Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор методов анализа надёжности . -10 -
1.1. Проблема неполноты исходной информации. - 10 -
1.2. Оценки надёжности систем с использованием результатов теории интервальных средних. - 12 -
1 3. Различные типы экспертных оценок. - 17 -
1.4. Модели комбинирования экспертных оценок в условиях отсутствия доверительных вероятностей для этих оценок . - 22 -
1.4.1. Комбинирование экспертных оценок вероятности набора событий. - 22 -
1.4.2. Топологические и возможностные методы комбинирования оценок надёжности. -31 -
1.4.3. Интервальная статистическая модель комбинирования экспертных оценок. -35-
1.5. Выводы. - 38 -
ГЛАВА 2. Комбинирование экспертных оценок однородных характеристик надёжности . - 40 -
2.1. Постановка задачи. - 40 -
2.2. Формулировка принципа продолжения для задачи комбинирования экспертных оценок характеристики надёжности, имеющих уровни доверия . - 43 -
2.3. Решение проблемы комбинирования экспертных оценок для частных случаев. - 46 -
2.3.1. Вложенные интервалы ш(, а А - 46 -
2.3.2 Последовательные смежные интервалы. - 49 -
2.3.3. Отсутствие информации о доверительных границах - 51 -
2.3.4. Случай полного доверия всем без исключения экспертам. - 52 -
2.4. Комбинирование сравнительных свидетельств в условиях неполноты информации. - 53 -
2.5. Примеры расчёта моделей комбинирования экспертных оценок однородных характеристик надёжности.. - 57 -
2.6. Выводы. - 61 -
ГЛАВА 3. Комбинирование экспертных оценок средних разнородных характеристик при наличии интервалов доверительной вероятности для этих оценок. - 63 -
3.1. Постановка задачи. - 63 -
3.2. Математическая модель комбинирования экспертных оценок разнородных характеристик надёжности . -66-
3.3. Алгоритм реализации вычислительной процедуры, примеры составления моделей и расчёта вероятности попадания характеристики в; заданный интервал. - 73 -
3.4. Расчёт усреднённого значения характеристики на основе модели комбинирования экспертных оценок, имеющих уровни доверия. - 76 -
3.5. Модель комбинирования экспертных оценок для случая разнородных, дискретных характеристик. - 81 -
3.6. Расчёт вероятности попадания системной характеристики надёжности в заданный интервал при наличии доверительных вероятностей для исходных данных. -87-
3.7. Постановка задачи расчёта усреднённой оценки системной характеристики. Алгоритмы вычислений оценок системных характеристик. 3.8. Выводы.
ГЛАВА 4. Комплекс программ оценки надёжности элементов и систем при неполной исходной информации .
4.1 Результаты расчётов по программе One Unit.
4.2. Результаты расчётов по программе Sysanal .
4.3. Анализ надёжности системы ДЦ «Тракт».
4.4. Выводы.
Выводы. Библиография.
- Модели комбинирования экспертных оценок в условиях отсутствия доверительных вероятностей для этих оценок
- Формулировка принципа продолжения для задачи комбинирования экспертных оценок характеристики надёжности, имеющих уровни доверия
- Математическая модель комбинирования экспертных оценок разнородных характеристик надёжности
- Результаты расчётов по программе Sysanal
Введение к работе
Актуальность темы. Экспертные оценки используются для получения оценок самых различных физических величин во многих практических задачах. Чаще всего используются экспертные оценки квантилей - 5%-ных, 50%-ных и 95%-ных. В настоящее время отсутствуют строгие с математической точки зрения модели комбинирования неполной информации, учитывающей степени доверия к источникам её получения. Комбинирование экспертных оценок до сих пор производилось путём введения дополнительных предположений о законах распределения исследуемой характеристики системы. Это может привнести дополнительную ошибку в окончательную оценку характеристики, если предполагаемое распределение не совпадает с реальным. Поэтому построение модели комбинирования экспертных оценок с уровнями доверия, которая не требовала бы введения дополнительных предположений о законах распределения исследуемой величины, актуально не только для задач комбинирования оценок надёжности, но и для задач комбинирования оценок различных других величин, для которых возможно применение экспертных оценок. Экспертные оценки здесь понимаются в широком смысле - это также могут быть результаты статистической обработки данных объективных измерений с соответствующими значениями доверительной вероятности.
