Содержание к диссертации
Введение 4
Глава 1. Проблемы и средства моделирования экономических процессов.. .Л4
Математическое моделирование экономической динамики 14
Модели экономической динамики, учитывающие технологический прогресс 26
Средства математического и эволюционного моделирования в прикладных задачах управления 33
1.4. Постановка задач исследования . 38
Выводы , 42
Глава 2. Управление одномерными системами экономической
динамики 43
2.1. Обобщенно-однородные производственные функции постоянной
эластичности замещения 43
2.1.1. Двухфакторная модель с обобщенно-однородными
производственными функциями 43
2.1.2. Обобщенная производственная функция Леонтьева 53
2.1.3. Обобщенная производственная функция Кобба-Дугласа 54
2Л .4. Обобщенная производственная функция Солоу 55
2.2. Модель сбалансированного роста 59
2.3. Оптимизация в обобщенной односекторной модели
экономической динамики Солоу 64
Решение уравнения модели с учетом убывающего фактора труд а....7 5
Расчет односекторной модели экономической динамики с применением квазиоднородных функций для железнодорожной отрасли 79
2.5Л. Метод идентификации параметров производственной
функции 79
Расчет параметров производственной функции 84
Расчет односекторной модели экономической динамики 89
Выводы 93
Глава 3. Управление в двухсекторных моделях экономики 95
Обобщенная модель Солоу-Мэнкыо 95
Асимптотический анализ модели двухсекторной макроэкономической структуры методом теории погранслоиных функций ..121
Принцип предпочтительности выбора вида транспорта на основе системы дифференциальных уравнений 150
Выводы 153
Глава 4. Задачи оптимального управления перевозками 155
Оптимизация использования подвижного состава частными перевозчиками 155
Генетические алгоритмы в задачах оптимизации управления на железнодорожном транспорте , 162
Постановка задачи . 162
Базовый алгоритм задачи нахождения оптимального маршрута , .166
Алгоритм решения задачи «Обязательное посещение» 168
4.2.4. Алгоритм решения задачи «Обязательный ремонт» 171
Выводы 176
Заключение 177
Библиографический список использованной литературы 178
Приложение 189
1. Программа реализации метода идентификации параметров
модели 189
2, Основные программы реализации генетических алгоритмов 196
Введение к работе
В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении хозяйственной деятельностью. Особую актуальность математическая поддержка стратегий управления приобретает в переходные моменты развития, при смене форм собственности, когда возможные ошибки могут в буквальном смысле слишком дорого обойтись.
Традиционно сферу экономико-математического моделирования разделяют на макро- и микромоделирование. Модели макроуровня описывают экономическую деятельность на уровне государства, отрасли, крупных фирм, производственных объединений. Микроуровень охватывает отдельные задачи текущей хозяйственной деятельности предприятий, компаний, не касающиеся глобального распределения ресурсов. Для таких мощных и динамично развивающихся систем, как транспорт, играющих первостепенную роль в национальном хозяйстве, в равной степени актуальны оба из этих направлений моделирования.
Несмотря на то, что жизнедеятельность реальной экономики не охватывается в достаточно полной мере рамками неоклассических моделей экономического роста, они являются одними из наиболее активно исследуемых в настоящее время. Это объясняется не только обращением к рыночным механизмам российской экономики, но в большей степени тем, что «неоклассическая теория, оперирующая объемами ресурсов и продукции, легче поддается математизации с помощью классического математического аппарата» [58]. Для принятия решений необходимо целостное представление о процессе, знание тенденций и траекторий развития. В пределах
применимости модели можно определить наиболее выгодные пропорции между фондами, быстро оценить результаты инвестиций.
Большинство исследований этого направления оперирует с линейно-однородными производственными функциями как с качественной основой моделей. Для них определены устойчивые состояния равновесия, решен ряд оптимизационных задач, доказаны теоремы магистрального типа. Однако эти модели обладают известными недостатками, приводящими порой к результатам, не имеющим реальной практической интерпретации. Поэтому большой интерес представляет исследование моделей, использующих более широкий класс производственных функций, например, квазиоднородных функций. При этом для изучения свойств объектов, представленных такими моделями, часто более важно исследование не собственно параметров производственных функций, а систем соотношений, например, дифференциальных уравнений, однозначно определяющих класс таких функций.
