Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка проблемы 15
1.1. История получения и области применения терморасширенного графита 15
1.2. Физическая постановка задачи 20
1.3. Математическая постановка задачи 22
1.3.1. Закон изменения плотности терморасширенного графита 22
1.3.2. Математическая модель 31
1.3.3. Случай постоянной внешней температуры 33
1.3.4. Случай конвективного теплообмена с окружающей средой 39
1.3.5. Безразмерные переменные 44
ГЛАВА 2. Определение параметров процесса при заданной внешней температуре 48
2.1. Существующие методы решения 48
2.2. Описание метода выпрямления фронтов 50
2.3. Стадия с одной границей раздела фаз 51
2.4. Стадия с двумя границами раздела фаз 60
ГЛАВА 3. Случай конвективного теплообмена 68
3.1. Предварительный нагрев окисленного графита 68
3.2. Нагрев пакета слоев окисленный графит-терморасширенный графит 69
3.3. Нагрев пакета слоев нижний терморасширенный графит-
окисленный графит-верхний терморасширенный графит 72
ГЛАВА 4. Анализ результатов вычислительных экспериментов 78
4.1. Анализ результатов решения задачи Стефана с граничными условиями первої о рода 80
4.2. Анализ результатов решения задачи Стефана с граничными условиями третьего рода 83
4.3. Сравнительный анализ результатов 87
Заключение 91
Список литературы
- Физическая постановка задачи
- Описание метода выпрямления фронтов
- Нагрев пакета слоев окисленный графит-терморасширенный графит
- Анализ результатов решения задачи Стефана с граничными условиями третьего рода
Введение к работе
Актуальное і ь іемьі. Исследования в области технологий и методов получения новых соединений на основе ірафита и разработка новых углеродных материалов с уникальным набором физико-механических характеристик были начаты в 70-х і одах в МГУ им. М.В. Ломоносова в лаборатории химии и технологии углеродных материалов. Особое внимание было уделено практическому использованию в различных отраслях промышленности нового класса неорганических соединений - ИСГ, которые путем термической обработки могут быть преобразованы в ИГ (или ТРГ). Одним из представителей этого класса является ОГ.
Было установлено, что ТРГ обладает рядом уникальных физико-химических свойств, делающих его чрезвычайно привлекательным для практическою применения в качестве нового конструкционного материала. Со временем изделия из ТРГ стали использоваться в различных областях промышленности. Главным образом, ТРГ стал незаменим как уплотнительный материал для оборудования, работающего в условиях высоких температур и агрессивных коррозийных сред. Использование порошкообразного ТРГ, представляющею собой частицы углерода с высокоразвитой поверхностью, для изготовления изделий и введения в состав композитов является сложной технолоїической задачей. Одним из перспективных способов получения изделий из ТРГ является терморасширение ИСГ в газопроницаемой форме (ХП); технология процесса разрабатывается в Энгельсском филиале ЗЛО «Унихимтек» под руководством профессора А.И. Финаенова. При этом появляется возможность получения изделий сложной іеометрии с заданной плотностью, область применения которых быстро расширяется.
Для получения материала с заданными характеристиками необходимо создание математической модели процесса терморасширения ірафита. Модель процесса распространения тепла в теплозащитных материалах рассматривается
в работах И.Ф. Жеребятьева [9], [19], [20], [21]. Если пренебречь влиянием на процесс теплопередачи испаряющихся паров кислоты, то математической моделью процесса нагрева слоя графита является один из вариантов многофазной задачи Стефана. При моделировании процесса терморасширения графита также необходимо учитывать еще и движение частиц самою вещества как сыпучей среды, что еще более усложняет задачу. Существует (в простейших случаях) лишь небольшое число аналитических решений уравнения теплопроводности, удовлетворяющих указанным условиям. Первой была решена одномерная задача о промерзании Стефаном, а также Ляме и Клапейроном. В [30] найдено решение двумерной задачи с радиальной симметрией. Существенный вклад в развитие численных методов для решения подобных задач внесли Б.М. Будак, Л.Л. Самарский, П.Н. Вабищевич [12], [16], [56], [57], [58].
