Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи. Вероятностные и стохастические модели в описании поведения систем массового обслуживания
1.1 Математические методы исследования систем массового обслуживания 9
1.2 Стохастическая модель системы массового обслуживания с упорядоченным изменением основных параметров 11
1.3 Марковские процессы в описании поведения системы массового обслуживания 15
1.4 Диффузионные процессы в описании поведения системы массового обслуживания 23
Выводы и результаты 45
Глава 2. Диффузионные процессы в описании поведения системы массового обслуживания
2.1. Асимптотические характеристики параметров системы массового обслуживания 46
2.2 Количественные результаты описания состояний процесса товарооборота как задачи теории массового обслуживания 55
2.2. Определение минимального необходимого количества элементов, обеспечивающих функционирование системы массового обслуживания 62
Выводы и результаты 69
Глава 3. Влияние изменения информации па функционирование системы массового обслуживания
3.1 Стохастические системы массового обслуживания с различной степенью информации 70
3.2 Нормальное приближение для распределения функции числа элементов системы массового обслуживания 73
3.3. Уточненное распределение количественных характеристик в задаче системы массового обслуживания для процесса товарооборота 88
3.4 Количественные оценки, характеризующие исход процесса 96
Выводы и результаты 109
Заключение 110
Публикации автора по теме диссертации 111
Литература 114
Приложения 124
- Стохастическая модель системы массового обслуживания с упорядоченным изменением основных параметров
- Количественные результаты описания состояний процесса товарооборота как задачи теории массового обслуживания
- Нормальное приближение для распределения функции числа элементов системы массового обслуживания
- Уточненное распределение количественных характеристик в задаче системы массового обслуживания для процесса товарооборота
Введение к работе
Актуальность проблемы. При решении задач теории массового обслуживания часто используются математические методы с применением марковских процессов. С помощью этого моделирования удается исследовать такие задачи теории массового обслуживания, которые другими средствами решить достаточно сложно, например оптимизацию системы управления процессом товарооборота, определение минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него.
В этих задачах участие в процессах обращения множества покупателей и продавцов предполагает необходимость учета таких факторов, как конкуренция, законы спроса и предложения, а также то, что все условия здесь имеют вероятностный характер. По характеру отражения причинно-следственных связей случайность и неопределённость процесса, описываемые вероятностными законами, учитывает стохастическое моделирование в виде марковских диффузионных процессов. Существующие научные исследования в области построения методов стохастического моделирования систем массового обслуживания явно не достаточны. Это даёт основание для утверждения, что тема диссертационной работы является актуальной.
Цель диссертационной работы. Разработка метода стохастического моделирования по результатам поведения системы массового обслуживания, в частности, задачи товарооборота в виде марковских диффузионных процессов, его алгоритмическая и программная реализация.
Поставленная цель достигается решением следующих задач:
моделированием процесса товарооборота в системе массового обслуживания марковским случайным процессом со счетным числом состояний и непрерывным временем;
5 переходом к дискретной цепи Маркова, описывающей последовательные значения процесса;
переходом от дискретной цепи Маркова к непрерывному процессу диффузии при неограниченном увеличении исходных значений;
получением асимптотических формул, позволяющих определять исчерпывающие характеристики исхода процесса;
экспериментальной проверкой эффективности данных формул для определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него, оптимизации системы управления процессом товарооборота, определения степени влияния информации на течение процесса;
- разработкой программной системы для данного метода модели
рования системы массового обслуживания-
Методы исследования. При решении поставленных задач примене
ны теория стохастического моделирования, базирующаяся на марковских
диффузионных процессах, методы теории вероятностей, математической
статистики, функционального анализа,
Проверка эффективности предложений, исследованных в диссертации, проводилась на разработанных математических моделях и по результатам работы программной системы, созданной в соответствии с моделями. Эмпирическую базу исследования составили статистические и отчетные данные Пензенской областной торгово-промышленной палаты, ГУЛ Пензенской области «Агрохолдинг», ОАО «Дорснаб» г. Пензы.
Научная новизна работы
Предложенные методы стохастического моделирования, основанные на марковских диффузионных процессах, применены к одному из процессов теории массового обслуживания - процессу товарооборота.
Впервые получены асимптотические формулы подсчёта количественных характеристик процесса товарооборота, которые выражаются че-
рсз начальные значения посредством табулированной функции нормального распределения,
3. Разработан алгоритм, предназначенный для решения задач определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него, оптимизации системы управления процессом товарооборота по результатам статистических данных.
4_ Разработана программная система, позволяющая определять количественные оценки системы массового обслуживания, принимать решения, оптимизирующие поведение рассматриваемой системы.
Практическая ценность. Предложенные в диссертации методы и программная система позволяют автоматизировать процесс подсчета количественных характеристик процесса по результатам статистических данных. Разработанный алгоритм, базирующийся на стохастическом моделировании марковских диффузионных процессов, позволяет осуществить подсчет искомых значений с большей степенью точности и надежности.
Реализация и внедрение результатов. Результаты исследований внедрены в ОАО «Дорснаб» (г. Пенза), ГУП Пензенской области «Агро-холдинг».
Основные положения, выносимые на защиту
Обоснование целесообразности применения математического аппарата стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов для решения задач теории массового обслуживания: оптимизации системы управления процессом товарооборота, определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него.
Предложение метода перехода от дискретной цепи Маркова к непрерывному процессу диффузии,
Алгоритм получения асимптотических формул вероятности исхода процесса массового обслуживания.
Сравнение результатов подсчета вероятностей с помощью биномиального распределения и асимптотической формулы»
Практическая ценность и новизна асимптотического распределения для решения задач теории массового обслуживания,
Программная реализация подсчета количественных характеристик системы на основе метода стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на 3-й и 4-й Международных научно-практических конференциях «Экономии экология и общество России в XXI столетии» (г, Санкт-Петербург, 2001-2002), 3-й Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы управления - 2001» (г. Москва, 2001), ежегодных Международных научно-технических конференциях «Математические методы н информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза, 2001-2003)»
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, включая 3 статьи, 2 отчёта по НИР, 12 тезисов докладов.
Благодарности. Автор благодарит научного руководителя, кл\н., доцента Зубкова А.Ф. за оказанное внимание и научное руководство.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений, содержащих программное обеспечение работы и акты внедрения. Общий объем диссертации 159 е., в том числе 110 с. - основной текст, список литературы на 10 с, 36 с. приложений, 23 таблицы, 6 рисунков.
Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформирована научная проблема, дана общая постановка решаемых задач, приведено краткое содержание диссертационной работы,
В первой главе рассмотрены различные модели для описания поведения систем массового обслуживания. Принята для решения задачи по-
строения оптимального управления процессом товарооборота стохастическая модель в виде процесса Маркова,
Во второй главе осуществлен расчет дохода для случая нескольких переходов между различными состояниями вероятностей. Рассмотрен конкретный пример вычисления дохода от реализации поставленной на склад продукции товара.
Оцениваются вероятности исхода процесса, в котором участвуют q
потоков покупателей и г потоков товара, и течение процесса описывается цепью Маркова с состояниями, расположенными внутри многогранного угла (q + г)-мерного пространства. Исход процесса зависит от выхода цепи
на одну из граней этого угла.
В третьей главе рассмотрена степень влияния рекламы на эффективность управления процессом в случае нескольких потоков товара и покупателей. Исследованы стохастические модели системы, когда степень эффективности рекламы различна. При этом степень информации о товаре у разных потоков покупателей различна.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы,
В приложениях находятся программная система, разработанная для данного метода моделирования и акты о внедрении основных результатов работы.
Стохастическая модель системы массового обслуживания с упорядоченным изменением основных параметров
Постановка задачи массового обслуживания выглядит следующим образом: для данных начальных значений М и N объектов производства и потребителей с помощью стохастической модели в виде марковских диффузионных процессов определить количественные характеристики системы, а именно вероятности финальных событий, которыми являются два возможных исхода: наличие объектов производства при отсутствии покупательского спроса на него, наличие покупательского спроса на объекты при полной их реализации.
Эти два исхода представляют собой дополнительные события, поэтому достаточно найти вероятность одного из них,
В стохастическом варианте допущения, лежащие в основе модели, можно свести к следующим двум пунктам: 1. Изменение состояния товара т до своей продажи, а также состояния покупателя П до полной реализации своих покупательских возможностей определяются пуассоновским потоком с постоянной интенсивностью ЛІ (/=Н#2); 2, Выбор покупателя означает убыль единицы товара, отказ - отсутствие покупательского спроса на данный товар [9, 16,33]. Эти два предположения вместе с начальными значениями М и N однозначно задают распределение вероятностей текущих состояний т и п в любой момент t процесса и определяют марковский характер двумерного случайного процесса {m(t),n(),t 0} (отсутствие последействия). Фактически за ними скрывается целый ряд физических допущений. Прежде всего, пункт 2 нельзя понимать буквально так, что каждый реальный выбор уменьшает на единицу товар, и, наоборот, А. в пункте 1 -это интенсивности "успешных выборов" и где Х\ - плотность потока всех выборов /-и единицы, а /г, - вероятность выбора /-й единицы [40, 52]. Величины Я/ являются параметрами системы массового обслуживания, и их можно считать постоянными. Тогда согласно пункту 1 и равенству (1,2.1) вероятности л постоянны. Постоянство величин щ означает, что по мере уменьшения единиц товара и покупательского спроса на него вероятность выборов не снижается, т.е. выбор уже выбранных единиц не ведётся. Иными словами, во-первых, предполагается симметрия или взаимозаменимость единиц и, во-вторых, предполагается мгновенный перенос выборов с выбранных единиц на невыбранные. Процесс продолжается до выполнения одного из условий: т = 0 или /j = 0. Так как вероятность точного совпадения во времени двух выборов в предположении независимости пуассоновских потоков выборов равна 0, то с вероятностью 1 в конце процесса товар или покупательский спрос на него еще останутся. Требуется вычислить вероятность исхода процесса при заданных параметрах и Л и начальных численностях М u N [54, 68]. Пусть в какой-то момент t текущие значения равны тип. Тогда, согласно предположениям 1-2, на малом промежутке времени от до ґ+Дг товар представляет собой пуассоновский поток выборов с интенсивностью покупательский спрос -с интенсивностью л и эти потоки независимы. Отсюда следует, что независимо от предыдущей эволюции процесса {m{t),n{t)} с вероятностью \ -/Я Д + 0(Дґ) за время At товар сделает один выбор, с вероятностью / -м-Дг+0{Д/) за это время покупатель сделает один выбор и с вероятностью 0(Д ) за это время будет сделано два или более выбора. Выбор товара уменьшает на 1 число п, выбор покупателя - число т. Следовательно, случайный процесс {m(t),n(t),t 0} оказывается однородным во времени марковским процессом с состояниями (т, п) (т9п = 0,1,2,»., /и+л о) и плотностями вероятностей перехода из состояния (т,п) всостояния {т,п-\) и (т-1,п), равными Л -т и -п [5,24,30,71], Схематически процесс изображен на рисунке 1.1. Стрелки на чертеже указывают возможные непосредственные переходы из состояния в состояние; значения над стрелками - плотности вероятностей перехода. Состояния (т,0) и (0,л), лежащие на сторонах прямоугольника, являются поглощающими, из них переходов нет, С вероятностью 1 частица, начинающая движение из данного состояния {MfN)3 через какое-то конечное время попадает в одно из поглощающих состояний. Требуется определить вероятность того, что она попадёт на луч Ол. При начальных численностях М и N в ходе процесса могут встретиться только состояния (лт,и) с тМ, n N. Поэтому при фиксированных М и N систему можно считать процессом Маркова с конечным числом состояний, а именно с состояниями, расположенными в прямоугольнике D. В некоторых случаях предпочтительнее м и -V заранее не фиксировать и рассматривать процесс со счетным числом состояний во всём бесконечном прямоугольнике пОт [19, 33]. Основной характеристикой системы, однозначно определяющей вероятностное течение процесса, являются вероятности перехода, В данном случае - это вероятности Р[гуМ,И т,п) перехода за время t из состояния (AftN) в состояние (ія,н). Вероятности перехода удовлетворяют прямой и обратной системам дифференциальных уравнений А.Н, Колмогорова, которые сразу выписываются по известным плотностям вероятностей перехода. Обратная система уравнений выглядит следующим образом Интефирование как прямой, так и обратной системы возможно. В обоих случаях все уравнения - линейные с постоянными коэффициентами, и их можно интегрировать последовательно, так что каждое следующее уравнение будет содержать только одну неизвестную функцию [44, 73, 85].
Однако практически при увеличении разностей М-т и N-n объём вычислений резко возрастает и общей формулы для решения при произвольных т, Пу М и N получить не удаётся.
Даже если иметь значения переходных вероятностей в общем виде или в виде таблиц, то на вопрос о вероятности исхода процесса ещё нельзя было бы ответить. Хотя теоретически по переходным вероятностям и определяются вероятности всех событий, связанных с процессом, практическое вычисление вероятностей многих событий отнюдь не является простой задачей. В таких событиях, как окончание процесса в одном из состояний луча Оя, не участвует какое-либо фиксированное время t, и для вычисления вероятностей подобных событий нужно знать предельное поведение переходных вероятностей при /- +ю. Аналитическое решение уравнений А.Н. Колмогорова для того, чтобы в них можно было перейти к пределу при t - -но, должно быть достаточно простым. Таким образом, необходим иной подход, не требующий предварительного вычисления переходных вероятностей.
Количественные результаты описания состояний процесса товарооборота как задачи теории массового обслуживания
Практическая ценность. Предложенные в диссертации методы и программная система позволяют автоматизировать процесс подсчета количественных характеристик процесса по результатам статистических данных. Разработанный алгоритм, базирующийся на стохастическом моделировании марковских диффузионных процессов, позволяет осуществить подсчет искомых значений с большей степенью точности и надежности.
Реализация и внедрение результатов. Результаты исследований внедрены в ОАО «Дорснаб» (г. Пенза), ГУП Пензенской области «Агро-холдинг».
Основные положения, выносимые на защиту 1. Обоснование целесообразности применения математического аппарата стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов для решения задач теории массового обслуживания: оптимизации системы управления процессом товарооборота, определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него. 2. Предложение метода перехода от дискретной цепи Маркова к непрерывному процессу диффузии, 3. Алгоритм получения асимптотических формул вероятности исхода процесса массового обслуживания. 4. Сравнение результатов подсчета вероятностей с помощью биномиального распределения и асимптотической формулы» 5. Практическая ценность и новизна асимптотического распределения для решения задач теории массового обслуживания, 6. Программная реализация подсчета количественных характеристик системы на основе метода стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов. Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на 3-й и 4-й Международных научно-практических конференциях «Экономии экология и общество России в XXI столетии» (г, Санкт-Петербург, 2001-2002), 3-й Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы управления - 2001» (г. Москва, 2001), ежегодных Международных научно-технических конференциях «Математические методы н информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза, 2001-2003)» Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, включая 3 статьи, 2 отчёта по НИР, 12 тезисов докладов. Благодарности. Автор благодарит научного руководителя, кл\н., доцента Зубкова А.Ф. за оказанное внимание и научное руководство. Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений, содержащих программное обеспечение работы и акты внедрения. Общий объем диссертации 159 е., в том числе 110 с. - основной текст, список литературы на 10 с, 36 с. приложений, 23 таблицы, 6 рисунков. Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформирована научная проблема, дана общая постановка решаемых задач, приведено краткое содержание диссертационной работы, В первой главе рассмотрены различные модели для описания поведения систем массового обслуживания. Принята для решения задачи по s строения оптимального управления процессом товарооборота стохастическая модель в виде процесса Маркова, Во второй главе осуществлен расчет дохода для случая нескольких переходов между различными состояниями вероятностей. Рассмотрен конкретный пример вычисления дохода от реализации поставленной на склад продукции товара. Оцениваются вероятности исхода процесса, в котором участвуют q потоков покупателей и г потоков товара, и течение процесса описывается цепью Маркова с состояниями, расположенными внутри многогранного угла (q + г)-мерного пространства. Исход процесса зависит от выхода цепи на одну из граней этого угла. В третьей главе рассмотрена степень влияния рекламы на эффективность управления процессом в случае нескольких потоков товара и покупателей. Исследованы стохастические модели системы, когда степень эффективности рекламы различна. При этом степень информации о товаре у разных потоков покупателей различна. В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, В приложениях находятся программная система, разработанная для данного метода моделирования и акты о внедрении основных результатов работы.
Нормальное приближение для распределения функции числа элементов системы массового обслуживания
В стохастическом варианте допущения, лежащие в основе модели, можно свести к следующим двум пунктам: 1 Изменение состояния товара т до своей продажи, а также состояния покупателя П до полной реализации своих покупательских возможностей определяются пуассоновским потоком с постоянной интенсивностью ЛІ (/=Н#2); 2, Выбор покупателя означает убыль единицы товара, отказ - отсутствие покупательского спроса на данный товар [9, 16,33]. Цель диссертационной работы. Разработка метода стохастического моделирования по результатам поведения системы массового обслуживания, в частности, задачи товарооборота в виде марковских диффузионных процессов, его алгоритмическая и программная реализация. Поставленная цель достигается решением следующих задач: моделированием процесса товарооборота в системе массового обслуживания марковским случайным процессом со счетным числом состояний и непрерывным временем; переходом к дискретной цепи Маркова, описывающей последовательные значения процесса; - переходом от дискретной цепи Маркова к непрерывному процессу диффузии при неограниченном увеличении исходных значений; - получением асимптотических формул, позволяющих определять исчерпывающие характеристики исхода процесса; - экспериментальной проверкой эффективности данных формул для определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него, оптимизации системы управления процессом товарооборота, определения степени влияния информации на течение процесса; - разработкой программной системы для данного метода модели рования системы массового обслуживания Методы исследования.
При решении поставленных задач примене ны теория стохастического моделирования, базирующаяся на марковских диффузионных процессах, методы теории вероятностей, математической статистики, функционального анализа, Проверка эффективности предложений, исследованных в диссертации, проводилась на разработанных математических моделях и по результатам работы программной системы, созданной в соответствии с моделями. Эмпирическую базу исследования составили статистические и отчетные данные Пензенской областной торгово-промышленной палаты, ГУЛ Пензенской области «Агрохолдинг», ОАО «Дорснаб» г. Пензы. Научная новизна работы 1. Предложенные методы стохастического моделирования, основанные на марковских диффузионных процессах, применены к одному из процессов теории массового обслуживания - процессу товарооборота. 2. Впервые получены асимптотические формулы подсчёта количественных характеристик процесса товарооборота, которые выражаются че 6 рсз начальные значения посредством табулированной функции нормального распределения, 3. Разработан алгоритм, предназначенный для решения задач определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него, оптимизации системы управления процессом товарооборота по результатам статистических данных. 4_ Разработана программная система, позволяющая определять количественные оценки системы массового обслуживания, принимать решения, оптимизирующие поведение рассматриваемой системы. Практическая ценность. Предложенные в диссертации методы и программная система позволяют автоматизировать процесс подсчета количественных характеристик процесса по результатам статистических данных. Разработанный алгоритм, базирующийся на стохастическом моделировании марковских диффузионных процессов, позволяет осуществить подсчет искомых значений с большей степенью точности и надежности. Реализация и внедрение результатов. Результаты исследований внедрены в ОАО «Дорснаб» (г. Пенза), ГУП Пензенской области «Агро-холдинг». Основные положения, выносимые на защиту 1. Обоснование целесообразности применения математического аппарата стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов для решения задач теории массового обслуживания: оптимизации системы управления процессом товарооборота, определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него. 2. Предложение метода перехода от дискретной цепи Маркова к непрерывному процессу диффузии, 3. Алгоритм получения асимптотических формул вероятности исхода процесса массового обслуживания. 4. Сравнение результатов подсчета вероятностей с помощью биномиального распределения и асимптотической формулы» 5. Практическая ценность и новизна асимптотического распределения для решения задач теории массового обслуживания, 6. Программная реализация подсчета количественных характеристик системы на основе метода стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов.Эти два предположения вместе с начальными значениями М и N однозначно задают распределение вероятностей текущих состояний т и п в любой момент t процесса и определяют марковский характер двумерного случайного процесса {m(t),n(),t 0} (отсутствие последействия). Фактически за ними скрывается целый ряд физических допущений. Прежде всего, пункт 2 нельзя понимать буквально так, что каждый реальный выбор уменьшает на единицу товар, и, наоборот, А. в пункте 1 -это интенсивности "успешных выборов" и где Х\ - плотность потока всех выборов /-и единицы, а /г, - вероятность выбора /-й единицы [40, 52]. Величины Я/ являются параметрами системы массового обслуживания, и их можно считать постоянными. Тогда согласно пункту 1 и равенству (1,2.1) вероятности л постоянны. Постоянство величин щ означает, что по мере уменьшения единиц товара и покупательского спроса на него вероятность выборов не снижается, т.е. выбор уже выбранных единиц не ведётся. Иными словами, во-первых, предполагается симметрия или взаимозаменимость единиц и, во-вторых, предполагается мгновенный перенос выборов с выбранных единиц на невыбранные.
Процесс продолжается до выполнения одного из условий: т = 0 или /j = 0. Так как вероятность точного совпадения во времени двух выборов в предположении независимости пуассоновских потоков выборов равна 0, то с вероятностью 1 в конце процесса товар или покупательский спрос на него еще останутся. Требуется вычислить вероятность исхода процесса при заданных параметрах и Л и начальных численностях М u N [54, 68].
Пусть в какой-то момент t текущие значения равны тип. Тогда, согласно предположениям 1-2, на малом промежутке времени от до ґ+Дг товар представляет собой пуассоновский поток выборов с интенсивностью V"1? покупательский спрос -с интенсивностью л и эти потоки независимы. Отсюда следует, что независимо от предыдущей эволюции процесса {m{t),n{t)} с вероятностью \ -/Я Д + 0(Дґ) за время At товар сделает один выбор, с вероятностью / -м-Дг+0{Д/) за это время покупатель сделает один выбор и с вероятностью 0(Д ) за это время будет сделано два или более выбора. Выбор товара уменьшает на 1 число п, выбор покупателя - число т. Следовательно, случайный процесс {m(t),n(t),t 0} оказывается однородным во времени марковским процессом с состояниями (т, п) (т9п = 0,1,2,»., /и+л о) и плотностями вероятностей перехода из состояния (т,п) всостояния {т,п-\) и (т-1,п), равными Л -т и -п [5,24,30,71],
Уточненное распределение количественных характеристик в задаче системы массового обслуживания для процесса товарооборота
Так как приращение xT(t+S)-xT(t) слагается из ST одинаково распределенных малых приращений Ахг э то в пределе при Т - со оно по центральной предельной теореме имеет нормальное распределение с характеристиками (1А13). В пределе / и 5 0 могут принимать уже произвольные действительные значения, а не только кратные —, и из xT(t) получается марковский процесс с непрерывным временем x(t). Этот предельный процесс является процессом броуновского движения или, иначе, винеровским процессом- Так же, как и у{т)9 он имеет независимые приращения на неперекрывающихся промежутках. Плотность вероятности перехода за время
Значительно более общий случай представляет собой последовательность неоднородных как во времени, так и по пространству случайных блужданий, занумерованных индексом 7\ стремящихся к бесконечности. При каждом данном Т есть случайное блуждание xT(t) с фиксированным временным шагом Дгг и случайным приращением за один шаг Д г, распределение которого зависит от обеих координат / и х той точки, из которой производится соответствующий скачок. При 7" оз как Дгг, так и максимально возможное значение Ахг считаются стремящимися к 0. Рассмотрим математическое ожидание aT(ttx) и дисперсию bT{t,x) приращения Д г за один шаг из точки (ttx): xT(t) и x(t) не со всевозможными, а с фиксированными начальными положениями tot xT(t0) и x{t0),To к (1.4.21) нужно присоединить еще условие
Коэффициенты сноса и диффузии полностью определяют вероятности перехода диффузионного процесса, а значит, вместе с начальной точкой, и всё вероятностное течение этого процесса. Эти коэффициенты входят в прямое и обратное уравнения А. Н. Колмогорова и могут быть восстановлены по любому из этих двух уравнений- Нам понадобится обратное уравнение А. Н. Колмогорова, для которого не требуется существование плотностей у переходных вероятностей [12, 51, 103].
Обратному уравнению удовлетворяет более общий класс вероятностей, а не только вероятности перехода. Пусть А - некоторое событие, относящееся к диффузионному процессу (/), и u{t,x) - вероятность события А при условии, что процесс х(г) начинается в момент t в точке х Эта функция определена только для таких пар (trx), что о наступлении или ненаступлении события А можно однозначно судить по поведению процесса спустя некоторое положительное время после момента /. В частности, если - = (-Н / " ) где Г — промежуток на оси л-, то u(tyx) определяется при г S и представляет собой вероятность перехода за время от t до S из точки х в промежуток Г9 обозначаемую P(t,x;s,r). Обратное уравнение А.Н. Колмогорова выполняется во всех точках (гд) области определения функции tt(t,x) и имеет вид Задача - с помощью предельного перехода от цепи (1.4.25) к диффузии получить при Т - оо асимптотическую оценку для вероятности P(M,N) выхода из точки (M,N) на луч От [13, 36]. Обе координаты m, п с каждым шагом меняются случайно, но их сумма тл-п меняется детерминированно, уменьшаясь на 1, Поэтому с помощью величины-(m + и), с каждым шагом возрастающей на 1? можно измерять число шагов, т.е. дискретное время в цепи (1,4.25). Линии -(т + п)-const -это строки прямоугольника пОт. На перпендикулярных им линиях m + n=const. Эти соображения подсказывают переход к новым переменным из которых первую рассмотрим как время, а вторую - как пространственную координату. Оси г и у показаны на рисунке 13 [13,28]. При каждом целом TZ-(M-N) координата у принимает какое-то случайное значение- Таким образом, имеем дискретную случайную функцию у(т), начинающуюся в момент rD = -(A/,Af) в точке y= M-N, и продолжающуюся до выхода на On или От, и которая, так же как и цепь (1А25Х обладает марковским свойством независимости будущего от прошлого при известном настоящем. Выражая с помощью формул (1.4.26) и (1.4.28) вероятности переходов р и q через г и у находим, что Траектория цепи Маркова (г) представляет собой ломаную, похожую на траекторию симметричного случайного блуждания, особенно вблизи оси т, где вероятности р и q близки к 0,5. Можно ожидать, что при тех же сжатиях, при которых симметричное случайное блуждание переходило в винеровский процесс, цепь Маркова у(т) тоже перейдет в некоторый диффузионный процесс [15, 56, 75]. Так как эти вероятности зависят от г, то случайное блуждание -(г) неоднородно по временив Лучи От иОл, на которых блуждание заканчивается, в новых переменных имеют уравнения: где 7 = Л/ + Л ,ис помощью этого преобразования отображаем у{т) в цепь xT{t) на плоскости (t,x). При r = -(M+N) = имеем / = -1 назначит, процесс xT(t) начинается в момент /0 =-1. Лучи (1.4,30) в новых координатах имеют уравнения.
