Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В работе исследуется специальный класс задач математического моделирования систем управления с матричными переменными, описываемых обыкновенными матричными дифференциальными или разностными уравнениями. Здесь рассмотрены: основные постановки задач управления данными системами, вытекающие из конкретных приложений; исследование решений этих задач классическими методами теории управления; разнообразные примеры управляемых систем с матричными переменными в технике, биологии и экономике; направления дальнейших исследований. Системы управления с матричными переменными для краткости изложения результатов исследований будем в дальнейшем называть матричными моделями управления (ММУ).
Задача конструирования матричных моделей управления является одной из общих задач моделирования динамических процессов, рассматриваемых в прикладной математике. К ним приводит широкий класс задач и проблем, изложенных в работах М. Атанса (М. Athans), Р. Беллмана, Р. Калмана, ДА. Овсянникова, СВ. Подоляна, А.Н. Ширяева. Вполне очевидно, что по сравнению с векторными моделями ММУ обладают большими возможностями описания динамики системы нескольких взаимосвязанных объектов. Например, полет нескольких летательных аппаратов, маневр группы кораблей, прямой и обратный транспорт крови, движение капитала и т.д. ММУ описывается динамика управляемых электронных и ионных пучков (Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков- СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1998, с. 119 - 122).
Впервые задачу управления матричным объектом, динамика которого описывается обыкновенным матричным билинейным дифференциальным уравнением типа Риккати, в классе линейных матричных функций поставил и решил М. Атанс (Athans М. A durect derivation of the Optimal Linear Filters, using the maximal principle // IEEE, Transaction on Automatic Control, v. 6, 1967, P. 690 - 697). Данная работа послужила основой математического моделирования систем управления с матричными переменными.
Необходимость исследования систем управления с матричными переменными возникает, например, в калмановской теории фильтрации и ее приложениях в сингулярных случаях физической реализации фильтров, так как в этой теории не учитываются ограничения на техническую реализацию ММУ. В данной теории в соответствии с классической схемой задач статистики случайных векторных процессов частично наблюдается по второй компоненте yt процесс (xt, yt), t>0. Основная задача фильтрации состоит в том, что по наблюдаемым значениям вектора у,, 0 < s < t, требуется дать оценку zt значений первой векторной компоненты xt. В теории вероятностей известны такие оценки: уравнения Колмогорова (1941), уравнения Винера - Хопфа (1953), фильтр Калмана (1961) и нелинейная фильтрация Липцера - Ширяева (1974). Необходимость учета ограничений в прикладных задачах теории калмановской фильтрации привела автора данной диссертации к проблеме управления системой, которая описывается обыкновенным билинейным матричным дифференциальным уравнением и представляет собой матричную модель дина-
мики корреляционной матрицы ft ошибки оценки (, et = Xt — Zt. С момента создания теории оптимальных фильтров Р. Калманом в 1961 году теория статистической оценки случайных процессов стала находить применение в решениях конкретных задач за счет рекуррентности, простоты и компактности полученных им формул. Но классическая, сугубо теоретическая постановка задачи затрудняет их применение в широком классе задач интерполяции, экстраполяции и последовательной оценки, которые необходимы в решениях прикладных вопросов техники, так как не учитывает технические ограничения возможной приборной реализации. Например, теоретически не учитывается возможное вырождение матрицы, определяющей структуру фильтра, допускаются достаточно большие или малые значения величин, описывающих схему физического фильтра, что приводит к сингулярности и некорректности постановки задачи оценки в условиях технической реализуемости, что было ранее известно.
Значимость приводимых исследований покажем на примере конструирования системы оптимальной нелинейной оценки частично наблюдаемых процессов (Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.- М.: Наука, 1974.- 696 с). Пусть (П, F, Р) - полное вероятностное пространство, Ft, 0 < t < Т, - неубывающее семейство непрерывных справа а - подалгебр F. Пусть (х, у) - частично наблюдаемый случайный векторный процесс, где вектор х — (xt, Ft) - ненаблюдаемая, а вектору = {yt, Ft) - наблюдаемая компоненты. Тогда задача оптимальной фильтрации для процесса (х, у) состоит в построении для каждого момента времени t, 0 < t < Г, оптимальной в среднеквадратичном смысле оценки некоторой Ff - измеримой функции Ы (зависящей от (х, у)) по результатам наблюдений уя, s < t. Если E[h?] < со, то такой оценкой, очевидно, является апостериорное среднее 7Tt(/l) = E[/it I Ff\.
Новый подход к решению задачи оценки был предложен в 1974 году автором данной диссертационной работы на основе решения задач автоматического регулирования и автоматической теории оптимальных регуляторов В.И.Зубова с квадратичным критерием (по Летову) качества их работы, учитывающим технические ограничения на сигналы управления в системах. Задача оптимальной фильтрации для частично наблюдаемого процесса (х, у) состоит в построении для каждого момента времени t, О < t < Т, оптимальной в смысле минимума обобщенного квадратичного функционала У векторной оценки zt, зависящей от_условно-гауссовского процесса (xt, yt), по результатам наблюдений у a, s < t,
У(Т, 7, Ut) = Е[Є(Г)ег + / (e*t(A(t) + H(t)Ut+
+Utir(t))t + Sp(UtQ(t)Ut))dt | Ff], (i)
где st — xt — zt, 7 = cov(eo, o) = E[(xo — «o)(xo - го)* | Fq\, матрицы A, H и Q '(соответствующих размерностей) характеризуют ограничения на векторную ошибку оценки и матричный (соответствующей размерности) сигнал управления U, фильтром Z, * - знак транспонирования. Введение обобщенных квадратичных критериев качества работы фильтров позволило
разработать метод аналитического конструирования оптимальных фильтров. Данный метод (изложенный в главах 3 и 4 диссертации) открыл возможность создания класса технически реализуемых фильтров, способных работать в широком диапазоне прикладных задач в условиях стохастической неопределенности. В работе показано практическое применение данных фильтров в решении таких задач, как оценка и прогноз траектории движения цели при случайных возмущениях и ошибках наблюдения, прогнозирование динамики цен на мировом рынке, оценка и прогноз нелинейного стохастического процесса при технических ограничениях бортовых компьютерных систем (по быстродействию и разрядной сетке). Решение этих задач непосредственно привели к необходимости разработки теоретических основ математического моделирования систем управления с матричными переменными. Это направление является новым в математической кибернетике.
В работе рассмотрены задачи управления линейными и билинейными системами с матричными переменными (БММУ). Под билинейными матричными моделями управления (БММУ) понимается описание динамики объектов следующими матричными обыкновенными дифференциальными (или соответствующими разностными) уравнениями
X = AiX + ХА2 + BiUx + U2B2+
+U1C1X + XCiVZ + VtDiUi + U2D2Ui + F, (2)
где t Є [to, Г], X Є RnX", Ui Є RmXn, U2 Є Rnxm, моменты времени to и T, а также начальное Хо = X(to) положение - заданы. Предполагается, что матрицы Ai(t), A2(t), Bi(t), B2(t), Ci(t), Ci{t), Di(t), L>2(t), F(t) соответствующих размерностей с непрерывными элементами известны.
Частный случай таких моделей впервые рассмотрел М. Атанс (1967) в задаче синтеза оптимального управления фильтром Р. Калмана посредством принципа максимума Л.С. Понтрягина. Несмотря на то, что обыкновенные матричные дифференциальные уравнения давно известны (см. труды Н.П. Еругина, И.А. Лаппо-Данилевского, A.M. Ляпуноваит.д.), монографии, посвященной обыкновенным матричным дифференциальным и разностным уравнениям и задачам управления, описываемых ими, по известной автору литературе, нет. Автором диссертации опубликована монография [2].
Степень разработанности темы исследований достаточно высокая. На основе данных исследований сконструированы технические системы, рассмотрены некоторые задачи технической кибернетики, математической биологии и экономики, решения которых опубликованы в статьях [1, 3 - 18] и в монографии [2].
Таким образом, разработка методов математического моделирования систем управления с матричными переменными является актуальным направлением теоретической и прикладной математики. В результатах этой работы заинтересованы организации, проектирующие следящие и навигационные системы, системы автоматического управления, системы контроля и управления состоянием здоровья пациентов, системы анализа налоговой базы региона, системы управления движением финансовых средств и т.д.
Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка теоретических основ математического моделирования естественнона-
учных объектов, которые допускают описание в форме систем управления с матричными переменными.
Связь с крупными научными программами, темами. Основополагающие результаты данной работы (глава 3 и 4) получены в ходе научно-исследовательских работ в Конструкторском бюро точного машиностроения (г. Москва, 1969 -1980 гг.) по спецтематике, входящей в ряд важнейших задач народного хозяйства СССР. Основные теоретические результаты (главы 1 и 2) получены в ходе работ по государственной теме (Per. гос. NAO1.09.10017666 - Качественные вопросы теории дифференциальных систем с распределенными параметрами) исследований, проводимых на математическом факультете Витебского государственного университета им. П.М. Машерова (1986 - 2000 гг.) и факультете прикладной математики - процессов управления СПбГУ (2000 - 2004 гг., грант президента РФ НШ-2174.2003.1 и грант РФФИ 03-01-00668). Приложения разрабатываемых теоретических основ ММУ (глава 5) тесно связаны с научно - прикладной республиканской программой исследований, проводимых в липидном лечебно-диагностическом центре Республики Беларусь (1993 - 1997 гг. Per. гос. N-1996252 - Экспериментально - клиническое обоснование и внедрение технологий коррекции метаболизма при дисли-попротеинемиях.). Результаты совместной работы опубликованы в статьях и докладах на конференциях, включая международные, которые способствовали становлению основ математической модели липидностей живых систем.
Объектом исследования, рассматриваемым в работе, являются модели систем управления с матричными переменными.
Собственным предметом исследований, которые излагаются в диссертационной работе, являются обыкновенные линейные и билинейные матричные дифференциальные или разностные уравнения. Данные уравнения представляют собой абстракцию сложных систем, изучаемых в широком спектре естественных, технических и экономических наук. В работе приводятся решения и ставятся проблемы и задачи данного объекта исследований, имеющего общие аспекты в системах различной природы. При этом предполагается, что явления реального мира описываются набором четырех объектов: входной, выходной и внутренний сигналы в виде матричных переменных, зависящих от времени, функционалы, характеризующие текущие значения внутреннего и выходного сигналов.
Методология и методы проведенного исследования. В основу методологии исследований, приводимых в работе, положена общая методология математической теории кибернетики и математического моделирования. Основными методами проводимых исследований являются методы теории оптимального управления, функций А.М. Ляпунова и теории фильтрации, значительный вклад в развитие которых внесли русские математики: В.Г. Болтянский, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, А.Н. Колмогоров, А.А. Красовский, Н.Н. Красовский, A.M. Летов, В.М. Миллионщиков, Н.Н. Моисеев, Л.С. Пон-трягин, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов, А.Н. Ширяев, ВА. Якубович и многие другие.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми. Выделим среди них следующие факты. Рассмотрены и всесторонне исследованы линейные и билинейные математические модели систем управления с матричными пере-
менными в непрерывном и дискретном времени с обобщенным линейно-квадратичным функционалом. На основе этих исследований дано, теоретическое обобщение калмановской теории фильтрации и теории нелинейной фильтрации А.Н. Ширяева на случаи обобщенного линейно-квадратичного функционала, характеризующего качество работы фильтра и ограничения на его техническую реализацию. Показано, что впервые данное Р. Беллма-ном фармакокинетическое описание векторными моделями процесса переноса веществ в потоках между компартментами живого организма более полно представляется векторно-матричными моделями управления. В работе обоснована математическая векторно-матричная модель липидностей живых систем, главным достоинством которой является возможность анализа экспериментальных данных поведения живого объекта на шкале жизни. На базе данной модели предложен алгоритм распознавания основного и сопутствующих заболеваний. Показано применение этих моделей в экономике. Разработаны модели и алгоритмы параллельных и последовательных фильтров случайных процессов, позволяющих повысить надежность, например, следящих систем. Новизна и значимость применения данных алгоритмов в следящих системах подтверждены свидетельством на изобретение (в соавторстве).
Приведенные результаты исследований показывают, на взгляд автора, что применение матричных переменных в математических моделях представляет научную проблему для специалистов в области дифференциальных уравнений, математической кибернетики, математической физики, теории вероятностей, математической биологии, экономики и т.д.
Практическая и экономическая значимость полученных результатов, приводимых в диссертации, следует из их непосредственной связи с научными программами и темами, которые были указаны выше.
Полученные результаты могут быть использованы при:
конструировании систем управления со случайными ошибками измерений и воздействиями;
решении вопросов проектирования матричных моделей управления;
синтезе моделей в биологии, медицине, экономики, техники и анализе поведения объектов, описываемых этими моделями в различных режимах функционирования.
В диссертации приводятся решения задач прикладной математики, техники, биологии и экономики, которые имеют практическую и экономическую значимость для науки и производства.
Материалы диссертации использовались при чтении лекций по теории вероятностей и математической статистике и спецкурсов на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета и на математическом факультете Витебского государственного университета им. П.М. Машерова (Республика Беларусь), а также при выполнении курсовых и дипломных проектов студентами.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Научно обоснованный подход, методы и алгоритмы решения прикладных задач описания объектов посредством математических моделей систем управления с матричными переменными. Обоснование проводится введением определений и доказательством теорем и лемм.
Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:
1. Предложен метод аналитического конструирования математиче
ских моделей систем управления с матричными переменными , кото
рый позволяет получить простые расчетные формулы и качественные
результаты при наличии ограничений на техническую реализацию объ
екта в приложениях математической кибернетики, медицины, биоло
гии, техники и экономики, в том числе:
— доказательство необходимых и достаточных условий устойчиво
сти, управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости систем,
описываемых матричными обыкновенными линейными диффе
ренциальными или разностными уравнениями;
— решение задачи синтеза оптимального (по отношению к миниму
му обобщенного линейно-квадратичного функционала) управле
ния непрерывных и дискретных систем с матричными перемен
ными.
2. На основе данного подхода предложен метод аналитического кон
струирования оптимальных фильтров условно-гауссовских случайных
процессов и последовательностей, который является дальнейшим раз
витием теории калмановской фильтрации на случай обобщенного квад
ратичного функционала, учитывающего ограничения на их техниче
скую реализацию, в том числе:
решения прикладных задач в технике (двухканальная следящая система), экономике (прогнозирование динамики цен на мировом рынке), биологии и медицине (оценка риска заболеваемости сердечно-сосудистой системы);
алгоритм решения задачи оценки чувствительности параметров нелинейных систем управления;
классификация и технология проектирования оптимальных фильтров.
3. Математические основы метода и модели липидностей живых си
стем, позволяющих дать оценку их положения на шкале жизни, в
том числе:
— введение критерия липидности;
— формулировки и доказательства теорем сложения липидностей
совместных и несовместных объектов;
решение задачи синтеза модели радиационно-индуцированного атеросклероза системы крови;
вывод векторно-матричных уравнений фармакокинетики.
Основные определения, теоремы и леммы, методы анализа и синтеза, алгоритмы и схемы, изложенные в диссертации и выносимые на защиту, позволяют решать известные и малоисследованные прикладные задачи оптимального управления и фильтрации случайных процессов в условиях сингулярности, стохастической неопределенности и технических ограничений, а также
значительно улучшить характеристики существующих приложений математических моделей в целом и значительно расширить область их применения.
Личный вклад соискателя. Основные теоретические положения и практические применения систем управления с матричными переменными, выносимые на защиту, получены автором лично или под его непосредственным научным руководством при выполнении дипломных работ. Большинство прикладных программ численного моделирования написаны лично автором диссертации или с его участием совместно с учениками при работе над проблемами НИР, ОКР и дипломными проектами на языке программирования "Turbo Pascal".
Постановка задач, формулировка определений, формулировка и доказательства лемм и теорем метода аналитического конструирования оптимальных фильтров условно-гауссовских случайных процессов и последовательностей и их решение в стационарном случае сделаны лично автором во время обучения (1971 - 1975) в заочной аспирантуре Ленинградского государственного университета на кафедре теории управления факультета прикладной математики - процессов управления и опубликована в открытой печати [1] в 1980 г. Дальнейшее развитие этого метода принадлежит автору диссертации и его ученикам.
Рассмотренные приложения этих теорий принадлежат и соавторам, с которыми участвовал в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах в течении 12 лет в Конструкторском бюро точного машиностроения (г. Москва).
Биохимическая постановка задачи оценки положения живой системы на шкале жизни математической модели липидностей принадлежит руководителю Республиканского Липидного лечебно-диагностического центра (РЛЛДЦ) проф., д.б.н. Чиркину А.А. и его ученикам: д.б.н., проф. Коневаловой Н.Ю., к.м.н. Рабкину М.С.
Формулировка критерия липидности принадлежит автору диссертации и его ученикам: Чиркиной А.А. и Солдатенко И.В. [б]. Рассмотренные приложения этой модели принадлежат и соавторам, с которыми работал в РЛЛДЦ и Витебском медицинском университете (1992 - 1997 гг.) над медицинскими проблемами, связанными с аварией на ЧАЭС, на научно-экспериментальной базе исследований которых проходила апробация математических исследований автора и его дипломников.
Вывод векторно-матричных уравнений фармакокинетики и применение их в экономике дан лично автором.
Докт. биолог, н., проф. Коневаловой Н.Ю. идокт. биолог, н., проф.Чир кину АА. - принадлежат базы данных медико-биологических экспериментов и биохимическая постановка проблемы липидности живых систем. К.т.н. Бочкину А.И. принадлежит разработка и написание компьютерной программы "Риск", а к.мед.н. Рабкину М.С. принадлежит база данных пациентов и факторов риска заболеваемости ССС.
Асташонок В.Ф., Гайдуков В.Л., Кремеров Е.В., Демидова A.M., Загала-вецТ.В., Кремеров Е.В., Куриленок А.Ю., Рубашкова А.И., Солдатенко И.В. и Толкачев В.И. на момент публикаций являлись студентами, выполнявшими под руководством автора дипломные проекты.
Стовманенко Л.В., Чиркиной А.А., Шерегову СВ. и Ярвельян А.В.
принадлежат разработки и написание соответствующих компьютерных программ.
Автор глубоко признателен им за добросовестную совместную работу над развитием математических моделей систем управления с матричными переменными.
Апробация результатов диссертации. Результаты докторской диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Математический Институт АН СССР (семинар по стохастическим процессам, рук. проф. А.Н. Ширяев); Вычислительный центр РАН (г. Москва) (семинар по методам нелинейного анализа, рук. проф. Е.А. Гребени-ков); Белорусский государственный университет (семинар по теории оптимального управления, рук. проф. Ф.М. Кириллова); СПбГУ (семинар кафедры информационных систем, рук. проф. Н.Е. Кирин); 3-ий международный семинар "Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их приложения", Санкт-Петербург; Ежемесячное заседание математического общества математиков Республики Беларусь, Институт математики НАНБ; International conference "Deterministic and stohastic modelling of bio interaction", Sofia, Bulgaria; междунар. конф. AMADE-99 "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", Минск; междунар. конф. VIII Белорусская математическая конференция, Минск; 11-th IFAC International Workshop "Control Applications of Optimization", Saint-Petersburg, Russia; междунар. ма-темат. конф. "Еругинские чтения - IX", Республика Беларусь, Витебск; IX Белорусская математическая конференция, Гродно. Полный список опубликованных тезисов докладов автора на конференциях и семинарах дан на с. 29.
Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 71-ой печатной работе (одна монография, 23 работы на правах рукописи, 21 научная статья, 23 тезиса докладов на конференциях, два описания к авторским свидетельствам и одно описание к компьютерной программе). Список основных печатных работ по теме диссертационной работы, опубликованных после защиты кандидатской диссертации приведен на с. 27 (одна монография, 15 научных статей, одна работа на правах рукописи и одно описание к компьютерной программе).
Структура и объем диссертации Диссертация изложена на 286 страницах. Она содержит введение (19 с, в том числе общую характеристику работы (15 с.)), 6 глав (243 с, в том числе 13 рисунков, 7 таблиц), заключение (4 с.) и список литературы, включающий 191 наименование (12 с), Приложение (5 с, 4 табл.).
Краткая характеристика содержания диссертации. Изложение строится по дедуктивной схеме. Во введении изложена цель работы, описан характер и значение ее результатов, а также приведено обсуждение исследований других авторов по соответствующей тематике. В первой и второй главах диссертации формулируются проблемы и задачи математического моделирования систем управления с матричными переменными, которые описываются линейными и билинейными матричными обыкновенными дифференциальными (глава 1) или разностными (глава 2) уравнениями. Вводятся основные математические понятия управляемости, наблюдаемости, устойчивости, стаби-лизируемости, рассматриваются постановки и решения классических задач
теории управления. Третья и четвертая главы посвящены методам аналитического конструирования нелинейных обобщенных линейно-квадратичных фильтров случайных процессов, описываемых стохастическими векторными дифференциальными уравнениями (глава 3), и случайных последовательностей, описываемых стохастическими векторными разностными уравнениями (глава 4). На основании решения задач первой и второй глав показано, что фильтры представляют собой системы управления с матричными переменными. Рассмотрение фильтров как БММУ с учетом условий их технической реализуемости дает обобщение теории фильтрации случайных процессов. Исследован ряд конкретных задач техники и предложено несколько новых технических схем их решения. Рассмотрено применение этих фильтров в задачах распознавания образов. Пятая глава посвящена основным понятиям математической матричной модели липидности живых систем. Приводится ряд задач математической биологии, послуживших основой развиваемого подхода. Выведены компартментальные уравнения фармакокинетики на базе решения задач первой и второй глав и соответствующих уравнений Р. Веллма-на. Рассмотрено применение этих понятий и теорем в задаче оценки развития радиационно-индуцированных дислипопротеинемий у облученных крыс. Предложены алгоритмы распознавания заболевания. В шестой главе рассматриваются пути и направления применения ММУ в экономике. В заключении приводятся кратко основные новые результаты, изложенные в диссертации.
