Содержание к диссертации
Введение
Анализ проблемы распределения припуска и базирования при изготовлении крупногабаритных корпусных изделий. постановка задач исследования 8
1.1. Особенности производства крупногабаритных корпусных изделий 8
1.2. Анализ результатов научных исследований и рекомендаций нормативных документов 14
1.3. Цель и задачи работы 23
Общие принципы выбора скрытых технологических баз и их моделирование на основе анализа распределения припуска 25
2.1. Распределение припуска крупногабаритных заготовок базированием при их механической обработке 25
2.2. Математические модели технологических баз, обеспечивающих различные распределения припуска для изделий произвольной формы 28
2.3. Сравнение отклонений формы деталей, полученных механической обработкой заготовок при различных распределениях припуска 35
2.3.1. Сравнение отклонений формы номинально цилиндрических деталей при обработке точением 37
2.3.2. Сравнение отклонений формы номинально призматических деталей при обработке фрезерованием 55
Выводы по главе 2 63
Математические модели технологических баз, обеспечивающих логарифмически равномерное распределение припуска для заготовок наиболее распространенных изделий 64
3.1. Математическая модель технологической базы при обработке номинально цилиндрической поверхности 65
3.2. Математическая модель технологической базы при обработке наружной и внутренней номинально цилиндрических поверхностей обечайки 74
3.3. Математическая модель технологической базы при обработке поверхностей заготовок номинально призматических изделий 79
3.4. Алгоритм для анализа математических моделей технологических баз 85
Выводы по главе 3 96
Разработка практических методов базирования 97
4.1. Измерения координат точек поверхности заготовки 97
4.2. Расчет величин и направлений разовых перемещений заготовки
для проведения базирования 106
4.3. Контроль конечного положения заготовки и его корректировка 109
4.4. Разработка пакета программ для информационного обслуживания операции базирования 116
4.5. Пример проведения базирования реального изделия 128
Выводы по главе 4 135
Основные результаты работы и выводы 137
Список литературы 139
Приложения 148
Приложение 1 149
Приложение 2 160
- Анализ результатов научных исследований и рекомендаций нормативных документов
- Математические модели технологических баз, обеспечивающих различные распределения припуска для изделий произвольной формы
- Математическая модель технологической базы при обработке поверхностей заготовок номинально призматических изделий
- Разработка пакета программ для информационного обслуживания операции базирования
Введение к работе
Современный этап развития техники и технологий характеризуется значительным повышением требований к качеству изделий машиностроения. Это объясняется, прежде всего, необходимостью повышения надежности работы оборудования, что особенно важно на объектах энергетических,
• химических и других опасных производств, аварии на которых вследствие отказов оборудования представляют серьезную опасность для человечества. Надежность такого оборудования закладывается и в большей степени обеспечивается при его изготовлении. По данным НПО «Энергия» из 215 поврежденных атомных электростанций вина заводов-изготовителей составит ляет около 30%.
Наиболее трудоемкими в изготовлении являются корпусные изделия, такие как, корпуса ядерных реакторов ВВЭР - 1000 и ACT - 500, парогенераторов ПГВ - 1000, эллиптические и сферические крышки реакторов, котлы высокого давления, колонны мощных гидравлических прессов, криогенные установки, цементные печи и др. Все эти изделия проходят сложный процесс изготовления от получения заготовки до механической обработки их поверхностей и сборки. Каждый из этапов их производства имеет свои особенности и сложности, обусловленные, прежде всего, большими размерами изделий и • повышенными требованиями к безотказности их работы.
Одной из наиболее сложных задач, которую приходится решать инженерам-технологам, является задача повышения точности формы крупногабаритных корпусных изделий тяжелого и, в том числе, атомного машиностроения. Значительные отклонения геометрических форм приводят к снижению качества сварных швов, появлению брака при сборке, повышению вероятности отказов при функционировании, что является недопустимым для таких изделий. щ Стремление обеспечить требуемую точность формы является одной из
причин завышенных припусков на механическую обработку заготовок круп ногабаритных изделий, увеличения оперативного времени на обработку за счет применения малой толщины срезаемого за один проход слоя, и как следствие, завышения числа проходов при обработке резанием. Все это неизбежно приводит к снижению эффективности расхода материала, производительности труда, и как следствие, повышению себестоимости продукции, что является недопустимым в современных экономических условиях.
Настоящая диссертационная работа посвящена решению научной проблемы в области технологии производства крупногабаритных изделий энергетического машиностроения, состоящей в разработке как теоретических положений, так и практических рекомендаций, позволяющих повысить точность геометрических форм крупногабаритных корпусных изделий посредством специального распределения припуска базированием при механической обработке резанием поверхностей их заготовок.
Работа выполнена в рамках приоритетного направления развития науки, технологий и техники Российской Федерации (Пр - 577 от 30.03.2002 г.) «Производственные технологии». Производственной базой для проведения исследований с учетом территориальной близости выбрано ОАО «ЭМК -Атоммаш». Это предприятие располагает уникальным специализированным оборудованием, а его инженерно-технические службы накопили богатый опыт в области технологии изготовления крупногабаритного корпусного оборудования. Тесное сотрудничество с заводскими специалистами позволило сформулировать, обобщить и решить многие нужные для производства задачи. Непосредственное участие в проведении исследований и их обсуждении принимали А.Г. Федотов, В.В. Маневич, В.Ш. Магдеев и др.
Новизна научных результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем.
1. Установлено, что наименьшие отклонения формы при механической обработке получаются в случае логарифмически равномерного распределения припуска по поверхности заготовки.
2. Получена общая математическая модель скрытых технологических баз для заготовок изделий произвольной формы, обеспечивающих логарифмически равномерное распределение припуска по черновым поверхностям заготовок, и ее частные случаи для наиболее часто встречающихся на практике крупногабаритных изделий.
3. Разработан алгоритм для анализа построенных математических моделей, представляющих собой оптимизационные задачи с ограничениями и целевыми функциями, обладающими сильно выраженной овражной структурой.
4. Разработана новая методика контроля и корректировки положения крупногабаритных цилиндрических заготовок на карусельных станках и обрабатывающих центрах при проведении базирования.
Научная значимость работы состоит в том, что в ней предложен принципиально новый подход к анализу распределения припуска базированием, что является одним из важнейших моментов в технологии изготовления корпусных изделий.
Практическая значимость работы заключается в создании и внедрении системы информационного обслуживания одной из основных и наиболее сложных и трудоемких технологических операций механической обработки крупногабаритных корпусных цилиндрических изделий на токарно-карусельных станках и обрабатывающих центрах - операции базирования при отсутствии явных технологических баз.
На защиту выносятся следующие основные положения работы:
1. Общий принцип распределения припуска, позволяющего добиваться наименьших отклонений формы при обработке резанием, а так же общая математическая модель скрытой технологической базы, обеспечивающей логарифмически равномерное распределение припуска по поверхности заготовки изделия произвольной формы базированием при отсутствии явных технологических баз.
2. Математические модели скрытых технологических баз, обеспечивающих логарифмически равномерное распределение припуска по поверхностям заготовок, наиболее часто встречающихся на практике крупногабаритных изделий тяжелого и атомного машиностроения, и алгоритмы процедур для определения параметров этих баз по результатам координатных измерений.
3. Методика контроля и корректировки положения крупногабаритных цилиндрических заготовок при их базировании на технологическом оборудовании.
Теоретические, методические и программные разработки нашли практическое применение в ОАО «ЭМК - Атоммаш». На этом предприятии в рамках договора о творческом сотрудничестве № 105 - 002 «Автоматизация подготовительных и контрольных операций при изготовлении корпусных изделий» от 18.10.2002 г. испытана и внедрена в производство система для информационного обслуживания подготовительных операций при механической обработке крупногабаритных корпусных цилиндрических изделий. Ожидаемый экономический эффект от внедрения указанной системы составляет свыше 0,5 млн. рублей за счет снижения времени на установку и базирование заготовки и уменьшения оперативного времени.
Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на:
1) X - XI международных научно-технических конференциях «Машиностроение и техносфера XXI века» в г. Севастополе (2003 и 2004 г.);
2) всероссийской научно-практической конференции «Технологическое обеспечение качества машин и приборов» в г. Пензе (2004 г.);
3) VIII всероссийской научно-практической конференции «Современные технологии в машиностроении» в г. Пензе (2004 г.);
4) III международной научно-технической конференции «Материалы и технологии XXI века» в г. Пензе (2005 г.);
5) научно-технических семинарах АГТУ (г. Астрахань, 2004 г.) и ДГТУ (г. Ростов-на-Дону, 2005 г.);
6) кафедрах прикладной математики (ЮРГТУ (НПИ), г. Новочеркасск, 2005 г.), математики, информационных и управляющих систем, технологии машиностроения (ВИ(ф) ЮРГТУ (НПИ), г. Волгодонск, 2003 - 2005 г.).
По материалам диссертации опубликовано 13 работ, из них 5 научных статей (в том числе 2 без соавторов), 8 докладов на научных конференциях (в том числе 2 без соавторов).
Анализ результатов научных исследований и рекомендаций нормативных документов
Отличительной особенностью проведения научных исследований по совершенствованию производства крупногабаритных изделий тяжелого и атомного машиностроения является трудность, а часто и невозможность проведения экспериментов в лабораторных условиях, а проблема организации исследований в условиях действующего производства без нарушения его нормального функционирования сопряжена с трудностями организационного рода. Проведение исследований в цеховых условиях непосредственно на рабочем месте вступает в противоречие с требованиями производства по выполнению плана производственных заданий и сокращению сроков изготовления деталей. Современные экономические условия делают возможность проведения натурных исследований еще более сложной. Наряду с промышленными исследованиями, в некоторых случаях исследователи вынуждены использовать данные имитационных моделей, поскольку не всегда для конкретного изделия возможно получение фактических значений изучаемых параметров. В этом случае строится имитационная модель, характеристики которой близки к соответствующим характеристикам реального изделия. На таких моделях проводится анализ эффективности соответствующих теоретических моделей и алгоритмов с последующей их проверкой на реальных изделиях.
Необходимо также отметить, что изменчивость условий производства крупногабаритных корпусных деталей, приводящая к неоднородности качества их заготовок, а также невозможность провести исследования большого числа таких изделий, во-первых, из-за трудоемкости этого процесса, во-вторых, из-за высокой себестоимости эксперимента, а в-третьих, из-за отсутствия достаточного числа объектов исследований, приводит к тому, что традиционное применение статистических методов становится малоприемлемым из-за неинформативности получаемых оценок. Для решения задач базирования заготовок крупногабаритных изделий тяжелого и атомного машиностроения целесообразно использование детерминированных методов на основе тщательного анализа геометрических форм каждой конкретной заготовки.
Точность формы крупногабаритных деталей, получаемых механической обработкой в значительной степени зависит от правильного выбора технологических баз и реализации процесса базирования. Вопросы теории базирования рассматривались в большом числе монографий [4,6,10-17 и др.] и являлись объектом диссертационных исследований [18-21].
Проблемами базирования занимались такие ученые-технологи, как Б.М. Базров, Б.С. Балакшин, Д.Т. Васильев, В.М. Кован, И.М. Колесов, B.C. Корсаков, В.В. Микитянский и др. Разработанные ими положения теории базирования легли в основу соответствующего государственного стандарта [22]. Однако эти положения неоднократно подвергались критике [23 16 24]. В работе [23], в частности, обоснованы и сформулированы предложения по уточнению понятия базы, что позволяет устранить ряд разногласий в терминологии, предлагаемой стандартом. В работе [24] предложен подход к пониманию теории базирования с позиции ориентации заготовок в выбранной системе координат. Однако автором этой работы полностью отвергается наличие скрытых технологических баз, что, безусловно, ошибочно. Отметим также, что в нормативном документе [22] описывается процедура базирования, однако ничего не говорится о том, каким образом определяется положение, в которое необходимо привести заготовку в процессе базирования.
Методы базирования, изложенные в [4,6,10-17,22], не учитывают особенностей формы конкретных заготовок, а значит, не в полной мере учитывают распределение припуска по обрабатываемым поверхностям. Предполагается, что при их использовании припуска будет достаточно и распределен он будет так, как это необходимо. Очевидно, что такая теоретическая посылка не всегда справедлива, а «обезличенность» заготовок, неумение для каждой конкретной заготовки с необходимой точностью определить ее конечное положение, которое она должна принять в результате базирования, является одной из важнейших причин необоснованного завышенных припусков на механическую обработку и, как следствие, больших энергетических затрат, неоправданного расхода металла и режущего инструмента, непроизводительного использования станочного оборудования и т.д.
Разработанная перечисленными выше учеными теория базирования не учитывает специфику производства крупногабаритных изделий, которая состоит в том, что для каждого такого изделия с учетом его стоимости экономически целесообразным является постановка, формализация и решение задачи выбора технологической базы на основе анализа геометрии обрабатываемых поверхностей с последующим использованием этой базы для проведения базирования. В 80-х годах прошлого столетия этот подход был реализован инструментальными методами Д.Т. Васильевым и его учениками при изготовлении турбинных лопаток [25]. Однако, высказанные идеи в то время не могли быть разработаны в полной мере и использованы на практике из-за отсутствия на производстве вычислительной техники, обладающей высоким быстродействием и достаточной оперативной памятью, а также высокоточной надежной измерительной аппаратуры и устройств, позволяющих проводить координатные измерения непосредственно на рабочем месте.
Проблема базирования для обработки резанием неразрывно связана с проблемой распределения припуска по обрабатываемым поверхностям конкретной заготовки. При изготовлении детали, как правило, приходится не один раз обращаться к анализу припуска. Вначале для нахождения минимального припуска и, как следствие, определения размеров заготовки, а затем при механической обработке для распределения уже имеющегося (реального) припуска при установке заготовки.
Проблема определения минимального припуска на механическую обработку достаточно хорошо изучена. Для ее решения разработаны опытно-статистические, расчетно-аналитические и другие методы, суть которых сводится к наращиванию припуска на каждом технологическом переходе и получению как минимального припуска, так и размеров заготовки [6,16,26]. В этом случае деталь требуемых размеров выступает как реальный, а заготовка как воображаемый объект. В работе [27] была сделана попытка внести поправку к методике расчетно-аналитического определения припуска на механическую обработку: автором было предложено исключить погрешность установки детали из величины необходимого припуска. Эта работа вызвала большой резонанс в кругах ученых-технологов и подверглась жесткой критике [28]. Вопрос совершенствования методик определения припусков на механическую обработку рассматривается и современными учеными.
Математические модели технологических баз, обеспечивающих различные распределения припуска для изделий произвольной формы
Припуск определен нормативным документом [57], как поверхностный слой заготовки, подлежащий удалению при последующей обработке. При изготовлении детали, как правило, приходится не один раз обращаться к анализу припуска: вначале для нахождения минимального припуска и, как следствие, определения размеров заготовки, а затем для распределения уже имеющегося (реального) припуска при установке заготовки. При распределении припуска, заготовку считают [7] реальным объектом, а изделие, которое мы хотим из нее получить - воображаемым. «Погружая» воображаемое изделие различными способами в тело заготовки, можно тем самым регулировать распределение припуска по обрабатываемым поверхностям. Для анализа распределения припуска воспользуемся понятиями припуска в точке и функции распределения припуска, введенными в работе [7].
Обозначим соответственно через о и со заготовку и воображаемое изделие, получаемое из нее механической обработкой, a Z - многомерный параметр, характеризующий технологическую базу, определяющую положение воображаемой детали в теле заготовки. Если с воображаемым изделием жестко связать подвижную систему координат 0\X\Y\Z\, то ее положение в неподвижной системе OXYZ координат станка, а значит и положение воображаемого изделия, будет полностью определяться координатами х, у, z начала координат 0\ и тремя углами Эйлера в, \}/, ф. Следовательно, в качестве вектора Z можно, например, взять шестимерный вектор (х, у, z, 0, -ф, ф). Обозначим через д а и д со полные поверхности, ограничивающие заготовку и воображаемую деталь, соответственно.
Согласно [7], если некоторая поверхность дсо воображаемой детали получается обработкой поверхности да заготовки (поверхности дсо и да считаются топологически замкнутыми), то величиной припуска, или припуском z(M,dco,Z) в точке М, принадлежащей поверхности да заготовки, называется расстояние от точки М до поверхности дсо детали. Функцией распределения припуска, или распределением припуска на поверхности да в указанной работе [7] называется функция z = z(M, дсо, Z) аргумента М, определенная на поверхности да при фиксированном значении Z. Ясно, что функция z = z(M, дсо, Z) определяет распределение припуска на соответствующей поверхности заготовки, при погружении в нее воображаемой детали в положение, соответствующее значению параметра Z. Изменение параметра Z влечет за собой изменение положения воображаемой детали в теле заготовки и, следовательно, изменение распределения припуска на поверхности да. Перевод понятий, связанных с припуском, в плоскость функциональных зависимостей позволяет говорить о способах его распределения по обрабатываемой поверхности посредством базирования заготовки. Как уже отмечалось, ранее рассматривались два способа распределения припуска. Один из способов распределения припуска связан с созданием наиболее благоприятных условий для получения детали из заготовки - оптимальное базирование. Понятие оптимального распределения припуска было введено исходя из того, что если из заготовки в принципе можно получить годную деталь, то она будет обязательно получена, если припуск на ее поверхности будет иметь оптимальное распределение. Применение оптимального распределения припуска снижает вероятность брака, а так же позволяет разработать рекомендации по уменьшению расчетного минимального припуска на механическую обработку для целого ряда изделий. Вопрос оптимального распределения припуска формализован и достаточно подробно рассмотрен в работах [7-8].
Второй способ распределения припуска - равномерное распределение, которое связано, по мнению многих авторов [10-17,30-31], с получением деталей наиболее точных геометрических форм. Считается, что такое распределение припуска уменьшает рассеивание размеров, связанное с колебаниями отжатий в упругой технологической системе. Естественно считать, что критерием уровня равномерности припуска является величина, равная разности между наибольшим и наименьшим значением припуска при выбранном параметре Z. Считается, что припуск распределен наиболее равномерно, если эта разность минимальна.
При решении практических задач возникает необходимость не только в гарантированном получении готовой детали из заготовки, но и уменьшению отклонений ее формы.
Как уже отмечалось ранее, искажение геометрии поверхностей детали можно получить неправильной установкой ее заготовки для механической обработки на технологическом оборудовании. Наиболее сложной является базирование заготовки на первой операции механической обработке, когда приходится использовать скрытые технологические базы. В этом случае рекомендуется [7] использовать для базирования оптимальную технологическую базу. При этом нет необходимости в избытке припуска, поскольку если из заготовки в принципе возможно получение годной детали, то при оптимальном базировании она будет получена. Но на поверхности заготовок ответственных крупногабаритных корпусных деталей всегда имеется избыток припуска, наличие которого продиктовано стремлением избежать брака при механической обработке этих дорогостоящих изделий. Этот факт как раз и целесообразно использовать для того, чтобы обеспечить наибольшую точность геометрической формы таких деталей. Как показали экспериментальные исследования, уменьшить отклонения формы поверхностей деталей можно при использовании для базирования технологической базы, обеспечивающей логарифмически равномерное распределение припуска.
Математическая модель технологической базы при обработке поверхностей заготовок номинально призматических изделий
Таким образом, в сравнении с оптимальным распределением припуска на механическую обработку логарифмически равномерное распределение обеспечивает наименьшие отклонения формы обработанной поверхности. Кроме того, и в этом случае при приближении к логарифмически равномерному распределению, точность формы изделий увеличивается.
На заключительном этапе экспериментальной проверки высказанного утверждения при механической обработке заготовок на станках токарной группы проводили обработку крупногабаритных изделий.
В начале для проведения эксперимента были определены технологические базы, обеспечивающие равномерное и логарифмически равномерное распределение припуска по обрабатываемой поверхности для крупногабаритных цилиндрических изделий имеющихся на момент исследований в производстве. Оказалось, что технологические базы, обеспечивающие равномерное и логарифмически равномерное распределение припуска, не совпадают лишь для одной из четырех анализируемых заготовок, диаметром D = 1554 мм и высотой Н= 750 мм, которая и была выбрана для проведения эксперимента.
Затем был проведен эксперимент, суть которого сводилась к тому, что обрабатывались слои поверхности заготовки толщиной 5 мм при трех различных распределениях припуска и при одних и тех же режимах резания (кроме глубины резания, определяемой распределением припуска). Из заготовки механической обработкой ее поверхности за один проход получали цилиндрические слои относительно технологических баз, обеспечивающих различное распределение припуска.
Заготовки обрабатывали на токарно-карусельном станке модели 1525 проходным резцом (ф = 90) с твердосплавной пластиной Т5К10 относительно трех центров. При обработке относительно первого центра обеспечивается логарифмически равномерное распределение припуска, при обработке относительно третьего - равномерное распределение припуска. Второй центр расположен на равном расстоянии между первым и третьим центрами. Наличие промежуточного центра позволяет проследить тенденцию изменения упругих деформаций. Режимы резания: число оборотов планшайбы станка 12,5 об/мин; подача - 0,5 мм/об. Результаты экспериментов представлены в таблице 2.5.
После обработки с помощью координатных методов двумя способами (I - по формулам Спрэгга (2.11), II - по формулам (2.15)) анализировались отклонения от круглости профилей обработанных поверхностей. Изменения координат 24 точек измерялись в полярной системе координат, центр которой совпадал с центром обработки непосредственно на планшайбе станка с помощью индикатора часового типа (см. таблицы П.7 - П.9 приложения 1). Для этого индикатор подвели к изделию до касания и обнулили, после чего измеряли его показания после «толчкового» перемещения планшайбы в следующее положение. Измерения производились при неподвижном суппорте, поскольку отклонения вписывались в диапазон шкалы индикатора. Выбор количества точек при дискретизации профиля был обусловлен рекомендациями работы [66]. Таким образом, на основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что посредством логарифмически равномерного распределения припуска базированием при обработке крупногабаритных изделий на токарно-карусельных станках, как и при обработке небольших изделий на станках токарной группы, может быть получено уменьшение отклонений формы поверхностей деталей достигающее 50 % величины отклонений формы, получаемых при других способах базирования.
Для проверки высказанного утверждения при механической обработке заготовок фрезерованием, как и в случае токарной обработки, были найдены формы заготовок с несовпадающими технологическими базами, обеспечивающими равномерное и логарифмически равномерное распределение припуска (рис. 2.6) и проведено 7 экспериментов, в каждом из которых обрабатывались по три однотипные заготовки, имеющие одинаковые размеры и параметры микрогеометрии относительно трех технологических баз. Для каждой серии экспериментов обработку производили при одинаковой частоте вращения фрезы и подаче. В ходе исследований варьировались форма профиля заготовок, режимы резания и диаметр фрезы. Форма профиля заготовки для одного из экспериментов показана на рис. 2.7, а. При обработке относительно первой технологической базы (рис. 2.7, б) обеспечивается логарифмически равномерное распределение припуска, при обработке относительно второй (рис. 2.7, г) - равномерное распределение припуска. Вторая технологическая база (рис. 2.7, в) расположена на равном расстоянии между первой и третьей, что позволяет проследить тенденцию изменения упругих деформаций.
Из заготовок, изготовленных из стали марки 09Г2С, механической обработкой их поверхностей получали призматические изделия с поперечным сечением прямоугольной формы. Заготовки обрабатывали на станке модели 6Р13ФЗ - 37 концевыми фрезами (число зубьев z = 6), изготовленными из быстрорежущей стали Р6М5. Режимы резания: частота вращения фрезы п = 200 об/мин; минутная подача sM = 25 мм/мин; ширина фрезерования В- 4 мм.
Разработка пакета программ для информационного обслуживания операции базирования
Кроме деталей, ограниченных поверхностями вращения, в тяжелом машиностроении широко применяются и изделия, заготовки которых имеют призматическую форму. Такие заготовки чаще всего обрабатывают на станках фрезерной группы. Однако трудности, связанные с базированием призматических заготовок остаются теми же, что и при базировании заготовок, ограниченных поверхностями вращения.
В случае заготовок призматических изделий с номинально плоскими поверхностями получаемым в результате обработки изделием, помещенным внутрь заготовки, будет призматическая деталь идеальной формы с наибольшими предельными размерами (рис. 3.3). Обозначим через g, f и h — длину, ширину и высоту готовой детали. Поскольку нас будет интересовать только положение контрольной детали, то, не снижая общности, для упрощения обозначений и расчетов будем считать, что изготавливаемая деталь выполняется из однородного материала.
Аналогично рассмотренным выше поверхностям обозначим через у — заготовку призматического изделия, ограниченную номинально плоскими поверхностями д ух,...,да6, через да - ее полную поверхность; через со - изготавливаемая деталь, дсо — ее полная поверхность с гранями дщ,..., дсо6.
Введем векторы нормалей граней Щ, N2, N3, так что нормаль NY ортогональна граням дсох и до)2, N2 -граням дсоъ и дсо4, a N3 —граням да 5 и дсо6. С учетом сказанного, положение призматического тела с заданными размерами полностью определяется положением его центра тяжести Q(x,y,z) и тремя нормалями N {, N2, N2. Учитывая это, в качестве параметров, определяющих положение детали, целесообразно взять координаты точки Q(х,у,z) -центра тяжести призматической детали, три координаты вектора нормали N\ =(1і,ті,щ) к плоскостям дтхи дт2 и две координаты /2, ті вектора нормали N2 =(h m2 n2) к плоскостям дсоъ и да А. Третья координата вектора N2 выражается через координаты /І5 т , щ, 12, тп2 из условия ортогональности векторов Nx и N2, а вектор //3, ортогональный плоскостям 5U;5 и дсо , определяется как векторное произведение векторов N, и Й2. Итак, положение призматической детали полностью определяется координатами вектора Z=(x,y,z,li,mi,ni,l2 m2) восьмимерного пространства.
Если обозначить через р(М, дсо, Z) — расстояние от точки М поверхности заготовки до соответствующей грани призматической детали, а именно, если М є да і, то р(М, дсо, Z) определяет расстояние от точки М до грани dcOj, і = 1,...,6, то припуск z(M,dco,Z) в каждой точке призматической заготовки будет определяться следующим образом:
С учетом этих обозначений, при условии, что призматическая деталь расположена в теле заготовки, математическая модель технологической базы, обеспечивающей логарифмически равномерное распределение припуска (2.8) для данного случая примет вид: Однако такое представление математической модели, описываемой уравнением (3.15), является слишком общим, поэтому запишем ее более подробно в том виде, в котором ее удобно использовать для решения реальных задач:
В уравнении (3.16) находится минимум по Z разности между максимальным и минимальным значениями натуральных логарифмов расстояний от всех возможных точек поверхностей дсті,...,дс76 заготовки до соответствующих поверхностей да і,...,дсо6 призматической детали. Значение параметра Z, при котором достигается этот минимум, и есть искомые параметры технологической базы, обеспечивающей логарифмически равномерное распределение припуска.
С учетом требований принадлежности призматической детали заготовке последнее уравнение является оптимизационной задачей с ограничениями (2.5), которые преобразуются в неравенство:
