Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование устойчивости элементов плоских каналов 12
1.1. Численное решение задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов двух стенок канала 12
1.2. Численное решение задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов одной стенки канала 39
1.3. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов разделительной стенки проточного канала 54
1.4. Исследование устойчивости упругих элементов двухпроточного канала численно-аналитическим методом 65
1.5 Исследование асимптотической устойчивости колебаний упругого элемента канала при задании в граничных сечениях скорости 69
Глава 2. Исследование асимптотической устойчивости элементов конструкций бесконечной протяженности 78
2.1. Исследование динамики и устойчивости колебаний упругого элемента бесконечного канала 78
2.2. Устойчивость колебаний решётки упругих пластин 92
Глава 3. Математическое моделирование в пространственных задачах о динамике упругих элементов 100
3.1. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов стенок канала 100
3.2. Численное исследование устойчивости колебаний упругого элемента стенки канала 110
3.3. Исследование нелинейных колебаний упругого элемента 125
Заключение 137
Библиографический список 138
Приложение 1 152
Приложение 2 160
Приложение 3 186
- Численное решение задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов одной стенки канала
- Исследование устойчивости упругих элементов двухпроточного канала численно-аналитическим методом
- Исследование динамики и устойчивости колебаний упругого элемента бесконечного канала
- Численное исследование устойчивости колебаний упругого элемента стенки канала
Введение к работе
Важной народно-хозяйственной проблемой во многих отраслях техники является повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Такая проблема, в частности, возникает в авиаракетостроении, турбокомпрессоростроении, приборостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем, проточных каналов различного назначения и т.д.
При проектировании конструкций, обтекаемых потоком газа или жидкости, важное значение имеет исследование устойчивости колебаний деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к увеличению амплитуды колебаний, и, тем самым, их разрушению.
В то же время для функционирования некоторых технических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым.
Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.
При расчете конструкций на прочность и устойчивость существенное значение имеет учет вязкоупругих свойств деформируемых тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Совместное движение деформируемого тела и жидкости(газа) описывается связанной системой интегро-дифференциальных уравнений, что не позволяет разбить решение задач аэрогидроупругости на две отдельные задачи - определения деформации тел и расчета течения жидкости(газа).
Отмеченные особенности увеличивают сложность исследований и приводят к необходимости разработки специальных методов изучения устойчивости упругих и вязкоупругих тел в потоке жидкости или газа.
Отмеченное выше позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.
Диссертация посвящена разработке математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие (или упругие) элементы, находящиеся во взаимодействии с потоком идеального газа (жидкости), и исследованию на основе построенных моделей динамической устойчивости этих элементов. Принятые в работе определения устойчивости вязкоупругого или упругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Проблема может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему "жидкость-тело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, сжимающие или растягивающие усилия, силы трения), малым деформациям тел в начальный момент времени t=0 (т.е. малым начальным отклонениям от положения равновесия) будут соответствовать малые деформации и в любой момент времени t 0 (в случае асимптотической устойчивости деформации должны стремиться к нулю при t— 00 ).
В настоящей работе механическое поведение материала пластин описывается упругой или вязкоупругой моделью тела. Вязкоупругая модель основана на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра и теории реологических моделей, восходящих к Дж. Максвеллу[148,149], В. Фойхту[162,163] и Дж. Томпсону[152]. Согласно этой модели напряжение в любой точке пластины зависит от предыстории деформирования материала в данной точке. Связь между напряжением и деформацией подчиняется линейному уравнению Вольтерра-Фойхта. Под старением материала понимается изменение его физико-механических свойств во времени.
При решении задач аэрогидроупругости, рассматриваемых в диссертации, аэрогидродинамическая нагрузка определяется из линейных асимптотических уравнений аэрогидромеханики в модели несжимаемой среды.
