Содержание к диссертации
Введение
1 Случайные хааровские интерполяции финансовых рынков 15
1.1 Модель финансового рынка с конечным числом агрессивных скупщиков акций 16
1.2 Моделирование случайного поведения скупщиков 19
1.3 Метод случайных хааровских интерполяций 22
1.4 Построение совершенных хеджирующих стратегий 27
2 Методы финансовых расчетов на безарбитражных (b,s)-pbihkax с конечным числом агрессивных скупщиков акций 38
2.1 Общий алгоритм ведения финансовых расчетов 39
2.2 Проверка финансового обязательства на реплицируемость . 43
2.3 Расчет верхней и нижней цены контракта 45
2.4 Вычисление мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства 49
2.5 Ослабленное свойство универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ) мартингальной меры 51
2.6 Проверка удовлетворения ОСУХЕ для мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства . 53
2.7 Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ . 55
2.8 Приближение мартингальной меры, не удовлетворяющей ОСУХЕ, мартингальной мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ 62
3 Программная реализация вычислительных алгоритмов и результаты расчетов на тестовых моделях 69
3.1 Программный комплекс «Хеджирование посредством интерполяции» 69
3.2 Результаты финансовых расчетов 80
Заключение 89
Литература 91
Приложение 100
- Моделирование случайного поведения скупщиков
- Построение совершенных хеджирующих стратегий
- Проверка финансового обязательства на реплицируемость
- Проверка удовлетворения ОСУХЕ для мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время наблюдается бурное развитие методов стохастического анализа в математической теории финансов, связанной с моделированием поведения ценных бумаг, таких как акции, облигации, боны и др. Толчком для этого развития послужила теория мартингалов.
Наиболее изученными на сегодняшний день являются модели полных безарбитражных рынков, для которых получены результаты, имеющие законченный вид. Поэтому актуально проведение исследований в области финансовых рынков, не обладающих полнотой.
В связи с высокой динамикой событий, происходящих на финансовых рынках, существует потребность в инструментах, позволяющих производить сложные финансовые расчеты, такие как определение справедливых цен опционов, построение хеджирующих стратегий и др. Создание таких инструментов тесно связано с разработкой соответствующих алгоритмов и численных методов.
В частности, в связи с развитием теории хааровских интерполяций (Б, 5)-рынков возникла необходимость разработки наиболее общей (которую может обслужить данная теория) модели финансового рынка, подверженного агрессивной скупке акций определенного типа, и создания качественного программного комплекса, обеспечивающего необходимые вычисления в рамках построенной модели. Поэтому направление исследований, которым посвящена настоящая диссертация, является актуальным.
Объектами исследования являются финансовые рынки в период целенаправленной скупки акций.
Целью диссертационной работы является построение моделей безарбитражных неполных финансовых рынков, подверженных целенаправленной
ВВЕДЕНИЕ
скупке, и их исследование с помощью случайных хааровских интерполяций, а также применение интерполяционного метода для расчетов на финансовых рынках, эволюционирующих в соответствии с данными моделями.
Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:
осуществить моделирование (В,8)-рынка в случае целенаправленной скупки акций со стороны произвольного конечного числа конкурирующих скупщиков;
построить модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции;
модифицировать метод хааровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков;
получить вычислительные схемы для расчетов справедливой цены финансовых обязательств и компонент хеджирующих стратегий в интерполирующем (В, )-рынке;
разработать набор алгоритмов, позволяющих вести вычисления с помощью компьютерной техники; создать программный комплекс, осуществляющий эти вычисления.
Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты стохастической финансовой математики, теория мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория вероятностей, теория алгоритмов и структур данных.
Реализация на ЭВМ программного комплекса выполнялась с помощью кроссплатформенной библиотеки классов Qt4, а также библиотеки для решения больших задач оптимизации GLPK. В качестве основного алгоритмического языка выбран обьектно-ориентированный язык C++. Таким образом, удалось построить программный комплекс, работающий на ряде современных платформ, таких как Windows, Linux, MacOS X.
ВВЕДЕНИЕ
Научная новизна. Построена и исследована модель неполного безарбитражного (В, 8)-рынка в случае целенаправленной скупки акций со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков. Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные безарбитражные финансовые рынки использован метод интерполяции финансовых рынков с помощью случайных хааровских фильтраций (метод хааров-ских интерполяций финансовых рынков). В связи с этим в настоящей работе нашла дальнейшее развитие теория хааровских интерполяций безарбитражных финансовых рынков безарбитражными и полными рынками путем внедрения модели случайного поведения скупщиков. Полученная модель является общей законченной моделью безарбитражных финансовых рынков, на которых действует произвольное конечное число агрессивных скупщиков.
В работах Павлова И.В. и Богачевой М.Н. была заложена основа принципиально нового метода перехода от неполных рынков к полным. Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные безарбитражные финансовые рынки был использован метод интерполяции финансовых рынков, связанный с применением хааровских фильтраций и интерполяций мартингалов. Этими авторами рассматривалась модель с двумя агрессивными скупщиками акций при условии, что один из скупщиков всегда опережает второго. Указанное ограничение было снято Павловым И.В. и Волосатовой Т.А. В их работах предполагалось, что действия скупщиков носят случайный характер, однако количество скупщиков было равно двум. Затем был осуществлен переход от двух к трем (и более) скупщикам (работы Павлова И.В. и Данекянц А.Г.) в предположении, что между моментами объявления новых цен на акции порядок появления скупщиков на рынке детерминирован.
ВВЕДЕНИЕ 9
Настоящая диссертация является развитием и углублением перечисленных работ. Существенным отличием является моделирование случайности в поведении скупщиков. Полученная в данной работе база новых вычислительных алгоритмов позволяет применить метод случайных хааров-ских интерполяций к реальным расчетам на безарбитражных финансовых рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. Таким образом, результаты нашего исследования позволяют не только производить вычисления, но и создавать программные комплексы, существенно облегчающие выбор оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках.
Выносимые на защиту результаты. В ходе проведенных исследований получены следующие результаты:
построена модель (В,8)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков;
построена модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции;
разработан и теоретически обоснован модифицированный метод ха-аровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков;
получены основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (Б,5')-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени.
разработан метод ведения вычислений в рамках моделей безарбитражных финансовых (В, 8)-рынков; получены новые вычислительные алгоритмы, строгость которых подтверждена доказательствами специальных теорем.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации
ВВЕДЕНИЕ
теоретические результаты, связанные с построением теории интерполяции неполных безарбитражных финансовых рынков, развивают стохастический анализ в его приложении к финансовой математике. Результаты диссертации могут быть применены эмитентами акций и вторичных ценных бумаг в период, когда на исследуемом рынке производится целенаправленная скупка акций. Основные положения работы могут найти (и уже находят) применение в построении и исследовании такого рода финансовых рынков с применением компьютерных технологий.
По результатам исследований составлен программный комплекс, позволяющий оценивать параметры исследуемой модели по реальным данным, анализировать цену финансового обязательства и строить оптимальные хеджирующие портфели.
Достоверность результатов работы подтверждается
математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;
апробацией этих результатов на всероссийских конференциях и научных семинарах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и региональных научных конференциях и форумах:
VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, г. Кисловодск, 2006г.);
XIII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия, г. Йошкар-Ола, 2006г.);
XIV Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Адлер, 2007).
ВВЕДЕНИЕ
региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2005,2006 г.г.)
XII Всероссийской Школе-Семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 2007г.);
кафедральных семинарах по стохастической финансовой математике при кафедре высшей математики РГСУ (рук. — проф. Павлов И.В.);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 без соавторов. Из них 2 статьи в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК, 8 в тезисах докладов всероссийских симпозиумов и конференций. В работах [50, 52] автором были получены вычислительные схемы построения совершенных хеджей для произвольных финансовых обязательств F/v (в частности для опционов Европейского типа). В работах [56, 51, 53, 58, 22] были разработаны алгоритмы финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с конечным (в работе [57] с бесконечным) числом агрессивных скупщиков. В работах [49, 52] была построена модель и получен модифицированный метод хааровских интерполяций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (70 наименований), приложения. Каждая глава разбита на параграфы. Работа проиллюстрирована 27 рисунками и изложена на 115 страницах.
Первая глава диссертации посвящена описанию и анализу модели финансового рынка с произвольным конечным числом агрессивных скупщиков акций. При этом основной упор сделан на построении совершенных хеджей в рамках интерполирующих моделей. Моделирование ведется с учетом случайности в поведении скупщиков.