Известно, что устойчивое экономическое развитие невозможно без введения более совершенных технологий. Модели, не учитывающие научно-технический прогресс (НТП), показывают предельные значения объема фондов, которые не могут быть превзойдены экономическим организмом, дальнейшее их повышение приведет только к падению уровня жизни [76]. Учет технологического прогресса позволяет строить более адекватные, реалистичные модели. В современном индустриальном мире вклад НТП в экономический рост составляет, по разным оценкам, 70-90%, поэтому макромоделирование последних десятилетий все большее внимание уделяет показателям технического прогресса.
Существуют различные подходы учета технологий в моделях, начиная от включения динамических коэффициентов для основных факторов производственных функций, без объяснения их структуры и способов формирования, до построения сложных нелинейных систем, например,
эволюционного типа, учитывающих различные аспекты инновационной деятельности, объемы знаний, выраженные множеством патентов, и даже экономическую политику государства. Развитие, обусловленное НТП, демонстрирует нелинейные зависимости, опосредованные большим количеством обратных связей, границы которых зачастую не определены. Поэтому эволюционный подход в моделях экономической динамики, опирающийся на опыт моделирования сложных систем в технических и биологических науках, часто дает гораздо более реальные прогнозы [24].
Чем выше значимость процессов, описываемых моделью, тем актуальнее вопросы, касающиеся устойчивости получаемых решений. Цель исследования вопросов устойчивости сложной динамической системы — анализ ее поведения под действием незапланированных изменений во внешней среде или режиме управления. Речь идет как об изучении возмущений, возникающих в начальном состоянии или внешнем входе системы, так и возмущений в структуре самой системы. Практическая ценность этих исследований состоит в возможности прогнозировать критические состояния системы, моменты ее перехода на новый технологический уровень. Это позволяет, в свою очередь, не только предотвращать негативные последствия, такие как, например, падение темпов роста эффективности, но и направленно влиять на ход научно-технического прогресса.
Помимо макроэкономических проблем оптимального планирования, обеспечение надежной и безубыточной работы транспортной отрасли требует решения ряда прикладных оптимизационных задач, относящихся к проблеме оптимального управления перевозками. Проблема оптимизация перевозок включает как новые задачи, связанные с реформированием железнодорожного транспорта и сменой форм собственности, так и задачи традиционного направления, касающиеся составления оптимального расписания передвижения составов. Новые технологии, внедряемые на
транспорте, дают возможность применять при управлении вагонным парком математические методы, рассчитывающие пути максимизации прибыли. Такие насущные транспортные проблемы, как оптимизация графика оборота составов и выбора минимального по затратам пути, имеют, как известно, большую, не совместимую с масштабом проблемы, вычислительную сложность, поэтому для их решения требуются новые подходы, например, средства эволюционного моделирования.
Цель данной работы - построение и исследование математических моделей макро- и микроуровня, способствующих процессу принятия решений в экономике, в том числе и в управлении хозяйственной деятельностью транспортной отрасли. Реализация этой цели подразумевает решение следующих задач:
определение класса квазиоднородных производственных функций;
обобщение и последующее исследование односекторных неоклассических моделей экономической динамики для класса квазиоднородных производственных функций; решение для полученных моделей задач определения оптимального управления, максимизирующего удельное потребление при заданном горизонте планирования;
- обобщение и исследование двухсекторных моделей экономической
динамики, учитывающих технологический прогресс и инвестиции в НТП;
исследование двумерной транспортной модели, представляющей динамику выбора видов транспорта для определенного количества перевозок;
решение задачи об оптимальной взаимовыгодной коммерческой перевозке грузов разными грузоперевозчиками;
- решение задачи об оптимальном с точки зрения минимизации затрат
циклическом маршруте локомотива при условии, что каждый пункт
маршрута должен быть посещен один раз и некоторое подмножество пунктов
должно быть посещено в первую очередь;
- решение задачи об оптимальном с точки зрения минимизации расстояния (времени) циклическом маршруте подвижного состава при условии, что каждый пункт маршрута должен быть посещен один раз и через каждое фиксированное расстояние (время) состав должен посетить один из определенных пунктов для проведения техобслуживания или ремонта.
Объект исследования - процессы и модели экономической и производственной деятельности в транспортной отрасли.
Предмет исследования — континуальные и дискретные математические модели макро- и микроуровня, эволюционные модели.