На этапе построения сложной высоконадёжной технической системы исходная информация о надёжности её элементов часто представляет собой именно экспертные оценки. На данный момент отсутствуют строгие с математической точки зрения модели комбинирования экспертных оценок не самих случайных величин, а их характеристик (среднего времени до отказа, моментов времени до отказа, вероятности отказа в заданных интервалах времени) при наличии доверительных вероятностей этих оценок и отсутствии каких бы то ни было предположений о законах распределения случайного времени до отказа.
Решению этих проблем посвящена диссертация, что и определяет её актуальность.
предположений о законах р а с п ] случ «VtKS вМЇИОшфрЛАиі о отка-
за, времени восстановления и т.д.).
$еЇЇ%ї»ЗМ
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка универсальной модели комбинирования экспертных оценок с учётом степени доверия к ним для оценки новых характеристик надёжности без дополнительных
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
разработка строгой математической модели комбинирования экспертных оценок надёжности систем при полном или частичном отсутствии информации о законах распределения отказов составных элементов на базе теории интервальных средних с учётом уровней доверия исходным оценкам;
разработка методов и алгоритмов расчёта комбинированных оценок надёжности для различных типов экспертных оценок;
разработка комплекса программных средств для расчётов с использованием предложенных моделей комбинирования оценок надёжности.
Методы и средства исследований. В работе использовались методы теории интервальных средних и интервальных статистических моделей, методы оптимизации, методы математического анализа и методы теории вероятностей.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Предложена и исследована модель комбинирования экспертных оценок характеристики надежности при наличии доверительных вероятностей этих оценок, которая отличается от существующих моделей инвариантностью по отношению к типам исходных оценок. Новым является строгое математическое обоснование того, когда можно применять некоторые известные эвристические методы комбинирования таких оценок.
-
Предложена и исследована модель комбинирования экспертных оценок разнородных характеристик, которая отличается от существующих моделей отсутствием каких-либо предположений о законах распределения случайной величины, и возможностью учёта степени достоверности оценок.
-
Предложена и исследована модель комбинирования экспертных оценок разнородных характеристик надёжности элементов, входящих в систему, которая, в отличие от использующихся моделей, не требует введения дополнительной информации о законах распределения случайной величины, о независимости элементов системы, а также позволяет получать оценки надёжности для большого класса систем и учитывать степени доверия исходным оценкам.
4. Для расчёта предложенных моделей разработаны алгоритмы, которые включают оригинальную методику декомпозиции задачи нелинейной бесконечномерной оптимизации к решению конечного числа задач линейной оптимизации, и программные средства, реализующие эти алгоритмы.
Практическая ценность результатов работы заключаются в том, что разработанные модели позволяют унифицировать расчёты, связанные с обработкой экспертной информации для анализа надёжности систем. Строгое математическое обоснование делает предлагаемые модели универсальными по отношению к различным системам и исходным данным. Основной практический выход диссертационной работы заключается в полученных теоретических результатах и разработке на их основе инструментария для заказчиков и инженеров служб надёжности предприятий.
Реализация работы. Результаты работы были использованы в ЗАО «Тех-транс» (г. Санкт-Петербург) для предварительной оценки надёжности основной структуры микропроцессорной системы диспетчерской централизации «Тракт».
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной конференции по мягким вычислениям SCM'2001 25-27 июня Санкт-Петербург, межвузовской научно-практической конференции «Современные математические методы и новые информационные технологии при решении навигационных и военно-прикладных задач» 23-24 ноября 2000г. СПб ВМИ и конференциях профессорско-преподавательского состава СПб ЛТА
Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 2 работы, в том числе в 1 статья и тезисы 1 доклада на международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM'2001.
