Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модели иерархического ранжирования организации 9
1.1.Теоретико-графовые модели организационной структуры 10
1.2. Моделирование иерархического статуса с учетом расслоения организации 24
1.3. Взвешенные мажоритарные игры на основе меры иерархического статуса 40
1.4.Метрическая модель социального пространства организации 50
Глава 2. Модели анализа и синтеза организационной структуры 62
2.1.Количественные модели и методы исследования и оптимизации организационных систем 63
2.2. Модели оптимального синтеза организационной структуры по критерию качества обработки информации и по критерию близости решаемых задач 87
2.3. Постоптимальный анализ задач линейного программирования как метод совершенствования организационной структуры 108
Заключение 117
Литература 121
Приложение 132
- Моделирование иерархического статуса с учетом расслоения организации
- Взвешенные мажоритарные игры на основе меры иерархического статуса
- Модели оптимального синтеза организационной структуры по критерию качества обработки информации и по критерию близости решаемых задач
- Постоптимальный анализ задач линейного программирования как метод совершенствования организационной структуры
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Эффективность производства в значительной, если не в определяющей степени зависит от его рациональной организации. Специалисты по теории организаций отмечают, что обоснованный выбор характеристик организационной структуры играет очень большую роль в совершенствовании управления. Не менее важна объективная оценка положения сотрудников в организации, определение их влияния и значимости, что служит основой для построения эффективных механизмов стимулирования.
Построение рациональной структуры организации и выявление статусных характеристик ее сотрудников настоятельно требуют применения математических методов исследования. Поэтому задача разработки и анализа формальных свойств и практической применимости математических моделей иерархических структур является весьма актуальной.
Содержательные основы теории организаций заложены в работах М.Вебера, А.Файоля, Ф.Тейлора, Г.Эмерсона, Р.Лайкерта, Ф.Минцберга, Э.Мэйо, У.Мак-Грегора, Б.З.Мильнера, А.И.Пригожина и других авторов.
Использование теории графов для моделирования отношений иерархии является весьма естественным и привело к получению важных результатов: установлению соответствия между отношением иерархии и бесконтурными орграфами и доказательству существования упорядоченного расслоения бесконтурного орграфа (А.Кофман, Г.Дебазей), разработке аксиоматического подхода к построению меры иерархического статуса
4 (Ф.Харари, Дж.Кемени, Дж.Снелл), прикладным исследованиям теоретико-графовых моделей структуры (Ф.Роберте), идее графодинамики (М.А.Айзерман и др.). В работах Г.А.Угольницкого предложено обобщение меры иерархического статуса с учетом расслоений организации, проведен анализ расслоений и иерархических орграфов, разработана методика проектирования организационной структуры.
Модели социального пространства и стратификации базируются на результатах П.Бурдье, М.Вебера, Э.Гидденса, П.А.Сорокина и многих других социологов. Попытка математической формализации социоструктурных понятий предпринята в работах В.Ф.Анурина, И.В.Мостовой, Г.А.Угольницкого.
Среди многочисленных направлений математического моделирования организационных систем следует выделить информационную теорию иерархических систем (Ю.Б.Гермейер, Н.Н.Моисеев, И.А.Ватель, В.А.Горелик, А.Ф.Кононенко, Д.А.Молодцов, В.В.Федоров), теорию активных систем (В.Н.Бурков), теоретико-игровые модели иерархических структур управления (Л.А.Петросян), principal-agent theory (A.Ackere, J.Pratt, R.Ress, R.Zeckhauser) , модели формирования организационных структур (Б.А.Лагоша, А.Р.Лейбкинд, Б.Л.Овсиевич, Б.Л.Рудник, А.Д.Цвиркун).
Объектом исследования в работе выступают иерархические организации.
Предметом исследования являются математические модели иерархического ранжирования и структуры организации.
Проблемная область исследования охватывает теоретико-графовое моделирование формальной и групповой структур ор-
5 ганизации, измерение иерархического статуса сотрудников организации, изучение эффективности коалиций, формализацию социоструктурных понятий в рамках модели социального пространства, изучение моделей оптимального синтеза организационной структуры, постоптимальный анализ задач линейного программирования применительно к моделям организации.
Цель диссертационной работы - классификация и программная реализация имеющихся и дополнительно разработанных математических моделей и методов решения задач организационного проектирования с приложением к конкретным организациям системы образования.
Задачи диссертационного исследования:
исследовать теоретико-графовые модели организационной структуры и обосновать их адекватность;
изучить свойства меры иерархического статуса сотрудника организации с учетом ее расслоения, разработать и апробировать программный комплекс для вычисления характеристик статуса;
построить и исследовать взвешенные мажоритарные игры на основе меры иерархического статуса для различных типов организационной структуры;
построить и исследовать модели социального пространства организации;
провести сравнительный анализ и классификацию моделей организационных систем и методов их анализа;
осуществить программную реализацию алгоритмов оптимального синтеза организационной структуры и провести ее апробацию для реальных организаций;
7) применить постоптимальный анализ задач линейного программирования как метод совершенствования структуры организации.
Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:
доказана теорема о представлении меры иерархического статуса в регулярном расслоении множества вершин бесконтурного орграфа как модели организационной структуры;
разработан и апробирован программный комплекс для вычисления статусных характеристик сотрудников организации;
- построены взвешенные мажоритарные игры на основе
меры иерархического статуса с учетом расслоения для древо
видной и ромбовидной организационных структур, получены их
решения;
- осуществлена программная реализация двух алгоритмов
синтеза оптимальной организационной структуры, на практи
ческих примерах проведена их сравнительная апробация;
предложен и апробирован эвристический алгоритм улучшения исходного оптимального решения задачи линейного программирования как метод совершенствования организационной структуры.
Использованный в работе математический аппарат включает теорию бесконтурных ориентированных графов, теорию метрических пространств, теорию кооперативных игр, методы автоматической классификации и теорию оптимизации, в особенности линейное программирование.
Достоверность полученных результатов обусловлена корректным использованием математического аппарата, сравнительным анализом результатов, полученных различными методами .
Практическая значимость исследования заключается в возможности использования результатов диссертационного исследования при решении задач организационного консультирования и проектирования, при обработке данных социологических исследований, а также в высших учебных заведениях при чтении курсов по оптимизации, исследованию операций, математическому моделированию.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлены на школе-семинаре «Экология. Экономика. Экспертиза. Информатика» (Дюрсо, 2001, 2002), на межвузовской научно-практической конференции, посвященной 20-летию Чеченского госпединститута (Грозный, 2001), на семинарах кафедры математики Ингушского госуниверситета, кафедры прикладной математики Калмыцкого госуниверситета, кафедры прикладной математики и программирования Ростовского госуниверситета (2001-2003).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 1 монография, 2 статьи в российских журналах, 1 статья в сборнике, 4 тезиса выступлений на конференциях.
Структура диссертации включает в себя: введение, две главы, состоящие из семи параграфов, заключение, список литературы из 130 источников и приложение.
8 Положения, выносимые на защиту:
Предложены классификации моделей организационных систем и методов их исследования, орграфов организационного типа и их формальных расслоений, доказан ряд утверждений о свойствах формальных расслоений.
Получено аналитическое представление меры статуса в регулярном расслоении, найдены решения взвешенных мажоритарных игр на основе меры иерархического статуса для древовидной и ромбовидной организационных структур.
Разработан программный комплекс для моделирования статусных характеристик, с помощью которого установлены закономерности иерархического ранжирования образовательных организаций (на примере Ингушского госуниверситета).
Осуществлена программная реализация алгоритмов оптимального синтеза структуры, с помощью которой получены характеристики оптимальной структуры ряда организаций системы образования.
5. Предложен эвристический алгоритм улучшения опти
мального решения задачи линейного программирования путем
обнуления ряда коэффициентов матрицы связей как метод со
вершенствования организационной структуры, проведена апро
бация разработанной на его основе программы на ряде чис
ленных примеров.
Моделирование иерархического статуса с учетом расслоения организации
Проблема количественного определения иерархического статуса сотрудника организации достаточно давно изучается в прикладной математике [Нагагу 1959; Harary et al. 1965; Кемени и Снелл 1972; Роберте 1986]. Традиционный аксиоматический подход к измерению статуса основывается на следующих положениях.
Структура организации описывается ориентированным графом организационного типа. Каждой вершине орграфа сопоставляется неотрицательное целое число, служащее мерой статуса соответствующего сотрудника. Иерархический уровень вершины v относительно вершины и определяется как длина кратчайшего пути от и до v. Предполагается, что мера статуса hD(u) вершины и в организации D должна удовлетворять следующим трем аксиомам. Аксиома 1. Если сотрудник и не имеет подчиненных, то hD(u) = 0.
Аксиома 2. Если у сотрудника появляется дополнительный подчиненный, то статус этого сотрудника возрастает.
Аксиома 3. Статус сотрудника возрастает при его перемещении на несколько уровней выше. Тогда справедлива Теорема 1.2.1 [Кемени и Снелл 1972]. Мера статуса, определяемая формулой обладает следующими свойствами: 1) удовлетворяет аксиомам 1-3 для всех орграфов организационного типа; 2) если tD(u) - некоторая другая неотрицательная целочисленная функция, удовлетворяющая аксиомам 1-3, то tD(u) hD(u) .
Хотя аксиомы 1-3 выглядят вполне естественными, мера статуса (1.2.1) не лишена недостатков. В частности, легко привести пример, в котором статус начальника оказывается меньше статуса подчиненного [Роберте 1986:136]. Избежать этого недостатка можно, если считать уровнем v относительно и длину максимального, а не кратчайшего пути от и до v. В этом случае мера (1.2.1), основанная на новом определении уровня, удовлетворяет аксиомам 1-3, а также следующему условию.
Аксиома 4 . .Если v - непосредственный или нижестоящий подчиненный и, то hD(v) hD(u) [Кемени и Снелл 1972].
Однако более существенным недостатком меры статуса (1.2.1) представляется то, что она однозначно определяется формальной структурой организации (представляющим ее орграфом) и тем самым не учитывает более тонких моментов, связанных с принадлежностью сотрудника к различным неформальным группам в составе организации. Например, подчиненный может быть богаче начальника, принадлежать к влиятельному землячеству, находиться в дружеских или родственных отношениях с вышестоящим начальством и т.п. Для учета этих обстоятельств представляется целесообразным применять меру иерархического статуса с учетом расслоения организации. Введем предварительное
Определение 1.2.1. Расслоение S инвертно по отношению к расслоению S, если слой 1 расслоения S является слоем Lm в расслоении S , слой L2 из S - слоем Lm_! в S , и т.д.
Тогда мерой иерархического статуса вершины и в расслоении S орграфа организационного типа D=(V,A) будем называть функцию GSD : V х р -» Z, удовлетворяющую следующим аксиомам (здесь р - множество всех расслоений D).
Поясним содержательный смысл аксиом 1.2.1-1.2.3. Аксиома 1.2.1 означает, что если все подчиненные сотрудника и принадлежат к тому же слою данного расслоения, что и и, то мера статуса и в этом расслоении равна нулю. Аксиома 1.2.2 означает, что в упорядоченном расслоении (то есть согласованном с формальной структурой организации) мера статуса начальника всегда больше меры статуса подчиненного. Наконец, аксиома 1.2.3 утверждает, что инвертирование расслоения приводит к перемене знака статусов всех вершин. Для иллюстрации дополнительных возможностей меры статуса с учетом расслоения (1.2.2) по сравнению с традиционной мерой статуса (1.2.1) рассмотрим простой пример Значения традиционной меры статуса (1.2.1) для всех вершин определяются однозначно: h(l) =2, h(2) =h(3) =0. Мера иерархического статуса с учетом расслоения дает более богатые результаты. В соответствии с аксиомой 1.2.1 мера статуса вершин 2 и 3, не имеющих подчиненных, в любом расслоении равна нулю. А вот значение меры статуса «начальника» (вершины 1) существенно меняется в зависимости от расслоения (таблица 1.2.1).
Как видно из таблицы, значения меры статуса в каноническом расслоении Si совпадают со значениями традиционной меры статуса (это общий результат [Угольницкий 2000:53]). В других упорядоченных расслоениях S2 и S3 статус начальника также неотрицателен, но меньше, чем в каноническом расслоении. В неупорядоченных расслоениях S4 и S5 статус начальника становится отрицательным в связи с инверсией этих расслоений, то есть противоречием между формальной иерархией и иерархией групповой структуры организации.
Определение 1.2.2. Идеальное расслоение называется регулярным порядка к, если Li = к1-1 , i=l,...,m, к=1,2,...
Очевидно, регулярное расслоение порядка к некоторого орграфа возможно в том и только в том случае, если существует целое m такое, что число вершин в орграфе равно (km_1)/(k-l) (при к=1 число вершин равно т) , где т - число слоев в расслоении (рис.1.2.2).
Взвешенные мажоритарные игры на основе меры иерархического статуса
Иерархический статус сотрудника организации отражает его «вес», меру авторитета, возможность влиять на принятие решений в организации. Аналогичную количественную характеристику можно приписать не только отдельным индивидам, но и их группам. Очень важно иметь в виду, что влияние группы может оказаться большим, чем простая арифметическая сумма «весов» ее отдельных членов. Точно так же при объединении небольших групп в более крупные коалиции возникает дополнительный эффект, усиливающий влияние созданного объединения в организации. Для формализации указанных явлений естественно использовать математический аппарат теории кооперативных игр. Основную идею кооперации выражает свойство супераддитивности характеристической функции v(KuL) v(K) + v(L), KnL = 0 , согласно которому влияние объединения коалиций не меньше (а в большинстве случаев и строго больше), чем сумма мер влияния каждого участника объединения по отдельности. Для описания роли коалиционных объединений в организационной структуре образовательных (и иных) учреждений используем модель взвешенной мажоритарной игры [Роберте 1986]. Характеристическая функция взвешенной мажоритарной игры определяется следующим образом: где ki - количество «голосов», которым располагает і-й игрок, С - некоторая заданная доля «голосов» от их общего количества. Таким образом, те коалиции, которые набирают не меньше заданного числа «голосов», считаются «выигрывающими», а остальные коалиции - «проигрывающими».
В случае нашей модели в роли величины к± выступает мера иерархического статуса сотрудника і. Таким образом, общая формула (1.3.1) принимает вид где Gs(u) - мера иерархического статуса и в расслоении S. Соответственно, величина С может принимать целочисленные значения при условии 1 С Z Gs(u). Проанализируем взвешенные мажоритарные игры на основе меры иерархического статуса, возникающие в древовидной и ромбовидной организационных структурах. Модель древовидной организационной структуры представляет собой ориентированный граф, в котором каждая вершина имеет не более одной входной дуги. Существует единственная начальная вершина без входных дуг, соответствующая руководителю организации и обозначаемая номером 0. На расстоянии 1 от вершины 0 находятся Пі вершин первого уровня, на расстоянии 2 - п2 вершин второго уровня, ..., на расстоянии m - nm вершин m-ro уровня без выходных дуг. Предполагается, что ПІ 2ni_! , i = l,...,m (n0=l) . Обозначим через R({0}) множество вершин, достижимых из начальной вершины (очевидно, это множество всех остальных вершин орграфа), через Ni - множество вершин уровня і. Тогда справедливо представление
В случае двухуровневой древовидной структуры (m=l) взвешенная мажоритарная игра (1.3.2) является несущественной и не представляет интереса, поскольку все игроки, кроме руководителя, имеют нулевую меру иерархического статуса. Рассмотрим случай трехуровневой структуры (т=2), используя меру иерархического статуса в каноническом расслоении. Очевидно, здесь достаточно рассматривать два типа коалиций: Игроки из множества N2 не играют самостоятельной роли, но учитываются при вычислении статуса руководителей. Как показывает анализ, интерес представляют пять типов значений пороговой величины С. Найдем множество дележей I(v) и С-ядро C(v) взвешенной мажоритарной игры (1.3.2) для каждого из этих типов. Напомним [Роберте 1986], что в кооперативной игре п лиц с характеристической функцией v дележами называются векторы х= {xlr..., xn) , удовлетворяющие условиям индивидуальной рациональности С-ядро - это множество всех недоминируемых дележей, которое удобно находить с помощью характеристического условия При С п2/2 множество дележей пусто, поскольку (при двух игроках первого уровня) условия индивидуальной рациональности х0 1, хх 1, х2 1 несовместимы с условием Парето-оптимальности. Соответственно, пусто и С-ядро как подмножество множества дележей.
Модели оптимального синтеза организационной структуры по критерию качества обработки информации и по критерию близости решаемых задач
В результате проведенного анализа количественных моделей синтеза организационной структуры для дальнейших исследований и сравнительного анализа были выбраны две модели: модель оптимального синтеза организационной структуры по критерию качества обработки информации и модель оптимального синтеза структуры по критерию близости решаемых задач.
Модель оптимизации структуры по критерию качества обработки информации основана на следующих предположениях [Горстко, Угольницкий 2000; Угольницкий 2000]. Пусть имеется п элементов, осуществляющих сбор и первичную обработку данных. Собранные данные необходимо передавать в единый Центр (руководителю организации).
Очевидно, попытка непосредственного соединения Центра с каждым из первичных элементов при большом числе п (которое может достигать порядка сотен и даже тысяч) приведет к информационным перегрузкам Центра и его неспособности к обработке информации и принятию решений в реальном времени. Поэтому необходимо создать организационную структуру с несколькими промежуточными уровнями, осуществляющими агрегирование информации, устранение неточностей и искажений в данных, восполнение недостающих данных и другие операции обработки и анализа данных. Создание организационной структуры требует затрат, поэтому целесообразен оп тимизационный подход.
Для построения критерия оптимальности и ограничений примем следующие гипотезы: качество обработки информации в каждом подразделении организационной структуры убывает с увеличением количества входящих в него каналов передачи информации; качество информации снижается по мере перехода на более высокие уровни структуры; затраты на содержание подразделения возрастают с увеличением уровня иерархии от первичных элементов к Центру.
Для формализации выдвинутых гипотез представим организационную структуру в виде ориентированного графа Г(В,А), где В - множество вершин (структурных подразделений) , А - множество дуг (каналов передачи информации). В орграфе обязательно присутствуют вершина В0 (Центр) и вершины В1 , . . . , Вп (первичные элементы); выбор остальных вершин и соответствующих дуг является управлением оптимизационной задачи.
По смыслу задачи естественно считать, что множество вершин В представляющего организационную структуру орграфа разбивается на непересекающиеся подмножества (уровни) S0 , Sx , . . . , Sm таким образом, что для любой пары вершин BJ.GSP, BJ є Sq справедливо 3 Aij = р = q + 1, то есть дуги могут проводиться только от нижестоящего уровня к смежному вышестоящему; кроме того, каждая вершина имеет не более одной выходной дуги. Центр В0 не имеет выходных дуг, а первичные вершины Вг , ..., Вп - входных.
Поставим в соответствие каждой вершине Bj є В некоторый вес и будем считать его монотонно убывающей функцией f(Qj) числа Qj входных дуг для вершины Bj. Функцию f(Qj) можно интерпретировать как способность подразделения Bj обрабатывать поступающую в него информацию; она тем меньше, чем больше вершин находится в непосредственном подчинении Bj (известное понятие нормы управляемости). Тогда задачу построения оптимальной организационной структуры можно сформулировать следующим образом: найти удовлетворяющий указанному выше свойству орграф Г(В,А) с заданным числом п вершин на нижнем уровне, для которого
Постоптимальный анализ задач линейного программирования как метод совершенствования организационной структуры
Постоптимальный анализ задачи линейного программирования заключается в определении чувствительности найденного оптимального решения к изменению параметров исходной модели. Термин «постоптимальный» означает, что анализ проводится после нахождения оптимального решения задачи.
Известен ряд постановок задач постоптимального анализа [Таха 1985]: - анализ чувствительности к изменению правых частей ограничений (на сколько можно сократить запасы некоторого ресурса, чтобы сохранить неизменным или улучшить значение целевой функции); - анализ чувствительности к приращению ресурсов (увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно); - анализ чувствительности к изменению коэффициентов целевой функции (в каких пределах допустимы эти изменения и как они влияют на дефицитность ресурсов)? Наименее исследовано влияние изменений коэффициентов матрицы ограничений на значение целевой функции. Но именно изменение этих коэффициентов в наибольшей степени соответствует изменению «структуры» исходной задачи линейного программирования и поэтому может трактоваться как внесение изменений в организационную структуру. Наиболее наглядно это проявляется для так называемых строго иерархических задач линейного программирования [Угольницкий 1996]. Ориентированный граф D=(V,A) или, что то же самое, его матрица смежности А естественным образом определяют пару задач линейного программирования (ЗЛП): Строгая иерархичность орграфа означает отсутствие у него контуров и петель: в этом случае матрица смежности имеет верхнетреугольный вид. Транспонирование сохраняет свойство строгой иерархичности матрицы с точностью до перестановки составляющих ее блоков. Заметим также, что в любом строго иерархическом орграфе существует пг 1 вершин без входных дуг и nm 1 вершин без выходных дуг. Вершинам без входных дуг соответствуют нулевые столбцы в А, а вершинам без выходных дуг - нулевые столбцы в А .
Переменные ЗЛП, соответствующие нулевым столбцам, входят в левые части ограничений с нулевыми коэффициентами и могут прини мать любые неотрицательные значения. Поэтому во избежание неразрешимости ЗЛП переменные, соответствующие нулевым столбцам, следует исключать из целевой функции. Чтобы сохранить общий вид ЗЛП (2.3.1)-(2.3.3) и (2.3.4)-(2.3.6), положим эти переменные равными нулю. Пусть SH=(V,A) - строго иерархический орграф с п вершинами, квадратная матрица А= \а \ I порядка п - его матрица смежности, aij - вес дуги (у у- єА, Xj_ - значение вершины yiGV. Строго иерархической ЗЛП, порождаемой орграфом SH, называется ЗЛП вида (2.3.1)-(2.3.3), где х= (и, . . ., и, Xni+i, . . . хп) , С— ( U , . . . , U , СП]_+]_, . . . , Сп) , Ь= (bi, . . . , bn_nm, 0,...,0), nx, nm - число вершин в первом и последнем слоях SH соответственно. Аналогично, для двойственной ЗЛП (2.3.4)-(2.3.6) полагаем р= (рх, . . ., pn_nm, 0, . . ., 0) [Угольницкий 1996] . Рис.2.3.1. Иерархическая структура организации Как показано в параграфе 1.1 диссертации, строго иерархические орграфы (орграфы организационного типа) наиболее адекватно описывают структуру организации. Рассмотрим простой пример (рис.2.3.1).
