Содержание к диссертации
Введение
1. Моделирование геометрической структуры стоха стической упаковки систем моносфер 14
1.1. Статистические оценки упаковки систем частиц 14
1.1.1. Структурные особенности стохастической упаковки 14
1.1.2. Плотность упаковки системы частиц 16
1.1.3. Координационное число частицы 18
1.2. Методы исследования упаковки систем частиц 22
1.2.1. Аналитические методы исследования 22
1.2.2. Экспериментальные методы исследования 26
1.2.3. Компьютерные методы исследования 29
1.3. Выводы.по 1 главе 35
2. Моделирование последовательности стохастических упаковок одномерных сфер 36
2.1. Выбор метода определения плотности упаковки одномерной системы моносфер 37
2.2. Математическая модель стохастической упаковки систем одномерных сфер 42
2.2.1. Постановка задачи 42
2.2.2. Построение математической модели 43
2.2.3. Влияние размера установочной области на плотность упаковки системы частиц 47
2.3. Имитационное моделирование стохастической упаковки систем одномерных моносфер 48
2.3.1. Имитационная модель одномерной упаковки 48
2.3.2. Алгоритм одномерной упаковки 49
2.3.3. Программная реализация алгоритма упаковки 50
2.4. Экспериментальное исследование стохастической упаковки систем одномерных моносфер 52
2.5. Выводы по 2 главе 54
3. Стохастическая упаковка в пространстве R2 56
3.1 Выбор метода построения стохастической упаковки 56
3.2 Математическая модель стохастической упаковки систем двумерных моносфер 58
3.2.1. Структурные элементы стохастической упаковки 58
3.2.2. Постановка задачи 60
3.2.3. Математическая модель стохастической упаковки 61
3.3. Имитационное моделирование стохастической упаковки в пространстве R2 64
3.3.1. Выбор алгоритма построения структуры упаковки 64
3.3.2. Алгоритмы построения стохастической упаковки 65
3.3.3. Программная реализация имитационного моделирования стохастической упаковки 70
3.4. Экспериментальные исследования структурных характеристик плотноупакованных систем двумерных сфер 78
3.4.1. Оценка представительности размеров области установки 79
3.4.2. Локальная плотность упаковки системы дисков 81
3.4.3. Интегральная плотность упаковки системы дисков 83
3.4.4. Координационные числа частиц 87
Выводы по 3 главе 89
Общие выводы 91
Заключение 93
Литература 95
Приложения
- Структурные особенности стохастической упаковки
- Математическая модель стохастической упаковки систем одномерных сфер
- Математическая модель стохастической упаковки систем двумерных моносфер
- Локальная плотность упаковки системы дисков
Введение к работе
Актуальность темы. Проблема упаковки систем частиц имеет отношение ко многим наукам. Теоретической стороной данной проблемы занимались такие выдающиеся естествоиспытатели как Иоганн Кеплер [105], Исаак Ньютон и Джеймс Грегори [52], Карл Гаусс [87], Михаил Ломоносов [28], заложившие основы изучения структуры материальных тел, получившей в современной науки название теории плотноупакованных систем частиц. Основным содержанием теории плотноупакованных систем, является прогнозирование влияния структурных параметров объекта на его физические свойства, а также возможность управления параметрами структурных элементов, составляющих исследуемый объект. Изучение структурных параметров данных объектов и определяет основные направления в области исследования плотноупакованных систем.
Одной из основных проблем теории плотноупакованных систем частиц является получение достоверной информации о внутренней структуре стохастических упаковок, сформированных на основе частиц плотноупакованных систем. Стохастическая упаковка представляет собой сложную иерархическую структурно-неоднородную систему, состоящую из случайно расположенных жестких частиц, находящихся в контактном взаимодействии. В стохастических упаковках частицы расположены столь близко друг к другу, что их взаимное влияние существенно сказывается на поведении всей системы в целом. Поведение таких систем обусловлено различными по природе обратимыми и необратимыми структурными изменениями, происходящими при их формировании или преобразовании. Поэтому, понимание сути и значимости внутренних механизмов, определяющих эффективное поведение упаковки, является одной из задач первостепенного значения. Для этого необходимы серьезные фундаментальные исследования процессов и явлений, происходящих в упаковках на уровне структурной неоднородности, и их влияния на эффективные свойства материала. Так, в математических науках основное ударение делается на изучение многомерных упаковок, с це- лью рассмотрения вопросов по конструированию исправляющих кодов [49, 76]. В разделе математики — дискретной геометрии, сложилось сразу несколько научных школ, занимающихся исследованием вопросов, связанных с размещением геометрических объектов [19, 49, 82, 136]. Так, во главе венгерской научной школы стоял Л. Фейеш Тот, российской — Б.Ы. Делоне, английской — К.А. Роджерс.