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав, выводов, библиографии, включающей 44 наименования, приложения, содержащего акт об использовании результатов диссертационной работы. Основное содержание работы состоит из 122 страниц, 12 таблиц, 13 рисунков.
Модели комбинирования экспертных оценок в условиях отсутствия доверительных вероятностей для этих оценок
Одна из проблем, связанная с оценкой надежности, — это то, что в ряде случаев возникает необходимость производить оценки случайных событий, как, например, отказ некоторой системы жизнеобеспечения, которые или случаются крайне редко, или вообще нежелательно, чтобы они произошли. Этот недостаток информации по данным о надежности вместе со сложностью большинства современных систем приводит к необходимости оценки таких систем путём объединения всех возможных способов оценивания надежности с целью получить окончательное заключение для всей системы. В целом, если удастся построить такую модель оценивания, то тогда не придется интуитивно выбирать каждый раз для новой системы тот или другой способ оценки надёжности системы, отбрасывая при этом все прочие, менее информативные и менее точные оценки надежности. Таким образом, необходимо комбинировать оценки, которые могут быть различны по своей природе, то есть, например, учитывать:
1. Характеристики, полученные соответствующими методами объективных измерений и наблюдений, которые содержат данные о надежности.
2. Лингвистические свидетельства, словесные заключения некоторого набора экспертов или системных проектировщиков.
При обработке последних данных лицо, принимающее решение, сталкивается с проблемой отсутствия условия независимости, так: как среди экспертов, как правило, существует определенная совещательная схема, в соответствии с которой: эксперты общаются и корректируют свое первоначальное свидетельство. В этом случае под влиянием авторитетных специалистов или каких-либо других причин лицо, принимающее решение (ЛПР), может получить вместо набора свидетельств только одно, выраженное несколько раз с отличиями, связанными с индивидуальными привычками того или другого эксперта. Эта проблема независимости экспертных оценок рассматривалась в ряде работ [23, 25].
Какие же модели комбинирования свидетельств разного типа существуют на данный момент?
Простейшая модель - это субъективное комбинирование экспертных свидетельств, которое осуществляет ЛПР [25]. Следует отметить, что эксперты могут либо совсем не совещаться между собой, а сразу выдавать своё мнение ЛПР для генерации вывода, либо после составления первичного мнения может производиться его модификация посредством согласования его с другими экспертами. При этом используются различные совещательные схемы, и, наконец, эксперты могут иметь обратную связь с объектом, то есть получать информацию о том, к каким результатам привёл тот или иной вывод и, таким образом, повышать свою компетентность. Как правило, ЛПР для комбинирования использует какое-либо правило, например, Демпстера или
Байеса, которые предполагают наличие независимости в исходной информации, а это предположение, как уже упоминалось, оказывается верным крайне редко.
Отдельную группу [25] составляют модели попарного сравнения вероятностей набора событий, которые вовсе не обязаны быть взаимоисключающими или исчерпывать все возможные исходы как, скажем, в вероятностном выводе Байеса. То есть имеется набор событий Ар j=l,...,n. И есть набор соотношений предпочтения, полученных от экспертов, ,; І=1,...,е таких, что Aj , Ак = эксперт і рассматривает Aj более вероятным, чем А .
Одна из используемых моделей анализа экспертных данных - это проверка того, что данные, полученные от одного из экспертов, являются непротиворечивыми с точки зрения вероятностей, при наличии относительно большого числа противоречий возникают сомнения в уместности использования полученных от него данных. Для этой проверки необходимо подсчитать число С(ї) круговых триад {Aj, А& A J: Aj ,- Ак ,- Ai ,- Aj , по формуле 24 2 ы{ » п-А! 9 г. где by - ранг события Aj, определяемый как число событий А , которые эксперт і оценил, как менее вероятные, чем Aj. Число триад в идеале должно быть равно нулю, и в худшем случае, когда эксперт і выбирает свои предпочтения, просто подбрасывая монету для каждой из С2п пар, число С(і) табулировано для небольших п и определено асимптотически для. больших. Любой эксперт, который выполнил оценку с числом противоречий несущественно меньшим, чем соответствующее, взятое из таблицы, может трактоваться как весьма сомнительный источник данных.
Формулировка принципа продолжения для задачи комбинирования экспертных оценок характеристики надёжности, имеющих уровни доверия
Предположим, что имеется т свидетельств вида и доверительные интервалы к ним т
Так как z=C(y) является суммой индикаторных функций соседних интервалов, то внешний вид графика этой функции напоминает лестницу, которая, для случая поиска а , ограничена сверху графиком z=y, причём, так как решается задача максимизации, то для оптимального решения график z-C(y) должен проходить как можно выше, а, для случая поиска a , z=C(y) ограничен снизу z=y, и так как в этом случае решается задача минимизации, то график z-C(y) должен проходить как можно ниже. Таким образом, оптимальные решения задач (2.1) и (2.2) при данных условиях соответствуют тем значениям переменных оптимизации, при которых графики z=y и z=C(y) расположены как на рис. 2.3,
Так как вероятности # известны точно, тогда нижние а и верхние а усреднённые оценки у=Мф можно определить как где максимум ищем среди c,eR+, c#eR, і=1,...,т, С(у) у A = min Й,- 5 у max а,- = В. /=1,. ,.,т i=\,...,m Здесь [AJf\ — область изменения переменной у, так как никакой информации о её поведении вне этого интервала нет. И задача оптимизации для верхнего среднего a =inf\c0 + с,у, где минимизация идёт по c,eR+, coeR, i=l,...,m, С(у) у, А= min as y max сц = В, i=\,...,m j=I,„,,tfi
Здесь принцип продолжения эквивалентен аппроксимации функции у=Мф ступенчатой функцией С (у) (где d(=0) на интервале [А, В] снизу и сверху соответственно для а и а . Тогда для оптимального решения, дающего верхнее среднее для Мфу должно выполняться, исходя из ограничений: Со+с сц, i=l,...,m, а для нижнего среднего co+Ci=gj , і=ї,...,т. То есть со=0, с,=о,, і=ї,..т для нижней усреднённой оценки ЙС= а/, і = 1,.., т для верхней. Это означает, что
Получено известное правило комбинирования оценок, заданных последовательными присоединёнными интервалами, называемое правилом взвешенных сумм [13].
Предположим, что ,. = 0, yt = \ / = 1,.., т. Это означает отсутствие информации об относительном уровне доверия данным или экспертам. Тогда задача оптимизации (2.1) принимает вид a = inf\cQ +сИ, где ctR+, соєК, і-/,...,т, и b [inf М( ф, sup Mt (f)\. C(y) y. i .m Km Здесь infM( f) min a{ и supM(/) = max at. Из вида целевой im /=1,...,ЛІ i m i=l,..., от функции следует, что значения с0, С\, 1=1,...,171, надо взять как можно меньше, а из ограничения С{у) у следует, что с0 max at. Так как с( 0, то оптимальное i=l„..,m решение вышеизложенной задачи будут доставлять значения с0 = max at и і=ї,...,т СІ=0 для Vi=1,...,т. Другими словами, имеет место a = max at. Аналогичный W т результат может быть получен и для нижней границы: задача (2.2) принимает вид где 4-еЯ+, c0eR , iW,...,m, и t7y =[inf М,- 0, sup МІ (Jf)\\ С(у) у. Опять же из ііт і ,т вида целевой функции следует, что значения CQ , -dt, i=If...,m, надо брать как можно больше, а из ограничения С(у) у вытекает, что с0 , тіп я . С учётом І=І,..,,т di 0 оптимальное решение задачи (2.2) здесь будет с0 = тіп а І И df=0 для V і=1,...,т. В итоге имеем а, = тіп а І. Полученные выражения совпадают с i=L...,m известным правилом комбинирования оценок в условиях равноправности (отсутствия предпочтений) среди экспертов, когда результатом: комбинирования является самый широкий интервал из допустимых по исходным условиям.
Математическая модель комбинирования экспертных оценок разнородных характеристик надёжности
Разработаем модель комбинирования экспертных оценок для решения первой из задач, приведённых в параграфе 3.1.
Рассмотрим плотность распределения, при помощи которой вычисляются средние признаков A/(/J), как случайную величину. Эти средние не, могут быть выражены через одну какую-либо случайную переменную, за исключением некоторых простейших случаев. В то же время нельзя считать комбинируемые средние независимыми случайными величинами, так как они связаны через общую ішотность р(х). Поэтому применим следующую модель комбинирования.
Пусть"./— это подмножество индексов из множестваN={i=I,..,,п}. Введём следующие обозначения: AJ=\al M(fi(X)) ahij} = { 2/ J + fi(x)p(x)dx , at, і є j\ Л = { й L f(x)p(x)dx ,а\. Заметим, что вероятность события Af = щ} АГ(У)(Х))йа/ может быть представлена через среднее для индикаторной функции
Пусть Р - множество всех возможных плотностей (р(х)}, то есть множество таких функций, что \R p(x)dx = l, р(х)0. Тогда для вычисления верхней вероятности у принцип продолжения примет вид у = м( -](Ж/(Х))))= cfd{fo + Цріг і - 4/,)) (3.2) где с,,4 rR+,co R,І=1,...,П, И ЇТуС вР
Покажем связь записанного принципа продолжения с исходной прямой задачей оптимизации для поиска верхней и нижней вероятности попадания характеристики в заданный интервал. Для этого рассмотрим простейший случай трёхмерного пространства элементарных исходов. То есть, отказ может произойти в один из моментов Xj с соответствующей вероятностью pi ,.. где /=1,2,3. Обязательное ограничение Pi — 1 при отсутствии других ограничений i=l приводит к голой модели (см. рис. 1.1), где допустимые значения троек вероятностей располагаются на симплексе. Однако, если есть ещё дополнительные ограничения Mh накладываемые на средние экспертной оценкой, то есть, без ограничения общности М] . a M{fi)ua или а\ 2ЛІХІ)РІ! ai то оно задаёт уравнения прямых, отсекающих от J=I симплекса область допустимых значений вероятностей (см. рис. 3.2.). Таким образом, область допустимых значений вероятностей сужается, и модель уточняется.
Пусть ещё известна доверительная вероятность для оценки М}; Ух Pr M\J[) Й] j ; /і. Это по определению означает, что вероятность того, что тройка (/?/, р2, рз) попадёт в область М/, равна гі,Уі]. Следует заметить, что эта вероятность не обязана равняться площади области М} (см. рис.3.2.), что соответствует случаю равномерного распределения случайной величины P=(pi, р2, рз), так как Р имеет в общем случае некоторую неизвестную плотность распределения Ч\Р) попадания Р. в точки внутри исходного треугольного симплекса на рис.3.2. Таким образом, интервал \у., ух \ для Mt задаёт множество плотностей { Ч\Р)}. МиМ, Теперь необходимо узнать доверительную вероятность того, что исследуемая характеристика надёжности M(f) попадёт в интервал д,л[.То есть, з _ вероятность попадания в область М: а М{/)- 2/fa)/7 а (см рис.3.2) 1=1 или, что то же самое, Рг г М(/)йа=[/, j J- неизвестная искомая величина.
Чтобы её найти, необходимо записать задачу оптимизации для поиска верхнего и нижнего значения искомой вероятности. Для простоты, чтобы не писать з каждый раз ограничение Y Pi = 1 можно обозначить S область допустимых р, то есть исходный треугольный симплекс.
Результаты расчётов по программе Sysanal
Проведём исследование зависимости результата комбинирования, т.е. некоторой характеристики системы в целом, от доверительных вероятностей экспертных оценок: характеристик надёжности её элементов, причём сами оценки остаются без изменений.
Пример 4.3. Эксперты оценивают среднее время до отказа элементов последовательной системы, состоящей из двух элементов.
Первый эксперт оценил СВО первого элемента равным 10, второй точно так же, равным 10, оценил СВО второго элемента.
Полученный график зависимости верхней усреднённой оценки среднего времени до отказа системы от уровней доверия экспертам так же, как и в примере 4.1 данной главы является линейным в силу линейной зависимости целевой функции в задаче оптимизации (3.12.) от доверительной вероятности экспертных оценок. Результаты расчётов комбинированной (усреднённой) оценки верхнего среднего времени до отказа системы в зависимости от уровней доверия экспертным оценкам, полученные с использованием программы Sysanal, приведены в таблице 4.4. На основе данных таблицы 4.4. построен график зависимости усреднённой оценки верхнего среднего времени до отказа от уровней доверия оценкам экспертов, изображённый на рис.4.4.
График зависимости верхнего усреднённого СВО последовательной системы от уровней доверия оценкам СВО её элементов.
Разница внешнего вида графиков 4.1 и 4.4 объясняется тем, что в примере 1 была одна случайная величина - случайное время до отказа элемента, в рассматриваемом же примере имеют место две независимых случайных величины — по числу элементов и их случайных времён до отказа. Поэтому график имеет излом, связанный с тем, что верхнее СВО последовательной равно минимальному из СВО элементов системы, следовательно, комбинированная оценка ориентируется на показания эксперта с большей доверительной вероятностью, так как больший уровень доверия означает более точный (узкий) результирующий интервал оценок, т.е. меньшее верхнее комбинированное СВО.
Рассмотрим, как влияют изменения значений экспертных оценок для характеристик надёжности элементов на комбинированную оценку надёжности системы, причём уровни доверия экспертам оставим постоянными.
Пример 4.4. Два эксперта оценивали вероятности отказов соответственно первого и второго элементов последовательной системы в интервале [9ДО]. Доверительная вероятность первого эксперта составляла [0.9,1], а второго [0.8,0.9].
Результаты расчётов комбинированной (усреднённой) оценки верхнего среднего времени до отказа системы в зависимости от значений экспертных оценок вероятности попадания в соответствующие интервалы, полученные с использованием программы Sysanal,. приведены в таблице 4.5. На основе данных таблицы 4.5 построен график зависимости усреднённой оценки верхнего среднего времени до отказа от величины оценок экспертов, изображённый на рис.4.5.
График 4.5 зависимости верхнего усреднённого СВО системы от значений вероятности отказов элементов в соответствующих интервалах времени внешне напоминает график 4.4. В рассматриваемом примере также с увеличением вероятности отказа элементов в заданном интервале СВО системы уточняется (верхняя граница уменьшается).
График данной зависимости криволинеен вследствие того, что СВО системы, т.е. целевая функция задачи оптимизации, не зависит напрямую от вероятностей отказов элементов, а зависит от них через ограничения. Можно также заметить асимметричность графика (его ближайшая грань опущена ниже, чем правая), что связано с тем, что уровни доверия экспертам неравны. Верхняя усреднённая оценка СВО системы 0,01 Значения 0,3 вероятности от о g первого эксперта Значения вероятности от второго
А именно, при равенстве единице вероятности от первого эксперта, у которого доверительная вероятность больше, и при прочих любых показаниях второго эксперта, полученная результирующая оценка оказывается более точной (более узкий конечный интервал), чем полученная при условии равенства единице вероятности от второго эксперта с меньшим уровнем доверия. Таким образом, сравнивая результаты комбинирования одинаковых экспертных оценок, можно сделать вывод, что получаемая комбинированная оценка тем точнее, чем больше уровень доверия исходной оценки.
