Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Известные положения теории сферических электромагнитных волн 13
1.1. Задача о диполе Герца 13
1.2. Изложение общей теории сферических электромагнитных волн 17
1.3. Свободные колебания сферического резонатора 23
1.4. Обсуждение результатов теории сферических волн 27
ГЛАВА 2. Бегущие осесимметричные сферические электромагнитные волны 30
2.1. Исходные соотношения для анализа и их преобразования 30
2.2. Алгоритм решения . 32
2.3. Выражения для компонент полей в представлении бегущих волн 35
2.4. Уравнения силовых линий для бегущих сферических электромагнитных волн 40
2.5. Динамика распространения сферических электромагнитных волн (графическое представление) 44
2.6. Вектор Умова-Пойнтинга 54
2.7. Выводы к полученным результатам 60
ГЛАВА 3. Стоячие осесимметричные сферические электромагнитные волны и объёмные резонаторы на их основе 62
3.1. Выражения для компонент полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн при наличии в центре идеально проводящего устремляющегося в точку "ядра" 63
3.2. Уравнения силовых линий полей сферических электромагнитных волн в модели с устремляющимся в точку "ядром" в центре 66
3.3. Графическое представление полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн при условии нахождения в центре идеально проводящего устремляющегося в точку "ядра" 69
3.4. Выражения для компонент полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в зависимости от сдвига фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся волны 73
3.5. Уравнения силовых линий полей стоячих сферических электромагнитных волн в зависимости от сдвига фазы ф 75
3.6. Графическое представление полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в зависимости от сдвига фазы ф 77
3.7. Объёмные резонаторы на основе осесимметричных сферических электромагнитных волн 83
3.8. Выводы 98
ГЛАВА 4. Задача о концентрическом сферическом резонаторе 100
4.1. Анализ полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в модели с "ядром" конечного размера 101
4.2. Уравнения силовых линий полей стоячих сферических Е- и Н- волн при условии нахождения в центре "ядра" конечного размера 104
4.3. Графическое представление полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в модели с "ядром" конечного размера 108
4.4. Задача о собственных значениях концентрического сферического резонатора 111
4.5. Выводы 113
ГЛАВА 5. Особый вид решения задачи о распространении осесимметричных сферических электромагнитных волн 115
5.1. Решения в форме бегущих волн 115
5.2. Решения в форме стоячих волн 119
5.3. Выводы 123
Заключение 124
Список литературы 126
Приложение
- Изложение общей теории сферических электромагнитных волн
- Выражения для компонент полей в представлении бегущих волн
- Выражения для компонент полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн при наличии в центре идеально проводящего устремляющегося в точку "ядра"
- Анализ полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в модели с "ядром" конечного размера
Введение к работе
Модель сферической волны с общих позиций представляет собой волну, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны. Характерной особенностью сферических волн является их способность стягиваться в центр и (или) исходить из него. Модель
Р*> сферической волны, в отличие от модели плоской волны, более адекватна фи- зической действительности, поскольку реальная волна по мере распростране- V ния в пространстве больших масштабов всё более приближается к сферической.
Интерес к задачам математического моделирования сферических электромагнитных волн возникает в теории распространения радиоволн, в теории антенн, в анализе сферических резонаторов, нашедших своё применение, например, в задачах измерения частоты. В СВЧ электронике интерес к сферическим резонаторам зародился и погас, так как они не нашли какого-либо применения в электровакуумных приборах СВЧ типа усилителя и генератора в связи с их слабой геометрической совместимостью с принципами создания и работы этих приборов. В оптике представление о сферической электромагнитной волне имеет самостоятельный интерес, связанный с моделью точечного источника света, с задачами фокусировки оптических пучков, с задачами формирования и переноса оптических изображений, с задачами дифракции и интерференции, решаемыми с помощью принципа Гюйгенса. Математические модели сферических электромагнитных волн могут быть использованы в ядерной физике, в частности, в задачах лазерного инициирования реакции термоядерного синтеза при попытке осуществить процесс сжатия капли дейтерия сферической волной с целью повышения её температурного режима. Кроме того, интерес к сфериче- *К ским электромагнитным волнам, в частности к сходящимся волнам, может быть вызван потенциальной возможностью этих волн концентрировать энергию в малой области около центра. Однако обозначенные интересы и возможности в настоящее время не в полной мере реализованы.
Классическое изложение теории сферических электромагнитных волн, сформировавшееся ещё в середине прошлого столетия, представлено в относительно небольшом количестве работ [1-8]. В этих работах, в частности, анализируется задача о поле излучения диполя Герца, проводится разложение плоских волн на элементарные сферические волны, рассматривается задача о свободных колебаниях полого сферического резонатора.
Однако отмеченные исследования и их продолжения, касающиеся математических и физических представлений о сферических электромагнитных волнах и возможностях их применения, нельзя считать полными и завершёнными. В существующих работах практически не рассмотрены сходящиеся и расходящиеся волны раздельно и в отсутствии источников. Математически не анализируется и тот факт, что сферическая волна, идущая из бесконечности, сходится в центре и далее распространяется как расходящаяся сферическая волна. Кроме того, не детализированы аналитические выражения для компонент полей бегущих и стоячих сферических электромагнитных волн. Вопросы, касающиеся структуры этих полей и их динамики (особенно в окрестности центра), оказались не до конца теоретически изучены, так как не были получены и соответственно не были проанализированы уравнения силовых линий полей сферических электромагнитных волн.
В связи с этим, создание математических моделей сферических электромагнитных волн и их теоретическое исследование представляется актуальной задачей. Современный этап развития науки и техники показывает, что математическое моделирование в различных сферах человеческой деятельности приводит обязательно к получению новых знаний, новой информации об объектах моделирования. Этого, очевидно, следует ожидать и от моделирования сферических электромагнитных волн.
Целью диссертационной работы является моделирование процессов распространения сферических электромагнитных волн в изотропном пространстве в случае осевой симметрии и выявление главных физических особенностей этих процессов, в том числе особенностей ранее не известных.
В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
Теоретически исследовать динамику движения бегущих сферических электромагнитных волн, распространяющихся из бесконечности к свободному центру, в предположении перехода в центре сходящихся волн в расходящиеся волны.
Исследовать особенности структуры полей стоячих сферических электромагнитных волн в окрестности центра с использованием модельного представления о находящемся в центре отражающем "ядре" исчезающе малого размера; а так же выявить многообразие типов колебаний сферических Е- и Н- волн с помощью модельного представления об устройстве, реализующем сдвиг фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся.
Решить задачу о свободных колебаниях концентрического сферического резонатора на основе осесимметричных сферических электромагнитных волн.
Провести частное решение задачи о распространении осесимметричных сферических электромагнитных волн, когда эти волны становятся строго поперечными.
Методы исследования
В диссертации использованы методы математического моделирования (поиск математических конструкций, которые наиболее приспособлены к конкретному физическому содержанию), методы решения электродинамических задач (решение однородных уравнений Максвелла в сферических координатах), численные методы (метод поразрядного приближения), методы графического построения векторных полей в пространстве.
Научная новизна исследований
Сформулирована постановка задачи по математическому моделированию осесимметричных сферических электромагнитных волн в изотропном пространстве, свободном от источников. Получены детализированные аналитические выражения для компонент полей сходящихся и расходящихся сферических электромагнитных волн во всём их многообразии в предположении перехода в центре сходящихся волн в расходящиеся волны.
Впервые получены аналитические модели силовых линий полей бегущих сферических электромагнитных волн для различных типов колебаний.
Впервые получены аналитические модели силовых линий полей стоячих сферических электромагнитных волн для различных типов колебаний при наличии отражающего идеально проводящего "ядра" в центре.
Впервые теоретически исследованы структурные особенности полей типов колебаний сферических электромагнитных волн, полученных в предположении о находящемся в центре устройстве, осуществляющем приём сходящейся волны, её задержку или опережение по фазе, а затем излучение с целью образования расходящейся волны. Получены аналитические модели силовых линий полей стоячих сферических электромагнитных волн в зависимости от сдвига фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся волны.
Разработано программное обеспечение для ПЭВМ, позволяющее по результатам численного решения соответствующих уравнений силовых линий графически представить картины силовых линий полей сферических осесимметричных электромагнитных Е- и Н- волн как в режиме бегущих, так и в режиме стоячих волн при наличии отражающего "ядра" в центре, а также с учётом сдвига фазы расходящейся сферической волны относительно сходящейся волны.
На основе проведённого анализа математических моделей впервые предло жены принципиально новые модификации объёмных резонаторов на сфери- ческих электромагнитных волнах, отличающиеся повышенной локализацией и интенсивностью электрических и магнитных полей. Впервые получено частное решение задачи о распространении осесиммет-ричных сферических электромагнитных волн (бегущих и стоячих), когда волны становятся строго поперечными.
Научно-практическая ценность работы
Значимость для науки результатов исследований заключается в том, что полученные результаты моделирования осесимметричных сферических электромагнитных волн существенным образом дополняют и обогащают имеющиеся на сегодняшний день теоретические представления о сферических электромагнитных волнах. Практическое значение работы определяется тем, что разработанный алгоритм и его программная реализация могут найти применение для проектирования и расчёта объёмных резонаторов на сферических волнах. Предложенные в работе модификации объёмных резонаторов, отличающиеся повышенной локализацией и интенсивностью электрических и магнитных полей, могут быть использованы в вакуумных и газоразрядных электронных устройствах.
Достоверность полученных результатов
Достоверность полученных теоретических результатов обеспечивается строгим решением системы исходных уравнений - однородных уравнений Максвелла, корректностью упрощающих допущений, соответствием полученных выводов с известными теоретическими и экспериментальными данными.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
1. Решения однородных уравнений Максвелла в сферической системе координат, в частности, с учётом осевой симметрии в изотропном пространстве, полученные в форме функций Риккати-Ганкеля и полиномов Лежандра, позво- ляют наиболее физично описать движущиеся к центру (сходящиеся) и движущиеся от центра (расходящиеся) сферические электромагнитные волны. Векторы Умова-Пойнтинга этих волн являются строго радиальными и имеют неоднородное распределение по широте согласно квадратам так называемых шаровых функций.
Предложенная математическая модель, основанная на представлении о "ядре" в виде концентрической шаровой идеально проводящей поверхности, способной с исчезающе малым радиусом "стягиваться" в центр, позволяет однозначно определить комплексную амплитуду расходящейся сферической волны относительно комплексной амплитуды сходящейся волны, порождающей эту расходящуюся волну в результате прохождения исходной через центр. Сумма этих волн, уже как стоячая сферическая волна, формирует конечные электрические и магнитные поля в окрестности центра, что формально описывается известными решениями в форме функций Бесселя полуцелого порядка, и эти решения не зависят от присутствия или отсутствия "ядра" исчезающе малого размера в центре.
Использование полученных на основе предложенного математического моделирования решений как в форме бегущих сферических электромагнитных волн, проходящих через центр, так и в форме стоячих волн, позволяет точно отобразить картины силовых линий электрических и магнитных полей в этих случаях, причём картины движущихся волн в окрестности центра получены по существу впервые, в то время как картины стоячих волн и картины бегущих волн вдали от центра были известны лишь на качественном уровне.
4. Введение в математические модели сходящихся и расходящихся сфериче ских электромагнитных волн представления об устройстве, осуществляющем приём сходящейся волны, её задержку или опережение по фазе и, наконец, излучение её с целью образования расходящейся волны, позволяет предска зать новое бесконечно большое множество структур стоячих сферических электромагнитных волн, а также предложить принципиально новые модифи-
11 кации объёмных электромагнитных резонаторов с повышенной локализацией и интенсивностью электрических и магнитных полей.
5. Использование полученных решений в формах бегущих к центру и от центра сферических электромагнитных волн для модели с "ядром" конечного радиу са позволяет наглядно и просто описать стоячие сферические электромагнит ные волны в этом случае и рассчитать параметры сферических концентриче- ских резонаторов. Также наглядно показано, как параметры и полученные картины полей постепенно переходят в известные решения без "ядра" в цен- *V тре путём изменения радиуса "ядра" в сторону его уменьшения.
6. Разработанный в работе подход позволил получить неизвестное ранее реше ние в теории сферических электромагнитных волн с осевой симметрией, имеющее частный характер, когда волны становятся строго поперечными, причём для реализации этого решения предложены особые модификации сферических электромагнитных резонаторов.
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих Международных конференциях:
Международная научно-техническая конференция "Проблемы управления и связи", Саратов, 20 - 22 сентября 2000 г.; Saratov Fall Meeting (SFM '2000), Saratov, Russia, 3 - 6 October 2000;
3. IV International Conference for young researchers "Wave Electronics and Its Ap- w plications in the Information and Telecommunication Systems", St. Petersburg, 28 -31 May, 2001;
4. Saratov Fall Meeting (SFM '01), Saratov, Russia, 2 - 5 October 2001;
5. 16-th European Frequency and Time Forum (EFTF '02), St. Petersburg, Russia, 12 -14 March, 2002;
2002 IEEE AP-S International Symposium on Antennas and Propagation and USNC/URSI National Radio Science Meeting, USA, San Antonio, Texas, 16-21 June, 2002;
Пятая-юбилейная Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (АПЭП-2002), Саратов, 18- 19 сентября 2002 г.; 4 8. Saratov Fall Meeting (SFM '02), Saratov, Russia, 1 - 4 October 2002. V' Личный вклад автора заключается в выводе аналитических выражений и формул, проведении теоретического анализа, разработке программного обеспечения для ПЭВМ, участии в обсуждении задач, поставленных научным руководителем.
Публикации. По результатам исследований, выполненных в рамках диссертационной работы, опубликовано 8 статей.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертации составляет 133 страниц текста, включая 32 рисунка.
Изложение общей теории сферических электромагнитных волн
Общепринятое установившееся сегодня изложение теории сферических электромагнитных волн сформировалось в конце 40-х начале 50-х годов предыдущего столетия и представлено в относительно небольшом количестве работ [1 - 8]. В частности, в работах [1, 6, 8] анализируется поле излучения диполя Герца как характерный пример расходящейся сферической электромагнитной волны. В работах [1, 3, 7] делается попытка создания общей теории сферических электромагнитных волн; при этом проводится разложение плоских волн на элементарные сферические волны, что помогает решить круг проблем, в которых необходимо исследовать процессы взаимодействия волн со сферическими образованиями, например задачу о дифракции плоской волны на сфере с идеально проводящей поверхностью. В работах [1, 2, 4, 5, 7, 8] рассматривается задача о свободных колебаниях полого сферического резонатора.
В настоящей главе подробно излагаются основные этапы теории сферических электромагнитных волн, представленные вышеперечисленными работами, и проводится анализ результатов этой теории.
Рассмотрим малый прямолинейный элемент тока, называемый элементарным электрическим излучателем, или же диполем Герца [8]. Это элемент тока с постоянной комплексной амплитудой 1 , занимающий участок длиной / на оси z. Физическое содержание диполя Герца состоит в том, что "открытый" элемент переменного тока в силу закона сохранения заряда поддерживается колеблющимися зарядами на его концах, равными по величине, но имеющими разные знаки. Таким образом, диполь Герца - это система двух равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку зарядов, колеблющихся с не 14 которой частотой в пределах участка, длиной /. При этом по аналогии с электростатикой и здесь можно ввести электрический момент диполя р = ql, где / = г2 - \ - направленный отрезок, соединяющий заряды.
Обычно вводят представление об идеальном диполе, "дипольной точке". Эта полезная абстракция есть результат перехода к пределу при / - 0 с сохранением величины момента: р = const.
Итак, с элементом тока 1% совмещён диполь, момент которого р имеет комплексную амплитуду. Расположим начало сферической системы координат (г,6, р) в средней точке диполя. При решении задачи об излучении тока с заданным распределением исходным является неоднородное уравнение Гельмгольца относительно вектора комплексной амплитуды Нт: где jn - вектор комплексной амплитуды плотности стороннего тока. Если найдено решение Нт, то Ёт определяется из первого уравнения Максвелла.
В решении задачи об излучении диполя Герца считается, что элемент тока должен быть мал по сравнению с расстоянием наблюдения, т.е. / «г, и мал в волновом масштабе, т.е. /« Л. При этих условиях на основании решения уравнения (1.1), применительно к полю излучения диполя Герца, имеют место выражения:
Поле излучения, представленное формулами (1.2) и (1.3), есть не что иное, как расходящаяся сферическая волна. При переходе от комплексных амплитуд Ет и Нт к самим векторам поля Е и Н члены полученных выражений приобретут множители {со t -кг + р). Видно, что на каждой сферической Sin поверхности г = const любая из компонент поля Er, Eg и Н9 синфазна, но амплитудное распределение зависит от в; оно не остаётся постоянным при изменении г. Поле обладает осевой симметрией: отсутствует зависимость от азимутальной координаты р. Магнитные силовые линии - концентрические окружности в плоскостях, ортогональных элементу тока. Электрические силовые линии лежат в меридиональных плоскостях р = const.
Электрическое поле элементарного электрического излучателя в ближней зоне в каждый момент времени совпадает с электрическим полем диполя, электрический момент которого совпадает с мгновенным моментом излучателя, т.е. ближнее поле квазистационарно. Поскольку в (1.4) и (1.5) Ё и Я сдвинуты по фазе на 90, то комплексный вектор Пойнтинга S = \/2[Ет Нт] - мнимая величина, следовательно, среднее значение вектора Пойнтинга S = Re S = 0. Отсюда следует вывод об отсутствии (в среднем) переноса энергии.
Итак, та составляющая поля, которая пренебрежимо мала в ближней зоне, в дальней становится преобладающей из-за относительно медленного убывания с расстоянием и образует сферическую волну, переносящую энергию, создающую излучение. Особенность развития поля излучения диполя Герца во времени состоит в том, что в некоторой области кг «1 происходит отрыв поля от источника: электрические силовые линии вытягиваются и отрываются от диполя, формируются вихри - ряд замкнутых электрических силовых линий, в дальнейшем расширяющийся и уходящий на периферию. Таким образом, возникает свободное электромагнитное поле, существование которого хотя и связано с источником, но при этом отсутствует прямая пространственная связь линий напряжённости полей с источником.
При решении задачи о сферических электромагнитных волнах, как и многих других электродинамических задач в рассмотрение вводится так называемый электрический вектор Герца П, через который можно выразить векторный А и скалярный (р потенциалы поля, а следовательно, и векторы напряжённости электромагнитного поля [7]. В этом случае векторы поля при времен-ной зависимости е имеют вид
Вектор П носит также название электрического поляризационного потенциала. В частном случае точечного источника переменного поля, когда объёмная поляризация сводится к бесконечно малому диполю с конечным моментом, электрический поляризационный потенциал совпадает с вектором, введённым впервые Герцем при исследовании поля элементарного диполя.
Выражения для компонент полей в представлении бегущих волн
Численное решение уравнений силовых линий, полученных в п. 2.4, позволяет с помощью программы "Lines of force" (см. Приложение) графически представить движение бегущих сферических электромагнитных волн в виде последовательности картин силовых линий соответствующих полей в разные моменты времени. Проследим динамику распространения бегущих сферических осесимметричных электромагнитных волн в предположении, что расходящиеся волны являются результатом перехода через центр сходящихся волн. При этом, поскольку сферический волновой процесс математически описывается гармоническим законом, то при прохождении сходящейся сферической волны через центр с последующим её распространением уже как расходящейся волны должно соблюдаться чередование максимумов и минимумов напряжён-ностей полей сферической электромагнитной волны, что учтено на ниже представленных рисунках при выборе направления стрелок в вихрях расходящейся волны относительно вихрей сходящейся волны.
Результаты графического построения картин силовых линий электрического поля бегущей сферической Е- волны для случая п = 1. В левой полуплоскости представлены вихри для сходящейся Е- волны, а справа - для расходящейся Е- волны, рассчитанные в соответствии с уравнениями (2.50) и (2.59) в разные моменты времени. Расчёт данного набора силовых линий произведён при С =0,5. Кроме того, рисунок дополнен линиями (С = 0) в виде концентрических окружностей, отражающих характерные места расположения фаз в пространстве (места "гребней" и "впадин" сферических волн) в заданные моменты времени.
На первом рисунке из серии рис.2.1 видим, что в нулевой момент времени картины силовых линий для сходящейся и расходящейся волн одинаковые, причём направление вихрей этих полей такое, что в сумме поля сходящихся и расходящихся волн полностью исключают друг друга, создавая в представлении стоячих волн "схлопывание" поля (обращение его в ноль). С течением времени центральный вихрь V сходящейся волны уменьшается в размере, в то время как аналогичный вихрь для расходящейся волны - " f" - растёт и изменяет свою форму, как это показано на рисунке при cot = 0,7. Эта ситуация становится более выразительной к моменту времени cot = 1,2, когда вихрь "d", вытягиваясь, приобретает грушевидную форму. В следующий момент cot = 1,37 на рисунке показана ситуация, когда в расходящейся волне уже произошло деление деформированного вихря на два, один из которых - "d" - оказывается оторванным от центра и удаляется от него, в то время как второй - "d " - сохраняет своё состояние касания центра и уменьшается в размерах (картина при cot = 1,4). В момент времени cot = я/2 вихри V и V " исчезают, стягиваясь в точку; при этом вновь создаётся симметрия вихрей, однако не приводящая в сумме к их взаимному исключению. Далее при cot = 1,74 они (теперь это вихрь "Ь,п сходящейся волны и вихрь "с" расходящейся волны) вновь возникают и растут (cot = 1,77). В некоторый момент времени, лежащий между значениями й# равными 1,77 и 1,94 в сходящейся волне происходит слияние вихрей "Ь" и "Ь". На рисунке для cot = 1,94 показана ситуация, близлежащая за этим слиянием. Затем наблюдается выравнивание и уменьшение объединённого вихря "Ь" сходящейся волны и рост вихря "с" расходящейся волны (cot = 2,44). В момент времени cot = п эти вихри вновь сравниваются в размерах, так что структуры полей сходящейся и расходящейся волн становятся идентичными структурам в момент времени cot - О. Мы обсудили, таким образом, развитие поля бегущей сферической электромагнитной волны при Й = 1 в течение половины периода процесса. В следующий полупериод ситуация повторяется.
Обратим внимание, что структура поля расходящейся сферической Е-волны для случая п = 1 аналогична структуре поля излучения идеального диполя, колеблющегося с некоторой частотой [8]. Отметим, что силовыми линиями магнитного поля для колебаний Е типа и электрического поля для колебаний Н типа являются концентрические окружности, лежащие в плоскостях, параллельных экваториальной плоскости, и их графическое отображение здесь отсутствует.
Последовательность картин силовых линий полей бегущих сферических электромагнитных волн в меридиональной плоскости для п -1 в различные моменты времени в течение полупериода колебаний. Далее в соответствии с результатами численного решения уравнений (2.53) и (2.62) проведено построение картин силовых линий, отражающих структуру электрического поля бегущей сферической Е- волны для случая. Представленный набор силовых линий рассчитан при С=0,2. Также рис. 2.2 дополнен характерными концентрическими окружностями (С=0), указывающими на расположение в заданные моменты времени "гребней" и "впадин" волн. Обсуждение динамики картин сходно со случаем п = 1 и поэтому здесь не приводится.
Аналогичные картины силовых линий электрического поля бегущей сферической Е- волны для случая. Графическое построение проведено в соответствии с результатами численного решения уравнений силовых линий (2.56) и (2.65) при С =0,8 в различные моменты времени в течение полупериода колебаний, также с добавлением характерных окружностей при С=0. Обсуждение динамики картин вновь в целом сходно со случаем « = 1 и здесь нами опущено.
Тем не менее, как главную особенность отметим, что для случаев п \ имеет место деление вихрей по широте в соответствии со значением п. При этом сепаратрисы в виде линий или поверхностей определяются из условия Ее = 0 для Е- волны или Нв=0 для Н- волны. Так для п = откуда находим сепаратрисы в = 0;63.430;116.57;1800.
Интересным новым моментом проведённого моделирования и анализа является то, что на сепаратрисах имеются области ненулевых значений радиальных компонент напряжённостей полей, разделённые седловыми точками, в которых эти компоненты обращаются в нуль.
Последовательность картин силовых линий полей бегущих сферических электромагнитных волн в меридиональной плоскости для п - 2 в различные моменты времени в течение полу периода колебаний. 4 У
Электромагнитный волновой процесе всегда связан с переносом энергии из одних областей пространства в другие. Вектор Умова-Пойнтинга, отражающий плотность потока энергии электромагнитного поля в направлении нормали к волновому фронту, определяется формулой. Для расчёта среднего потока энергии поля осесимметричной сферической электромагнитной волны через единицу поверхности в условиях использования метода комплексных амплитуд вычислим величину усреднённого за период комплексного вектора Умова-Пойнтинга
Из полученных результатов следует, что вектор плотности потока энергии сходящейся сферической осесимметричнои Е- волны, рассчитанный для п = 1,2,3, ориентирован строго в радиальном направлении и направлен к цен 58
тру (знак "-"). Очевидно, что в случае расходящейся сферической волны в выражениях (2.76), (2.82) и (2.88) произойдёт замена этого "-" на "+" и Н + на Это означает, что радиальное движение энергии в расходящейся волне будет совершаться от центра, что и соответствует названию этой волны, возникшему при анализе фазового движения полей.
Выражения для компонент полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн при наличии в центре идеально проводящего устремляющегося в точку "ядра"
Первоначально определим, как взаимосвязаны амплитуды (независимые от радиальной и угловой координат) сходящейся и расходящейся сферических электромагнитных волн при наличии в центре системы координат устремляющегося в точку "ядра". Для этого представим "ядро" в виде проводящей сферы конечного радиуса Ъ. На поверхности сферы должно выполняться граничное условие Леонтовича: при г - Ь для Н- волны
Соотношения (3.3) - (3.6) показывают как связаны между собой независимые амплитуды Е- и Н- волн при асимптотическом стремлении в точку идеально проводящего "ядра", находящегося в центре, для разных значений п.
Таким образом, модельное представление о "ядре" в виде концентрической шаровой идеально проводящей поверхности исчезающе малого радиуса, позволяет однозначно определить комплексную амплитуду расходящейся сферической волны по отношению к комплексной амплитуде сходящейся волны, порождающей эту расходящуюся волну в результате прохождения исходной через центр. Как известно, стоячая волна образуется при наложении двух распространяющихся в противоположных направлениях гармонических волн с одинаковыми амплитудами. С учётом полученных выше условий найдём компоненты полей стоячих сферических Е- и Н- волн при наличии "ядра" в центре для разных значений п. При выводе выражений для искомых компонент будем пользоваться заменой тригонометрических функций суммой двух экспонент по формулам Эйлера. Компоненты стоячей сферической Е- волны - Ну, Ег и Ев - при п = 1 получим в результате сложения компонент Н и Н , Е и Е , EQ и Е , представленных выражениями (2.18) - (2.20) соответственно, учитывая условие связи (3.4) и используя для преобразования формулы (3.7). Компоненты стоячей сферической Н- волны -Еу, Нг и Нв - получим по аналогии, путём применения принципа двойственности к выражениям (2.18) - (2.20), а также принимая во внимание (3.3) и (3.7). В окончательном виде компоненты стоячих сферических Е- и Н- волн при п = 1 представим следующими выражениями.
Из полученных выражений следует, в частности, что при наличии в центре устремляющегося в точку идеально проводящего "ядра" амплитуды полей сферических Е- и Н- волн принимают конечные значения в центре, что соответствует фактически выбору решений, исключающих бесконечность в центре (как это делается во всех ранее существующих работах).
Заметим, что выражение (1.45) для радиальных компонент полей сферических Е- или Н- волн, представленное в работе [8] без введения понятия о находящемся в центре идеально проводящем "ядре" исчезающе малого размера, с точностью до постоянной величины совпадает с выражением (3.9), определяющим радиальные компоненты искомых полей сферических волн в ситуации, когда в центре имеется "ядро".
Полученные решения стоячих сферических Е- и Н- волн (с "ядром" в центре) проанализируем далее с позиции выявления структур силовых линий полей сферических Е- и Н- волн. Уравнения силовых линий полей сферических электромагнитных волн в модели с устремляющимся в точку "ядром" в центре.
Значительный интерес с точки зрения общей теории сферических электромагнитных волн, а также с точки зрения теории сферических резонаторов, вызывает исследование структуры электромагнитного поля в режиме стоячей сферической волны, проведённое для разных типов колебаний. С целью исследования структуры электромагнитного поля в режиме стоячей сферической волны, является важным получить аналитические модели силовых линий электрических и магнитных полей стоячих сферических волн для разных т типов колебаний при наличии устремляющегося в точку идеально проводящего "ядра" в центре.
Напомним, что в общем виде уравнения электрических и магнитных силовых линий в сферической системе координат были представлены в п. 2.4 (см. (2.45) и (2.46)) при рассмотрении бегущих сферических волн. Теперь на примере Е типа колебаний получим частные уравнения силовых линий электрического поля стоячей сферической волны при различных значениях п. Для данного типа колебаний исходным является уравнение электрических силовых линий (2.47).
Отметим, что в силу симметрии по азимутальной координате (р картины силовых линий являются симметричными для областей 0 0 к и п в 2ж. Из представленных рисунков также следует, что амплитуды полей стоячих сферических волн принимают конечные значения в центре. Именно эта ситуация отмечена в работах [1, 4, 7, 8] как единственно возможная реальная ситуация, но без введения понятия устремляющегося в точку идеально проводящего "ядра". Однако, с одной стороны, из нашего рассмотрения следует, что изображённая, в частности, на рис. 3.1 структура полей стоячих сферических Е-и Н- волн сформировалась как результат отражения сходящейся волны от "ядра", и именно эти особенности не учли авторы работ [1, 4, 7, 8]. С другой стороны, из полученных картин силовых линий видим, что присутствие в центре "ядра" исчезающе малого размера не меняет структуру поля стоячей сферической волны по сравнению с ситуацией, когда в центре "ядро" отсутствует.
Анализ полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в модели с "ядром" конечного размера
Необычным вариантом объёмных резонаторов на основе сферических электромагнитных волн может являться полость между двумя идеально проводящими концентрическими сферами. Модель такого резонатора в какой-то мере соответствует в цилиндрических системах представлениям о коаксиальных линиях, хорошо изученных и широко используемых в современной электродинамике и радиотехнике. Подобная же модель с дополнительной диэлектрической вставкой была рассмотрена в работе [9], которая была обсуждена нами в конце главы 1. Тем не менее, эта модель с нашей точки зрения не в полной мере проработана и описана в современной литературе. В настоящей работе к этой модели объёмного сферического резонатора имеется дополнительный интерес, связанный с представлениями об идеально проводящем сферическом "ядре" с устремляющимся к нулю радиусом, которые использовались для разрешения задачи о фазе расходящейся сферической волны, рождающейся из сходящейся волны при прохождении свободного центра (см. п.3.1). Поэтому цель настоящей главы - во-первых, достаточно детально проанализировать решение задачи о свободных колебаниях объёмного резонатора, образованного двумя идеально проводящими концентрическими сферами, и, во-вторых, промоделировать и исследовать динамику трансформации структуры полей сферических Е- и Н-волн вблизи центра в ситуации с "ядром" при изменении его размера от конечного значения до бесконечно малого.
Представим осесимметричную сферическую электромагнитную волну, набегающую извне к центру, в котором находится "ядро" в виде идеально про водящей сферы радиуса Ъ, с последующим её отражением от поверхности "ядра". При этом процесс отражения предполагаем как переход сходящейся сфе т рической электромагнитной волны в расходящуюся волну. Исследование дан ного волнового процесса начнём с получения выражений, определяющих компоненты полей сферических Е- и Н- волн в режиме стоячей волны. В качестве исходных соотношений используем выражения (2.18) - (2.20) для компонент полей сходящихся и расходящихся сферических Е- и Н- волн (учитывая принцип двойственности) при п = 1, полученные в п. 2.3 для случая свободного центра.
Электрическое поле на поверхности "ядра" г = Ь должно удовлетворять граничному условию Леонтовича, которое, как уже отмечалось, для Н- волны имеет вид. Отсюда найдём соотношения, связывающие независимые от радиальной и угловой координат амплитуды сходящихся и расходящихся сферических Е- и Н-волн.
Далее в соответствии с условиями (4.4) и (4.7) получим выражения, определяющие компоненты полей стоячих сферических Е- и Н- волн для случая п -1 при наличии в центре "ядра" конечного радиуса.
С целью последующей визуализации процесса распространения сферических электромагнитных волн в режиме стоячей волны при наличии в центре "ядра" конечного размера (в виде графического построения картин силовых линий соответствующих полей) получим уравнения силовых линий полей этих волн. Для этого воспользуемся уравнениями (2.45) и (2.46), а также полученными в предыдущем пункте выражениями для соответствующих компонент полей стоячих сферических Е- и Н- волн при п = 1.
1) Рассмотрим Н тип колебаний. В результате подстановки выражений (4.10), (4.11) для компонент Нг и Нв в уравнение с учетом обозначений (4.15). Выполняя промежуточные преобразования в соответствии с формулами тригонометрии.
Найдём общее решение этого дифференциального уравнения, взяв неопределённый интеграл соответственно от левой и правой частей уравнения с помощью программы "Mathematics 5.0". После несложных преобразований получим уравнение силовых линий магнитного поля стоячей сферической Н- волны для случая п = 1 при наличии в центре "ядра" радиуса Ь: уравнение магнитных силовых линий (4.18) для Н типа колебаний при п = 1, полученное в предположении, что "ядро" в центре имеет конечный размер, будет совпадать с аналогичным уравнением (3.28), полученным для ситуации, когда "ядро", находящееся в центре, устремляется в точку.
Отметим, что для случая предельного перехода, когда "ядро" устремляется в точку Ь-+0: ЬЕ — 0 (см.(4.8)) и, следовательно, уравнение электрических силовых линий (4.21) для Е типа колебаний при п = 1 будет совпадать с аналогичным уравнением (3.28).
Таким образом, при кЪ — 0, уравнение электрических силовых линий для Е типа совпадает с уравнением магнитных силовых линий для Н типа и совпадает с уравнением (3.42) для нулевого значения сдвига фазы при п = \, что подтверждает правильность полученных в данной главе уравнений.
Итак, можно сказать, что полученные уравнения силовых линий являются универсальными для любого значения радиуса "ядра" и позволяют определить структуру электромагнитного поля Е и Н типов колебаний при наличии "ядра" в центре, а также делают возможным построение набора силовых линий этих полей в меридиональных плоскостях.
Графическое представление полей стоячих осесимметричных сферических электромагнитных волн в модели с "ядром" конечного размера
В соответствии с результатами численного решения уравнений (4.18) и (4.21) проведено построение картин силовых линий, отражающих структуры полей стоячих сферических Е- и Н- волн при п = 1 для различных значений радиуса "ядра", находящегося в центре.
На рис.4.1(a) изображены вихри магнитных силовых линий для Н типа колебаний в случае п = 1, рассчитанные для kb = 2 (kb - безразмерный радиус "ядра"). При этом Ън = 2,4636. Аналогичные картины магнитных силовых линий показаны на рис.4.1(6) для кЪ = 1 (Ьн = 1,7854) и на рис.4.1(в) для кЬ - 0,5 (bH = 1,6071). Из этих рисунков видим, что магнитные силовые линии являются замкнутыми и вблизи "ядра" огибают его сферическую поверхность. Заметим, что с уменьшением размера "ядра" общая картина силовых линий несколько искажается в окрестности "ядра", и отдельные силовые линии электрического поля становятся замкнутыми. На рис.4.2(в) представлена подобная картина электрических силовых линий для ещё меньшего значения радиуса: кЪ - 0,5 {ЬЕ- -0,088). Видим, что число замкнутых силовых линий возросло по сравнению с ситуацией на рис.4.2(б). Структура электрического поля всё более напо 109 минает структуру поля для ситуации, когда идеально проводящее "ядро", находящееся в центре, устремляется в точку, т. е. kb — 0 (см. рис. ЗЛ)..
Как следует из проведённого ранее анализа (см. п.3.3), в случае, когда kb -» 0, картины магнитных силовых линий для Н типа и картины электрических силовых линий для Е типа совпадают. При этом можно предположить, что в структуре электрического поля сферической Е- волны имеется определённый набор силовых линий, каждая из которых ориентированна по нормали к поверхности бесконечно малого "ядра". С другой стороны, полагаем, что эти же силовые линии, но определяющие уже структуру магнитного ПОЛЯ Н- волны, огибают поверхность "ядра" бесконечно малого размера.