Методы исследования: общие принципы математического моделирования, математический анализ и методы оптимизации, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория устойчивости по Ляпунову, численные методы и генетические алгоритмы.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
построено дифференциальное уравнение, определяющее параметрический класс квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замещения, частными случаями которых являются обобщенно-однородные функции Солоу, Кобба-Дугласа, Леонтьева;
для полученного класса функций обобщены и исследованы неоклассические модели экономического роста, для которых решены задачи оптимального управления, максимизирующего потребление, доказаны соответствующие теоремы о магистрали; для обобщенных моделей получены новые оптимальные значения, из которых известные результаты для линейно-однородных производственных функций могут быть выведены как частные случаи.
обобщена на случай факторизованных обобщенно-однородных функций двумерная модель Солоу-Мэнкью, учитывающая «человеческий капитал»; для этой модели и транспортной модели Дененбурга-де Пальма-
Кана, описывающей динамику выбора видов транспорта, впервые проведен полный анализ и детальное исследование устойчивости по Ляпунову;
для функционально-динамической двухсекторной модели НТП Кучина Б.Л., Якушевой Е.В. исследовано обобщение на случай инвестиций в НТП каждой из взаимодействующих отраслей; задача исследована на устойчивость первым методом Ляпунова, решена асимптотически с помощью метода погранслойных разложений А.Б. Васильевой и проанализирована по полученным формулам;
решена задача о взаимовыгодном перевозе грузов несколькими агентами - владельцами или арендаторами подвижного состава, для которой доказано существование безубыточной оптимальной организации перевозок по выбранному маршруту;
разработаны генетические алгоритмы поиска оптимального маршрута при соблюдении ряда условий, ограничивающих свободное перемещение между пунктами.
Содержание работы составляют введение, четыре главы, заключение и приложение.
В первой главе дается обзор некоторых средств и проблем моделирования экономических процессов и обосновывается постановка задачи. В 1.1 приводится краткий обзор существующих подходов к проблеме математического моделирования экономической динамики. В разделе 1.2 рассматриваются модели экономической динамики, учитывающие технологический прогресс. В 1.3 приводятся подходы к моделированию дискретных систем с помощью генетических алгоритмов. В разделе 1.4 обосновываются и формулируются задачи исследования.
Во второй главе строится параметрический класс квазиоднородных производственных функций, исследуются вопросы устойчивости и оптимального управления для ряда известных моделей экономической динамики и построенного класса производственных функций, приводится
расчет односекторной модели для железнодорожной отрасли. В 2.1 выводится дифференциальное уравнение для квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замены факторов, с учетом отдачи на масштаб и неравномерного растяжения по факторам. Строится решение этого уравнения, представляющее параметрический класс таких функций, параметром в которых является эластичность замены (2.1.1). Исходя из этого решения, выводятся обобщенно-однородные производственные функции Леонтьева (2.1.2), Кобба-Дугласа (2Л.З), и Солоу (2.1.4). Для полученного класса функций исследуется неоклассическая модель сбалансированного роста и рассматривается известная оптимизационная задача нахождения нормы накопления (отчисления), максимизирующая душевой доход (2.2). В 2.3 для этой же параметрической квази однородной производственной функции исследуется модель экономической динамики Солоу (вариант модели Рамсея). Доказывается асимптотическая устойчивость в целом положения равновесия уравнения модели. На полученной магистрали решается задача поиска оптимального управления, максимизирующего суммарное потребление для заданного горизонта планирования с условием достижения определенной величины обобщенной фондовооруженности, В 2.4 выводится аналитическое решение уравнения этой модели для квазиоднородной функции Кобба-Дугласа в случае убывающего фактора труда. В разделе 2.5 строится модель с квазиоднородной производственной функцией Солоу для железнодорожной отрасли. В 2.5.1 приводится метод идентификации параметров моделей, доказывается корректность этого метода. В 2.5.2 оцениваются параметры обобщенно-однородной производственной функции Солоу с использованием этого метода и процедуры бутстрэпа. В 2.5.3 приводятся результаты численного расчета модели.
