Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ предпочтений и методов их обработки в матрицах парных сравнений 13
1.1. Анализ матриц парных сравнений 13
1.1.1. Порядковое предпочтение 13
1.1.2. Интенсивность предпочтения 15
1.1.3. Балльные предпочтения 16
1.1.4. Выигрыши/потери 16
1.1.5. Кратность предпочтений 17
1.1.6. Сопоставление типов предпочтений 18
1.1.7. Преобразование типов предпочтений 20
1.2. Методы расчета приоритетов 21
1.2.1. Построчное суммирование 21
1.2.2. Итеративный метод 22
1.2.3. Логарифмическое усреднение 24
1.2.4. Вероятностная модель 24
1.2.5. Метод наименьших квадратов (LSM) 25
1.2.6. Метод наименьших логарифмических квадратов (LLSM) 26
1.3. Показатели согласованности предпочтений 26
1.3.1. Порядковая согласованность 27
1.3.2. Коэффициент согласия 29
1.3.3. Кардинальная согласованность 30
1.3.4. Показатель с3 33
1.3.5. Согласованность матриц интенсивности предпочтений 33
1.4. Методы улучшения согласованности предпочтений 35
1.4.1. Улучшение порядковой согласованности матрицы 35
1.4.2. Относительная согласованность и относительная ошибка 36
1.5. Доопределение неполных матриц 38
1.5.1. Актуальность доопределения матриц 38
1.5.2. Доопределение матриц с кратными предпочтениями 39
1.5.3. Доопределение матриц фактов предпочтений 40
1.6. Выводы по первой главе 41
Глава 2. Разработка системы показателей и методов обработки матриц парных сравнений 43
2.1. Преобразование типов предпочтений 43
2.1.1. Преобразование матриц фактов предпочтений 43
2.1.2. Преобразование матриц интенсивности предпочтений 45
2.1.3. Преобразование матриц кратности предпочтений 46 -
2.1.4. Преобразование матриц выигрышей/потерь 47
2.2. Разработка показателей для экспертных и турнирных матриц 47
2.2.1. Порядковая согласованность 47
2.2.2. Количественная согласованность 49
2.2.3. Предпочтения «Выигрыши/Потери» 51
2.2.4. Устойчивость в предпочтениях 53
2.3. Метод расчета приоритетов для МПС различных типов 54
2.4. Доопределение матриц кратности предпочтений 56
2.4.1. Доопределение по собственному числу матрицы 56
2.4.2. Доопределение по определителю матрицы 58
2.4.3. Аналитическое решение задачи доопределения матрицы 69
2.5. Выводы по второй главе 78
Глава 3. Система вычисления приоритетов 80
3.1. Назначение системы... 80
3.2. Архитектура СВП ..81
3.3. Работа в системе вычисления приоритетов 89
3.3.1. Вход в систему вычисления приоритетов... ..89
3.3.2: Выбор типа и режима ввода предпочтений ..90
3.3.3. Ручной ввод предпочтений... 92
3.3.4. Анализ согласованности предпочтений 93
3.3.5. Расчет приоритетов .' 96
3.3.6: Вывод результатов.:. 97
3.4. Выводы по третьей главе...97
Глава 4. Экспериментальное исследование свойств матриц парных сравнений ... 99
4.1. Планирование экспериментов... 99
4.2. Оценивание влияния типа предпочтений на приоритеты. 100
4.3. Анализ согласованности предпочтений... 103
4.4. Оценивание влияния параметров расчета на приоритеты 104
4.4.1. Влияние масштабного коэффициента 104
4.4.2. Влияние степени взаимодействия сущностей 106
4.5. Оценка определителя в качестве целевой функции доопределения матрицы кратности предпочтений ... .110
4.5.1. Методика эксперимента 110
4.5.2. Алгоритм экспериментального исследования 113
4.5.3. Результаты экспериментального исследования 114
4.6. Выводы по четвертой главе 115
Глава 5. Задачи, решаемые в системе вычисления приоритетов 116
5.1. Технология решения задач системой вычисления приоритетов 116
5.2. Анализ ошибок экспертов в задаче ВАР 117
5.3. Анализ результатов турнира- 120
5.4. Реализация метода анализа иерархий в системе СВИРЬ-СВП 126
5.5. Лабораторная работа по теории,принятия решений 130
5.6. Определение важности критериев в задаче определения динамики развития ОАО РЖД 134
5.6.1. Структура показателей ОАО РЖД 134
5.6.2. Метод оценивания динамики функционирования отрасли 135
5.6.3. Вычисление важности критериев на основе матрицы парных сравнений 136
5.7. Выводы по пятой главе 142
Заключение 144