В параграфе 1.1 дается теоретическое описание данной модели. В параграфе 1.2 предложен метод моделирования случайного поведения скупщи-
ВВЕДЕНИЕ
ков. Параграф 1.3 описывает общую методику интерполирования исходного неполного рынка до полного методом случайных хааровских интерполяций. В этом же параграфе на основании доказанной теоремы получены формулы, описывающие единственную мартингальную меру интерполирующего процесса. Описание специфики сделки между продавцом и покупателем опциона при наличии интерполирующего рынка, определение справедливой цены контракта, а так же построение совершенных хеджирующих стратегий производится в параграфе 1.4.
Вторая глава целиком посвящена финансовым расчетам на рассмотренной в первой главе модели (В, й^-рынка с конечным числом агрессивных скупщиков. Результаты данной главы являются основными для построения комплексов программ. Здесь приведены все необходимые вычислительные алгоритмы, кроме заключительных формул расчета компонент совершенного хеджа, описанных в первой главе.
В параграфе 2.1 производится постановка задачи, вводится система обозначений, несколько отличающаяся от обозначений, используемых в первой главе. Здесь же приведены основные шаги финансовых расчетов, детали которых раскрыты в соответствующих параграфах.
Параграф 2.2 посвящен описанию алгоритма проверки произвольного финансового обязательства F/v на реплицируемость.
Алгоритмы, представленные в параграфе 2.3, описывают метод вычисления области торга (С*, С*). Из этой области можно выбрать договорную цену контракта С для заданного финансового обязательства. В этом же параграфе доказана теорема, что громоздкие оптимизационные задачи поиска верхних и
нижних цен контракта С* = тіпЕр [F/v] и С* = тахЕр [F^\ можно свести к
рєТ>* peV*
ряду более простых подзадач. Данная теорема имеет практический интерес, поскольку её результаты позволяют использовать менее ресурсоемкие вычис-
ВВЕДЕНИЕ
лительные алгоритмы. Это важно для моделей с большим числом шагов.
В параграфе 2.4 показано, как получить невырожденную мартингальную меру Р, соответствующую равенству С = EP[F^]. Под невырожденной понимается мера Р Є V (Z, F). Для решения этой задачи необходимо сконструировать вспомогательную невырожденную мартингальной меру.
В параграфе 2.5 рассматривается ослабленное свойство хааровской единственности (впервые введенное в работах Павлова И.В. и Данекянц А.Г.) применительно к разрабатываемой методике вычислений.
Параграф 2.6 содержит описание критерия существования на исходном рынке мартингальных мер, удовлетворяющих ослабленному свойству хааровской единственности. Там же приведен алгоритм проверки мартингальной меры Р на ослабленное свойство хааровской единственности.
Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ослабленному свойству хааровской единственности, и их приближение мерами, удовлетворяющими ослабленному ствойству хааровской единственности, приведены в параграфе 2.7.
Параграф 2.8 состоит из двух частей. В первой части описан алгоритм приближения невырожденной мартингальной меры Р другой невырожденной мартингальной мерой Р. При этом обе меры удовлетворяют одной и той же договорной цене финансового обязательства С. Вторая часть параграфа описывает случай, когда такую меру построить не удается. Здесь показан алгоритм приближения исходной мартингальной меры другой мартингальной мерой Р. При этом, новая мартингальная мера удовлетворяет цене контракта, близкой к договорной (т.е. С « Ep[Fn)). В конце параграфа описаны заключительные шаги финансовых расчетов.
Основные результаты третьей главы.
В параграфе 3.1 дается аннотация программного комплекса "Приближен-
ВВЕДЕНИЕ 14
ное хеджирование посредством интерполяции". Описаны использованные в нём структуры данных. Показано взаимодействие компонент комплекса. В качестве вычислительной алгоритмической базы данный комплекс использует результаты второй главы. Реализация модели случайного поведения скупщиков, а так же программное конструирование интерполирующего рынка используют результаты первой главы.
Параграф 3.2 содержит примеры вычислений хеджирующих стратегий с помощью программного комплекса на различных входных данных. Описан случай, когда применение метода хааровских интерполяций не требуется (для неполных рынков такие случаи крайне редки). В одном из примеров построен интерполирующий (В, Sj-рынок с учетом вероятностей попадания скупщиков на рынок. Уделено внимание статистической проверке формул распределений координат случайного вектора 5, полученных в первой главе (для случая г = 3). Получены графики отражающие эволюцию цен акций для исходного и интерполирующего процесса.