В физических науках исследования по изучению структурных свойств идут довольно широким фронтом, практически в большинстве разделов физики необходимо иметь знания о природных процессах структурообразова-ния материальных тел. То же можно сказать и о разделах химии. В порошковой металлургии, в физике спекания и в химической технологии вопросы, связанные с формированием плотноупакованных систем выдвигаются на передний план. В литературе по металлургии и строительству имеется большое количество научных трудов, в которых, так или иначе, затрагиваются вопросы, связанные с анализом структурных свойств самых различных материалов.
В направлении данных исследований немаловажную роль играет выбор методов изучения структуры объектов, имеющих порой самую различную природу. Благодаря работам М. Ачария, Дж.Д. Бернала, Д.Г. Берримана, Д,Е. Вильямса, Дж.А. Доддса, Б.Д. Лубачевски, Р.К. Макджири, Г. Мейсона, М. Оды, А.Н. Патанкара, Г.Д. Скотта, Ф.Х. Стилинжера, С. Торкуато, С.С. Фернеса и др. установлены важнейшие закономерности влияния структурных параметров на свойства объектов. К настоящему времени накоплен громадный массив научной информации, на основе которой возможно построение строгого математического описания природных процессов, происходящих при формировании плотноупакованных структур. Тем не менее, такие исследования г пока являются довольно трудоемкими, перенасыщенными информацией эмпирического характера, а получаемые решения зачастую недостаточно адекватно описывают реальный объект исследования. По мере возрастания потока информации, связанной со структурными особен- ностями становится все труднее ориентироваться в ней, что приводит к дублированию некоторых научных работ и к трудности практического применения полученных результатов из-за разнородности интересов исследователей и используемых подходов и даже просто обозначений различных структурных характеристик. В связи с этим возникает потребность в объединении исследований по вопросам структурной организации реальных объектов природы, вне зависимости от той науки, в рамках которой требуется решить поставленные задачи.
Среди многих практически важных проблем можно выделить обширный класс задач, в которых зависимостью свойств трехмерных объектов от одной из координат можно пренебречь. В частности, это могут быть одно- и двумерные упаковки сферических частиц, являющиеся аналогами многих реальных объектов. В последнее время большой интерес вызывают так называемые квазиодномерные системы - атомные цепочки, длинные молекулы с сопряженными связями. Эти системы имеют большой практический интерес как составные части в ряде биологических активных молекул (например: витамин А, хлорофилл и т.п.), а также некоторые полупроводники, катализаторы и т.п. Интерес представляют и двумерные системы - слоистые кристаллы, когда связь внутри плоского слоя заметно больше, чем связь между соседними слоями, а также нанокристаллы, представляющие собой пленки молекулярной или атомарной толщины. В связи с этим большую важность приобретает проблема моделирования стохастических упаковок сферических частиц (RCP-упаковок) на основе разработанной математической теории и адекватных численных и имитационных методов. Актуальность таких исследований в значительной степени обусловлена их тесной связью с решением многих проблем в самых различных науках.
Рабочая гипотеза, цель и задачи исследования. Анализ основных направлений исследования стохастической упаковки систем частиц, позволяет сформулировать рабочую гипотезу, цель и задачи исследования. В ос-
8 нову данного исследования плотноупакованных систем частиц положена рабочая гипотеза о возможности существования, как в одно-, так и в двумерном пространстве, стохастической упаковки в двух состояниях: свободном и связанном, что, как доказано более ранними исследователями [66, 127], имеет место в трехмерном пространстве.
Рабочая гипотеза диссертационного исследования упаковки частиц позволяет в качестве основной цели диссертационного исследования выбрать разработку математических и имитационных моделей, а также алгоритмов и пакета программ для исследования процессов, происходящих при формировании стохастической упаковки систем сферических моночастиц, расположенных в пространствах низкой размерности.
В соответствии с рабочей гипотезой и целью исследования были сформулированы следующие основные задачи исследования: проанализировать существующие методы исследования плотноупакованных систем частиц; построить математическую модель стохастической упаковки систем одномерных моносфер; разработать алгоритм и подготовить программу имитационного моделирования стохастической упаковки систем одномерных сферических моночастиц; на основе имитационной модели провести исследование стохастической упаковки систем одномерных сферических моночастиц; построить математическую модель стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц; разработать алгоритмы и подготовить пакет программ по имитационному моделированию стохастической упаковки в двумерном пространстве; разработать метод расчета координационного числа частицы; на основе имитационной модели провести исследование стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц; - на базе разработанных программ создать программный комплекс по изучению процессов, протекающих при формировании плотноупако- ванных систем сферических частиц в пространствах низкой размер ности;
Методы исследования. В качестве методов исследования применялись методы математического и имитационного моделирования, математической статистики, а также методы объектно-ориентированного программирования в среде MAPLE. Применяемые методы модифицировались с учетом особенностей исследуемых объектов. В первую очередь это касается имитационного моделирования, в рамках которого была разработана методика построения локальных слоев стохастической упаковки и методики определения распределения плотности упаковки и координационных чисел.
Научная новизна характеризуется тем, что в диссертационной работе впервые: построены математическая и имитационная модели стохастической упаковки систем одномерных моночастиц; разработан алгоритм, реализованный в виде программы, на основе которой решена одномерная задача стохастической упаковки систем моночастиц; проведен численный эксперимент по выявлению взаимосвязи между плотностью упаковки и величиной установочной области в одномерном пространстве; построена математическая модель стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц; установлено, что способ управления структурой плотноупакованных систем частиц связан с возможностью направленного выбора из множеств перекрывающихся частиц подмножеств устанавливаемых частиц; разработан метод построения локальных слоев стохастической упаковки в виде совокупности цепочек частиц; предложена формула для расчета в стохастической упаковке координационных чисел частиц; разработаны алгоритмы и пакет программ, с помощью которых решена двумерная задача стохастической упаковки систем сферических моночастиц; теоретически и экспериментально подтверждено предположение о существовании в двумерном пространстве стохастической упаковки как свободном, так и связанном состоянии; получены предельные значения структурных характеристик для стохастической упаковки систем двумерных сферических моночастиц.
Практическая значимость работы. Программная реализация метода слоев обладает способностью более быстрого получения решения задачи по формированию RCP-упаковки. Преимущество предложенного метода перед известными методами подтверждено конкретными расчетами. Это делает программную реализацию метода слоев, применимой в реальных ситуациях. Результаты выполненных исследований позволяют использовать разработанную методику и программное обеспечение для изучения плотно-упакованных систем частиц с учетом технологии их формирования для прогнозирования и оперативного управления их структурными свойствами. Установленные закономерности формировании структуры стохастической упаковки также могут быть использованы для совершенствования технологий производства сыпучих материалов, а также для создания новых композиционных материалов.
Основные положения., выносимые на защиту:
Математические и имитационные модели стохастической упаковки систем одно- и двумерных сферических моночастиц.
Разработанные алгоритмы, реализованные в виде комплекса программ, на основе которых решены задачи по стохастической упаковке систем сферических моночастиц, расположенных в одно- и двумерном пространствах.
3. Теоретическое и экспериментальное подтверждение существования предельных плотностей в стохастических упаковках систем сферических моночастиц, расположенных в одно- и двумерном пространствах.
Личный вклад соискателя заключается в систематизации и научном обобщении методов исследования структурных параметров, а также в построении и реализации новых предложенных математических моделей и проведении вычислительных экспериментов. При выполнении работы по теме диссертации автор принимал активное участие в постановке задач и непосредственно осуществлял их решение. Им исследовано влияние величины установочной области на плотность упаковки системы одномерных сфер, реализован пакет программ для этой задачи, проведен численный эксперимент. Автор также активно участвовал в разработке алгоритмов имитационного моделирования формирования стохастической упаковки и расчета ее структурных параметров. Им предложен метод «размерной упаковки», подготовлен и реализован комплекс программ для формирования стохастической упаковки систем двумерных сфер. Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены самим автором.
Достоверность научных результатов подтверждается: применением апробированных методов теории вероятностей и математической статистики; достаточным по статистическим критериям объемом выборок, определяющих структурные параметры стохастической упаковки систем частиц; сходимостью расчетных значений структурных параметров стохастической упаковки с полученными экспериментальными данными и данными других исследователей.
Апробация и внедрение результатов работы. Работа проводилась в соответствии с научным направлением «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденным Ученым Сове-
12 том БелГУ от 3.11 2000 г. и с планами НИР кафедры математического анализа и кафедры информатики и вычислительной техники БелГУ. Результаты, изложенные в диссертации и отдельные ее разделы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
Международной научно-практической конференции: «Компьютерные технологии в науке и производстве», Новочеркасск, 2003 г.;
Международном семинаре: «Физико-математическое моделирование систем», Воронеж, 2004 г.;
Международной научно-технической конференции: «Информационные технологии в управлении и моделировании», Белгород, 2005 г.;
Международной конференции по математическому моделированию: «МКММ-2005», Феодосия, 2005 г.; VII Всероссийском симпозиуме: «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 2005 г.;
6-й Международной конференции: «Компьютерное моделирование 2005», Санкт-Петербург, 2005 г.; семинарах кафедры естественно-научных дисциплин и новых информационных технологий Белгородского государственного университета; семинарах кафедры математического анализа Белгородского государственного университета; семинарах кафедры информатики и вычислительной техники Белгородского государственного университета.
Разработанные пакеты программ апробированы в учебном процессе, в рамках специального курса «Математическое моделирование» для студентов физико-математического и химико-биологического факультетов БелГУ.
Публикации. Основные положения и результаты диссертации отражены в 9 публикациях, в том числе в отраслевом фонде алгоритмов и программ по теме диссертационного исследования автором зарегистрирован пакет программ.
13 Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и изложена на 124 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц, 16 рисунков, список литературы из 163 наименований (59 отечественных и 104 иностранных).
Структурные особенности стохастической упаковки
Все упаковки, построенные на основе определенного взаимного расположения частиц в системе, можно подразделить на регулярные и стохастические упаковки. В настоящее время под термином "стохастическая упаковка" (или "случайная упаковка") обычно понимают структурно-неоднородные системы, частицы которых находятся в непосредственном контакте друг с другом. Согласно данному определению к стохастическим упаковкам можно отнести все системы частиц, представляющие собой структурные образования, в которых взаимное расположение отдельных частиц носит случайный характер, и характеристики которых можно рассматривать как статистические параметры.
Описание любой системы можно свести к алгоритмическому описанию размещения его частиц в одно- или двумерном пространстве, а однородность упаковки дает возможность упрощать это описание, подменяя в простых случаях абсолютные координаты относительными и громоздкие множества координат удобными простыми функциями распределения частиц по координатам.
Исследования по структуре одномерной системе частиц в основном относятся к регулярным упаковкам [76]. В одномерном случае возможно построение бесконечного числа упаковок, отличающихся величиной межчастичного интервала. При случайном расположении частиц также возможно построение неограниченного числа упаковок, в которых межчастичньтй интервал имеет стохастическую природу. Для их построения мы можем рассматривать совокупность стержней, центры которых помещены в случайным образом выбранные точки прямой. При этом можно контролировать как отсутствие пересечения стержней, так и размеры межчастичных интервалов. В качестве структурного элемента одномерной упаковки можно выбрать расстояние между центрами стержней. Если же каждый структурный элемент рассматривать как элемент независимой регулярной упаковки, то стохастическая упаковка одномерных стержней может быть представлена в виде непрерывной совокупности таких регулярных упаковок.
Иначе, они могут быть представлены в виде конструкции Вороного-Дирихле [29, 88, 89, 110]. Для получения полиэдра Вороного-Дирихле достаточно построить векторы, соединяющие центр данного диска с соседними, и через середины отрезков, соответствующих зазорам между частицами, провести перпендикулярные векторам плоскости. Два диска считаются соседями, когда биссектриса линии, соединяющей их центры, формирует сторону многоугольника Вороного (рис. 1.1, б). Зависимость между этими , двумя представлениями может использоваться, чтобы определить критическое разделение центров частиц, вне которых оба диска не могут быть соседями, что приводит к среднему числу контактирующих дисков, которые являются соседями. Это среднее разделение - базис вычисления плотности упаковки и среднего количества контактирующих дисков в RCP-yпаковке. Таким образом, все пространство, занимаемое структурой, можно покрыть такими непересекающимися элементарными ячейками.
Наиболее важной и широко используемой макроскопической характеристикой любой плотноупакованной дискретной системы является коэффициент компактности упаковки г) [5, 20], который еще принято называть плотностью упаковки системы частиц. Обычно под этой характеристикой понимают отношение суммарного объема всех составляющих упаковку частиц Vp к общему объему V0, занимаемой ими области
В ряде случаев, вместо плотности упаковки применяют и другие структурные характеристики, являющиеся аналогами данного параметра упаковки. К ним относится такая характеристика как пористость, определяемая отношением объема пустот между частицами к общему объему системы: P=(VO VP)/VQ а также коэффициент пористости е (порозность): e={V0-Vp)IVp [2, 23]. Эти величины однозначно связаны между собой приведенными ниже формулами, и выбор любой из них определяется только соображениями удобства математических вычислений
На практике, наибольшее распространение, как более наглядные характеристики, получили коэффициент плотности упаковки ц и пористость Р. Области их изменения лежат в диапазоне от 0 до 1, тогда как коэффициент пористости может принимать значения от нуля до бесконечности, что не всегда удобно при выполнении расчетов.
Как видно из таблицы 1.1 наибольшую из возможных плотность упаковки имеют регулярные упаковки шаров в нуль- и одномерном пространствах, где плотность упаковки достигает своего максимального значения равного единице [76]. При этом, значения координационных чисел для данных размерностей существенно отличаются друг от друга. Для одномерного пространства оно имеет значение равное двум, а для нульмерного - достигает нулевого значения.
Система дисков, расположенных в двухмерном пространстве, имеет две возможные регулярные упаковки. В случае двумерных структур для квадратной и гексагональной регулярных упаковок плотности упаковки равны соответственно 0,7854 и 0,9069.
Наибольшую группу регулярных упаковок составляют упаковки в трехмерном пространстве. Так, для кубической решетки значение плотности упаковки равно 0,5236, для объемно-центрированной решетки принимает значение 0,6802, а для гексагональной упаковки данная характеристика достигает значения 0,7405. Куда сложнее обстоит дело со случайными структурами. До сих пор так и не удалось теоретически предсказать точное значение максимально возможной концентрации частиц в плотной случайной упаковке. Экспериментально установлено [30, 141, 142], что для стохастической упаковки системы сферических частиц критическая плотность упаковки составляет 0,637. Это значение лежит примерно посредине между плотностями упаковки, характерными для кубической и гексагональных упаковок, причем локальные флуктуации ц по объему структуры могут достигать до 10% от среднего значения [21].
