Введение к работе
Актуальность проблемы Математические модели, базирующиеся на дифференциальных уравнениях математической физики, играют существенную роль в исследовании многих явлений и процессов Важной задачей физического и математического моделирования является исследование сложнейших проблем, возникающих при воздействии на вещество полей большой интенсивности, ударных волн, мощных тепловых потоков и др. Теоретическое исследование таких физико-химических процессов и явлений возможно только при использовании нелинейных математических моделей. Линейные математические модели оказываются лишь определенными приближениями.
Для ряда нелинейных задач математической физики удается найти решения. Однако общих методов решения нелинейных уравнений в настоящее время пока не разработано Поэтому поиск методов получения приближенных аналитических решений таких уравнений представляется весьма актуальной задачей.
Анализ монографических и журнальных публикаций по изучаемой проблеме показал следующее*
1. За последние десятилетия внимание к нелинейному
математическому моделированию нелинейных задач существенно возросло
2. Ядром большинства нелинейных моделей являются нелинейные
дифференциальные уравнения Основная часть начальных и граничных
условий таких математических моделей являются нелинейными по самой
природе явлений. Нередко источником нелинейности модели становятся
свойства среды
3. За последние годы разработано немало методов решения
нелинейных дифференциальных уравнений с конкретными (частными)
типами нелинейности В каждом из этих методов действуют весьма жесткие
условия применимости
4. Расширение круга проблем, для исследования которых используются нелинейные математические модели, ограниченные возможности имеющихся теоретических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, делают важным поиск новых методов приближенного аналитического решения уравнений с достаточно широкой областью применимости
Эти аргументы подтверждают актуальность выполненного исследования.
Цель диссертационного исследования - исследовать возможность метода эталонного моделирования для нахождения приближенных асимптотических решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и более высоких порядков.
Для достижения цели решены следующие задачи:
1. Проведен сравнительный анализ используемых в настоящее время методов решения нелинейных уравнений математической физики, выявлены достоинства и недостатки этих методов
-
Произведено обобщение метода эталонного моделирования для получения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики, его расчетной схемы, определены условия применимости
-
Исследованы возможности метода при решении нелинейных дифференциальных уравнений второго и третьего порядка со степенными нелинейностями
-
Метод апробирован путем получения приближенных решений тестовых нелинейных уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов
Метод исследования. Поставленные в работе задачи решены на основе обобщения метода эталонного моделирования для нахождения приближенных решений основных типов нелинейных задач математической физики
Научная новизна и теоретическое значение результатов исследования заключается в следующем
- обобщен метод эталонного моделирования и при его помощи
получены приближенные решения нелинейных дифференциальных
уравнений основных типов (гиперболических, параболических и
эллиптических),
- построена расчетная схема применения метода эталонного
моделирования для нелинейных задач математической физики,
определены критерии оценки области применимости разработанного метода для нелинейных задач гиперболических, параболических и эллиптических типов,
с помощью нового метода решен ряд «тестовых» задач и показана надежность полученных результатов,
обоснованы принципы и методика подбора «эталонных» задач для использования метода моделирования;
предложены методы качественной физико-химической интерпретации моделей-эталонов;
- предложены и апробированы способы решения нелинейных
уравнений со степенными видами нелинейности.
Практическая значимость Результаты исследования могут быть использованы
- для нахождения приближенных решений дифференциальных
уравнений, составляющих ядро нелинейных математических моделей со
степенными нелинейностями;
для описания эффектов, связанных с учетом приближений различных порядков в асимптотических разложениях фазовой функции,
при построении «приближенных» нелинейных моделей физико-химических явлений, связанных с решением стационарных проблем, проблем переноса, распространения волн в нелинейных средах различной физической природы
Достоверность и обоснованность полученных научных результатов
подтверждаются
- корректностью применения апробированных математических методов
(теории операторов, дифференциальных уравнений, рядов, теории линейных
и нелинейных уравнений математической физики),
опубликованными результатами исследований других авторов (теорией эталонных уравнений акад А А Дородницына, исследованиями математических моделей теплопереноса, квазиклассического метода В.П. Маслова и др.),
результатами, полученными при решении тестовых задач, согласующимися с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей
На защиту выносятся следующие положения:
-
Основные положения и расчетная схема обобщенного метода эталонного моделирования для получения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типа
-
Критерии применимости предложенного метода моделирования, их математические выражения и способы использования при решении конкретных задач Методика выбора моделей-эталонов
-
Технология применения метода при решении нелинейных уравнений второго и третьего порядка, анализ свойств различных типов решений
4. Результаты изучения особенностей применения метода моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типа Результаты исследования были доложены на
- 50-й научно-методической конференции «Университетская наука -
региону» (г Ставрополь, 2005),
- 51-й научно-методической конференции «Университетская наука —
региону» (г Ставрополь, 2006),
Седьмом Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г Кисловодск, 2006),
- 52-й научно-методической конференции «Университетская наука -
региону» (г Ставрополь, 2007),
- Всероссийской научной конференции «Физико-химические и
прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем» (г Ставрополь,
2007),
-Межвузовской научно-практической конференции ППС, посвященной 100-летию основания ЮРГТУ, «Проблемы технических, естественных, социально-экономических и гуманитарных наук в условиях реформирования общества» (Георгиевск - Пятигорск, 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 научных публикациях (из них 2 — в рецензируемом журнале). Во всех совместных статьях автором предложен метод аналитического решения, получены численные результаты, сделаны предложения к вьшодам и обобщениям.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 152 наименования, и 7 приложений.
Похожие диссертации на Метод эталонного моделирования для приближенного решения нелинейных задач гиперболического, параболического и эллиптического типов