В заключении приводятся и комментируются основные результаты работы, выносимые на защиту.
В приложении детально описан программный комплекс «Приближенное хеджирование посредством интерполяции» и его исходный код.
Моделирование случайного поведения скупщиков
Пусть длина отрезка di (г = 1,2,..., г) равна вероятности того, что і-й скупщик после объявления цен на акции первым будет иметь возможность произвести скупку на рынке. Проведем серию из г испытаний, каждое из которых заключается в бросании точки на отрезок [0,1]. Попадание точки на отрезок [0, d\) соответствует событию —на рынок первым попал скупщик номер 1, попадание точки на отрезок [d\, d\ + 2) — на рынок попал первым скупщик номер 2 и т.д., и, таким образом, принятию первой координаты случайного вектора 5 значения, равного номеру скупщика. После испытания отрезок, на который попала точка, удаляется с отрезка [0,1]. Длины оставшихся отрезков пропорционально увеличиваются так, чтобы выполнялось условие:
Рассмотрим ситуацию на рынке ценных бумаг, когда акции определенного типа подвергаются агрессивной скупке, то есть после скупки долгое время находятся на руках у скупщиков (без возвращения на рынок). Такая скупка производится целенаправленно (со стороны физических или юридических лиц) чаще всего в политических целях: для получения контрольного или блокирующего пакета акций, поглощения компании и т.п. Назовем этих лиц агрессивными скупщиками. Произведем моделирование такой ситуации в интервале от начального момента 0 до финального момента N. В нулевой момент времени цены на акции известны. Считаем, что объявление новых цен на акции происходит в дискретные моменты времени, количество действующих на рынке скупщиков конечно и равно г.
В работе Павлова И.В., Мисюры В.В. [48, 55] описана модель (B,S)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акций одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны одного агрессивного скупщика. Эта модель в дальнейшем была расширена в работах Павлова И.В. и Богачевой М.Н. [5, 6, 10, 7] до модели с двумя агрессивными скупщиками акций, при условии, что один из скупщиков всегда опережает второго. Указанное ограничение было снято Павловым И.В. и Волосатовой Т.А. [17, 19]. В их работах предполагалось, что действия скупщиков носят случайный характер, однако количество скупщиков было равно двум. Затем был осуществлен переход от двух к трем (и более) скупщикам (работы Павлова И.В. и Да-некянц А.Г. [26, 27]) в предположении, что между моментами объявления новых цен на акции порядок появления скупщиков на рынке детерминирован. Последнее ограничение снимается в настоящей диссертации.
Прежде всего заметим, что в теории хааровских интерполяций финансо ГЛАВА І вых рынков принципиальные сложности возникают при переходе от рынков с одним агрессивным скупщиком к рынкам с двумя агрессивными скупщиками, а так же при переходе от двух скупщиков к трем и более. Последний случай рассматривался в работах Павлова И.В. и Данекянц А.Г. Однако, детерминированность поведения скупщиков не позволяла обобщить результаты для широкого класса рассматриваемых финансовых рынков. Указанное жесткое ограничение снимается в параграфе 1.3, где порядок появления скупщиков на рынке определяется различными вероятностными распределениями. В частности, в параграфе 1.2 предложено моделировать поведение скупщиков с помощью вектора, координаты которого — зависимые случайные величины. В это же параграфе описывается метод генерации случайных координат, основанный на свойствах равномерного распределения.
Пусть (Г2, {F)k=0 ,Т,Р) — стохастический базис, где 1 конечное множество; iV-конечный горизонт; То = { ,0}; FN = F; вероятность Р нагружает все атомы, порождающие Т. Пусть сг-алгебра Т\- порождена разбиением 1 на атомы А\,А2, ., Ark, Д- о, где событие Агк+г {г = 1,2, .,г; к = 0,1,2,..., N — 1) заключается в том, что акция оказалась скуплена г-м скупщиком после объявления цены на акцию в момент времени к; событие Вгк,о (к = 0,1, 2,..., N) заключается в том, что акция оказалась не скупленной (рис. 1.1).