В третьей главе исследуется ряд более сложных по размерности моделей двухсекторных экономических структур, с учетом НТП. В 3.1 обобщается и исследуется модель Солоу-Мэнкью, в которой в качестве
третьей независимой переменной производственной функции вводится «человеческий фактор», фактически представляющий собой долго высококвалифицированного труда в его общем объеме. Обобщение касается использования квазиоднородных производственных функций вместо классической функции Кобба-Дугласа, представления модели в виде произведения двух однофакторных функций, одна из которых описывает эволюцию физического капитала, а вторая - человеческого и снятия ограничений на равенство коэффициентов амортизации факторов. Модель исследуется на устойчивость найденных положений равновесия для различных сочетаний типов функций в произведении. Здесь же приводятся примеры численных расчетов для различных значений показателей. В 3.2 исследуется функционально-динамическая модель НТП [68], математической формой которой является система нелинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа, управление в которой реализуется механизмом обратных связей. Анализируется двухсекторная макроструктура, моделирующая взаимодействие через НТП двух смежных отраслей. В модели учитывается влияние инвестиций в НТП для каждой отрасли. Дается исследование устойчивости системы по Ляпунову и рассматривается процесс самоорганизации в этой двумерной структуре. Для этого проводится асимптотический анализ системы уравнений и определяется приближенное решение методом погранслойных разложений Васильевой [22, 87]. Приводятся результаты расчетов по построенным асимптотическим формулам. В 3.3 решается задача выбора оптимального вида транспорта при перевозке грузов. Используется транспортная модель [99], в которой снимается ряд существенных исходных ограничений. Полученное обобщение модели исследуется на устойчивость выделенных положений равновесия.
Четвертая глава содержит решение ряда задач оптимизации управления перевозками. В 4.1 решается задача взаимовыгодного перевоза заданного набора грузов несколькими агентами. Доказывается возможность безубыточной организации перевозки всех грузов из заданного набора по
выбранному маршруту. В 4.2 рассматриваются задачи нахождения оптимального пути с учетом различных практических ограничений, не вписывающихся в рамки классических постановок. Эти задачи решаются с помощью генетических алгоритмов. В 4.2.1 приводится общая постановка задачи. В 4.2.2 задается новый генетический алгоритм решения известной задачи коммивояжера, служащий основой последующих решений; доказывается корректность применяемого оператора кроссинговера. В 4.2.3 решается задача поиска минимального по затратам маршрута, в котором в первую очередь должны быть посещены пункты (города) из заданного набора. Данная проблема возникает, в частности, в системах управления на сортировочных станциях при выборе пути маневрового локомотива. Задача решается с помощью двухточечного кроссинговера, перемешивающего отдельно первоочередные и оставшиеся города. В 4.2.4 определяется наименьший по протяженности маршрут, в котором состав обязан периодически становиться на техобслуживание или плановый ремонт в одном из заданных пунктов. Для решения задачи использовалась модификация целевой функции - длины (стоимости) маршрута. Стоимость регулируется с помощью системы штрафов, добавляемых к вычисляемой длине маршрута. Величина штрафа пропорциональна отклонению от «идеального» по отношению к расположению ремонтных городов варианта.
В заключении приведены основные результаты работы.
Приложение содержит основные коды программ, реализующих предложенные алгоритмы.
Полученные результаты апробированы в докладах всероссийского семинара «Экология. Экономика. Информатика» (Дюрсо, 1999; Дюрсо,2000), 23-ей международной школы-семинара «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Дивноморск, 2000), второго, третьего четвертого и пятого всероссийских симпозиумов по прикладной и промышленной математике (Самара,2001; Йошкар-Ола, 2002; Сочи, 2003, 2004), X международной конференции «Математика. Экономика,
Образование» (Дюрсо, 2002), международного семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002), XXX всероссийской школы-семинара «Экология. Экономика. Экспертиза. Информатика» (Ростов-на-Дону, 2002), всероссийской конференции «Вклад ученых вузов в научно-технический прогресс на железнодорожном транспорте» (Самара, 2003), VI всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2002), отраслевых и всероссийских научно-теоретических конференций «Транспорт-2002», «Транспорт-2003», «Транспорт-2005» (Ростов-на-Дону, 2002-2005).
Все основные результаты опубликованы в работах [28-31, 35-44, 46-55].
Результаты работы применимы для моделирования, прогнозирования и управления хозяйственной деятельностью как макроэкономических объектов, так и отдельных предприятий и объединений, в том числе транспортной отрасли. Разработанные алгоритмы и программы позволяют оценить текущее состояние основных экономических показателей крупных транспортных компаний, а также определить оптимальные стратегии управления в конкретных задачах организации перевозок.
Результаты диссертационной работы используются в Ростовском филиале ВНИИАС при разработке систем автоматизации управления сортировочными станциями, учебном процессе РГУПС, а также приняты к внедрению на Северо-Кавказской железной дороге — филиале ОАО «РЖД». Акты о внедрении и использовании результатов работы приведены в диссертации.
