случае второе уравнение можно свести к уравнению Матье (48) или, в случае вязкого трения, к уравнению типа Матье (74).
Ив первом и во втором случае один из параметров уравнения Матье содержит множитель, зависящий и базисной функции У"(х)/У(х) и от выбранной частоты. Вводится функция A(w , которая определяет значение данной дроби на интерва ле [0,1] для выбранного ранее характеристического числа W;= WW1 \\ :=W1 U = 2.436 Y2Y0 :=3.9 Определим параметры уравнения Матье (74) - силу трения и "изображающие координаты" (75): 4-W Vinygdauchee yravnenie п(о):= , v -2-aO-A(W) / \ 2-v nvDJ2-2 2 _.2 „2 m-0 Далее переходим к решению вынуждающих уравнений. Уравнение (90), или (64) для систем без трения, определенных по нечетной функции Матье 1- ой степени: 87І745Й1779 0.99939999861 -0.00000281759 012: П2 [A2 где W_YI(Q) _ это левая часть этого уравнения, " ц1_ - вынуждающая частота и параметры уравнения Матье, соответственно. И второй набор, соответствующий второй вынуждающий частоте . Полученные данные помеше ны в матрице в таком же порядке. Вынуждающее уравнение (66) определено только для систем без трения по четной функции Матье 2- ой степени: в силу того, что решения отсутствуют (это показано красным цветом) для систем с трением, то решения по всем четным функциям не рассматриваем.
Уравнение (89), или (65) для систем без трения, определено по нечетной функции Матье 3- он степени: это левая часть этого уравнения, _ - вынуждающая частота и параметры уравнения Матье, соответственно. И второй набор, соот о 032 ,Ш2,і32 7-, ветствующии второй вынуждающий частоте . Полученные данные помешены в матрице В] - в таком же порядке, если они имеются. Матрица т выделяется красным цветом, если вынуждающее уравнение не имеет решений. В указанном выше случае вынуждающее уравнение не имеет решений.
Здесь же составляются уравнения, определяющие границы диаграммы Айн-са-Стретта - (61) для систем без трения и (86) для систем с трением: из последних рисунков видно, что отличия первых двух диаграмм очень малы, в связи с этим далее используем диаграмму, представленную на среднем рисунке, определенную по функции Матье 1- ой степени.
Переходим к последнему шагу - это обозначение геометрического положения "изображающей точки" на диаграмме Айнса-Єтретта. С целью предоставления информации в удобном виде введем некоторые обозначения: u:=W eps.:=E(0Il) 0:-011 u — выбранное ранее одно из характеристических чисел, CPS - коэффициент трения, 0 - вынуждающая частота.
Далее определяются кривые, составляющие диаграмму Айнса-Стретта вычисленные по функции Матье 1-ой степени (93) у(х) := -J(x-l)2 + {eps)2 I 2 2 уу{х) :=-/(х- 1) +(eps) Определим положение изображающих точек - как точек пресечения пунктирных линий — линий имеющих разный угол наклона, но проходящих через координаты.(ш.ш) (пара прямых « == + (ш-ш) у2(х) -х + (щ + ш) и; (02,р2) (царапрЯМЫХ УЗ(Х):=Х + ( "Ш) (х) :=-х + (и2 + т)); yl(x) := х + (ці - Пі) у2(х) := -х+ (ці + ill) уЗ(х) = х + (м2 - Ol) у4(х) := -х + (ц2 + П2) Изобразим положение диаграммы АЙнса-Стретта и четырех указанных прямых, образующих при попарном пересечении "изображающие точки" на одном рисунке:
