Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе построена математическая управляемая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы, исследована возможность управления рекламной деятельностью с целью получения желаемого результата. Проблема управляемости математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы сведена к проблеме локальной управляемости систем дифференциальных уравнений, содержащих управляющий параметр.
В последние десятилетия все сильнее ощущается потребность более детального изучения разнообразных процессов и явлений, что связано, в частности, с ограниченностью природных ресурсов, а прогресс в области вычислительной техники открывает принципиально новые возможности моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов.
Особый интерес и актуальность представляет проблема разработки методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается нелинейными системами дифференциальных уравнений. Не ослабевает интерес и к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости.
Значительный вклад в развитие математической теории управления внесли Калман Р.Е., Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Красовский Н.Н., Зубов В.И., Ли Э.Б., Маркус Л., Алексеев В.М., Тихомиров В.М. На создание математических основ решения задачи об управляемости систем существенное влияние оказали работы Воскресенского Е.В., Арутюнова А.В, Тонкова Е.Л. и многих других математиков.
Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории управления процессами. Несмотря на то, что изучению задачи управления посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы вызывают необходимость поиска новых методов решения задач управления. Так, наименее изученной остается задача управления для нелинейных систем. Следовательно, задача поиска условий, при которых математические модели, описываемые нелинейными системами дифференциальных уравнений, могут быть переведены в заранее заданное состояние, является актуальной.
Цель работы состоит в разработке методов определения условий локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений и применение их к исследованию математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы.
Методика исследования. Допустимые управления отыскиваются в виде вектор - функции, зависящей от фазовой переменной. Поставленная задача сво-
дится к поиску условий существования решения нелинейного операторного уравнения. Доказательство теорем об условиях существования управлений, удовлетворяющих задаче локальной управляемости системы дифференциальных уравнений, проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора.
Научная новизна. Предложена математическая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы, которая представима системой нелинейных дифференциальных уравнений. В формулировках теорем, определяющих достаточные условия локальной управляемости, отсутствуют предположения о полной управляемости системы линейного приближения. В диссертации получены новые достаточные условия локальной управляемости математических моделей, допустимые управления - непрерывные функции.
Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты представляют собой развитие методов математической теории управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений, могут быть использованы при исследовании математических моделей других реальных процессов, протекающих в природе и социуме, которые могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений с управляющим параметром.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Построение математической модели.
-
Достаточные условия локальной управляемости математической модели, установленные без использования фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной математической модели.
-
Достаточные условия локальной управляемости математической модели, полученные с помощью фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной математической модели.
4. Алгоритм решения задачи локальной управляемости математической
модели в критических случаях, с привлечением свойств нелинейных по управле
нию и фазовым переменным членов математической модели.
5. Результаты исследования конкретных математических моделей.
Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете имени С.А. Есенина, а также на следующих конференциях:
-
IV Молодежная научная школа - конференция "Лобачевские чтения -2005" (г. Казань, декабрь 2005 года),
-
XIII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (г. Дубна, январь 2006 года),
-
XI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанском государственном радиотехническом университете (апрель 2006 года),
4. Научная конференция "Герценовские чтения - 2006" (г. Санкт-
Петербург, апрель, 2006 года),
-
VII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, май 2006 года),
-
Всероссийская конференция по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям в Рязанском государственном университете (октябрь 2006 года),
-
Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, ноябрь 2006 года),
-
Семинар Средневолжского математического общества, научный руководитель - профессор Е.В. Воскресенский (г. Саранск, март 2007 года),
-
Третья Международная научная школа « Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ » (г. Саранск, июль 2007 года).
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в шестнадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложений и библиографического списка литературы, включающего 122 наименования. Общий объем диссертации-120 страниц машинописного текста.
