Содержание к диссертации
Введение
1. Интерполяционные свойства мартингалов на стохастическом базисе со счетным вероятностным пространством .
1.1 .Хааровские фильтрации с временным параметром, принадлежащим специальным счетным множествам числовой прямой 41-45
1.2. Свойство хааровской единственности мартингальной меры: вспомогательные леммы и формулировка основного результата 45-57
1.3.Доказательство критерия удовлетворения мартингальной меры свойству хааровской единственности 57-58
1.4. Достаточное условие выполнения свойства хааровской единственности 58-59
1.5. Свойство универсальной хааровской единственности и критерий удовлетворения мартингальной меры этому свойству 59-63
1.6.Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству универсальной хааровской единственности: случай потока конечных ст-алгебр и бесконечного горизонта 63-65
2. Специальные хааровские интерполяции мартингалов .
2.1 .Специальные хааровские интерполяции мартингалов на конечном и счетном вероятностных пространствах 67-68
2.2. Ослабленное свойство универсальной хааровской единственности: критерий удовлетворения мартингальной меры этому свойству 68-74
2.3 .Условия, обеспечивающие удовлетворение ослабленного свойства универсальной хааровской единственности всеми мартингальными мерами. Теорема о неулучшаемости этих условий 75-90
3. Применение специальных хааровских интерполяций к моделированию финансовых рынков .
3.1 .Модель (В, S) -рынка с произвольным конечным числом агрессивных скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций 92-98
3.2. Аппроксимационо-интерполяционный метод сведения безарбитражных финансовых рынков с бесконечным числом состояний к безарбитражным и полным рынкам с конечным числом состояний 99-102
3.3.Модель (В,)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций 102-104
3.4. Описание алгоритма, реализованного в программном комплексе «Приближенное хеджирование» 105-112
Приложение 1. «Приближенное хеджирование». Исходные тексты программ 113-125
Заключение 126-128
Литература
- Свойство хааровской единственности мартингальной меры: вспомогательные леммы и формулировка основного результата
- Свойство универсальной хааровской единственности и критерий удовлетворения мартингальной меры этому свойству
- Ослабленное свойство универсальной хааровской единственности: критерий удовлетворения мартингальной меры этому свойству
- Аппроксимационо-интерполяционный метод сведения безарбитражных финансовых рынков с бесконечным числом состояний к безарбитражным и полным рынкам с конечным числом состояний
Введение к работе
Общая характеристика диссертации. Настоящая диссертация посвящена моделированию финансовых рынков, на которых действуют «агрессивные» скупщики акций (их может быть конечное либо бесконечное число).
Теоретическая часть диссертации представляет собой исследование мартингальных вероятностных мер, удовлетворяющих ряду интерполяционных свойств. Рассмотрения проводятся на стохастическом базисе со счетным вероятностным пространством, на котором задан адаптированный случайный процесс Z, понимаемый как дисконтируемая стоимость акции.
Интерполяционные свойства мартингальных мер процесса Z вводятся следующим образом. Сначала строятся хааровские фильтрации, интерполирующие исходную фильтрацию стохастического базиса. С помощью решения мартингальной задачи Дирихле по финальному значению процесса Z относительно хааровской фильтрации определяется процесс У, интерполирующий Z в том смысле, что Y совпадает с Z на исходном множестве временных параметров {0,1,2,3,...} и является оптимальным прогнозом Z на «промежуточных временах», число которых между целочисленными временами может быть конечно либо счетно. Последнее обстоятельство требует значительно больше технических средств по сравнению с соответствующей теорией, развитой на конечных вероятностных пространствах И.В. Павловым и М.Н. Богачевой (см. [5],[8]).
Если исходная мартингальная мера Р процесса 2 становится единственной мартингальной мерой интерполирующего процесса Y, то по определению мера Р удовлетворяет свойству хааровскои единственности (СХЕ). Если этот факт справедлив для любой интерполирующей хааровскои фильтрации, то мы говорим, что мера Р удовлетворяет свойству универсальной хааровскои единственности (СУХЕ). В диссертации в терминах значений процесса Z получены критерии того, что мартингальная мера Р удовлетворяет СХЕ и СУХЕ; доказано, что если какая-либо одна мартингальная мера удовлетворяет СХЕ, то и все мартингальные меры удовлетворяют этому свойству, а также получены необходимые условия существования мартингальных мер, удовлетворяющих СУХЕ. Соответствующие достаточные условия получить не удалось, так как задача нахождения таких мер свелась к весьма сложной (и до настоящего момента нерешенной) системе бесконечного числа неравенств с бесконечным числом переменных. В диссертации предлагается следующий способ преодоления этих трудностей. Вводятся в рассмотрение так называемые специальные хааровские интерполирующие фильтрации, являющиеся частными случаями хааровских интерполирующих фильтраций, и относительно этого нового класса фильтраций по тому же принципу, как и ранее, вводятся соответствующие интерполяционные свойства, которые естественным образом названы усиленным свойством хааровскои единственности (УСХЕ) и ослабленным свойством универсальной хааровскои единственности (ОСУХЕ).
Остановимся на ОСУХЕ. В диссертации получен критерий того, что фиксированная мартингальная мера удовлетворяет ОСУХЕ, и критерий того, что любая мартингальная мера удовлетворяет ОСУХЕ.
Важной частью последнего результата является весьма трудная теорема о том, что (при некоторых условиях) если множество мартингальных мер непусто, то в нем всегда существует мера, не удовлетворяющая ОСУХЕ (а, следовательно, не удовлетворяющая СУХЕ).
Отметим, что и для конечного вероятностного пространства понятия УСХЕ и ОСУХЕ являются новыми. Эти понятия весьма продуктивны при моделировании финансовых рынков, подверженных целенаправленной скупке акций.
В диссертации рассмотрена модель (В, S) -рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акций одного типа, подверженных скупке со стороны любого конечного числа г агрессивных скупщиков (г 3). Предположим, что действия скупщиков акций аранжированы во времени: на каждом временном этапе: скупщик №1 опережает скупщика №2, который, в свою очередь, опережает скупщика №3 и т.д. Ранее исследовались аналогичные модели с одним скупщиком (см. [2], [68]) и с двумя скупщиками (см. [9]). Сразу отметим, что при применении метода хааровских интерполяций переход от двух скупщиков к трем и более привносит в процедуру совершенного хеджирования дополнительные трудности (см. [11]). Дело в том, что для широкого класса моделей с двумя скупщиками все мартингальные меры рассматриваемых финансовых рынков удовлетворяют СУХЕ, что позволяет использовать для совершенного хеджирования произвольные хааровские фильтрации, интерполирующие исходную фильтрацию (B,S) -рынка. В рассматриваемых нами аналогичных моделях с г скупщиками (г з) всегда существуют мартингальные меры, не удовлетворяющие СУХЕ. Оказалось, что для исследования такого рода моделей достаточно, чтобы все мартингальные меры удовлетворяли ослабленному свойству хааровской единственности (в случае двух скупщиков СУХЕ и ОСУХЕ совпадают). Доказано (см. § 2.3 настоящей диссертации), что среди мартингальных мер для данных моделей всегда существуют меры, не удовлетворяющие и ОСУХЕ. Поэтому если компромиссная мартингальная мера, соответствующая цене некоторого (не реплицируемого в исходном (В, S)-рынке) финансового обязательства, не удовлетворяет ОСУХЕ, то для применения метода хааровских интерполяций эту меру следует сначала (с необходимой точностью) приблизить мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ, а потом осуществить совершенное хеджирование. Такая методика заложена в основу разработанного в диссертации программного комплекса «Приближенное хеджирование».
В настоящей диссертации также введена и исследована модель {B,S) -рынка с бесконечным числом скупщиков акций. Фильтрация
(5i)L моделируемого {В,S)-рынка задается следующим образом: т-алгебра +, порождена разбиением множества D на атомы 4ш,4+1"" Л +, -" ДІ+1 ( = (0, -1)), где событие А™ (1 / ОО) означает, что акция скуплена г-м скупщиком, а событие AkJl заключается в том, что акция оказалась нескупленнои. Схема дробления атомов а -алгебр Jk изображена на рис. 0.1.
В программном комплексе «Приближенное хеджирование» разработана методика замены (на каждом шаге) бесконечного числа скупщиков конечным числом «приоритетных» скупщиков. В результате вычисление совершенных хеджей в данной модели сводится к вычислению приближенных хеджей в модели с конечным числом агрессивных скупщиков.
Исторический обзор. Расширение и усложнение финансовых рынков ведет к тому, что используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей. При этом изменение процентных ставок и доходностеи на рынках стохастические, а математические модели этих изменений — случайные процессы. Поэтому основная задача участников финансовых рынков — определение цен финансовых инструментов — может быть решена только с привлечением теории вероятностей.
Выделяют три главные задачи финансовой математики, так называемые "три колонны теории финансов" (см. [12]):
1) оптимальное размещение ресурсов;
2) нахождение стоимости активов;
3) управление риском.
Первое математическое описание цены акции как случайного процесса, называемого процессом броуновского движения, дано Л. Башелье [89] в докладе, представленном им Парижской академии в 1900 году. Работу Башелье (расчет рациональной стоимости опциона-колл в предположении, что цена акции является броуновским движением) можно считать предвестником современной стохастической теории определения цен финансовых активов. Однако первый серьезный вклад в развитие этого направления можно отнести лишь к середине прошлого столетия — работам Г. Марковитца 1952 г. [ 105] (основы теории портфеля ценных бумаг, понятие диверсификации), М. Кендалла в 1953 г. [101], У. Шарпа 1964 г. [117] (теория САРМ — модель преобразования основных фондов).
Одной из основных проблем современной теории финансов является определение стоимости потока доходов, порождаемого инвестициями в виде покупки активов. Главным результатом в этой области оказались теоремы Ф. Модиглиани и М. Миллера 1958 г. [108] о том, что на равновесном рынке пакеты финансовых исков (которые, в естественном смысле, эквивалентны) должны характеризоваться одинаковой ценой.
Одновременно с работой Модиглиани и Миллера значительное продвижение в определении стоимости опционов на акции, сделали П. Самюэльсон [114] 1965 г. и другие авторы. Они заменили обычное броуновское движение, введенное Башелье геометрическим броуновским движением.
Следующим важным достижением являются работы Ф.Блэка, М. Шоулса [90] и Р. Мертона [107], опубликованные в 1973 г. В этих работах авторы находят рациональную (называемую также справедливой) цену опциона-колл, предполагая, что цена акции образует геометрическое броуновское движение (т.е. экспоненту от броуновского движения со сносом). Весомый вклад в развитие стохастической финансовой математики был внесен С. Россом [113] в 1976 г. В его работе для описания равновесности состояния рынка впервые использовалась идея арбитража. Затем эта идея была развита Дж. Харрисоном и Д. Крепсом [98] 1979 г. и Дж. Харрисоном и С. Плиской [99] 1981 г. в терминах эквивалентных мартингальных мер. Стало понятно, что отсутствие на финансовом рынке арбитражных возможностей равносильно существованию эквивалентной мартингальной меры. Этот факт известен как первая фундаментальная теорема определения цены актива.
Расширенные варианты первой и второй фундаментальных теорем и многие другие важные результаты из этой области содержатся в монографии А.Н. Ширяева (см. [82]), который вместе со своими учениками внес важную лепту в развитие стохастических методов в теории финансов.
В 1987 году в работе М. Такку и В.Виллингера [119] была рассмотрена задача преобразования неполных рынков в полные, где переход от неполных рынков к полным осуществлялся заменой исходной мартингальной меры неэквивалентной ей мартингальной мерой. Однако, полученная таким образом единственная мартингальная мера не связана с ценами контрактов, справедливыми для изначально рассматриваемого финансового рынка. Указанная проблема была преодолена А.В. Мельниковым и К.М. Феоктистовым в 2001 году в работе [67] (см. также [81]), где пополнение финансового рынка проводилось посредством добавления к акциям исходного рынка дополнительных рисковых активов, функционально зависимых с изначальными.
В работах И.В, Павлова и МН. Богачевой (см.[5],[8]), была заложена основа принципиально другого метода перехода от неполных рынков к полным — метода интерполяции. Суть данного метода состоит в следующем.
Настоящая диссертация является развитием работ И.В Павлова М.Н. Богачевой ([5-8]). Существенным отличием является то, что (рЛ7) является счетным вероятностным пространством и, следовательно, а-алгебры исходной фильтрации содержат бесконечное число различных событий. Это обстоятельство порождает дополнительные технические и идейные трудности в развитии соответствующей теории и в процессе моделирования исследуемых финансовых рынков.
Свойство хааровской единственности мартингальной меры: вспомогательные леммы и формулировка основного результата
Если исходная мартингальная мера Р процесса 2 становится единственной мартингальной мерой интерполирующего процесса Y, то по определению мера Р удовлетворяет свойству хааровскои единственности (СХЕ). Если этот факт справедлив для любой интерполирующей хааровскои фильтрации, то мы говорим, что мера Р удовлетворяет свойству универсальной хааровскои единственности (СУХЕ). В диссертации в терминах значений процесса Z получены критерии того, что мартингальная мера Р удовлетворяет СХЕ и СУХЕ; доказано, что если какая-либо одна мартингальная мера удовлетворяет СХЕ, то и все мартингальные меры удовлетворяют этому свойству, а также получены необходимые условия существования мартингальных мер, удовлетворяющих СУХЕ. Соответствующие достаточные условия получить не удалось, так как задача нахождения таких мер свелась к весьма сложной (и до настоящего момента нерешенной) системе бесконечного числа неравенств с бесконечным числом переменных. В диссертации предлагается следующий способ преодоления этих трудностей. Вводятся в рассмотрение так называемые специальные хааровские интерполирующие фильтрации, являющиеся частными случаями хааровских интерполирующих фильтраций, и относительно этого нового класса фильтраций по тому же принципу, как и ранее, вводятся соответствующие интерполяционные свойства, которые естественным образом названы усиленным свойством хааровскои единственности (УСХЕ) и ослабленным свойством универсальной хааровскои единственности (ОСУХЕ).
Остановимся на ОСУХЕ. В диссертации получен критерий того, что фиксированная мартингальная мера удовлетворяет ОСУХЕ, и Введение и критерий того, что любая мартингальная мера удовлетворяет ОСУХЕ. Важной частью последнего результата является весьма трудная теорема о том, что (при некоторых условиях) если множество мартингальных мер непусто, то в нем всегда существует мера, не удовлетворяющая ОСУХЕ (а, следовательно, не удовлетворяющая СУХЕ). Отметим, что и для конечного вероятностного пространства понятия УСХЕ и ОСУХЕ являются новыми. Эти понятия весьма продуктивны при моделировании финансовых рынков, подверженных целенаправленной скупке акций. В диссертации рассмотрена модель (В, S) -рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акций одного типа, подверженных скупке со стороны любого конечного числа г агрессивных скупщиков (г 3). Предположим, что действия скупщиков акций аранжированы во времени: на каждом временном этапе: скупщик №1 опережает скупщика №2, который, в свою очередь, опережает скупщика №3 и т.д. Ранее исследовались аналогичные модели с одним скупщиком (см. [2], [68]) и с двумя скупщиками (см. [9]). Сразу отметим, что при применении метода хааровских интерполяций переход от двух скупщиков к трем и более привносит в процедуру совершенного хеджирования дополнительные трудности (см. [11]). Дело в том, что для широкого класса моделей с двумя скупщиками все мартингальные щ меры рассматриваемых финансовых рынков удовлетворяют СУХЕ, что позволяет использовать для совершенного хеджирования произвольные хааровские фильтрации, интерполирующие исходную фильтрацию (B,S) -рынка. В рассматриваемых нами аналогичных моделях с г скупщиками (г з) всегда существуют мартингальные меры, не удовлетворяющие СУХЕ. Оказалось, что для исследования такого рода моделей достаточно, чтобы все мартингальные меры удовлетворяли ослабленному свойству хааровской единственности (в случае двух скупщиков СУХЕ и ОСУХЕ совпадают). Доказано (см. 2.3 настоящей диссертации), что среди мартингальных мер для данных моделей всегда существуют меры, не удовлетворяющие и ОСУХЕ. Поэтому если компромиссная мартингальная мера, соответствующая цене некоторого (не реплицируемого в исходном (В, S)-рынке) финансового обязательства, не удовлетворяет ОСУХЕ, то для применения метода хааровских интерполяций эту меру следует сначала (с необходимой точностью) приблизить мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ, а потом осуществить совершенное хеджирование. Такая методика заложена в основу разработанного в диссертации программного комплекса «Приближенное хеджирование».
В настоящей диссертации также введена и исследована модель {B,S) -рынка с бесконечным числом скупщиков акций. Фильтрация (5i)L моделируемого {В,S)-рынка задается следующим образом: т-алгебра +, порождена разбиением множества D на атомы 4ш,4+1"" Л +, -" ДІ+1 ( = (0, -1)), где событие А (1 / ОО) означает, что акция скуплена г-м скупщиком, а событие AkJl заключается в том, что акция оказалась нескупленнои. Схема дробления атомов а -алгебр Jk изображена на рис. 0.1.
В программном комплексе «Приближенное хеджирование» разработана методика замены (на каждом шаге) бесконечного числа скупщиков конечным числом «приоритетных» скупщиков. В результате вычисление совершенных хеджей в данной модели сводится к вычислению приближенных хеджей в модели с конечным числом агрессивных скупщиков. Введение Рис. 0.1 к = \ к = к = 3 т Введение 1J Исторический обзор. Расширение и усложнение финансовых рынков ведет к тому, что используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей. При этом изменение процентных ставок и доходностеи на рынках стохастические, а математические модели этих изменений — случайные процессы. Поэтому основная задача участников финансовых рынков — определение цен финансовых инструментов — может быть решена только с привлечением теории вероятностей. Выделяют три главные задачи финансовой математики, так называемые "три колонны теории финансов" (см. [12]): 1) оптимальное размещение ресурсов; 2) нахождение стоимости активов; 3) управление риском.
Первое математическое описание цены акции как случайного процесса, называемого процессом броуновского движения, дано Л. Башелье [89] в докладе, представленном им Парижской академии в 1900 году. Работу Башелье (расчет рациональной стоимости опциона-колл в предположении, что цена акции является броуновским движением) можно считать предвестником современной стохастической теории определения цен финансовых активов. Однако первый серьезный вклад в развитие этого направления можно отнести лишь к середине прошлого столетия — работам Г. Марковитца 1952 г. [ 105] (основы теории портфеля ценных бумаг, понятие диверсификации), М. Кендалла в 1953 г. [101], У. Шарпа 1964 г. [117] (теория САРМ — модель преобразования основных фондов).
Свойство универсальной хааровской единственности и критерий удовлетворения мартингальной меры этому свойству
Построены и исследованы три взаимосвязанные модели (B,S)-рынков, подверженных целенаправленной скупке акций со стороны не более чем счетного числа скупщиков
В первом параграфе рассмотрена модель с произвольным конечным числом г агрессивных скупщиков, анализ которой производится приближением мартингальных мер мартингальными мерами, удовлетворяющими свойству универсальной хааровскои единственности;
Во втором параграфе изучена модель (#,5)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций, исследование которой производится её сведением к модели а) методом «усечения» финансового рынка;
Модель (В, S) -рынка (типа Кокса-Росса-Рубинштейна) с бесконечным числом скупщиков акций, в рамках которой построение совершенных хеджей происходит методом специальных хааровских интерполяций исследована в третьем параграфе.
Четвертый параграф содержит программный комплекс "Приближенное хеджирование», в котором разработаны и реализованы соответствующие введенной методике процедуры.
Рассмотрим модель (/?,)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акций одного типа, подверженных скупке со стороны любого конечного числа г агрессивных скупщиков (г 3). Предположим, что действия скупщиков акций аранжированы во времени: на каждом временном этапе скупщик №1 опережает скупщика №2, который, в свою очередь, опережает скупщика №3 и т.д. Ранее исследовались аналогичные модели с одним скупщиком (см. [2], [68]) и с двумя скупщиками (см. [9]). Сразу отметим, что при применении метода хааровских интерполяций переход от двух скупщиков к трем и более привносит в процедуру совершенного хеджирования дополнительные трудности (см. [II]). Дело в том, что для широкого класса моделей с двумя скупщиками все мартингальные меры рассматриваемых финансовых рынков удовлетворяют свойству универсальной хааровской единственности (СУХЕ), что позволяет использовать для совершенного хеджирования произвольные хааровские фильтрации, интерполирующие исходную фильтрацию (В, S) -рынка. В рассматриваемых нами аналогичных моделях с г скупщиками (г 3) всегда существуют мартингальные меры, не удовлетворяющие СУХЕ. Оказалось, что для исследования такого рода моделей достаточно, чтобы все мартингальные меры удовлетворяли ослабленному свойству хааровской единственности (ОСУХЕ), введенному в параграфе 2.2 данной диссертации (в случае двух скупщиков СУХЕ и ОСУХЕ совпадают). Однако доказано (см. 2.3), что среди мартингальных мер для данных моделей всегда существуют меры, не удовлетворяющие и ОСУХЕ. Поэтому если компромиссная мартингальная мера, соответствующая цене некоторого (не реплицируемого в исходном (В, S) -рынке) финансового обязательства, не удовлетворяет ОСУХЕ, то для применения метода хааровских интерполяций эту меру следует сначала (с необходимой точностью) приблизить мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ. Эта процедура лежит в основе программного комплекса «Приближенное хеджирование». Отметим, что в случае г = 3 существует полное описание всех мартингальных мер, не удовлетворяющих СУХЕ (см. [8]). Из него нетрудно получить полное описание всех мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ.
Ослабленное свойство универсальной хааровской единственности: критерий удовлетворения мартингальной меры этому свойству
Программный комплекс «Приближенное хеджирование» создан в среде Visual Basic 6.0. Системные требования к программному комплексу: Win98SE или выше, Ехсе12000, 1Mb свободного дискового пространства. Комплекс имеет "дружественный" интерфейс, где пошагово ведется диалог с пользователем. Введя необходимые исходные данные и выбрав тип расчета, в результате получаем _ компоненты хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего рынка для произвольных финансовых обязательств, в том числе для опционов разных типов. Общая структурная схема программного комплекса приведена на рис. 3.2. Программный комплекс предназначен для: 1) построения компромиссных мартингальных мер как основы вычисления стоимости контракта и (в случае реализации контракта) построения совершенного хеджа для разных типов финансовых обязательств; 2) приближения компромиссной мартингальной меры мартингальной мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ (при этом возможен выбор из нескольких вариантов такого приближения: генератором случайных чисел, поиском оптимального решения и вручную); 3) решения одношаговой задачи, подразумевающей кроме обычного ручной ввод параметров, в том числе и мартингальной меры, и финансового обязательства; 4) определения количества приоритетных скупщиков, участвующих на рынке акций; 5) определения компонентов самофинансируемого портфеля, щ вычисления справедливой цены финансового обязательства.
В программном комплексе «Приближенное хеджирование» строятся хеджирующие стратегии формирования портфеля в рамках модели 1 (с конечным числом скупщиков) и модели 2 (с бесконечным числом скупщиков). Прежде всего осуществляется ввод начальных данных (количество скупщиков г, тип финансового обязательства, см. рис. 3.3). В том случае, если количество скупщиков введено слишком большим (а конкретно, более 20), дальнейшие вычисления предполагают режим бесконечного числа скупщиков.
Предусмотрен вариант ввода данных вручную, чтобы можно было всесторонне исследовать эволюцию дисконтированных цен акций (см. рис. 3.4). Дисконтированные цены акций и финансовое обязательство заносятся в соответствующие массивы b и f
Размерность этих массивов равна числу атомов разбиения, то есть г +1. Значение последнего элемента массива цен акций равно цене нескупленных акций.
Возможны следующие варианты ввода исходных параметров; Введено количество скупщиков 20, ввод интерактивный. Тогда вручную вводится все: текущая цена, цены акций для скупщиков, цена нескупленных акций, финансовое обязательство, способ выбора мартингальной меры.
Введено количество скупщиков 20, расчет опционов. В этом случае финансовое обязательство рассчитывается автоматически в зависимости от вида опциона. Введено количество скупщиков 20, дисконтированные цены акций образуют возрастающую последовательность. Количество приоритетных скупщиков вычисляется по исходным данным. Если оно оказывается больше 19, принимается равным 19. Такое ограничение обусловлено экономией ресурсов и не оказывает существенного влияния на конечные результаты расчетов.
При режиме бесконечного числа скупщиков алгоритм предполагает следующую процедуру: 1) Предлагается выбор из нескольких вариантов законов, задающих значения цен акций bk в виде бесконечной возрастающей ограниченной последовательности (см. рис. 3.5). 2) Принимаются в расчет в первую очередь так называемые приоритетные скупщики с номерами к, удовлетворяющими неравенству bk a (где а — начальная цена акций). Из этого условия рассчитывается значение числа всех скупщиков г. При этом количество приоритетных скупщиков равно г -1 с ценами акций Ьк ( = 1,2,...,/---1), все неприоритетные скупщики объединяются в одну группу с ценой акции, равной (6,.+6 )/2, где Ьт - предельное значение Ък Это предельное значение и предполагается равным цене нескупленных акций. 3) Предлагается ввести положительное значение є, ограничивающее величину вероятности скупки акции неприоритетными скупщиками. Тем самым считается, что неприоритетные скупщики не являются активными участниками рынка.
Аппроксимационо-интерполяционный метод сведения безарбитражных финансовых рынков с бесконечным числом состояний к безарбитражным и полным рынкам с конечным числом состояний
В соответствии с поставленной перед нами задачей и в результате анализа возникших теоретических проблем нам удалось получить результаты, которые сводятся к следующему: 1. Построены и исследованы три взаимосвязанные модели (В,S)-рынков, подверженных целенаправленной скупке акций со стороны не более чем счетного числа скупщиков: a) модель с произвольным конечным числом г агрессивных скупщиков, анализ которой производится приближением мартингальных мер мартингальными мерами, удовлетворяющими свойству универсальной хааровской единственности; b) модель (Д.У)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций, исследование которой производится её сведением к модели а) методом «усечения» финансового рынка; c) модель (В, S) -рынка (типа Кокса-Росса-Рубинштейна) с бесконечным числом скупщиков акций, в рамках которой построение совершенных хеджей происходит методом специальных хааровских интерполяций. 2. Развита теория хааровских интерполяций финансовых рынков со счетным числом состояний, основанная на методе интерполяций мартингалов. 3. Введены и изучены специальные хааровские интерполяции мартингалов на конечном и счетном вероятностных пространствах и связанное с ними ослабленное свойство универсальной хааровскои единственности. 4. Получены алгоритмы расчетов аппроксимаций совершенных хеджей, основанные на методе специальных хааровских интерполяций. Соответствующие вычислительные процедуры разработаны и реализованы в виде программного комплекса «Приближенное хеджирование». 5. Получены теоретические результаты, обосновывающие методы хааровскои и специальной хааровскои интерполяций: a) критерий удовлетворения мартингальной меры свойству хааровскои единственности (теорема 1.1); b) критерий удовлетворения мартингальной меры свойству универсальной хааровскои единственности (теорема 13); c) критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству универсальной хааровскои единственности: случай потока конечных а-алгебр и бесконечного горизонта (теорема 1.5); d) условия, обеспечивающие удовлетворение ослабленного свойства универсальной хааровскои единственности всеми мартингальными мерами (теоремы 2.1,2.2); e) теорема о неулучшаемости этих условий (теорема 23).
Таким образом, наше исследование позволяет преобразовывать неполные и безарбитражные рынки со счетным числом состояний в полные безарбитражные рынки, и как следствие, производить все расчеты необходимые для оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках расчеты.
Облигации — это долговые обязательства государства или компании, выпускаемые для привлечения капитала, реструктуризации долга и т.д. В отличие от акций облигации по истечении заранее установленного срока изымаются из обращения посредством погашения (выкупа). Существенные характеристики облигаций — время погашения, стоимость погашения (номинал), выплаты до погашения (купоны). Выплаты по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке.
Банковский счёт может рассматриваться как ценная бумага, близкая к облигациям, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по вашему счёту определённый процент от суммы счёта. В дальнейших рассмотрениях банковский счёт будет возникать не раз, что во многом объясняется его универсальностью. Он является удобной "единицей измерения" стоимости разнообразных ценных бумаг.
Опционы — производные ценные бумаги некоторого актива. Такая ценная бумага дает ее обладателю право (но не обязанность) продать (купить) некоторую ценность (валюту, акции и т.д.) на оговариваемых условиях. Чтобы стать держателем такой бумаги, нужно заплатить некоторую премию эмитенту. При этом приобретается право предъявить данную бумагу к исполнению в оговоренный срок и получить выплату в фиксированном размере. По времени погашения опционы делятся на два основных типа. Европейский тип имеет фиксированную дату погашения. Опционы американского типа могут быть представлены к исполнению в любой момент до фиксированной даты. Опцион на покупку (call-option) даёт право его владельцу (держателю опциона) купить актив по фиксированной договором цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Владелец опциона может отказаться от указанной покупки актива без всяких штрафов. Аналогично, опцион на продажу (put-option) даёт право его владельцу продать актив по фиксированной цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион).