В вычислительном отношении основная сложность решения задач типа Стефана заключается в том, что при изменении размеров подобластей, занимаемых разными фазами вещества, положение подвижной границы не известно и должно определяться в ходе расчетов. Для преодоления данной проблемы был выбран так называемый метод выпрямления фронтов, который описан достаточно подробно в работах А.Б. Успенского и Б.М. Будака [11], [13].
Целью работы является построение математической модели процесса ХП ОГ. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Построение математической модели процесса терморасширения предварительно окисленного графита, учитывающей тепломассоперенос.
Создание методов расчета характеристик процесса при существенном различии теплофизических параметров агрегатных состояний.
Разработка программного обеспечения расчета различных характеристик рассматриваемого процесса.
7 Научная новизна работы заключается в следующем:
Построена математическая модель для процесса вспенивания ОГ с условиями нагрева в виде граничных условий первого рода, состоящего из двух стадий, и процесса с условиями нагрева в виде граничных условий третьего рода, состоящего из трех стадий, отличающаяся учетом сжимаемости ТРГ.
Найдена зависимость плотности ТРГ от положения границ раздела, что позволяет при разработке численного метода решения поставленной задачи учитывать изменение плотности и зависимость коэффициента теплопроводности ТРГ от плотности.
Разработан численный метод решения задачи с граничными условиями первого рода, который отличается аналитическим выделением особенностей. Это дало возможность при построении численного алгоритма уйти от моментов времени зарождения границ раздела фаз.
Разработан численный метод решения задачи, отличающийся принятием во внимание сжимаемости ТРГ, что дает основу для учега зависимости коэффициента теплопроводности ТРГ от его плотности.
Разработан метод решения задачи, отличающийся учетом зависимости коэффициента теплопроводности ТРГ от его плотности. Это позволяет приблизиться к условиям реально протекающего процесса.
На основе проведенною вычислительного эксперимента обнаружено, что градиенты температур во всех областях почти постоянны, а в области, занятой ОГ, температура всюду близка к температуре фазовою перехода.
В численном эксперименте выявлена зависимость полною времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы, что позволяет оценить максимальную толщину получаемого изделия но предельно допустимому времени нагрева.
Научная ценность работы состоит в построении методов математическою моделирования процесса XII ОГ, развитии и апробации
8 методов решения возникающих краевых задач с подвижной границей раздела областей (задач типа Стефана).
Пракіичсская значимость работы заключается в следующем:
Предложенная в диссертационной работе математическая модель рассматриваемою процесса, а также разработанные численные методы решения поставленной задачи позволяют определить параметры процесса терморасширения ОГ.
Па основе построенной математической модели создано программное обеспечение, благодаря которому можно следить за различными характеристиками рассматриваемого процесса, такими как распределение температуры в слое ОГ и ТРГ, положение границ раздела фаз и свободной поверхности ОГ.
Сравнение определяемого в численном эксперименте полного времени процесса терморасширения с известным из экспериментов допустимым временем выбранного температурного режима позволяет делать прогноз о принципиальной возможности получения по технологии ХП изделий заданной толщины и плотности.
Досюверпость полученных результатов обеспечивается корректностью и строгостью применяемых математических методов, проверкой применяемых методов расчета на тестовых задачах, порождаемых точными аналитическими решениями, соответствием основных теоретических результатов и выводов общефизическим представлениям о характере процесса получения ТРГ и совпадением численных расчетов с результатами, полученными на основе асимптотического разложения.
На защиту вынося іся следующие результаты и положения: 1. Создание математической модели трех стадий процесса
терморасширения окисленного графита при учете найденной зависимости
плотности терморасширенного графита от положения границ раздела.
Разработка численною метода определения параметров процесса с аналитическим выделением особых точек, соответствующим моментам отделения границ раздела фаз от внешних границ области
Установление в вычислительном эксперименте постоянства градиентов температур в областях окисленного и терморасширенного ірафита на заключительной стадии процесса и близости температуры в области окисленного графита температуре фазового перехода.