Приложение. Частичный листинг системы вычисления приоритетов 146
Список литературы 163
Публикации по теме работы 169
- Относительная согласованность и относительная ошибка
- Метод расчета приоритетов для МПС различных типов
- Оценка определителя в качестве целевой функции доопределения матрицы кратности предпочтений
- Вычисление важности критериев на основе матрицы парных сравнений
Введение к работе
Актуальность проблемы. Любое принятие решения сводится к многокритериальному выбору альтернатив при поиске наилучших вариантов решения проблемы, либо лучших, средних и худших объектов при анализе итогов деятельности. Если подведение итогов деятельности осуществляется на основе известных значений показателей, то стадия планирования характеризуется высокой степенью неопределенности. В условиях динамичных преобразований общества вызывает затруднения использование статистических данных на стадии планирования. В качестве альтернативы использованию статистики выступают экспертные оценки проблем, как количественные, так и качественные.
Для решения проблем с высокой степенью неопределенности Томас Саати предложил метод анализа иерархий (МАИ). Он основан на применении матриц парных сравнений (МПС). В отличие от абсолютных значений показателей, применяемых в задачах оптимизации, в МПС используется шкала отношений. Метод анализа иерархий характеризуется небольшим количеством альтернатив (как правило, не более десятка) и экспертным заданием предпочтений. Т. Саати ограничивается применением только целочисленной кратности предпочтений -превосходством одной сущности над другой в 2, 3, ..., в 9 раз.
Исследования Т. Саати продолжили А.В. и О.Н. Андрейчиковы, В.Г. Тоценко, М.А. Плаксин, СИ. Колесникова и другие ученые. Метод анализа иерархий (МАИ) получил большое распространение при решении экономических задач. Описание МАИ приводится в большом числе работ различных авторов: А.Н. Павлов, Э.Н. Ожиганов, Hamdy A. Taha и др. Однако применение матриц парных сравнений не ограничивается методом анализа иерархий. Они получили и самостоятельное применение - при определении весовых коэффициентов критериев в системном анализе и методах скалярной оптимизации, при анализе результатов турниров, определении групповых предпочтений экспертов и пр. В этих задачах МПС не ограничиваются только кратностью предпочтений. Помимо нее при формировании МПС применяются порядковые и балльные предпочтения, интенсивности предпочтений, а также соотношения выигрышей и потерь. В определение свойств матриц этих типов внесли вклад Б.Г. Миркин, М. Кендэл, Е. Herrera-Viedma, F. Herrera, S. Alonso и другие ученые.
При экспертном заполнении матриц парных сравнений любого типа приходится решать две задачи: определять согласованность введенных предпочтений и доопределять частично заданные матрицы. Обе задачи связаны с размерностью матриц. Согласно пределам своей оперативной памяти человек может безошибочно заполнить 7+2 клеток матрицы. Этому количеству клеток соответствует размерность симметричной матрицы от 4x4 до 5x5. А уже при сопоставлении десяти альтернатив необходимо заполнять N(N — 1)/2 = 45 клеток, что практически невозможно выполнить без ошибок. Для определения процента ошибок эксперта применяются коэффициенты согласованности, а в качестве меры борьбы с ошибками применяется частичное заполнение матриц.
Остальная часть клеток доопределяется с использованием показателя согласованности. Задачи определения согласованности и доопределения предпочтений решались различными методами следующими учеными: В.Г. Тоценко, P. Harker, К. Nishizawa, J. Barzilai, М. Fedrizzi, М. Brunelli, S. Giove, Z. Xu и др.
Конечной задачей использования матриц парных сравнений является расчет приоритетов альтернатив. Эта задача решалась для разных типов предпочтений с учетом и без учета «сил сущностей» следующими учеными: Б.Г. Миркиным, Т. Саати, К.О. Coggerand, P.L. Yu, R.E. Jensen, К. Sekitaniand, N. Yamaki, S. Bozoki и др.
Анализ исследований показал их различную степень полноты для матриц разных типов, а исследователи ограничивались матрицами с определенным типом предпочтений. Для каждого из типов предпочтений получены некоторые частные результаты в решении перечисленных задач. Однако на практике трудно ограничиться каким-то одним типом предпочтений. В частности, такой тип, как кратность предпочтений, в литературе неоднократно подвергался критике. Каждый из типов предпочтений имеет свои достоинства и недостатки. В связи с этим актуальной научной задачей является анализ предпочтений на основе МПС с различными типами предпочтений, включающий расчет приоритетов сущностей, исследование согласованности матрицы, алгоритмы оптимального доопределения не полностью заданных матриц. Наряду с удобством задания предпочтений, систематизация и унификация решения всех задач на матрицах парных сравнений дает возможность сравнивать результаты, получаемые на матрицах различного типа, что представляет как научный, так и практический интерес.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются свойства матриц парных сравнений с различными типами предпочтений, предназначенных для вычисления приоритетов сущностей. Предметом исследования являются методы заполнения и анализа содержимого матриц, их доопределения, и расчета на основе введенных предпочтений приоритетов сущностей.
Цель работы. Создание математического и алгоритмического обеспечения по анализу содержимого МПС с различными типами предпочтений и расчету приоритетов сущностей в задачах принятия решений.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
проанализировать состояние исследований по изучению свойств матриц парных сравнений;
формализовать процедуры преобразования предпочтений;
разработать систему показателей, характеризующих содержимое как экспертных, так и турнирных матриц с различными типами предпочтений;
разработать методы доопределения не полностью заданных матриц;
унифицировать методы вычисления приоритетов сущностей.
На основе полученных математических моделей и алгоритмов ставится задача разработать систему вычисления приоритетов (СВП). Система
вычисления приоритетов сущностей должна рассчитывать матрицы с любым типом предпочтений и источником исходных данных, как экспертных, так и объективных.
В составе системы выбора и ранжирования СВИРЬ-Р система вычисления приоритетов должна вычислять весовые коэффициенты критериев в методах скалярной оптимизации и реализовывать метод анализа иерархий (МАИ) с числом уровней не менее пяти. Принципиальной особенностью реализации МАИ является использование любых типов предпочтений в каждой матрице иерархии. Матрицы могут заполняться как экспертами, так и итогами взаимодействия сущностей. Размерность матриц в принципе не ограничена (до десятков сопоставляемых сущностей). На приоритет сущностей должны оказывать влияние степень их взаимодействия, и различимость.
Методы исследования. Для исследований в работе использовались методы системного анализа, теории множеств, теории графов, линейной алгебры и математической статистики.
Научной новизной обладают:
обобщенная модель парных сравнений, содержимое которой может отражать любые типы предпочтений;
введенные показатели согласованности предпочтений:
коэффициент порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностей;
показатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности;
3. введенные показатели, характеризующие взаимодействие активных
сущностей (спортивных команд, экономических субъектов и т.п.):
показатель устойчивости (стабильности) активной сущности;
показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц;
4. методы доопределения частично заданных матриц кратности
предпочтений, основанные на решении оптимизационной задачи по
критерию согласованности предпочтений. Они различаются целевыми
функциями (максимальное собственное число и определитель матрицы) и
способами (итерационный и аналитический) нахождения неизвестных
элементов матрицы.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается экспериментальными доказательствами основных положений работы и практической апробацией предложенных моделей и методов на реальных данных при решении практических задач на разработанной автором системе вычисления приоритетов и инструментальной системе СВИРЬ-Р.
Практическая значимость состоит в использовании полученных результатов на практике для оценки эффективности работы железных дорог, и в учебном процессе в курсе «Теория принятия решений», что подтверждено соответствующими документами о внедрении.
Реализация и внедрение результатов работы:
программно-методический комплекс «Система вычисления приоритетов» использован в рамках научно-исследовательской работы «Оказание информационно-справочных услуг по организации взаимодействия обособленных региональных структур враках единого технологического процесса железнодорожных перевозок на территории Красноярской железной дороги» (акт внедрения от 13.10.2011);
используется в ПГУПС в составе инструментальной системы СВИРЬ для выполнения лабораторных работ в курсах «Методы и алгортимы принятия решений», «Теория принятия решений» и «Методы принятия решений» (акт внедрения от 07.10.2011).
На защиту выносятся:
обобщенная модель парных сравнений, реализующая различные типы предпочтений;
показатели согласованности предпочтений:
коэффициент порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностей;
показатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности;
3. новые показатели, характеризующие взаимодействие активных
сущностей:
показатель устойчивости (стабильности) активных сущностей, отражающий число циклов, проходящих через вершины графа, соответствующие этим сущностям;
показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц;
методы доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений;
разработанная программная система вычисления приоритетов. Апробация работы. Результаты исследований докладывались на
студенческих конференциях «Неделя науки» (ПГУПС, 2005, 2006, 2007 гг.), международных конференциях «Мягкие вычисления и измерения (SCM)» (2005 и 2006 года), Х-й СПб.конференции «Региональная информатика-2006», конференции IEEE AIS'07 и CAD-2007, IV-й научно-практической конференции ИММОД-2009, 8-й Российской конференции «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (1СAM)» (2010 год).
Публикации. По материалам диссертационной работы имеется 10 публикаций, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5-ти глав с краткими выводами, заключения, приложения и списка литературы, включающего 63 наименования. Работа изложена на 170 страницах, включающих 38 рисунков и 28 таблиц.
Относительная согласованность и относительная ошибка
Очевидным требованием к вычислению величин не заданных экспертами предпочтений является не возникновение противоречий. Применительно к матрицам кратности предпочтений это означает не нарушение количественной транзитивности предпочтении. Невыполнение этого. условия влечет ухудшение согласованности предпочтений. Таким образом, доопределение матрицы, кратности предпочтений сформулируем как задачу оптимизации величин неизвестных предпочтений по критерию- их согласованности. В качестве целевой .функции- будем принимать меру несогласованности предпочтений, подлежащую минимизации.".Рассмотрим, методы заполнения пустых клеток матриц, различающиеся показателем; принятым за меру несогласованности предпочтений и способом решения оптимизационной задачи.
Одним из показателей; определяющих меру несогласованности предпочтений, является отклонение максимального собственного числа Ятах матрицы от ее размерности N, названное Т. Саати индексом согласованности.
Рассмотрим доопределение матрицы на основе ее максимального собственного числа. Поскольку для достаточно согласованных матриц Ятах N, задача оптимизаций сводится к минимизации максимального собственного числа при поиске наилучшего доопределения матрицы. Будем рассматривать собственное число матрицы как функцию от неизвестных элементов верхней треугольной матрицы. При этом элементы нижней треугольной матрицы связаны с элементами верхней треугольной матрицы соотношением (1.11), так как матрица является матрицей кратности. Решением задачи доопределения являются аргументы собственного числа, приводящие к его минимальному значению. Расчет , минимума- собственного числа сложно выразить аналитически. В. отсутствие аналитического задания функции собственного числа от нескольких аргументов задачу поиска минимума функции нескольких аргументов будем решать итеративно. 1. Назначим всем аргументам произвольные значения из области определения функции. 2. Найдем значение первого аргумента, при неизменности всех остальных, приводящего функцию к минимальному значению. 3. Заменим значение первого аргумента функции на найденное. 4. Повторим действия 2 и 3 для всех аргументов. 5. Повторим действия 2-4 до тех пор, пока расстояние между вектором аргументові текущей и предыдущей итерации шага 5 не станет ниже порогового. Проблемой подобного решения является то, что при существовании у функции нескольких локальных минимумов не гарантировано нахождение аргументов, доставляющих функции глобальный минимум. Конкретизируем итеративный метод следующим алгоритмом. 1. Незаполненные клетки в предъявленной для доопределения матрицы кратности предпочтений заполняются единицами. 2. Найдем значение первой предъявляемой для доопределения ячейки верхней треугольной матрицы: 4. Повторим действия 2 и 3 для всех пар элементов. 5. Повторим действия 2-4 до тех пор, пока расстояние между векторами элементов матрицы или, разница максимальных собственных значений матрицы на текущей и предыдущей итерации шага 5 не станет ниже порогового. В результате выполнения алгоритма будет получена матрица максимальным значением функции оценки согласованности. Минимизация максимального собственного числа матрицы не только не гарантирует нахождения глобального минимума, но и обладает высокой вычислительной сложностью, связанной с нахождением Атах. Меньшую вычислительную сложность- имеет алгоритм нахождения определителя матрицы. Обоснуем возможность его использования в качестве показателя согласованности предпочтений, введя понятие контура. Он представляет собой расширение понятия цикла предпочтений длиной 3 на большее число элементов и двустороннюю направленность предпочтений. В пункте 1.3.1 рассматривался показатель порядковой согласованности, рассчитывающийся по числу 3-циклов (циклов длиной 3) в графе, соотнесенном матрице. Там же было показано, что при расчете порядковой согласованности матрицы достаточно 3-циклов и можно не рассматривать более длинные циклы. В то же время, для расчета согласованности можно использовать и другие показатели, в том числе включающие более длинные циклы. РУДем называть такие контуры встречными. Фактически они оба описывают один и тот же контур верхней треугольной матрицы. Для встречных контуров условием согласованности будет: Определитель матрицы состоит из суммы слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Соответственно, каждое слагаемое состоит из сомножителей, число которых равно размерности матрицы.. При этом, для МПС КП. каждое из слагаемых определителя4 представляет собой один из следующих элементов: - /-контур; - Z-контур, умноженный на степень элемента главной диагонали ad; - произведение несвязанных контуров; - произведение несвязанных контуров, умноженное на степень элемента главной диагонали ad; - степень элемента главной диагонали ad. Обозначим (Pfc)w сумму произведений элементов всех возможных направленных -контуров из" графа размерностью N.- Например, рассмотрим значение (Р3)3з (Р3)4 и (Р4)4:
Метод расчета приоритетов для МПС различных типов
Программа состоит из загрузчика (Bootstraper) и подключаемых модулей (plug-ins). Загрузчик является запускаемым .exe-файлом. Его задача -обнаружение подключаемых модулей и их инициализация в соответствии с зависимостями (модули могут зависеть друг от друга и требовать инициализации в определенном порядке). Также к задачам загрузчика относится создание основного ІоС-контейнера. В качестве ІоС-контейнера используется Unity 2.1 и MEF взаимодействующие с использованием слоя интеграции из библиотеки MEFContrib.
Инверсия управления (Inversion of Control, IoC) — важный принцип объектно-ориентированного программирования, используемый для уменьшения связанности в компьютерных программах и входящий в пятерку важнейших принципов SOLID, Модули верхних уровней не должны зависеть от модулей нижних уровней. Модули обоих уровней должны зависеть от абстракций. Абстракции не должны зависеть от деталей, а детали должны зависеть от абстракций. Если объект х (класса X) вызывает методы объекта у (класса Y), то X зависит от Y. Зависимость.может быть обращена введением третьего класса, а- именно интерфейсного класса I, который должен содержать все методы, которые х может вызвать у объекта у. Кроме того, Y должен реализовать интерфейс I. X и Y сейчас оба зависят от I, и класс X более не зависит от класса Y; предполагается, что X не реализует I. Это исключение зависимости класса X от Y- введением интерфейса I называется Inversion of Control (или Dependency Injection (DI)) [55,56]. Следует отметить, что Y может зависеть от других классов. До внесения изменений X зависел от Y, таким образом X косвенно зависел от всех классов, от которых зависит Y. Применением .Inversion: of Control всё эти косвенные зависимости также были разорваны,—г не только зависимость X от Y..Новый интерфейс I ни от чего не зависит.
Unity представляет собой облегченный, гибкий, настраиваемый и расширяемый контейнер внедрения -: зависимостей, который поддерживает внедрение конструктора, метода задания свойств и вызова метода (а также перехват экземпляра: и типа). Этот контейнер предоставляется как неотъемлемая часть библиотеки Enterprise Library и доступен также в виде изолированного механизма;. DI. Unity предоставляет широкий набор возможностей; и облегчает реализацию общих шаблонов инверсии зависимостей и,методы, которые полезны в- проектировании, и разработке архитектуры приложения:
Unity предоставляет контейнера предназначенный для хранения сопоставлений: типов и. регистрации;, Можно, создать несколько контейнеров- и при, необходимости вложить эти контейнеры в иерархическом порядке;, Единица также поддерживает расширения, которые позволяют; реализовать дополнительные функциональные возможности для объектов, разрешенных через контейнер.\ Unity может создавать экземпляры любого объекта, у которого, есть% открытый конструктор (другими словами, объекты, которые можно создавать с помощью оператора new).
Поскольку Unity создает каждый объект, он: проверяет, существуют ли в нем зависимости, и автоматически их заполняет. Таким образом,, например, если задан параметр дляд .конструктора или зависимого свойства пользовательского класса типа MyBiisinessComponent, Unity создает экземпляр MyBusinessComponent и заполняет конструктор5 или свойство: Однако если MyBusinessComponent определяет зависимость от другого класса с именем MyDataComponent, Unity будет создавать экземпляр этого класса и заполнять эту зависимость.и;т. д. В случае отсутствия сопоставления в контейнере для типа, указанного в параметре или свойстве,. Unity просто создает новый экземпляр заданного типа путем вызова конструктора того типа, в котором наибольшее число параметров, и возвращает его. Предположим, для- iS/fyDataComponerit требуется LogWriter, чтобы создать сообщения в журнале. Если он содержит зависимый параметр или свойство типа LogWriter, Unity заполнит его как часть процесса создания экземпляров. Для реализации инверсии управления. могут использоваться IoG-контейнеры. Программное обеспечение запрашивает объект из контейнера, и контейнер создает объект и его зависимости. . Платформа:Managed Extensibility Frarheworkj или MEF,-это библиотека для создания простых расширяемых приложений. Она позволяет разработчикам приложений находить и" использовать расширения без каких-либо настроек.. Кроме, того; ,дает. разработчикам; расширений возможность легко-инкапсулировать код .-и избежать использования ненадежных жестких. зависимостей. MEF не только позволяет; использовать зависимости повторно, но и дает возможности применять их вразличных приложениях.
Платформа. MEF позволяет вместо явной регистрации: доступных компонентов;-обнаруживать их неявным образом-посредством; композиции. В компоненте MEF под названием- часть {party декларативным путем задаются как его зависимости (которые называются импортируемыми компонентами (imports)); так и: предоставляемые» им- возможности (которые называются экспортируемыми/компонентами (exports)). При создании части обработчик композиций .. MEF использует в качестве: импортируемых компонентов элементы, доступные в других частях (см. рис. 3:1).
Поскольку возможности частей MEF задаются декларативно,, они могут быть обнаружить -в среде выполнения, а это означает, что приложение может использовать части без жестко кодированных ссылок или-ненадежных файлов конфигурации.. Платформа MEF позволяет приложениям обнаруживать и анализировать части по их метаданным, без создания их экземпляров и даже без загрузки их сборок. Следовательно, нет никакой необходимости четко задавать время и способ загрузки расширений.
Оценка определителя в качестве целевой функции доопределения матрицы кратности предпочтений
Для получения информации? о :реальном;соотношениш сил соперников; будем использовать матрицу/ парных, сравнений;; «Выигрыши/Потери». В качестве примера: анализа; турнирной таблицы возьмем: результаты чемпионата России: по футболу за 2009-й год;, в .котором развернулосьv острое соперничество команд, находящихся в верхней и нижней? части таблицы. Итоговая: таблица чемпионата (по набранным очкам) приведена,в табл. 5.1. В правой части таблицы указаны, суммы набранных очков и полученные на их основе места. Две пары команд, Зенит и Локомотив, Амкар и Терек, набрали равные суммы очков; соответственно 54 и 33. Для присуждения- мест были привлечены. результаты .личных "встреч между этими, командами. Эта информация не учитывает реальных сил соперников. Действительно, даже в начале футбольного сезона не все равно, с какой командой встречается Зенит — с Рубином или Ростовом; занявшим противоположные места1 по результатам прошлогоднего первенства...Тем более, распределение мест только по сумме очков не отражает сил; соперников, когда известны результаты встреч между всеми; командами в конце сезона.
Исчерпывающую информацию os силе команд можно получить по графику динамики приоритетов, отражающему степень взаимодействия команд (см. рис. 5.1) [61]. На оси абсцисс этого графика отложена степень матрицы к в логарифмической шкале, а на оси ординат — приоритет сущностей в абсолютной шкале [0, 1]. Вертикальная линиям на рис. 5.1 соответствует возведению матрицы парных сравнений в,первую степень (в нулевую степень в логарифмической шкале), что соответствует обычному способу определения! мест команд по итогам чемпионата. На ней пересекаются линии приоритета команд, получивших одинаковые суммы очков.
Вектор,- вычисляемый возведением- матрицы в первую степень (к = 1), отражает взаимодействие рассматриваемой сущности с N — 1 остальными сущностями. При к - оо процесс вычисления вектора, w сходится к положительному собственному вектору, отвечающему максимальному вещественному собственному числу матрицы А. Интерпретации возведения в к-ю степень матрицы предпочтений прохождением пути длины к в графе предпочтений соответствует охват взаимодействия все; большего числа сущностей. Случай к -» со гарантирует учет взаимодействия г. каждой .сущности . с каждой. Применительно к футбольному, первенству это означает учет результатов игр всех команд между собой:. Иными словами,, при сопоставлении -й команды с /-й- учитываются результаты их встреч с другими командами, т.е. сила ї-й и у-й команд. При к - 0 компоненты вектора приоритетов.w сходятся к величине 1/N.
При «нормативном» поведении команд, когда взаимодействие команд соответствует их. статусу (более слабая команда всегда уступает более сильной команде), кривые приоритетов не пересекаются и имеют монотонный; характер. При «ненормативном» поведении команды правая от точки 0 часть графика приоритетов, соответствующая возведению МПС в положительную степень, отражает: выигрыши более слабых команд у сильных: Левая от точки 0 часть графика приоритетов; соответствующая возведению МПС в отрицательную степень, отражает проигрыши сильных команд более слабым: Таким образом; график приоритетов, предоставляет качественную, картину поведения команд относительно ихстатуса; втом:числе йаномальное поведение [62].
Из графика следует, что Локомотив, помещенный?на-четвертое место, занял бы второе место с учетом успешной игры с сильными командами;, опередив. Спартак, набравший на одно очкоабольше: Аналогична ситуация с Амкаром. С учетом успешной.игры с более сильными командами он4 мог бы- опередить Ростов иСпартак,(Нальчик): Сопоставление мест, занятых без учета и с.учетом их силы соперников, показано на рис. 5:2. Точки по диагонали графика соответствуют местам, занятых командами без учета сил соперников (база сравнения);, а точки вне: диагонали означают изменение мест с учетом силы соперников. Силу команд можно уточнить, анализируя информацию о забитых и пропущенных мячах. Этот показатель характеризует уравновешенность линий нападения и защиты. Согласно рис. 5.3. по соотношению забитых и пропущенных мячей Зенит и Локомотив заняли бы второе и третье место соответственно независимо от силы команд, с которыми они встречались. Преимущество в счете с сильными командами имели ЦСКА, Динамо, Амкар и Ростов.
Вычисление важности критериев на основе матрицы парных сравнений
При экспертном заполнении матриц парных сравнений любого типа приходится решать две задачи: определять согласованность введенных предпочтений и доопределять частично заданные матрицы. Обе задачи связаны с размерностью матриц. Согласно пределам своей оперативной-памяти человек может безошибочно заполнить 7±2 клеток матрицы. Этому количеству клеток соответствует размерность симметричной матрицы от 4x4 до 5x5. А уже при сопоставлении десяти альтернатив необходимо заполнять N(N — 1)/2 = 45 клеток, что практически невозможно выполнить без ошибок. Для определения процента ошибок эксперта-применяются коэффициенты согласованности, а в качестве меры борьбы с ошибками применяется частичное заполнение матриц. Остальная часть клеток доопределяется с использованием показателя! согласованности. Задачи определения согласованности и доопределения предпочтений решались различными методами следующими , учеными: В.Г. Тоценко? P. Harker, К. Nishizawa, J. Barzilai, М: Fedrizzi, М. Brunelli, S. Giove, Z. Xu и др.
Конечной задачей использования.матриц парных сравнений является расчет приоритетов альтернатив. Эта задача решалась для.разных типов предпочтений с учетом и без учета «сил сущностей» следующими учеными: B.F. Миркиным, Т. Саатй, К.О. Coggerand, P.L. Yu, R.E. Jensen, К. Sekitaniand, N. Yamaki, S. Bozoki и др.
Анализ исследований показал их различную степень полноты для матриц разных типов; а- исследователи ограничивались матрицами с определенным типом предпочтений. Для каждого из типов предпочтений получены некоторые частные: результаты в решении перечисленных задач. Однако на практике трудно ограничиться каким-то одним типом предпочтений. В частности, такой тип, как кратность предпочтений, в литературе неоднократно подвергался критике. Каждый из типов;предпочтений имеет свои достоинства и недостатки. В( связи с; этим актуальным, является; анализ предпочтений на основе МИЄ с различными : типами предпочтений, включающий- расчет приоритетов сущностей, исследование: согласованности матрицы, алгоритмы оптимального доопределения» не полностью заданных матриц. Наряду с удобством задания? предпочтений, систематизация и унификация решения всех задач на матрицах парных сравнений дает возможность сравнивать результаты, получаемые на матрицах различного типа что; представляет как научный;так; и практический: интерес: Объекту и предмета исследования. Объектолі исследованиям являются свойства; матриц.: тарных сравненйт с:, различными типами предпочтений;. предназначенных.; для вычисления? приоритетов- сущностей: Предметом исследования; являются методы заполнения і и анализа содержимого матриц, их доопределения, и? расчета? на основе; введенных, предпочтений; приоритетов сущностей. Цель;работы;-Создание математического и алгоритмического:обеспечения по анализу. содержимого МНС с различными? типами предпочтений и - расчету приоритетошсущностейїВізадачахпринятияфешений; Для (достижения; поставленной цели необходимо решитьследующие задачи: 1. проанализйррэать»-состояние исследований!-поизучениюг свойств1 матрица парных сравнений. 2. формализовать процедуры, преобразования?предпочтений; 3. разработать систему показателей; характеризующих содержимое как экспертных, так;и турнирных матриц: с различными типами предпочтений; 4. разработать методы доопр еделенияне полностью заданных матриц; 5. унифицировать методы вычисления приоритетов сущностей. На основе полученных математических моделей и алгоритмов ставится задача разработать систему вычисления приоритетов (СВП). Система вычисления приоритетов сущностей должна рассчитывать матрицы с любым типом предпочтений и источником исходных данных, как экспертных, так и объективных. В составе системы выборам ранжирования СВИРЬ-Р система вычисления приоритетов должна вычислять весовые коэффициенты критериев в методах скалярной оптимизации и реализовывать метод анализа иерархий (МАИ) с числом уровней не менее пяти. Принципиальной особенностью реализации МАИ является использование любых типов предпочтений в каждой матрице иерархии. Матрицы могут заполняться как экспертами, так и итогами взаимодействия сущностей. Размерность матриц в принципе не ограничена (до десятков сопоставляемых сущностей). На приоритет сущностей должны оказывать влияние степень их взаимодействия, и различимость. Методы, исследования. Для исследований в работе использовались методы системного анализа, теории множеств, теории графов, линейной алгебрьг и математической статистики. Научной новизной обладают: 1. обобщенная модель парных сравнений, содержимое которой может отражать любые типы предпочтений; 2. введенные показатели согласованности предпочтений: — коэффициент порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностей; — показатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности; 3. введенные показатели, характеризующие взаимодействие активных сущностей (спортивных команд, экономических субъектов и т.п.): - показатель устойчивости (стабильности) активной сущности; - показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц; 4. методы доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений, основанные на решении оптимизационной задачи по критерию согласованности предпочтений. Они различаются целевыми функциями (максимальное собственное число и определитель матрицы) и способами (итерационный и аналитический) нахождения неизвестных элементов матрицы. Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается экспериментальными .доказательствами основных положений работы и практической апробацией предложенных моделей и методов на реальных данных при решении практических задач на разработанной автором системе вычисления приоритетов и инструментальной системе СВИРЬ-Р. Практическая, значимость состоит в использовании, полученных результатов на-практике для оценки эффективности работы железных дорог, ив» учебном процессе в курсе «Теория принятия решений», что подтверждено соответствующими документами о внедрении.
Похожие диссертации на Модели и алгоритмы анализа различных типов экспертных предпочтений на основе матриц парных сравнений
