Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Инфекционные заболевания являются одной из важных экологических проблем, при определенных условиях становясь значимыми факторами снижения численности человеческих популяций и представляя серьезную опасность для регионов, где они возникают. Предрасположенность к ряду инфекционных заболеваний нарастает в результате снижения функций иммунной системы, связанных с поддержанием постоянства внутренней среды организма человека и обеспечением нормального функционирования всех его систем. Для исследования наиболее важных физиологических процессов, сопровождаемых сложной и многокомпонентной последовательностью реакций, направленных на распознание, запоминание, элиминацию возбудителя из организма и восстановление гомеостаза, широко используется математическое моделирование, анализ результатов которого позволяет выявлять характеристики, определяющие поведение иммунной системы. Построение и исследование математических моделей заболеваний и процессов иммунной защиты, часто формулируемых в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, вычисляемыми путём обработки статистических данных, за значения которых выбираются средние величины, является объектом научных исследований, развитых в работах Ж.И.Белла, Г.И.Марчука, Л.Н.Белых, Г.А.Бочарова, И.Б.Погожева, СМ. Зуева, А.А.Романюхи и других ученых.
Учет индивидуальных особенностей иммунного статуса больного происходит на основе исследования случайных влияний на параметры модели, связанных с воздействием множества непрогнозируемых факторов, исключенных при построении детерминированной модели. В связи с этим закономерен интерес к исследованию стохастических систем, описывающих динамику развития инфекционных заболеваний.
В последнее время выработка гибкой программы лечения, основанной на управлении функционированием иммунной системы, становится одной из важнейших задач медицины. В связи с этим представляют интерес задачи оптимального управления иммунным ответом, где управления можно рассматривать как функции от времени, отражающие возможные фармакологические или физиологические воздействия на иммунный процесс с целью лечения заболевания. При постановке задач оптимального управления в случае таких сложных явлений, как иммунологические реакции организма, довольно непросто адекватно ввести управление и сконструировать удовлетворительную меру качества достижения комплекса разнообразных целей, улучшающих иммунный ответ, что является одной из проблем, для изучения которой актуальна разработка специализированных методов вместе с алгоритмическим и программным обеспечением.
Современное многообразие методов оптимального управления обусловлено непрерывно возникающими потребностями приложений во многих областях. Прикладные задачи отличаются друг от друга различными особенностями, такими как размерность пространства состояний, типы нелинейностей, структура ограничений, многоэкстремальность, наличие разрывов в системе, а также постоянных, переменных запаздываний в фазовых переменных или функциях управления и т.д. Трудно ожидать появления универсальной вычислительной процедуры, являющейся достаточно эффективной для расчета разнообразных задач управления. Поэтому оправдана и актуальна разработка специализированных методов оптимального управления, ориентированных на учет особенностей прикладных задач, в частности задачи оптималь-
ного управления иммунным процессом при инфекционных заболеваниях. Одной из особенностей данной задачи является наличие постоянного запаздывания по вектору состояния и разрыва в правой части нелинейной системы дифференциальных уравнений, что усложняет ее исследование и проведение численных экспериментов.
Цель работы. Цель диссертационного исследования состоит в разработке и численном решении задачи оптимального управления иммунным ответом человеческого организма при инфекционных заболеваниях, основанном на условиях оптимальности для разрывных систем с постоянным запаздыванием в фазовых переменных.
Основные задачи диссертационного исследования. Поставленная в диссертации цель достигается путем решения задач:
Построения на основе динамической модели иммунного ответа, предложенной Г.И.Марчуком, стохастической модели и разработки численной схемы ее решения.
Разработки управляемой модели динамики иммунного ответа, представленной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и разрывной правой частью.
Формирования математических критериев качества модели, соответствующих минимизации средней скорости повреждения организма и энергетической цене противоинфекционной защиты.
Получения условий оптимальности для поставленной задачи оптимального управления динамикой инфекционного заболевания, представленной системой нелинейных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и постоянным запаздыванием в фазовых переменных.
Разработки численного алгоритма для решения задачи оптимального управления динамикой инфекционного заболевания, представленной разрывной системой нелинейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием в фазовых переменных, и его программной реализации.
Построения с помощью программной реализации численного алгоритма оптимальных программ лечения инфекционных заболеваний.
Методы исследования. Общая методика исследования изучаемой проблемы базируется на математической теории оптимального управления, элементах стохастического анализа, теории случайных процессов, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. При реализации программного комплекса применены методы объектно-ориентированного проектирования.
Основные положения, выносимые на защиту:
Стохастическая модель иммунного ответа, численный алгоритм ее решения и результаты анализа влияния параметров (возмущенных и невозмущенных) на динамику инфекционного заболевания.
Оптимизационная управляемая модель динамики инфекционного заболевания, представленная разрывной системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Результаты исследования устойчивости состояния равновесия управляемой динамической системы.
Математические критерии качества модели иммунного ответа при инфекционных заболеваниях, соответствующие минимизации средней скорости повреждения организма и энергетической цене противоинфекционной защиты.
Условия оптимальности для построенной задачи оптимального управления динамикой инфекционного заболевания, представленной разрывной системой нелинейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием в фазовых переменных
Численный алгоритм и программный инструментарий решения задачи оптимального управления динамикой инфекционного заболевания, представленной нелинейной системой дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом и разрывной правой частью.
Оптимальные программы лечения инфекционных заболеваний и оценки их эффективности. Результаты анализа влияния параметров задачи и различных исходных режимов управления на оптимальное решение.
Научная новизна работы состоит в том, что
Поставлена задача оптимального управления иммунным процессом в форме системы дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием и разрывом в правой части, которая интерпретируется как задача оптимального лечения инфекционных заболеваний.
Получены условия оптимальности для построенной задачи оптимального управления динамикой инфекционного заболевания, представленной системой нелинейных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и постоянным запаздыванием в фазовых переменных.
Разработан численный алгоритм для поиска оптимального решения построенной задачи управления динамикой иммунного процесса, описанной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и разрывной правой частью.
Создано программное обеспечение, реализация которого позволяет объяснить различные факты, касающиеся механизмов протекания инфекционных заболеваний и изучить вопрос об обосновании рекомендаций по выбору наиболее эффективных программ лечения.
Впервые применен метод унифицированного разложения в ряд Тейлора-Ито для моделирования решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего процесс иммунного ответа при инфекционных заболеваниях, и проведен анализ влияния возмущённых параметров стохастической системы на её поведение.
Практическая значимость работы заключается в том, что предлагаемый алгоритмический и программный инструментарий позволяет получить данные, необходимые для мониторинга ситуации по развитию инфекционного заболевания, прогнозирования закономерностей динамики болезни и принятия корректных противоин-фекционных мер. Прикладные научные разработки могут применяться для конкретного заболевания и для систем расчета индивидуальных программ лечения, путем детализации модели. Компьютерная реализация способна в течение короткого времени дать предварительное заключение об эффективности программы лечения, подробностях ее воздействия на организм и рекомендациях по ее использованию.
Достоверность и обоснованность положений и выводов, сформулированных в диссертационной работе, обеспечивается строгостью проводимых математических обоснований и подтверждается результатами наблюдений за протеканием инфекционных заболеваний, накопленными иммунологами и клиницистами.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на: Региональной научно-практической конференции "Математика. Информа-
ционные технологии. Образование" (Оренбург, 2006); Региональном научно-практическом семинаре "Математическое и компьютерное моделирование в сложных системах" (Оренбург, 2007); II Всероссийской научно-практической конференции "Математика. Информационные технологии. Образование" (Оренбург, 2008); Международной мультиконференции "Теория и системы управления" (Москва, 2009); III Всероссийской конференции "Винеровские чтения" (Иркутск, 2009); XI Международной конференции "Проблемы управления и моделирования в сложных системах" (Самара, 2009); IV Всероссийской конференции "Математическое моделирование развивающейся экономики и экологии" (Киров, 2009); научном семинаре "Актуальные проблемы математического моделирования" (Самара, 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, из них 3 -в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций.
Личный вклад автора. В работах, выполненных в соавторстве, личный вклад автора состоит в следующем: построение стохастической модели и разработка численной схемы ее решения; формирование и исследование на устойчивость управляемой модели; построение задачи оптимального управления иммунным ответом при инфекционных заболеваниях и формирование условий ее оптимальности; разработка алгоритмического и программного инструментария для решения задачи оптимального управления динамикой инфекционного заболевания; анализ и содержательная интерпретация полученных результатов.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений. Общий объем диссертации 139 страниц, библиографический список 138 наименований. Работа содержит 30 рисунков и 12 таблиц.