За последние десятилетия проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, посвященных теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел, среди которых отметим работы Арутюняна Н.Х., Дроздова А.Д., Колмановского В.Б. [4-8], Работнова Ю.Н. [117-120]. Предметом большого количества исследований является также динамика упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Исследования в этом направлении изложены в работах Болотина В.В. [17], Вольмира А.С. [53-55], Галиева Ш.У. [57], Горшкова А.Г., Григолюка Э.Г., Кабанова В.В., Кузнецова В.Н., Лампер Р.Е., Тарлаковского Д.В. [61-68], Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаева А.Э. [71,72], Ильгамова М.А. [76-80], Мовчана А.А. [94-97] и других авторов. Среди зарубежных авторов отметим Бисплингхоффа Р.Л., Эшли X., Халфмана Р.Л. [143], Фына ЯД. [135], Доуелла Е.Х. [145]. Исследованию динамики трубопровода с протекающей в нем жидкостью посвящены работы Челомея СВ. [137,138], Феодосьева В.И. [128] и других.
Некоторые результаты по исследованию устойчивости деформируемых тел с учетом как старения (вязкоупругости) материала, так и с учетом взаимодействия с жидкостью (газом) изложены в работах [2,38-44, 98-111].
Для части рассматриваемых в диссертации задач характерным является одновременный учет как вязкоупругих свойств материала тел (старения материала), так и взаимодействие с потоком жидкости (газа). Другая часть задач посвящена исследованию асимптотической устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа.
Целью диссертационной работы является разработка на основе математического моделирования математических методов исследования устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, взаимодействующих с потоком жидкости (газа), протекающего внутри них. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
1) Построение математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие элементы, взаимодействующие с дозвуковым потоком жидкости или газа.
2) Разработка аналитических и численных методов исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком среды.
Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе исследуется задачи об устойчивости вязкоупругих элементов и задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов стенок плоских проточных каналов конечной длины, с различным месторасположением и количеством этих элементов.
Представлены два способа для исследования устойчивости. Первый способ (аналитический) основан на конструировании функционалов типа Ляпунова для исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов каналов. В рамках теории получены в аналитической форме достаточные условия устойчивости для различных типов закреплений. Приведен ряд ограничений на основные параметры системы, позволяющих обеспечить устойчивость колебаний.
Второй способ (численный), исследования асимптотической устойчивости упругих элементов основан на построении решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих колебания упругих элементов, в виде разложений по некоторым полным системам базисных функций, вид которых зависит от граничных условий. Численная реализация (в отличие от аналитического метода исследования устойчивости на основе функциона лов) позволяет исследовать как устойчивость, так и неустойчивость колебаний, в том числе строить закон изменения деформации с течением времени.
Приведены примеры расчетов для конкретных значений параметров, характеризующих свойства материала элементов и протекающей в нем жидкости. Построены графики прогибов, соответствующие случаям динамической устойчивости и неустойчивости. Построена область устойчивости на плоскости двух параметров (скорость потока - сжимающее усилие) при фиксированных значениях остальных параметров.
Все возможности численных исследований, отмеченные выше, реализованы и для задач, рассматриваемых в следующих главах диссертации.
Во второй главе исследуются задача об асимптотической устойчивости упругой пластины-элемента стенки плоского бесконечного канала, через который протекает жидкость(газ), и задача об асимптотической устойчивости колебаний бесконечной решетки упругих пластин, взаимодействующих с потоком идеального газа(жидкости).
В третьей главе исследуются задачи об устойчивости вязкоупругих пластин и асимптотической устойчивости упругих пластин - элементов стенок пространственного канала.
В каждой главе принята своя тройная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -формулы в параграфе.
В данной диссертации в главах 1,3 построение решения аэрогидродинамической части задачи о движении жидкости в канале (а именно решения двумерной (глава 1) и трехмерной (глава 3) краевой задачи для уравнения Лапласа) проводится на основе разработанной методики, использующей метод Фурье и представление искомых функций (потенциала скорости и прогибов пластин) в виде рядов, при этом аэрогидродинамическая нагрузка (давление газа или жидкости) определяется через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин. При подстановке выражения для давления в уравнения колебаний пластин решение задач сводится к исследованию системы связанных интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для функций прогибов.
В главе 2 построение решения аэрогидродинамических частей задач внутреннего и внешнего обтекания деформируемых конструкций неограниченным потоком газа (а именно решения двумерной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов) проводится на основе разработанной для этого методики, использующей методы теории функций комплексного переменного (ТФКП) [88], при этом аэрогидродинамическая нагрузка определяется также через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин, для которых вновь возникает вновь связанная система интегро-дифференциальных уравнений.
Исследование динамической устойчивости вязкоупругих элементов проводится на основе разработанных методик, связанных с построением положительно определенных функционалов, соответствующих полученным системам интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для прогибов пластин.
Исследование асимптотической устойчивости упругих элементов каналов и их динамики проводится на основе разработанного численно-аналитического метода. Решение основано на разложении прогиба в ряд по некоторой полной системе функций. Методом Галеркина [84] дифференциальное уравнение с частными производными сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение соответствующей задачи Коши строится на основе нахождения собственных чисел (СЧ) и собственных векторов (СВ) соответствующего матричного дифференциального оператора. Вывод об асимптотической устойчивости делается в результате анализа наибольшей действительной части собственных чисел исследуемой задачи.
Во всех задачах использовалась методика исключения аэрогидродинамической функции, основанная на методах ТФКП или методе Фурье, и позволяющая свести решение задач к исследованию связанных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений для прогибов пластин.
Задачи рассматриваются в постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока несжимаемой среды и малым деформациям элементов. Научная новизна полученных результатов:
1) Построены математические модели проточных каналов с упругими и вязкоупругими элементами, с учетом взаимодействия с потоком жидкости (газа), протекающим внутри них.
2) Разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости упругих элементов проточных каналов с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком жидкости (газа), а также соответствующие численные алгоритмы и компьютерные программы.
3) Разработана методика аналитического исследования устойчивости вязкоупругих элементов канала, основанная на построении функционалов.
Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать методы расчета конструкций, находящихся во взаимодействии с потоком жидкости или газа, повысить уровень расчетного анализа взаимодействия, сократить время, затрачиваемое на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением численного эксперимента.
Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач и математических преобра зований, согласованием аналитических решений с результатами вычислительного эксперимента, а также согласованностью с результатами других авторов.
Основные результаты диссертации докладывались на конференциях различного ранга: International Conference Modelling & stability. "Dynamical systems modelling and stability investigation" (КГТУ им. Т. Шевченко, Киев, 2001); молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения" (КГУ, Казань, 2001-2004); международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (МГУ им. Огарева, Саранск, 2002, 2003); международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (УлГУ, Ульяновск, 2001); Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения-ХШ" (ВГУ, Воронеж, 2002); XII межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, Самара, 2002); X Международной конференции "Математика. Экономика. Образование" и II Международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения" (РГУ, Ростов-на-Дону, 2002); XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2002); XXIV конференция молодых ученых мех.-мат. фак-та МГУ им. М.В.Ломоносова (МГУ, Москва, 2002); International Conference Physics and Control (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2003); Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» (УлГТУ, Ульяновск, 2001-2004); EUROMECH Colloquium "Identification and Updating Methods of Mechanical Structures" (IT AS CR, Prague, Czech Republic, 2002); the 10 Conference on Applied and Industrial Maathematics (University of Pitesti, Romai, 2002); the 30 Jubilee International Conference "Application of Mathematics in Engineering and Economics" (Sozopol, Bulgaria, 2004); научно-технические ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (2000-2004).
Численное решение задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов одной стенки канала
В первой главе исследуется задачи об устойчивости вязкоупругих элементов и задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов стенок плоских проточных каналов конечной длины, с различным месторасположением и количеством этих элементов.
Представлены два способа для исследования устойчивости. Первый способ (аналитический) основан на конструировании функционалов типа Ляпунова для исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов каналов. В рамках теории получены в аналитической форме достаточные условия устойчивости для различных типов закреплений. Приведен ряд ограничений на основные параметры системы, позволяющих обеспечить устойчивость колебаний.
Второй способ (численный), исследования асимптотической устойчивости упругих элементов основан на построении решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих колебания упругих элементов, в виде разложений по некоторым полным системам базисных функций, вид которых зависит от граничных условий. Численная реализация (в отличие от аналитического метода исследования устойчивости на основе функционалов) позволяет исследовать как устойчивость, так и неустойчивость колебаний, в том числе строить закон изменения деформации с течением времени.
Приведены примеры расчетов для конкретных значений параметров, характеризующих свойства материала элементов и протекающей в нем жидкости. Построены графики прогибов, соответствующие случаям динамической устойчивости и неустойчивости. Построена область устойчивости на плоскости двух параметров (скорость потока - сжимающее усилие) при фиксированных значениях остальных параметров. Все возможности численных исследований, отмеченные выше, реализованы и для задач, рассматриваемых в следующих главах диссертации. Во второй главе исследуются задача об асимптотической устойчивости упругой пластины-элемента стенки плоского бесконечного канала, через который протекает жидкость(газ), и задача об асимптотической устойчивости колебаний бесконечной решетки упругих пластин, взаимодействующих с потоком идеального газа(жидкости). В третьей главе исследуются задачи об устойчивости вязкоупругих пластин и асимптотической устойчивости упругих пластин - элементов стенок пространственного канала. В каждой главе принята своя тройная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -формулы в параграфе.
В данной диссертации в главах 1,3 построение решения аэрогидродинамической части задачи о движении жидкости в канале (а именно решения двумерной (глава 1) и трехмерной (глава 3) краевой задачи для уравнения Лапласа) проводится на основе разработанной методики, использующей метод Фурье и представление искомых функций (потенциала скорости и прогибов пластин) в виде рядов, при этом аэрогидродинамическая нагрузка (давление газа или жидкости) определяется через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин. При подстановке выражения для давления в уравнения колебаний пластин решение задач сводится к исследованию системы связанных интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для функций прогибов.
В главе 2 построение решения аэрогидродинамических частей задач внутреннего и внешнего обтекания деформируемых конструкций неограниченным потоком газа (а именно решения двумерной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов) проводится на основе разработанной для этого методики, использующей методы теории функций комплексного переменного (ТФКП) [88], при этом аэрогидродинамическая нагрузка определяется также через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин, для которых вновь возникает вновь связанная система интегро-дифференциальных уравнений.
Исследование динамической устойчивости вязкоупругих элементов проводится на основе разработанных методик, связанных с построением положительно определенных функционалов, соответствующих полученным системам интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для прогибов пластин.
Исследование асимптотической устойчивости упругих элементов каналов и их динамики проводится на основе разработанного численно-аналитического метода. Решение основано на разложении прогиба в ряд по некоторой полной системе функций. Методом Галеркина [84] дифференциальное уравнение с частными производными сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение соответствующей задачи Коши строится на основе нахождения собственных чисел (СЧ) и собственных векторов (СВ) соответствующего матричного дифференциального оператора. Вывод об асимптотической устойчивости делается в результате анализа наибольшей действительной части собственных чисел исследуемой задачи.
Во всех задачах использовалась методика исключения аэрогидродинамической функции, основанная на методах ТФКП или методе Фурье, и позволяющая свести решение задач к исследованию связанных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений для прогибов пластин.
Исследование устойчивости упругих элементов двухпроточного канала численно-аналитическим методом
Отмеченные особенности увеличивают сложность исследований и приводят к необходимости разработки специальных методов изучения устойчивости упругих и вязкоупругих тел в потоке жидкости или газа.
Отмеченное выше позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.
Диссертация посвящена разработке математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие (или упругие) элементы, находящиеся во взаимодействии с потоком идеального газа (жидкости), и исследованию на основе построенных моделей динамической устойчивости этих элементов. Принятые в работе определения устойчивости вязкоупругого или упругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Проблема может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему "жидкость-тело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, сжимающие или растягивающие усилия, силы трения), малым деформациям тел в начальный момент времени t=0 (т.е. малым начальным отклонениям от положения равновесия) будут соответствовать малые деформации и в любой момент времени t 0 (в случае асимптотической устойчивости деформации должны стремиться к нулю при t— 00 ).
В настоящей работе механическое поведение материала пластин описывается упругой или вязкоупругой моделью тела. Вязкоупругая модель основана на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра и теории реологических моделей, восходящих к Дж. Максвеллу[148,149], В. Фойхту[162,163] и Дж. Томпсону[152]. Согласно этой модели напряжение в любой точке пластины зависит от предыстории деформирования материала в данной точке. Связь между напряжением и деформацией подчиняется линейному уравнению Вольтерра-Фойхта. Под старением материала понимается изменение его физико-механических свойств во времени.
При решении задач аэрогидроупругости, рассматриваемых в диссертации, аэрогидродинамическая нагрузка определяется из линейных асимптотических уравнений аэрогидромеханики в модели несжимаемой среды.
За последние десятилетия проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, посвященных теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел, среди которых отметим работы Арутюняна Н.Х., Дроздова А.Д., Колмановского В.Б. [4-8], Работнова Ю.Н. [117-120]. Предметом большого количества исследований является также динамика упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Исследования в этом направлении изложены в работах Болотина В.В. [17], Вольмира А.С. [53-55], Галиева Ш.У. [57], Горшкова А.Г., Григолюка Э.Г., Кабанова В.В., Кузнецова В.Н., Лампер Р.Е., Тарлаковского Д.В. [61-68], Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаева А.Э. [71,72], Ильгамова М.А. [76-80], Мовчана А.А. [94-97] и других авторов. Среди зарубежных авторов отметим Бисплингхоффа Р.Л., Эшли X., Халфмана Р.Л. [143], Фына ЯД. [135], Доуелла Е.Х. [145]. Исследованию динамики трубопровода с протекающей в нем жидкостью посвящены работы Челомея СВ. [137,138], Феодосьева В.И. [128] и других.
Некоторые результаты по исследованию устойчивости деформируемых тел с учетом как старения (вязкоупругости) материала, так и с учетом взаимодействия с жидкостью (газом) изложены в работах [2,38-44, 98-111]. Для части рассматриваемых в диссертации задач характерным является одновременный учет как вязкоупругих свойств материала тел (старения материала), так и взаимодействие с потоком жидкости (газа). Другая часть задач посвящена исследованию асимптотической устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Целью диссертационной работы является разработка на основе математического моделирования математических методов исследования устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, взаимодействующих с потоком жидкости (газа), протекающего внутри них. Для достижения этой цели решаются следующие задачи: 1) Построение математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие элементы, взаимодействующие с дозвуковым потоком жидкости или газа. 2) Разработка аналитических и численных методов исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком среды.
Исследование динамики и устойчивости колебаний упругого элемента бесконечного канала
Исследование асимптотической устойчивости упругих элементов каналов и их динамики проводится на основе разработанного численно-аналитического метода. Решение основано на разложении прогиба в ряд по некоторой полной системе функций. Методом Галеркина [84] дифференциальное уравнение с частными производными сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение соответствующей задачи Коши строится на основе нахождения собственных чисел (СЧ) и собственных векторов (СВ) соответствующего матричного дифференциального оператора. Вывод об асимптотической устойчивости делается в результате анализа наибольшей действительной части собственных чисел исследуемой задачи.
Во всех задачах использовалась методика исключения аэрогидродинамической функции, основанная на методах ТФКП или методе Фурье, и позволяющая свести решение задач к исследованию связанных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений для прогибов пластин.
Задачи рассматриваются в постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока несжимаемой среды и малым деформациям элементов. Научная новизна полученных результатов: 1) Построены математические модели проточных каналов с упругими и вязкоупругими элементами, с учетом взаимодействия с потоком жидкости (газа), протекающим внутри них. 2) Разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости упругих элементов проточных каналов с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком жидкости (газа), а также соответствующие численные алгоритмы и компьютерные программы. 3) Разработана методика аналитического исследования устойчивости вязкоупругих элементов канала, основанная на построении функционалов. Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать методы расчета конструкций, находящихся во взаимодействии с потоком жидкости или газа, повысить уровень расчетного анализа взаимодействия, сократить время, затрачиваемое на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением численного эксперимента.
Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач и математических преобразований, согласованием аналитических решений с результатами вычислительного эксперимента, а также согласованностью с результатами других авторов.
Основные результаты диссертации докладывались на конференциях различного ранга: International Conference Modelling & stability. "Dynamical systems modelling and stability investigation" (КГТУ им. Т. Шевченко, Киев, 2001); молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения" (КГУ, Казань, 2001-2004); международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (МГУ им. Огарева, Саранск, 2002, 2003); международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (УлГУ, Ульяновск, 2001); Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения-ХШ" (ВГУ, Воронеж, 2002); XII межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, Самара, 2002); X Международной конференции "Математика. Экономика. Образование" и II Международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения" (РГУ, Ростов-на-Дону, 2002); XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2002); XXIV конференция молодых ученых мех.-мат. фак-та МГУ им. М.В.Ломоносова (МГУ, Москва, 2002); International Conference Physics and Control (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2003); Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» (УлГТУ, Ульяновск, 2001-2004); EUROMECH Colloquium "Identification and Updating Methods of Mechanical Structures" (IT AS CR, Prague, Czech Republic, 2002); the 10 Conference on Applied and Industrial Maathematics (University of Pitesti, Romai, 2002); the 30 Jubilee International Conference "Application of Mathematics in Engineering and Economics" (Sozopol, Bulgaria, 2004); научно-технические ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (2000-2004).
Численное исследование устойчивости колебаний упругого элемента стенки канала
Исследуем поведение пластинок, испытывающих действие нормальных к их срединной поверхности давлений набегающего потока среды. Будем рассматривать гибкие системы, широко распространенные в строительных конструкциях. Это обстоятельство требует привлечения нелинейной теории оболочек. Важность такого исследования состоит в том, что оно позволяет установить характер возможных прощелкиваний. Рассматривается задача о пространственном движении идеального несжимаемого газа в канале, одна из стенок которого содержит упругий элемент (Рис.3.2.1). Исследование устойчивости проводится в нелинейной постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока газа и малым прогибам упругого элемента стенки канала.
Рассмотрим движение газа в прямолинейном канале Скорость невозмущенного потока газа будем считать равной V и направленной вдоль оси Ох. Упругий элемент является частью стенки и закреплен шарнирно. где комбинации индексов p±m±r $э и q±n±s Реализована компьютерная программа на языке высокого уровня C++, которая для задаваемых параметров осуществляет численное решение нелинейной системы уравнений (3.3.20) (решение задачи Коши производится разностным методом Эйлера) и выводит на экран графики прогиба упругой пластинки. Приведем результаты проведенных численных экспериментов на ЭВМ для параметров, заданных в п.3.2. Число приближений для прогиба бралось N] - 3, N2 = 3 (9 приближений), для потенциала L = 30, N = 30. Представим графики решений нелинейной задачи WHejlUH (жирная кривая) и соответствующей линейной WMH (тонкая кривая), а также представлена их с мелим лам / с относительная погрешность 5 = : (о считается как отношение " нелин. максимумов пиков двух ближайших полуволн соответствующих решений): Динамика точки элемента х0 =z0 =0.5, погрешность (12%) при W(x, z,0) = sin j (x - a) sin rjx (z - c), W(x, z,0) = 0. 1) Построены математические модели в задачах о дозвуковом движении жидкости (газа) в каналах, стенки которых имеют вязкоупругие элементы. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) материала деформируемых элементов, взаимодействия их с потоком жидкости (газа) и вязкоупругим основанием, а также влияния сжимающих (растягивающих) усилий. 2) Разработана методика аналитического исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов каналов, основанная на исключении аэрогидродинамических функций и построении функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих деформации элементов (количество элементов и места их расположения - произвольные). На плоскости (N,V) "сжимающее усилие — скорость потока" построена область устойчивости (на рис.1 заштрихована), определяемая неравенствами N A- BV(A О, В 0)и V С (С 0). JV 3) Разработан численно- аналитический метод исследования асимптотической устойчивости упругих элементов проточных каналов, основанный на исключении аэрогидро динамических функций и применении метода Галеркина. Метод может быть Рис. 1. Область устойчивости использован при любом закреплении и на плоскости (N,V). любом количестве произвольно располо женных элементов. 4) На основе разработанного численного метода созданы алгоритмы, соответствующие компьютерные программы и проведен численный эксперимент на ЭВМ в задачах о динамике упругих элементов каналов. Построена граница перехода параметров системы из устойчивого состояния в неустойчивое.
Похожие диссертации на Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов
