Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Трехмерная математическая модель движения водной среды 15
1.1. Непрерывная трехмерная модель движения водной среды 16
1.2. Построение дискретной модели 19
1.3. Упрощенная гидростатическая модель для расчета движения водной среды применительно к мелководным водоемам 24
1.4. Трехмерная модель движения водной среды с учетом транспорта солей и тепла 28
Глава 2. Исследование трехмерной математической модели движения водной среды 34
2.1. Погрешность аппроксимации разностной схемы 34
2.2. Погрешность аппроксимации граничных условий 41
2.3. Консервативность дискретной модели 51
2.4. Устойчивость разностной схемы 60
2.4.1. Исходная система уравнений 62
2.4.2. Каноническая форма сеточных уравнений 63
2.4.3. Принцип максимума 69
2.4.4. Доказательство устойчивости 71
2.4.5 Схемы против потока 77
Глава 3. Методы решения сеточных уравнений 79
3.1. Попеременно-треугольный метод 79
3.1.1 Оптимизация ПТМ с использованием априорной информации 79
3.1.2 Вариационная оптимизация ПТМ 81
3.2.3 Адаптивная оптимизация ПТМ скорейшего спуска 82
3.2.4 Сходимость ПТМ скорейшего спуска 83
3.2. Попеременно-треугольный метод для несамосопряженной матрицы 85
3.2.1 Вариационная оптимизация ПТМ 86
3.2.2. Адаптивная оптимизация ПТМ минимальных поправок 87
3.2.3. Сходимость ПТМ минимальных поправок 89
3.3. Параллельная реализация аддитивного ПТМ скорейшего спуска 95
Глава 4. Программная реализация математической модели движения водной среды и результаты численных экспериментов 112
4.1. Алгоритм и программная реализация задачи 112
4.1.1 Общие сведения о программе «АгоуЗё» 112
4.1.2. Функциональное назначение программы «А20УЗС1» 112
4.1.3 Описание логической структуры программы «А20УЗС1» 113
4.1.4 Используемые технические средства 125
4.1.5 Вызов и загрузка программы «АгоуЗё» 126
4.1.6 Входные данные программы «А2ОУЗС1» 127
4.1.7 Выходные данные программы «АгоуЗс!» 129
4.2. Результаты численных экспериментов 130
Заключение 142
Литература 144
Введение
- Упрощенная гидростатическая модель для расчета движения водной среды применительно к мелководным водоемам
- Погрешность аппроксимации граничных условий
- Оптимизация ПТМ с использованием априорной информации
- Описание логической структуры программы «А20УЗС1»
Введение к работе
Актуальность темы. Уникальной является экологическая система Таганрогского залива и Азовского моря в целом. Залив является одним из наиболее рыбопродуктивных естественных водоемов, что объясняется благоприятными природно-климатическими условиями, малосоленостью, обилием корма. С другой стороны из внутреннего Азовское море превратилось в оживленный международный морской перекресток. Море, в особенности залив, начинает подвергаться «новым» видам антропогенного воздействия, обусловленным строительством портов, прокладкой судоходных каналов, интенсификацией судоходства и так далее. В то же время, осуществленные без предварительного математического моделирования проекты прокладки каналов могут привести в дальнейшем к интенсивному заносу и заиливанию и, как следствие, к большим материальным затратам на поддержание каналов в “штатном” режиме. Также в результате непродуманного сооружения и углубления каналов в море могут образоваться застойные зоны. Сказанное выше и обуславливает актуальность анализа и прогноза развития экологической системы Таганрогского залива и Азовского моря.
Камерная система моделирования Азовского моря, ее ограниченность, ряд новых интересных результатов получен в Таганрогском радиотехническом университете. В частности, Сухиновым А. И. совместно с Васильевым В.С. построены математические модели, являющиеся во многих отношениях уникальными. Усовершенствована пространственно-двумерная модель мелкой воды. Она позволяет прогнозировать течения в Азовском море и подъем уровня воды с высокой степенью достоверности, однако, до сих пор не были систематически исследованы и применены трехмерные модели гидродинамики, включающие уравнение движения по трем координатным направлениям.
Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей, способных адекватно описывать гидродинамические процессы, а также построение эффективных параллельных алгоритмов для решения задач гидродинамики.
Основные усилия сосредоточены на исследовании следующих важных задач:
1) разработка трехмерной математической модели для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам;
-
аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам;
-
построение эффективного алгоритма для решения сеточных уравнений;
-
создание программной реализации трехмерной математической модели для расчета полей скоростей на языке высокого уровня С++ с поддержкой MPI и построение картин трехмерных течений для различных направлений ветров;
Материалы и методы исследования. Описание гидродинамики мелководных водоемов производилось на основе уравнений: движения (уравнение Навье – Стокса) и неразрывности для несжимаемой жидкости. Для решения задач гидродинамики использовался метод поправки к давлению, при этом отдано предпочтение схемам с весами. Аппроксимация по пространственным переменным производилась при помощи интегро – интерполяционного метода. Устойчивость исследовалась на основе принципа максимума. Сеточные уравнения решались адаптивным попеременно-треугольным итерационным методом. Параллельный алгоритм построен на основе метода декомпозиции области по двум пространственным направлениям.
Используемые численные методы реализованы на языке “C++” с поддержкой MPI. Визуализация и анализ решений, компьютерные эксперименты с индивидуум-ориентированной моделью проводились в среде разработки MATHCAD.
Научная новизна.
Разработана трехмерная математическая модель гидродинамики мелководных водоемов, включающая уравнение движения по трем координатным направлениям.
Предложен подход для расчета гидродинамики мелководных водоемов, значительно уменьшающий временные затраты, в соответствии с которым в качестве начального приближения для вычисления давления используется гидростатическое приближение.
Построен адаптивный попеременно-треугольным итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором и получены оценки сходимости для данного метода.
Построен параллельный алгоритм адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода скорейшего спуска при помощи декомпозиции по двум пространственным направлениям. Получены теоретические оценки ускорения и эффективности для данного алгоритма.
Достоверность научных положений и выводов обусловлена применением математически обоснованных методов. Выполнены исследования погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели. Модель имеет первый порядок погрешности аппроксимации по временной переменной и второй по пространству. Доказана устойчивость модели (в линейном смысле) при ограничениях на шаг по пространству. Аналитически доказано сохранение потока дискретной моделью. Получено совпадение численных расчетов с результатами натурных экспериментов для горизонтальных составляющих вектора скорости.
Научная и практическая значимость работы.
Возможное практическое применение полученной математической модели связано не только с экологическими проблемами. Имея на руках эту модель, можно заблаговременно предсказывать различные природные катаклизмы, связанные с подъемом воды в Таганрогском заливе и затоплением прибрежных районов. На основе математических моделей можно, используя точные данные о ветре, стоке Дона и располагая геоинформационной системой Таганрога, предсказать, какие конкретные строения и когда будут затоплены в случае ураганного ветра. Другое направление работы связано с построением трехмерных моделей, более точно описывающих поведение экосистем, когда нужно моделировать не только движение воды, но и гидрохимические и биологические процессы.
Апробация работы.
Результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах: Молодежь и современные информационные технологии. Сборник трудов VI Всероссийской нучно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. (Томск, 2008); Международной научно-технической конференции (Таганрог, 2008)// ТГПИ. Таганрог; IX Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». ТТИ ЮФУ. (Таганрог, 2009); Научный семинар кафедры ВМ ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2009); Научный семинар кафедры ВМ ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2010).
Краткое содержание и структура работы.
Диссертация изложена на 153 страницах, включает в себя 34 иллюстрации, 4 таблицы; состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы из 96 наименований.
Упрощенная гидростатическая модель для расчета движения водной среды применительно к мелководным водоемам
Диссертация изложена на 153 страницах, включает в себя 34 иллюстрации, 4 таблицы; состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы из 96 наименований.
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется основная цель и задачи диссертационного исследования, новизна работы, раскрывается практическая и научная значимость, а также перечисляются положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена построению трехмерной дискретной математической модели движения водной среды. В 1.1. приведена непрерывная трехмерная математическая модель для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам, .учитывающая такие физические параметры как: сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, ветровые течения и трение о дно. В 1.2. строится дискретная математическая модель движения водной среды. Для решения задач гидродинамики использовался метод поправки к давлению, при этом отдано предпочтение схемам с весами. Аппроксимация по пространственным переменным производилась при помощи интегро - интерполяционного метода. В 1.3. строится упрощенная математическая модель движения водной среды. Главным недостатком данной модели является потеря информации о вертикальной составляющей скорости. Заметим, что гидростатическое давление является хорошей оценкой для гидродинамического давления, что дает выигрыш в количестве арифметических операций в случае, когда гидростатическое давление используется в качестве начального приближения для гидродинамического давления. В 1.4. строится математическая модель транспорта солей и тепла в мелководных водоемах. Для решения задач гидродинамики использовался метод поправки к давлению, при этом учитывается переменная плотность.
Вторая глава посвящена исследованию трехмерной дискретной математической модели движения водной среды. В 2.1. исследуется погрешность аппроксимации модели. Модель имеет первый порядок погрешности аппроксимации по временной переменной и второй по пространству. В 2.2. рассматривается аппроксимация граничных условий. Предложен подход для расчета погрешности аппроксимации граничных условий, основанный на расширении области фиктивными узлами. В 2.3. исследуется консервативность модели. Аналитически доказано сохранение потока дискретной моделью. В 2.4. исследуется устойчивость модели. Приведено описание принципа максимума. На основе принципа максимума доказана устойчивость модели (в линейном смысле) при ограничениях на шаг по пространству. Предложен подход повышения устойчивости, основанный на схемах «против» потока.
Третья глава построению эффективных параллельных алгоритмов для решения задач гидродинамики. В 3.1. приведено описание адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода скорейшего спуска. В 3.2. получен адаптивный попеременно-треугольного итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором и получены оценки сходимости для данного метода. В случае самосопряженного оператора показано, что скорость сходимости данного алгоритма совпадает со скоростью сходимости попеременно-треугольного итерационного метода. В случае несамосопряженного оператора метод .сходится быстрее, чем при использовании симметризации по Гауссу для исходной задачи с последующим решением ее попеременно-треугольным итерационным методом. В 3.3. построен параллельный алгоритм адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода скорейшего спуска при помощи декомпозиции по двум пространственным направлениям. Проведенные численные эксперименты показали, что максимальное ускорение, для задачи размерностью 351x251x14 достигалось на 128 процессорах и было равно 43,6. Получены теоретические оценки ускорения и эффективности для данного алгоритма.
Четвертая глава посвящена описанию программной реализации модели. В 4.1. приведено описание программы «АгоуЗс!», предназначенной для построения трехмерных полей скоростей движения водной среды, а также для прогнозирования возможных сценариев развития экосистемы мелководных водоемов на примере Азовского моря. Приведено логическое описание структуры программы. В 4.2. представлены результаты экспедиции, состоявшейся в 2009 году с 4 по 9 июля, в которой Таганрогским Технологическим институтом Южного Федерального университета проведены комплексные измерения параметров водной среды в акватории Азовского моря для создания и обновления баз данных многолетних наблюдений состояния водной среды. Получено совпадение численных расчетов с результатами натурных экспериментов для горизонтальных составляющих вектора скорости. Представлены результаты численных экспериментов расчета поля скорости при северном ветре 5 м/с на разных глубинах.
Автор выражает свою искреннюю благодарность научному руководителю - Сухинову Александру Ивановичу (руководителю ТТИ ЮФУ) за его за ценные советы, помощь и руководство.
Работа посвящена разработке математической модели для расчета полей скоростей применительно к прибрежным системам и мелководным водоемам таким как Азовское море. Азовское море расположено на юго-западе России и имеет максимальную протяженность с севера на юг 250 км., с запада на восток 350 км., а максимальная глубина - 15м. Модель предназначена для оценки и прогнозирования состояния водной среды водоема. Математическое описание основано на выделение осредненных составляющих параметров течения среды (скорости, давления).
Погрешность аппроксимации граничных условий
В теоретических оценках ускорения рассматривается случай модельной задачи с прямоугольной областью. При решении задачи для реального водоема расчетная область имеет сложную форму. При этом реальное ускорение меньше его теоретической оценки. Из рис. 3.9 видно, что обе кривые проходят достаточно близко друг к другу, т.е. зависимость ускорения, полученную при теоретической оценке, можно использовать в качестве оценки сверху ускорения для параллельной реализации алгоритма ПТМ скорейшего спуска путем декомпозиции области по двум пространственным направлениям.
Выводы по третьей главе: приведено описание адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода; предложен алгоритм адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором и получены оценки сходимости для данного метода; предложен параллельный алгоритм адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода скорейшего спуска на основе декомпозиции по двум пространственным направлениям; получены теоретические оценки ускорения и эффективности для данного алгоритма.
Программа «Azov3d» предназначена для построения трехмерных полей скоростей движения водной среды, а также для прогнозирования возможных сценариев развития экосистемы мелководных водоемов на примере Азовского моря.
Область применения - построение турбулентных потоков несжимаемого поля скоростей водной среды на сетках с высокой разрешающей способностью. Для функционирования программы «Azov3d» на вычислительной платформе необходима предварительно установленная операционная система не ниже Windows ХР. Программа «Azov3d» написана на языке С++. Разработанное экспериментальное программного обеспечения на базе ЭВМ предназначено для математического моделирования развития экосистем мелководных водоемов на примере Азовского моря. Программа «Azov3d» предназначена для построения турбулентных потоков несжимаемого поля скоростей водной среды на сетках с высокой разрешающей способностью. Данная программа используется для расчета трехмерного вектора скорости течения водной среды в акватории Азовского моря, учитывает такие физические параметры как: сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, ветровые течения и трение о дно, и обеспечивает выполнение следующих функций: - расчет поля скорости без учета давления; - расчет гидростатического давления (используется в качестве начального приближения для гидродинамического давления); - расчет гидродинамического давления; - расчет трехмерного поля скорости. Для программы «АгоуЗсЗ» существуют следующие ограничения: - горизонтальные составляющие скорости движения водной среды не должны превышать 2 м/с; - вертикальная составляющая скорости движения водной среды не должна превышать 0.02 м/с; Программный компонент - «Расчет движения водной среды» используется для расчета трехмерного вектора скорости течения водной среды в акватории Азовского моря, учитывает такие физические параметры как: сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, ветровые течения и трение о дно, и включает в себя следующие блоки: - управляющий блок (в данном блоке содержится цикл по временной координате, и вызываются функции: расчет поля скорости без учета давления, расчет гидростатического давления расчет гидродинамического давления, расчет трехмерного поля скорости и функции ввода-вывода данных); - блок ввода начальных данных для расчета течений и давления (задаются начальные распределения поля скорости и давления, а также координаты и значение водных потоков на устьях рек Дон, Кубань и озере Сиваш в соответствии с данными водного баланса); - блок построения сеточных уравнений для поля скорости без учета давления в соответствии с конечно - разностной схемой (считаются и записываются в массив коэффициенты и правая часть соответствующего сеточного уравнения, представленного в канонической форме); - блок построения сеточных уравнений для поля давления в гидростатическом приближении (значение поля гидростатического давления используется в качестве начального приближения для гидродинамического давления); - блок построения сеточных уравнений для поля гидродинамического давления; - блок расчета поля скорости с учетом давления (результатом работы данного блока является расчет значений поля трехмерного вектора скоростей на следующем временном слое); - блок расчета семидиагональных сеточных уравнений адаптивным попеременно - треугольным методом скорейшего спуска; - блок расчета пятидиагональных сеточных уравнений адаптивным попеременно - треугольным методом скорейшего спуска; - блок вывода значений поля скоростей в файлы. Эта программа используется для вычисления трехмерного вектора движений водных потоков и поля давления и обеспечивает выполнение следующих функций: - расчет поля скорости без учета давления; - расчет гидростатического давления; - расчет гидродинамического давления; - расчет трехмерного поля скорости.
Оптимизация ПТМ с использованием априорной информации
Из рис. 4.11 - рис. 4.24 видно, что в акватории Азовского моря имеются слабо вентилируемые зоны, в этих зонах при возникновении термической стратификации, типичной для второй половины лета, возможно появление участков анаэробного загрязнения. В зоне выхода водной среды из Таганрогского залива в Азовское море вода насыщена органическими примесями, при наличии замкнутого вихревого движения среды, органика осаждается на дно. Значительное число органических веществ попадает в захват этого района. Далее эти вещества захватываются вихревой структурой и, опускаясь на дно, образуют органический осадок (данная структура отчетливо видна на рис. 4.18). При температурах воды, характерных для летнего периода, начинается интенсивное окисление образовавшегося осадка с одновременным уменьшением концентрации кислорода. При возникновеиии устойчивой стратификации достаточно быстро наступает явление аноксии (полное отсутствие кислорода), и далее разложение идет по анаэробному циклу с образованием сероводорода. Данное явление было не раз замечено в ходе экспедиции в северо-восточной части Азовского моря. Было отмечено, что на данном участке вблизи дна имеются застойные иловые отложения и резкий запах сероводорода. Подобное явление замечено также в лагуне Этан де Берр (Франция).
Выводы по четвертой главе: приведено описание программной реализации математической модели для расчета полей скоростей водной среды; выполнен ряд численных экспериментов, построены картины трехмерных течений для различных направлений ветров и выделены зоны замкнутого вихревого движения среды. Работа посвящена разработке математической модели для расчета полей скоростей применительно к Азовскому морю. Анализ результатов показывает, что на акватории Азовского моря имеются слабо вентилируемые зоны, в этих зонах при возникновении термической стратификации, типичной для второй половины лета, возможно появление участков анаэробного загрязнения. В зоне выхода водной среды из Таганрогского залива в Азовское море вода насыщена органическими примесями, при наличии замкнутого вихревого движения среды органика осаждается на дно и ее разложение приводит к явлениям гипоксии и аноксии. В случае возникновения аноксии дальнейшее разложение органики идет по анаэробному циклу с образованием сероводорода, что подтверждается практическими экспериментами.
Основные результаты, полученные в диссертационном исследовании и выносимые на защиту: 1. Разработана математическая модель для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам, учитывающая такие физические параметры как: сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, ветровые течения и трение о дно. В отличие от известных данная модель имеет ряд преимуществ. Производится расчет трех компонент вектора скорости на основе уравнений движения, а не на основе гидростатического приближения и уравнения возвышения поверхности. В большинстве гидродинамических моделей для мелкой воды третья компонента вектора скорости определяется из уравнений неразрывности и возвышения уровня, что вносит существенные погрешности в определение вертикальной компоненты скорости. Вычисление трех компонент вектора скорости на основе уравнений движения является трудоемким процессом, поэтому в качестве начального приближения для вычисления давления используется гидростатическое приближение. Данный подход значительно уменьшает временные затраты; 2. Выполнена дискретизация математической модели для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам и сделаны аналитические исследования погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели; 3. Построена гидростатическая математическая модель для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам и проведены сравнения двумерных, трехмерных гидростатических и динамических моделей движения водной среды; 4. Построен адаптивный попеременно-треугольным итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором и получены оценки сходимости для данного метода. В случае самосопряженного оператора скорость сходимости данного алгоритма совпадает со скоростью сходимости попеременно-треугольного итерационного метода. В случае несамосопряженного оператора алгоритм сходится быстрее, чем при использовании симметризации по Гауссу для исходной задачи с последующим решением ее попеременно-треугольным итерационным методом; 5. Построен параллельный алгоритм адаптивного попеременно- треугольного итерационного метода скорейшего спуска при помощи декомпозиции по двум пространственным направлениям. Параллельные вычисления с применением технологий MPI производились на кластере распределенных вычислений с использованием 128 процессоров. Проведенные численные эксперименты показали, что максимальное ускорение, для задачи размерностью 351x251x14 достигалось на 128 процессорах и было равно 43,6. Получены теоретические оценки ускорения и эффективности для данного алгоритма.
Описание логической структуры программы «А20УЗС1»
Экологическая система моря представляет собой сложную многопараметрическую систему, процессы, протекающие в ней, являются пространственно-трехмерными и нестационарными и имеют существенно нелинейный характер. Поэтому, даже относительно простые натурные эксперименты по анализу морской экосистемы являются чрезвычайно трудоемкими и дорогостоящими. В качестве примера следует назвать проведенный в относительно благополучные для финансирования научных исследований 80-ые годы эксперимент "Онего-89" на Северо-Западе России. В этом опыте в течение месяца были задействованы три научно- исследовательских судна, летающая самолет-лаборатория, а также искусственный спутник Земли, а результаты позволили лишь на короткое время предсказать развитие системы Онежского озера. Не преуменьшая роли натурных экспериментов, следует все же отметить, что наиболее оптимальным в смысле затрат и достоверности полученных результатов представляется подход, основанный на сочетании относительно дешевых и простых натурных экспериментов и математического моделирования исследуемых процессов. В еще большей мере сказанное становится справедливым в отношении прогнозирования экосистемы моря. В этом случае математическое моделирование является, по сути дела, единственным надежным средством получения результатов. Правильность такого подхода к прогнозу развития водных экосистем была осознана научным сообществом достаточно давно. Однако, только в конце семидесятых годов были созданы реальные предпосылки внедрения методологии математического моделирования в экологии.
В настоящее время многие крупные внутренние водоемы, заливы и шельфовые системы Западной Европы и Северной Америки имеют программно реализованные математические модели, которые позволяют предсказывать гидродинамические, химические и биологические изменения в экосистемах. В этих странах давно считают чистую воду национальным достоянием, ресурсом «номер один». Компьютерные модели позволяют, в зависимости от направления ветра, предсказывать картину течений и распространения загрязнений для Великих озер Америки, для залива Сан-Франциско и Венецианской Лагуны, и т.д. Начало моделированию экосистемы Азовского моря положили работы донских ученых: академика РАН И.И. Воровича, член- корреспондента РАН Ю.А. Жданова, профессоров А.Б. Горстко, Ю.А. Домбровского, Ф. А. Суркову. Камерная система моделирования Азовского моря, ее ограниченность, ряд новых интересных результатов получен в Таганрогском радиотехническом университете. В частности, Сухиновым
Александром Ивановичем совместно с Васильевым Владиславом Сергеевичем построены математические модели, являющиеся во многих отношениях уникальными. Усовершенствована пространственно-двумерная модель мелкой воды. Она позволяет прогнозировать течения в Азовском море и подъем уровня воды с высокой степенью достоверности. Используя эту модель, можно предсказывать изменение уровня воды в Таганрогском заливе в зависимости от ветра и стока Дона. Другое преимущество данной модели состоит в том, что она точнее других моделей передает картину течений в случае сильно изрезанной береговой линии, в частности, там, где имеются далеко выступающие в открытое море косы. Известно, что эти участки моря являются своеобразными рыбными «яслями», именно здесь и осуществляется, в основном, подрастание рыбной молоди, однако, до сих пор не были систематически исследованы и применены трехмерные модели гидродинамики, включающие уравнение движения по трем координатным направлениям.
Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей, способных адекватно описывать гидродинамические процессы, а также построение эффективных параллельных алгоритмов для решения задач гидродинамики. Основные усилия сосредоточены на исследовании следующих важных задач: 1) разработка трехмерной математической модели для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам, учитывающая такие физические параметры как: сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, ветровые течения и трение о дно; 2) аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам; 3) построение эффективного алгоритма для решения сеточных уравнений; 4) создание программной реализации трехмерной математической модели для расчета полей скоростей на языке высокого уровня С++ с поддержкой MPI и построение картин течений для различных направлений ветров. Материалы и методы исследования. Описание гидродинамики мелководных водоемов производилось на основе уравнений: движения (уравнение Навье - Стокса) и неразрывности для несжимаемой жидкости. Для решения задач гидродинамики использовался метод поправки к давлению, при этом отдано предпочтение схемам с весами. Аппроксимация по пространственным переменным производилась при помощи интегро - интерполяционного метода. Устойчивость исследовалась на основе принципа максимума. Сеточные уравнения решались адаптивным попеременно- треугольным итерационным методом. Параллельный алгоритм построен на основе метода декомпозиции области по двум пространственным направлениям. Используемые численные методы реализованы на языке "С++" с поддержкой MPI. Визуализация и анализ решений, компьютерные эксперименты с индивидуум-ориентированной моделью проводились в среде разработки MATHCAD. Научная новизна. Разработана математическая модель для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам. В отличие от известных данная модель имеет ряд преимуществ. Производится расчет трех компонент вектора скорости на основе уравнений движения, а не на основе гидростатического приближения и уравнения возвышения поверхности. В большинстве гидродинамических моделей для мелкой воды третья (вертикальная) компонента вектора скорости определяется из уравнений неразрывности и возвышения уровня, что вносит существенные погрешности в определение вертикальной компоненты скорости. Вычисление трех компонент вектора скорости на основе уравнений движения является трудоемким процессом, поэтому в качестве начального приближения для вычисления давления используется гидростатическое приближение. Данный подход значительно уменьшает временные затраты. Предложен алгоритм адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором и получены оценки сходимости для данного метода. В случае самосопряженного оператора скорость сходимости данного алгоритма совпадает со скоростью сходимости попеременно-треугольного итерационного метода. В случае несамосопряженного оператора метод сходится быстрее, чем при использовании симметризации по Гауссу для исходной задачи с последующим решением ее попеременно-треугольным итерационным методом. Предложен параллельный алгоритм адаптивного попеременно- треугольного итерационного метода скорейшего спуска на основе декомпозиции по двум пространственным направлениям. Получены теоретические оценки ускорения и эффективности для данного алгоритма.