Отметим, что рассматриваемый в рамках данной модели (В, 5)-рынок при г 1 всегда неполон (это следует из того, что при переходе от момента времени к к моменту времени к + 1 атом ВГк$ дробится на г + 1 2 атом). Преобразования такого неполного рынка в полный осуществляется с помощью метода интерполяции (развитого в работах [5, 6, 19, 17, 25, 32]).
Поясним суть этого метода. Рассматривая безарбитражные но неполные рынки мы расширяем исходную фильтрацию финансового рынка таким обра ГЛАВА І Рис. 1.1. Схема дерева для двух шаговой модели с конечным числом г агрессивных СКуПЩИКОВ, Д),0 :== зом, что она превращяется в хааровскую фильтрацию, в которой при переходе от момента времени п к моменту n-fl ровно один атом дробится на две части, а остальные атомы остаются неизменными. Затем используя вероятностное (мартингальное) решение задачи Дирихле(см. [61]) для дисконтированной цены акции по отношению к хааровской фильтрации, мы получаем однозначно определенную интерполяцию дисконтированной цены акции на специальным образом выбранные промежуточные времена. Далее, с помощью полученной интерполяции мы конструируем финансовый рынок, определенный как на исходных, так и на вновь введенных промежуточных значениях временного параметра. То есть, на исходных значениях временного параметра цены акций и цены банковского счета полученного рынка, совпадают с изначально заданными на исходном рынке. Таким образом, мы получаем интерполяцию исходного финансового рынка. Здесь и далее полученный рынок называем интерполирующим.
Построение совершенных хеджирующих стратегий
Настоящая диссертация является развитием и углублением перечисленных работ. Существенным отличием является моделирование случайности в поведении скупщиков. Полученная в данной работе база новых вычислительных алгоритмов позволяет применить метод случайных хааров-ских интерполяций к реальным расчетам на безарбитражных финансовых рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. Таким образом, результаты нашего исследования позволяют не только производить вычисления, но и создавать программные комплексы, существенно облегчающие выбор оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках. Выносимые на защиту результаты. В ходе проведенных исследований получены следующие результаты: 1) построена модель (В,8)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков; 2) построена модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции; 3) разработан и теоретически обоснован модифицированный метод ха-аровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков; 4) получены основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (Б,5 )-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени. 5) разработан метод ведения вычислений в рамках моделей безарбитражных финансовых (В, 8)-рынков; получены новые вычислительные алгоритмы, строгость которых подтверждена доказательствами специальных теорем. Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с построением теории интерполяции неполных безарбитражных финансовых рынков, развивают стохастический анализ в его приложении к финансовой математике. Результаты диссертации могут быть применены эмитентами акций и вторичных ценных бумаг в период, когда на исследуемом рынке производится целенаправленная скупка акций. Основные положения работы могут найти (и уже находят) применение в построении и исследовании такого рода финансовых рынков с применением компьютерных технологий.
По результатам исследований составлен программный комплекс, позволяющий оценивать параметры исследуемой модели по реальным данным, анализировать цену финансового обязательства и строить оптимальные хеджирующие портфели. Достоверность результатов работы подтверждается 1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных; 2) апробацией этих результатов на всероссийских конференциях и научных семинарах. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и региональных научных конференциях и форумах: 1) VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, г. Кисловодск, 2006г.); 2) XIII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия, г. Йошкар-Ола, 2006г.); 3) XIV Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Адлер, 2007). региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2005,2006 г.г.) 4) XII Всероссийской Школе-Семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 2007г.); 5) кафедральных семинарах по стохастической финансовой математике при кафедре высшей математики РГСУ (рук. — проф. Павлов И.В.);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 без соавторов. Из них 2 статьи в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК, 8 в тезисах докладов всероссийских симпозиумов и конференций. В работах [50, 52] автором были получены вычислительные схемы построения совершенных хеджей для произвольных финансовых обязательств F/v (в частности для опционов Европейского типа). В работах [56, 51, 53, 58, 22] были разработаны алгоритмы финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с конечным (в работе [57] с бесконечным) числом агрессивных скупщиков. В работах [49, 52] была построена модель и получен модифицированный метод хааровских интерполяций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (70 наименований), приложения. Каждая глава разбита на параграфы. Работа проиллюстрирована 27 рисунками и изложена на 115 страницах.
Первая глава диссертации посвящена описанию и анализу модели финансового рынка с произвольным конечным числом агрессивных скупщиков акций. При этом основной упор сделан на построении совершенных хеджей в рамках интерполирующих моделей. Моделирование ведется с учетом случайности в поведении скупщиков.
Проверка финансового обязательства на реплицируемость
Если же финансовое обязательство P/v реплицируемо, то описанная выше процедура приводит нас к однозначно определенному портфелю п = {Pk k)k=o являющемуся совершенным хеджем данного финансового обязательства. Этот хедж будем называть каноническим хеджем.
Начиная с этого пункта, мы считаем, что финансовое обязательство Рдг нереплицируемо, а сам рынок является безарбитражным и неполным (случай арбитражного рынка в не рассматривается, хотя теория метода хааровских интерполяций для этого случая уже создана в [17]). Вычисление нижней и верхней цен С и С финансового обязательства FN и соответствующих мартингальных мер Р ,Р Є V(Z,F), для которых выполняются равенства С = Ер [P/v] и С = Ер [P/v], осуществляется решением задач линейного программирования с учетом формул С = min Е [Р#] и PeV{Z,F) С — max Е р [Fjj\ (см. [70]). Отметим, что Р и Р (как крайние точки PP(Z,F) множества V(Z,F) ) могут быть вырожденными. Продемонстрируем алгоритм нахождения С и Р на двухшаговой модели с тремя агрессивными скупщиками акций (см. рис. 2.1). Рассмотрим модель финансового рынка с горизонтом N и г агрессивными скупщиками акций. Для заданного финансового обязательства FN значения максимумов задач (2.3) и (2.5) совпадают, т.е. Со = CN. Аналогичный результат остается справедлив, если в (2.3)-(2.5) задачи максимизации заменить задачами минимизации.
2. Менее благоприятную ситуацию получаем, если Р не удовлетворяет ОСУХЕ, но можно найти другую мартингальную меру Р Є V(Z,F), которая удовлетворяет ОСУХЕ, приближает меру Р и удовлетворяет соотношению С = Ер [FN]. Алгоритм конструирования такой меры Р описан в 1-й части параграфа 2.8.
3. Наконец, самая неблагоприятная ситуация возникает в случае, когда Р не удовлетворяет ОСУХЕ и нельзя построить меру Р. Тогда хеджер приближает меру Р мартингальной мерой Р Є V{Z,\ удовлетворяющей ОСУХЕ и приближенному равенству С « EP[F \. Как следует из результатов работ [5, 6], такая мера Р всегда существует. Алгоритм построения Р описан во 2-й части параграфа 2.8.
Если Р удовлетворяет ОСУХЕ, то продавец строит безарбитражный и полный интерполирующий рынок и расчитывает совершенный хедж по известным формулам (см. [70, 62]). Если же Р не удовлетворяет ОСУХЕ, то хеджер находит мартингальную меру Р, приближающую Р с нужной точностью и при этом удо ГЛАВА 2 влетворяющую ОСУХЕ. Далее он действует также, как в первой ситуации.
Так как условие (2.9) выполнено, то при проверке Р на ОСУХЕ, в зависимости от числа скупщиков возможны два варианта (см.[5, 6, 24]): 1. если г 2, то мера Р ЄР (Z, F) автоматически удовлетворяет ОСУХЕ; 2. если г 2, то существуют мартингальные меры, как удовлетворяющие, так и не удовлетворяющие ОСУХЕ (при этом первых значительно больше, чем вторых).
Эти компоненты меры Р по-прежнему не удовлетворяют ОУНБ, так как: be = {b5P5+b2jP )/(j 5+ft)- Причем как и в первом случае, данное равенство выполняется для любого а. Так как параметров для изменения больше нет, то делаем вывод, что меру Р получить невозможно. Действительно, даже если удастся получить компоненты мартингальной меры Р, удовлетворяющие ОУНБ на шаге к = 0, то компоненты этой меры на шаге к = 1 по-прежнему не будут удовлетворять ОУНБ, а значит и мера не будет удовлетворять ОСУ-ХЕ. Алгоритм доводим до конца, пытаясь получить как можно больше компонент мартингальной меры Р, удовлетворяющих ОУНБ. При к = 0 также не удается получить компоненты меры Р, удовлетворяющие ОУНБ.
Дальнейшие паши действия —это приближение мартингальной меры Р мерой Р, удовлетворяющей соотношению С « С, где С = Ер [Fz[. В качестве приближаемой меры берем меру Р, так как при к — 2 ее, компоненты удовлетворяют ОУНБ, а при к = 0,1 совпадают с компонентами меры Р. При к = 1 записываем систему уравнений:
Проверка удовлетворения ОСУХЕ для мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства
Описанные во второй главе алгоритмы реализованы в программном комплексе, который позволяет преобразовывать безарбитражные, но неполные финансовые рынки в безарбитражные и полные. Лежащая в основе комплекса теоретическая база —это теория хааровских интерполяций (Б, S)-рынков, развита в работах [5, 6, 29, 17, 24]. Кроме того, данная теория дополнена результатами первой главы, где и была получена наиболее общая модель безарбитражного финансового (В, б -рынка, подверженного целенаправленной скупке. В программном комплексе реализовано нахождение хеджирующих стратегий для произвольных финансовых обязательств, в том числе для опционов-Call и -Put. В том случае, если на исходном рынке данное финансовое обязательство реплицируемо (такие случаи крайне редки), сразу строится самофинансируемый портфель, реплицирующий это финансовое обязательство без подключения метода интерполяции. Иначе пользователю предлагается выбор цены контракта С из области (С , С ) и построен интерполирующий рынок, на котором будут расчитаны компоненты хеджирующего портфеля. Программный комплекс состоит из нескольких взаимосвязанных частей, разбитых по логическим уровням абстракции.
1. Уровень модели предзначен для отделения структур данных и функций обработки этих данных в рамках моделей финансовых рынков от остальной части программного комплекса. В частности, уровень моделей подразделяется на два модуля.
Во втором модуле реализованы функции для расчетов в рамках конкретной модели финансового рынка. Эти функции используют данные предоставленные первым модулем. Именно здесь реализованы алгоритмы изложенные во второй главе.
2. Уровень приложений предназначен для организации взаимодействия с пользователем комплекса. С помощью диалога пользователь может сконструировать финансовый рынок, задать на нём финансовое обязательство и просмотреть результаты расчетов. Кроме того, исходные данные можно получить из специальным образом сформированного файла. Последнее позволяет подготавливать структуру финансового рынка с помощью внешних программно отношению к комплексу), собирающих и анализирующих статистику.
Программный комплекс состоит из множества окон, с которыми взаимодействует пользователь.
1. Редактор модели предзназначен для визуального отображения структуры финансового рынка в виде дерева событий и редактирования атрибутов атомов.
2. Главное меню позволяет получить доступ ко всем операциям программного комплекса. Большинство таких операций связанно с комбинациями горячих клавиш, что ускоряет и упрощает работу.
3. Таблица параметров предназначена для отображения атрибутов атомов исходного (и интерполирующего) рынка. Под атрибутами понимаются цены акции (дисконтированные, если рынок дисконтирован), компоненты финансового обязательства и вероятностной меры.
4. Результаты вычислений или команд выполняемых в среде комплекса отображаются в журнале событий. Таким образом легко видеть последовательность производимых над моделью действий.
5. Дополнительная информация, такая как подсказки, выводится в строке состояния.
6. С помощью программы можно построить график эволюции цены акции (на исходном и интерполирующем рынках).
7. Кроме того, комплекс содержит мастера: создания модели; выбора финансового обязательства; поведения скупщиков на рынке и эволюции банковского счета.
Шаг 1. В соответствии с алгоритмом, приведенным во втором параграфе второй главы настоящей работы, финансовое обязательство проверяется на реплицируемость.
Шаг 2. В соответствии с алгоритмом, приведенным во третьем параграфе второй главы настоящей работы, находятся верхние и нижние цены платежного обязательства, а также компоненты соответстствующих им мер. Для решения задач оптимизации применяется сторонняя библиотека GLPK. Шаг 3. Из найденой области торга продавец (по договоренности с покупателем) контракта выбирает цену контракта С, после чего для данной цены находится невырожденная мартингальная мера Р. В основе данного шага лежат методы, описанные в третьем параграфе второй главы. Шаг 4. На данном шаге производится проверка меры на ослабленное свойство хааровской единственности.