Определение влияния теилофизических параметров терморасширенного графита на характеристики процесса такие, как время протекания процесса, распространение с течением времени границ раздела фаз, а также выявление зависимости полного времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы.
Апробация работ. Основные результаты диссертации докладывались на: семинаре кафедры «Высшая математика и механика» СГТУ (2003 - 2006 гг.), конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» механико-математического факультета СГУ (2004 - 2005 гг.), VII Международной научно-технической конференции «Динамика технологических систем» (Саратов, 2004), III Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2005), XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, из них 1 - в журнале, включенном в перечень ведущих рецензируемых журналов и научных изданий, утвержденный президиумом ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы, содержит 101 страницу машинописною текста, в том числе 20 рисунков, 2 таблицы и 2 фотографии. В списке литературы 71 наименование.
В данной работе рассматривается математическое моделирование процесса вспенивания предварительно окисленного графита, при котором происходит изменение агрегатного состояния ОГ - ТРГ. Условимся в дальнейшем называть этот переход фазовым превращением.
В первой главе рассмотрены физико-химическая и математическая модели рассматриваемого процесса.
В параірафе 1.1. кратко рассмотрены методы получения терморасширенного графита, способы переработки и описана область применения изделий на его основе.
В параграфе 1.2 дается физическая постановка задачи в целом, обосновывается возможность перехода к одномерной модели.
В параграфе 1.3 приведено построение математической модели рассматриваемого процесса. Этой моделью является задача типа Стефана, которая состоит из уравнения теплопроводности, а также начальных, граничных условий и условий типа Стефана на подвижных границах раздела фаз. Одной из особенностей рассматриваемого процесса является переменная плотность терморасширенного графита. Вследствие этого, в отдельный пункт вынесены рассуждения, касающиеся получения зависимости плотности от положения границ раздела. После этого описан ввод безразмерных неременных.
Во второй главе приведены рассуждения и результаты, касающиеся математического моделирования процесса вспенивания ОГ с условиями нагрева, которые позиционируются как граничные условия первою рода. В рамках предложенной модели процесс термического расширения разделяется на две стадии.
В параграфе 2.1 осуществляется обзор существующих методов решения поставленной задачи. Основная сложность решения задачи типа Стефана заключается в наличии подвижных границ раздела фаз, положение которых заранее неизвестно. К тому же теплофизические параметры (теплоемкость,
плотность и т.д.) являются функциями, терпящими разрыв на межфазной границе. Существующие методы численного решения данной задачи разделяются на два класса: с явным выделением подвижной границы и сквозною счета. К первой группе методов относятся методы, в которых положение свободной границы отслеживается на каждом временном слое. Идея же методов сквозного счета состоит в отказе от непосредственною поиска неизвестной фазовой границы и замене его процедурой сглаживания по температуре теплофизических параметров.
Для решения задачи Стефана использовался численный метод с явным выделением границы - метод выпрямления фронтов, описание которого дается в иараірафе 2.2. Суть метода состоит в нормировании пространственной переменной, а также в определении в ходе расчётов положения границ раздела фаз. Для этого в каждой из областей производится переход к новым переменным, в которых подобласти являются стандаршыми для использования сеточных методов прямолинейными полосами.
Параграф 2.3 посвящен первой из двух стадий процесса. При нагреве, моделируемом граничными условиями первого рода через нижнее основание, на нем происходит мгновенное образование ТРГ из ОГ. Далее эта стадия характерна нагревом пакета слоев ОГ - ТРГ через нижнее основание, причём при переходе ОГ в ТРГ происходит объёмное расширение последнего. Эта стадия длится до тех пор, пока свободная поверхность ОГ не достигнет верхней пластины. Для моментов времени близких к нулю использована замена но времени. Начальное распределение температуры было получено аналитически. Для этого использовалось асимптотическое разложение для температуры.
Во второй стадии, рассмотренной в параграфе 2.4, происходит нагрев пакета слоев нТРГ - ОГ - вТРГ через обе пластины, на которых заданы граничные условия первого рода. Эта стадия отличается наличием двух поверхностей раздела фаз. При этом объём между пластинами полностью занят ОГ и ТРГ, и переход из ОГ в ТРГ сопровождается изменением плотности ТРГ.
12 На этой стадии также учитывалась зависимость коэффициента теплопроводности ТРГ от его плотности. Решение задачи на этой стадии ведется методом выпрямления фронтов. Начальное распределение температуры для вТРГ было получено аналитически с использованием асимптотического разложения для температуры аналогично первой стадии. Вторая стадия и вместе с ней весь процесс завершаются в момент времени, когда весь объем ОГ переходит в ТРГ.
Третья глава посвящена математическому моделированию процесса вспенивания ОГ, когда учитывается конвективный теплообмен на внешней поверхности технологической формы. Это приводит к граничным условиям третьею рода. Вследствие этого, процесс термического расширения разделяется на начальную, первую и вторую стадии.
В параграфе 3.1 рассматривается предварительная стадия процесса, на которой происходит нагрев слоя ОГ за счет конвективною теплообмена через нижнее основание. Эта стадия появляется в отличие от главы 1 вследствие задания граничных условий третьего рода на нижней пластине.
На первой стадии, рассматриваемой в параграфе 3.2, происходит нагрев через нижнее основание пакета слоев ТРГ - ОГ с граничными условиями третьего рода. На этой стадии также используется метод выпрямления фронтов. Начальное положение границы раздела фаз определяется из предположения, что в начале второй стадии все тепло, поступившее через нижнюю пластину, затрачивается на превращение ОГ в ТРГ, и граница раздела фаз движется в течение некоторою малою промежутка времени с постоянной скоростью. Начальное распределение температуры в слое ТРГ задавалось в виде линейного закона со значениями на концах, полученными из граничных условий.
Эта стадия завершается, когда свободная поверхность ОГ касается верхней пластины.
В параграфе 3.3 рассматривается вторая, заключительная, стадия, во время которой происходит нагрев пакета слоев нТРГ - ОГ - вТРГ с двумя
13 поверхностями раздела фаз. На пластинах заданы граничные условия третьего рода. При этом зависимость температуры от пространственной переменной близка к кусочно-линейной, а температура в слое окисленного графита близка к температуре фазового перехода. Вследствие этого происходит мгновенное вспенивание ОГ на верхней пластине. Переход из ОГ в ТРГ сопровождается изменением плотности ТРГ. Решение задачи ведется методом выпрямления фронтов с заменой переменных с учетом зависимости коэффициента теплопроводности ТРГ от его плотности. Вычисления для определения начального распределения температуры в слое вТРГ и начального положения границы раздела фаз ОГ и вТРГ осуществляются аналогично предыдущему этапу, рассматриваемому в параграфе 3.2.
Эта стадия и вместе с ней весь процесс завершаются, когда весь объем ОГ переходит в ТРГ.
Четвертая глава посвящена анализу расчетов для численных методов, построенных во второй и третьей главах. Также приводится сравнение с существующим аналитическим (автомодельное) и численным решениями.
В параграфе 4.1 анализируются результаты численных экспериментов при решении задач Стефана для случая постоянной внешней температуры. Механизм превращения ОГ в ТРГ, а также теплофизические свойства ТРГ, еще достаточно мало изучены. Вследствие этою, анализ посвящен влиянию теилофизических параметров, характеризующих ТРГ, на различные показатели рассматриваемого процесса такие, как время протекания процесса, распространение с течением времени свободной поверхности ОГ и поверхностей раздела ОГ - ТРГ. Зависимость коэффициента теплопроводности ТРГ от его плотности задавалась в кусочно-линейном виде.
В параграфе 4.2 производится анализ расчетов, которые были получены численным методом из третьей главы. В численном эксперименте было выявлено, что при завершении первою этапа температура по всему слою ОГ практически одинакова и равна температуре вспенивания. Также
14 анализируется влияние числа Био для ТРГ на распространение с течением времени свободной поверхности ОГ и поверхностей раздела ОГ - ТРГ. В этом параграфе приводится влияние поперечного размера технологической формы на полное временя протекания процесса, что позволяет делать проіноз о возможности получения изделий из ТРГ заданной толщины при выбранной плотности получаемою ТРГ.
В параграфе 4.3 показана достоверность полученных результатов на основе сравнения с существующими аналитическими решениями, такими как автомодельное. Также полученные результаты находят подтверждение при их сопоставлении с существующими численными результатами
В тексте диссертации введем тройную нумерацию формул с учетом того, что по каждому из параграфов сохраняется сплошная нумерация. Так, например, ссылка на формулу (10) из первой главы третьего параграфа в любом друг ом параграфе будет выглядеть так: (1.3.10).
Физическая постановка задачи
Рассмотрим процесс ХП [62]. С помощью этого способа получения ТРГ изготавливают изделия с заранее заданными свойствами и формой. При разработке технологии этою метода важным является определение его основных характеристик. В частности необходимо знать полное время процесса, так как при его превышении начинается выгорание ТРГ, потеря массы и ухудшение структуры. При прерывании процесса до его завершения изделие будет некачественным из-за значительной неоднородности. Также нужным является создание изделий как можно больших размеров, и, следовательно, максимальной толщины. Вследствие этого, необходимо определить зависимость полного времени процесса от поперечного размера газопроницаемой формы, то есть расстояния между пластинами. Однако механизм вспенивания, а также теплофизические свойства ТРГ изучены достаточно мало. Таким образом, построение модели терморасширения в ограниченном объеме с учетом изменения плотности является актуальным.
Опишем физическую модель рассматриваемого процесса [42]. Для получения конечного продукта - ТРГ, используется графит, который измельчён и подвергнут окислению. После предварительных процедур уже ОГ помещают в технологическую форму с некоторой долей засыпки. Таким образом, пространство внутри этой формы занято ОГ не полностью, в этом замкнутом объеме гакже присутствует воздух. Далее технологическую форму устанавливают в печь, где она подвергается интенсивному нагреву, под действием которого ОГ вспенивается, то есть переходит в ТРГ. Процесс заканчивается в тот момент, когда весь объем технологической формы занимает ТРГ.
В рамках настоящей диссертации не учитывается влияние паров кислоты газа на процесс теплопередачи. Модели, принимающие во внимание наличие паров в ходе процесса вспенивания, однако, не учитывающие переменность плотности вещества и зависимость коэффициента теплопроводности от нее, рассмотрены в [36]. В рамках настоящей диссертации мы ограничиваемся случаем, когда два размера технологической формы много больше третьею [45], что позволяет рассматривать термическое расширение в бесконечном слое ОГ. Таким образом, слой ОГ помещен между двумя пластинами, через которые осуществляется его нагрев с некоторой постоянной внешней температурой (рис. 2). Это приводит к случаю граничных условий первого рода. В другом же случае учитывается конвективный обмен на внешних границах технологической формы, что приводит к граничным условиям третьего рода. В начальный момент времени температура по всему слою ОГ постоянна и равна некоторой константе. При этом между верхним краем слоя и пластиной существует зазор, заполненный воздухом. Интенсивность теплообмена с этой прослойкой воздуха считается пренебрежимо малой.
Как отмечено выше, в рассматриваемом процессе, в зависимости от условий нагрева, можно выделить разное количество этапов. Так в первом случае (граничные условия первою рода) - две последовательные стадии, во втором (граничные условия первої о рода) - три.
В настоящей работе рассматривается процесс фазового превращения ОГ в ТРГ. В зависимости от стадии процесса в нем учувствуют либо две фазы - слой ОГ и слой ТРГ, либо три - слой ОГ и два слоя ТРГ. Соответствующая этому процессу математическая модель будет характерна наличием подвижных заранее неизвестных границ фазового перехода. Вследствие этого, разумным является выбор в качестве математической модели процесса перехода ОГ в ТРГ задачи Стефана [4]. Эта задача заключается в определении нестационарною поля температур и зависимости положения границ раздела фаз от времени.
Описание метода выпрямления фронтов
В общем случае задачей Стефана является краевая задача для уравнения теплопроводности с заданными на подвижной заранее неизвестной границе фазовою перехода условиями Стефана (см. вторую главу). При этом кроме предположения о том, что фазовый переход происходит при постоянной температуре в бесконечно тонкой области (граница раздела фаз, фронт) вещества, считается, что происходит мгновенное выравнивание температуры к температуре фазового перехода, то есть это фактически соответствует предположению неограниченности скорости фазового перехода. Иногда вместо этого предположения, соответствующего граничному условию первого рода, используют более общее граничное условие третьего рода.
Не имея возможности построить общие аналитические решения задачи Стефана, ограничиваются простейшими случаями. Так, получено аналитическое решение для однофазной задачи Стефана в полубесконечной области с постоянными граничными условиями [38], введением новой обобщенной переменной, зависящей от пространственной переменной и переменной по времени. Также подобного рода аналитические решения построены в [25], [65], [70], [71]. Кроме тою, имеются приближенные аналитические решения в задачах затвердевания полуограниченного тела [35], затвердевания металла [37], промерзания тел шаровой и цилиндрической формы [8], [63]. В [29] предложен приближенный расчет для тел правильной формы. В работах [26], [59] рассмотрен подход, при котором возможно получить аналитическое решение задачи при любом виде граничных условий, исходя из предположения, что возможно вычисление производных любою порядка от выражений специальною вида в общем члене ряда. В работах [22], [24] предложены численно-аналитические методы, позволяющие находить приближенные решения одномерных нестационарных задач Стефана с учетом зависимости коэффициентов уравнения теплопроводности от температуры с использованием метода прямых [7], [33] и метода функций Грина [22]. Применения этою подхода к решению двумерной задачи Стефана рассматривается в [23]. Особое место занимает смешанная задача с движущейся но известному закону границы раздела [26], аналитические решения которой рассматриваются в [27], [40].
Численные методы решения задач с фазовыми переходами можно разделить на две группы. В первую группу входят методы с явным выделением границы раздела фаз [14], [15], [68]. Вторую группу образуют методы без явного выделения этой границы.
При использовании методов, относящихся к первой группе положение границы раздела фаз отслеживается на каждом временном слое. Для этого вводятся новые динамические независимые переменные. В этом случае используется динамическая сетка постоянной структуры с закреплением узлов на границе раздела фаз. Методы, использующие такой способ, носят название методов выпрямления фронта [11], [13]. Также для определения положения границы раздела фаз используются согласованные динамические сетки в исходных переменных. Так вычисление положения границы осуществляется за счет использования переменною шага по времени - метод ловли фронта в узел пространственной сетки [10], [17]. Иногда может использоваться и переменный шаг по пространственной переменной. Методы с явным выделением границы раздела фаз дают хорошую точность решения, но являются шиоритмически громоздкими и влекут за собой большие затраты вычислительною времени. Поэтому их в основном используют в одномерных случаях.
Для решения многомерных задач с фазовыми переходами используются методы второй группы, которые носят название методов сквозного счета [58]. При применении таких методов используется обобщенная формулировка задачи Стефана в виде одного нелинейного параболическою уравнения. Иногда используется энтальпийная формулировка задачи, когда в качестве неизвестной выступает функция теплосодержания, то есть - энтальпия [12]. Затем происходит сглаживание теплофизических параметров по температуре во всей области [54], [55].
Для решения задачи Стефана в настоящей работе использовался метод с явным выделением границ раздела фаз - метод выпрямления фронтов. Суть этою метода заключается в том, чтобы задача решалась на каждом временном слое в фиксированной области. Для этого осуществляется переход к новым неременным в каждой из рассматриваемых фаз.
Пусть положение границы раздела фаз определяется переменной (/) и для одной из фаз пространственная переменная меняется в следующих пределах: 0 (/). Осуществим следующую замену по пространственной переменной:
Новая переменная і] меняется в фиксированных пределах от нуля (на границе .Y = 0) до единицы (на границе фазовою перехода x = g(t)). Таким образом, замена (1) приводит расчетную область (x,t) к прямоугольному фиксированному виду [57].
Нагрев пакета слоев окисленный графит-терморасширенный графит
В этом параграфе строится численное решение задачи Стефана для заключительной второй стадии процесса, на которой осуществляется нагрев пакета слоев: нТРГ - ОГ - в ГРГ (рис. 6).
Эта стадия характерна наличием двух поверхностей раздела фаз x = gH(t), x = \- e(t) и тем, что все пространство между пластинами занято веществом, и переход из ОГ в ТРГ сопровождается изменением плотности последнего. Задачу Стефана (1.3.30) - (1.3.34), (1.3.36) - (1.3.39), (1.3.54), (1.3.55) на этом этапе необходимо решать совместно с дифференциальным = ВІ(2] .(м2(0,/)-и,), /, / /, (1) уравнением (1.3.17) для смещения слоя ОГ. Для данных, полученных от экспериментаторов, и, представленных в Таблице 1, коэффициент у в левой части уравнения (1.3.17) оказался велик. Тем самым, пренебрегая левой частью этого дифференциального уравнения, получаем формулу (1.3.18) для расчета смещения слоя ОГ. Этому соответствует выражение (1.3.19), для нахождения плотности в слоях ТРГ. Скорости движение слоев нТРГ, ОГ и вТРГ вычисляются но формулам (2.4.8), (2.4.1) и (2.4.9) соответственно. Учитывая эти выражения и обозначение (2.4.6), уравнения теплопроводности (1.3.30) - (1.3.32) и условия Стефана (1.3.37), (1.3.39) в безразмерном виде согласно (1.3.60), (1.3.62), (1.3.64) и (1.3.65) запишутся аналогично (2.4.10) -(2.4.14). Граничные же условия (1.3.54), (1.3.55) в безразмерном виде с учетом (1.3.67) и (1.3.68) запишутся следующим образом: du2(x,t) на нижней пластине и av = Д/(3).(І/„-І/3(ІД t{ t t2. (2) и на верхней.
Решение задачи на этой стадии ведется методом выпрямления фронтов с помощью замены переменных (2.4.15)-(2.4.17) соответственно в слоях ОГ, нТРГ и вТРГ. С помощью этой замены задача Стефана (2.4.10) - (2.4.14), (1.3.33), (1.3.34), (1.3.36), (1.3.38), (1), (2) в безразмерном виде будет иметь вид:
Таким образом, зная положения границ раздела „(/,), ,( ,) и распределения температуры /,(;/,/,), /2( V,) и z/2(v,/;), из (19) и (20) прогнозируем скорость движения фронтов „(/,) и ,(/,). Затем определяем положения границ раздела фаз в момент времени t = ttA из (15) и (3.2.8). После этою, используя эти значения и 2/,(/7,/,), w2( ,/,), и2(и 0» решаются уравнения теплопроводности (3) - (6) и находятся распределения температур по всем трем фазам на новом временном слое. Таким образом, вычисления на текущем временном слое окончены и начинаются для новою - tlA t tlt2. Итерационные вычисления прекращаются вместе с завершением процесса в момент времени / = /,.
Начальное положение нижней границы раздела фаз и распределения температуры в слое вТРГ получалось в предположении, что на некотором малом промежутке времени St все тепло, поступившее через верхнюю пластину, затрачивается на превращение ОГ в вТРГ, а также, что верхняя граница раздела фаз движется в течение этого промежутка времени St с постоянной скоростью. Данная глава в основном посвящена анализу численных расчетов, полученных при решении задачи Стефана для случая постоянной внешней температуры и учета конвективного теплообмена с внешней средой. Также здесь приводится сравнение с существующим аналитическим решением (автомодельное) и результатами, полученными в [50].
В численных расчетах, основываясь на данных из экспериментов [61], брались следующие значения теплофизических параметров: / = 10"2.и - расстояние между пластинами; и0 = 20с - начальная температура в слое ОГ; и, = 300е - температура вспенивания ОГ; ut = 600с - температура внешней среды; /7, =0.7-103 — - - плотность ОГ; м с, = 1.3 10 — -г— - удельная теплоемкость ОГ; кг с кх = 1.2 —г— - коэффициент теплопроводности ОГ; м- с /?20 = 35 —г- - плотность ТРГ, получаемого при вспенивании в м свободном состоянии (первая стадия процесса), для стесненного вспенивания (вторая стадия процесса) плотность ТРГ p2i вычисляется согласно (1.3.19);
Анализ результатов решения задачи Стефана с граничными условиями третьего рода
В этом параграфе приводится сопоставление результатов, получаемых в ходе численных экспериментов, с уже существующими.
Для проверки корректности алгоритма счета осуществим сравнение результатов, полученных для первой стадии случая постоянной внешней температуры, и автомодельного решения задачи Стефана [39], которое в наших обозначениях записывается следующим образом: коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость распространения фронта; коэффициент температуропроводности вещества. Коэффициент Р определяется из следующего уравнения [25]:
Сравнение для значений величин, взятых из (4.1), приведено на рис. 18. Результаты численного эксперимента [43] хорошо согласуются с аналитическими [47].
Результат численного эксперимента [43] для всего процесса в целом в случае постоянной внешней температуры сравнивался с результатами, полученными в [50]. На рис. 19 представлено распространение іраниц раздела фаз и свободной поверхности ОГ с течением времени. Значения величин, использующиеся в численном счете, брались из (4.1).
При получении результатов В.10. Ольшанским и 10.11. Нагар использовалось асимптотическое разложение для распределения температуры и положения границ раздела фаз по малому параметру Ограничившись главной частью в разложении, получаем хорошее приближение для закона движения фронтов (рис. 19) [51J.
Рассмотрим задачу с граничными условиями третьего рода, а именно граничные условия на пластинах (1.3.67) и (1.3.68). Перепишем их в виде:
Видно, что при достаточно большом значении коэффициентов Био левыми частями в этих условиях можно пренебречь. Тем самым, получаем граничные условия первого рода. Таким образом, рост числа Био в задаче Стефана с граничными условиями третьего рода приводит к задаче Стефана с граничными условиями первого рода. Это подтверждается результатами, приведенными на рис. 20 [46].
В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Построена математическая модель процесса терморасширения окисленного графита методом химического прессования, учитывающая сжимаемость терморасширенного графита при вспенивании в ограниченном объеме. Для этого получено уравнение движения слоя окисленного графита и найдена зависимость плотности терморасширенною графита от положения границ раздела фаз. Модель, учитывающая конвективные члены в уравнениях теплопроводности, построена для двух вариантов процесса: с заданной внешней температурой и при конвективном теплообмене с внешней средой.
2. Разработан численный метод решения задач, возникающих в рамках построенных моделей на основе метода выпрямления фронтов. Метод использует аналитическое выделение особенностей, связанных с моментами зарождения границ раздела фаз. Метод учитывает изменение плотности терморасширешюю графита с течением времени при терморасширении в замкнутом объеме и зависимость коэффициента теплопроводности терморасширенного графита от ею плотности.
3. На основе проведенных численных экспериментов выявлено, что в начале заключительной стадии процесса температура в фазе терморасширенною графита имеет линейное распределение, а в фазе окисленною графита она всюду практически равна температуре вспенивания, что позволяет исключить из рассмотрения одну из промежуточных стадий процесса. Установлено, что в ходе развития заключительной стадии градиенты температур во всех фазах практически постоянны.
4. В численных экспериментах показано влияние теплофизических параметров терморасширенного графита, на характеристики процесса вспенивания, такие как время протекания процесса и распространение с течением времени поверхностей раздела.