Анализ объемных флуктуации плотности упаковки ц приводит к понятию локальной плотности упаковки [48]. При этом под локальной плотностью упаковки принято понимать одновременно два различных понятия. Во-первых, это плотность упаковки отдельного тетраэдра Воро-ного-Делоне. Во-вторых, плотность упаковки отдельных слоев плотно-упакованной системы частиц. Для различия данных понятий в последнем случае добавляют, что речь идет о локальной плотности упаковки отдельного слоя частиц.
Понятие плотности упаковки может служить только в качестве весьма общей макроскопической характеристики структуры, по которой можно лишь приблизительно судить о взаимном расположении частиц. Очевидно, что данной известной конфигурации отвечает вполне определенная плотность упаковки, но обратное утверждение в общем случае неверно, так как одна и та же плотность упаковки может соответствовать множеству самых разных упаковок, даже для объектов одной формы и размера. Более информативна с этой точки зрения другая структурная характеристика, такая как координационное число частицы z, которое определяет количество окружающих ее ближайших соседей. Так, например, квадратная упаковка имеет координационное число равное 4, а координационное число в двумерной гексагональной упаковке достигает значения 6, что совпадает с координационным числом кубической упаковки. При этом объемно-центрированная решетка имеет координационное число 8, а трехмерная гексагональная упаковка обладает значением координационного числа равного 12 (табл. 1.1). В стохастических упаковках этот параметр имеет случайный, характер и представляется в виде соответствующих распределений. С их помощью можно более детально анализировать особенности взаимного расположения частиц в упаковке, оценивать изменения локальной плотности упаковки, делать выводы о геометрической устойчивости плотной упаковки. Например, с точки зрения механики сыпучих сред, наличие в трехмерной структуре значительного количества частиц с координационным числом меньше 4 говорит о ее потенциальной нестабильности.
Математическая модель стохастической упаковки систем одномерных сфер
Рассмотрим совокупность одномерных частиц единичного диаметра а, расположенных на конечном интервале, имеющем фиксированный размер длиной L. Будем считать, что каждая/-тая частица занимает в данной области определенное место, характеризующееся координатой Xj центра данной частицы, значение которого определено случайным образом.
При попытке описать одномерную стохастическую систему идентичных частиц сразу возникает вопрос о методе определения координат центров частиц. При таком методе определения координат центров первая из частиц занимает \1кт предоставленного для ее установки интервала, располагаясь в центре данной области, вследствие априорно выбранного нами для нее равномерного закона распределения. Все остальные частицы устанавливаются аналогичным порядком, с учетом оставшейся от предыдущей частицы части интервала и количества еще неустановленных частиц.
Положим, что вероятность установки к частиц в рассматриваемой области установки частиц зависит только от размера данной области и не зависит от его расположения в рассматриваемой области установки частиц (стационарность). Кроме того, будем считать, что частицы в область установки попадают поодиночке (ординарность) и независимо друг от друга (отсутствие последействия). В этом случае процесс установки частиц можно рассматривать как простейший случайный поток [50].
Данное выражение можно интерпретировать следующим образом [14,51]. .Пусть событие Ат.к означает установку т-к частиц на интервале х, а событие В к - установку к частиц на интервале Ах Тогда рассматриваемое событие можно представить как пересечение несовместных событий Ат Г\Вк для всех к = 0,1,2, ... т. Так как интервалы х и Ах не пересекаются, а частицы устанавливаются независимо друг от друга, то и события Am.k и В при любом к независимы. Следовательно P(Am.if\B Р(Ат.$- Р(В Pm.k (х)- Pk (Ах).
Пусть теперь интервал Ах настолько малый промежуток, что в силу ординарности простейшего потока вероятность попадания в него больше чем одной частицы пренебрежимо мала. Перейдем теперь к рассмотрению более общей задачи. Пусть в установочной области можно разместить систему, состоящую из к частиц таким образом, что число установленных частиц в данной области есть однородный марковский процесс с состояниями т=1,2,
Для построения графика была разработана программа (приложение 1), которая, на основе ранее полученных уравнений, позволяет провести численное моделирование и получить расчетные данные по зависимости плотности упаковки от размера установочной области (рис. 2.2).
В предельном же случае, при достаточно больших размерах установочной области плотность упаковки стремится к константе Реньи. Такое поведение указывает на возможность управления величиной плотности упаковки системы, путем выбора соответствующих значений размера установочной области.
Для имитационного моделирования стохастической упаковки системы одномерных моносфер было решено разработать следующий алгоритм.
1. Вначале выбирается размер установочной области L. Процедура заполнения установочной области начинается с выбора места для расположения центра первой устанавливаемой частицы. Выбор реализации случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0,1] производился путем применения функции генерации случайных чисел, с последующим умножением полученного случайного числа на величину уста 50 новочной области.
2. На следующей стадии занятая установленной частицей часть отрезка, вместе с исключенным объемом удаляется, и на его концах остаются два отрезка меньшей длины, которые мы затем объединяем.
3. На последующих стадиях выполнение процедуры установки отдельной частицы повторяется, с одновременным пересчетом координат центров частиц, до тех пор, пока каждый из двух оставшихся отрезков не будет иметь длину менее диаметра частицы.
4. По стандартной формуле (1.1) рассчитывается плотность полученной стохастической упаковки.
5. В дальнейшем выполнение описанной выше процедуры заполнения установочной области повторяется многократно, с последующим расчетом среднего значения плотности упаковки при заданном размере установочной области.
6. В завершение алгоритма производится графическое построение стохастической упаковки системы одномерных сфер, с целью контроля за положением частиц на выбранном отрезке.
Главным достоинством предложенного алгоритма является отсутствие «лишних» этапов, связанных с необходимостью исключения из рассмотрения тех частиц, рассчитанные координаты которых приводят к наличию пересечения с ранее установленными частицами.
Математическая модель стохастической упаковки систем двумерных моносфер
Проблема выбора структурного элемента упаковки имеет большое значение для правильного описания ее поведения и оценки свойств. По определению, данному в [74]: «элемент - это минимальный объем структуры, в котором содержится достаточно информации, чтобы описать механизмы и явления, действующие в материале на уровне структурной неоднородности и способные оказать существенное влияние на макросвойства плотноупакованных систем частиц».
Довольно часто структурные элементы рассматриваются как некоторые феноменологические объекты (черные ящики), чьи свойства целиком или частично определяются из особенностей макроскопического поведения соответствующих объектов [62, 63, 110]. Поэтому разработка структурных подходов, базирующихся на моделировании и исследовании отдельных элементарных объемов упаковки без привлечения макроскопических представлений можно считать одной из наиболее важных задач. Обычно, в качестве самих объектов моделирования, принято рассматривать структурные элементы простой геометрической формы - кубические, цилиндрические, сферические и т. д. [64, 161]. В данной диссертационной работе также было отдано предпочтение структурным элементам упаковки, имеющим простую форму - в виде треугольников, каждый из которых образован тремя частицами.
Выбор таких вариантов структурных элементов был обусловлен следующей интересной особенностью их геометрии. Расположение данных элементов совместно, в некоторой области установки, возможно произвести с максимальной плотностью, то есть выполнить заполнение выделенного пространства практически без зазоров. При этом каждый из данных структурных элементов является своего рода ядром определенной конфигурации, множество которых многократно повторяется в процессе формирования стохастической упаковки системы двумерных сфер.
В основу построения стохастической упаковки в двумерном пространстве был положен геометрический подход [1, 53]. Данный подход используется для широкого класса задач, в которых дискретное описание физических явлений рассматривает систему взаимодействующих друг с другом частиц. В качестве базовой была выбрана модель двумерных «жестких частиц» [159]. Каждая частица обладает набором собственных атрибутов, таких как координаты центра и ее диаметр, и атрибутов отношений - координационные числа и расстояния до ближайших соседних частиц. Постановку задачи выполним следующим образом. Пусть дано некоторое множество, состоящее из N сферических моночастиц одинакового диаметра о, находящихся под действием слабой однонаправленной силы. Требуется расположить частицы в выбранной прямоугольной области, определенной при помощи {х, у 0 х S, 0 у Н], где S - ширина, а Я - высота области установки, таким образом, чтобы в результате процесса формирования стохастической упаковки число попавших в область частиц было максимально возможным, при следующих условиях: - каждая частица касается как минимум двух соседних частиц из данной конфигурации; - установленные частицы не пересекаются (не имеют общих внутренних точек) ни с одной частицей из данной конфигурации;
Сферичность частиц является общепринятым модельным приближением для начальных стадий рассмотрения формирования упаковки [61, 101. Поэтому, в качестве геометрической модели упаковки, была выбрана система двумерных сфер (дисков), структуру Т которой можно описать следующим образом Т ={( ,-,Уі): Хі ЄН2, Уі BR2, і =%N}, (3.1) где xt и уі - координаты центра г -го диска. Для исключения краевых эффектов и эффектов, связанных с конечным размером моделируемой системы, рассмотрению была подвергнута стохастическая упаковка частиц, расположенных в прямоугольной области с «проницаемыми» стенками, позволяющих пересечение границ установочной области частицами.
Для решения поставленной задачи нами был предложен принцип построения стохастической упаковки систем сферических частиц, в предположении, что структуру упаковки можно приближенно описать как совокупность структурных элементов регулярных упаковок. При этом изменение значений плотности упаковки и координационного числа определяется только взаимным расположением структурных элементов при сохранении их формы.
При построении математической модели случайной упаковки рассматривалась модель структуры, сформированной многократным повторением базовых конфигураций, образованных на основе регулярных структурных элементов, имеющих форму в виде прямоугольного и равностороннего треугольника. Анализ возможных конфигураций, образованных на основе регулярных структурных элементов, показал, что возможно сформировать всего семь различных типов базовых конфигураций (рис. 3.2).
Плотность упаковки 0,7854 0,8007 0,8070 0,8221 0,8418 0,8541 0,9069 Одной из основных задач, стоящих перед нами при математическом моделировании структуры плотно-упакованной системы дисков, является проверка гипотезы о возможности существования стохастической упаковки в двух состояниях - в виде связанной и свободной упаковок. Если считать, что в связанном состоянии упаковка частиц представляет собой систему, в которой базовые конфигурации представлены с одинаковой вероятностью, то плотность связанной упаковки г}связ можно определить следующим выражением где п число конфигураций, sp - площадь частицы; S/ - средние площади, занимаемые частицами, находящимися в г-той конфигурации. Расчет по формуле (3.4) приводит к численной оценке плотности связанной упаковки: %еяз=0,8295.
В случае рассмотрения стохастической упаковки в свободном состоянии необходимо принять во внимание, что четко выраженные базовые конфигурации в структуре плотноупакованной системы частиц будут отсутствовать. Это позволяет нам все возможные конфигурации свести к двум граничным конфигурациям, то есть считать, что такая система представляет собой совокупность конфигураций, обладающих наименьшей и наибольшей средней площадью. Именно поэтому плотность свободной упаковки г}свое рассчитывалась на основе только двух предельных базовых конфигураций где Si и s7 - средние площади, занимаемые частицами, находящимися в первой и седьмой конфигурациях. Здесь, при определении плотности свободной упаковки, учитывается тот факт, что число прямоугольных структурных элементов .в упаковке должно быть в два раза большим, по сравнению с количеством равносторонних структурных элементов, что связано с обязательной установкой возле каждого прямоугольного элемента дополнительно аналогичного структурного элемента. Расчет по формуле (3.5) приводит к численной оценке плотности свободной упаковки: %еоб=058221. Сравнение численных значений плотностей свободной и связанной упаковок показывает, что разница этих значений находятся в пределах погрешности экспериментального определения данных характеристик [159], что и не позволяло до настоящего времени выявить существование стохастической упаковки в данных состояниях.
Несомненно, что предложенная математическая модель еще недостаточно совершенна и требует более тщательной математической проработки. Однако далее столь простое описание процессов формирования стохастической упаковки позволяет выявить ряд полезных закономерностей. По крайней мере, теперь молено точно утверждать, что реальные стохастические упаковки в двумерном пространстве могут таюке находиться в двух состояниях, как и в. трехмерном, в виде свободной и связанной упаковок. Кроме того, наличие только семи различных базовых конфигураций позволяет по-новому взглянуть и на формирование структуры стохастической упаковки систем трехмерных сфер. Однако данное исследование выходит за рамки цели, поставленной в данной диссертационной работе.
Локальная плотность упаковки системы дисков
Анализ поведения кривых распределения плотности упаковки показывает на наличие ряда пиков, которые соответствуют определенным дискретным значениям плотностей упаковки локальных слоев, независимо от того, в каком состоянии находится стохастическая упаковка (табл. 3.2).
Как видно из данной таблицы различие в значениях интегральной плотности упаковки для различных состояний может быть связано, в основном, с величиной предельных пиков на кривых распределения локальной плотности упаковки. Таблица 3.2 Максимальные значения пиков кривых распределения локальных плотностей упаковки систем дисков
Кроме того, имеется некоторое различие в появлении пика в диапазоне значений локальных плотностей упаковки 0,84-0,85. Однако на аналогичных графиках в ряде других испытаний данные пики практически полностью соответствовали друг другу. В тоже время на кривой для свободной упаковки также имеется некоторая размытость ряда пиков. В случае связанной упаковки размытость пиков носит менее выраженный характер.
Сопоставление максимальных значений пиков кривых распределения локальных плотностей упаковки показывает, что основное отличие свободной упаковки от связанной заключается в смещении глобального максимума с пика, имеющего плотность упаковки 0,815 на пик с плотностью упаковки 0,83. Также имеется ряд отличий в положении крайних пиков. Так, имеется небольшое смещение первого пика в сторону увеличения плотности упаковки для связанной упаковки. Кроме того, возникает дополнительный пик на правой границе для данной упаковки, имеющий значение плотности упаковки равное 0,875. Проведенный анализ показал, что вид данного распределения имеет сложный характер. Это связано с наличием в стохастической упаковки различных конфигураций частиц, определяющих ближний порядок и, следовательно, зависящие от него значения локальной плотности упаковки системы дисков. 3.4.3. Интегральная плотность упаковки системы дисков
Для экспериментального подтверждения возможности существования плотноупакованных систем частиц в пространстве R2, в двух различных структурных состояниях были проведены экспериментальные исследования по определению интегральной плотности упаковки системы дисков. Имитационное моделирование проводилось как для псевдослучайной, так и для стохастической упаковки, на области установки частиц системы размерами 30x30а при наличии «проницаемых» границ установочной области. При этом число измерений для псевдослучайной упаковки было принято равным 30 генерациям. В тоже время, с целью получения более надежных результатов при их последующей обработке, число измерений для стохастической упаковки было решено увеличить до 50 генераций. Здесь под псевдослучайной упаковкой понимается плотноупакованная система, состоящая из совокупности структурных элементов регулярных упаковок. Статистический анализ данных проводился в редакторе электронных таблиц EXCEL и осуществлялся с применением пакета анализа подсистемы Надстройки. Полученные данные по псевдослучайной упаковке в пределах погрешности измерения полностью подтверждают теоретические результаты, полученные при математическом моделировании. Статистическая оценка интегральной плотности псевдослучайной упаковки приводит к среднему значению г/сдяз=0,8299±0,0033 для связанной упаковки и к значению 7/сеоб=0,8224±0,0033 - для свободной упаковки. Результаты статистического анализа данных по псевдослучайной упаковке приведены в приложении 4.
На приведенных гистограммах отчетливо видно смещение положений столбцов гистограмм в область более низких значений плотностей упаковки по отношению к нормальному распределению частот. Это может быть связано с наличием в упаковках двух и более конфигураций частиц с различным ближним порядком, каждая из которых вносит свой вклад в величину частот распределения интегральных плотностей упаковки. В тоже время гистограмма частот для свободной упаковки имеет более симметричный вид, что подтверждает предположение о формировании стохастической упаковки в свободном состоянии на основе только двух предельных конфигураций структурных элементов.
В таблице 3.3 приведены статистические данные по плотности стохастической упаковки систем дисков в свободном и связанном состояниях. Сравнение представленных данных показывает, что основные отличия связанного и свободного состояний стохастической упаковки связаны со значениями таких параметров как среднее значение, а также зависимых от данного параметра моды и медианы. Причем для связанной упаковки величина моды превышает значение медианы, а для свободной упаковки отношение между этими параметрами обратное. Данный факт позволяет сделать вывод о преобладании в связанной упаковке конфигураций с более высокой плотностью упаковки над конфигурациями с меньшей плотностью упаковки. Это подтверждается и данными по имитационному моделированию стохастической упаковки, где число пиков в области выше среднего значения интегральной плотности упаковки в два раза больше (табл. 3.2).
В случае свободной упаковки количество таких пиков на графике распределения локальных плотностей упаковки одинаково. Уточненная статистическая оценка интегральной плотности упаковки приводит к среднему значению %еда=0,8241±0,0044 для связанной упаковки и к значению %еоб=0,8182±0:і0044 - для свободной упаковки. Эти оценки имеют несколько более низкие значения, чем полученные на основе математического моделирования и для псевдослучайной упаковки, что связано с упрощенными методами определения подмножеств устанавливаемых дисков в программной реализации алгоритмов построения стохастической упаковки. При дальнейшем совершенствовании программного комплекса данный недостаток может быть устранен. В таблице 3.4 приведены статистические данные по сравнению средних плотностей стохастической упаковки систем дисков в свободном и связанном состояниях.
Сравнение средних плотностей стохастической упаковки проводилось путем использования таких критериев, как критерий Лапласа и критерий Фишера-Стьюдента. Уровень доверительной вероятности для сравнения средних плотностей упаковки выбирался равным 0,95. Критерий Лапласа принято применять при больших объемах выборок (« а 30) с любым, даже с неизвестным законом распределения. Критерий Фишера-Стьюдента применяется для выборок любого объема, но для случаев, при которых генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения. И хотя проверка распределения интегральной плотности стохастической упаковки на нормальность методом Пирсона не позволила принять гипотезу о нормальности распределения, проверка, с применением данного критерия, также была произведена дополнительно. Результаты сравнения средних плотностей стохастической упаковки систем дисков, при использовании обоих критериев, показали достоверную степень отличия средних плотностей связанной и свободной упаковок систем частиц, расположенных в двумерном пространстве. Следовательно можно считать доказанным утверждение о возможности существования стохастической упаковки систем дисков в свободном и связанном состояниях.
Результаты моделирования показали, что поведение кривых распределения координационного числа носит существенно дискретный характер. Причем, пики строго соответствуют конкретным целым значениям координационного числа, за исключением первого пика, где максимум достигается при значении: z=3,3. Смещение значения координационного числа для свободной упаковки практически полностью связано с количеством частиц имеющих низкие координационные числа. При этом, в свободной упаковке обнаружено некоторое увеличение количества частиц, имеющих максимальное координационное число, однако данный эффект не играет существенной роли при оценке средней величины координационного числа стохастической упаковки, находящейся в разных состояниях. Статистическая оценка координационных чисел приводит к среднему значению zCB),3=4,77±0,22 для связанной упаковки и к значению zCBo6=4,42±0,23 - для свободной упаковки.
