Введение к работе
В диссертации построена модель распространения безыммунных . контагиозных заболеваний (т.е. инфекционных заболеваний, передающихся при непосредственном контакте здорового и заразного индивидуумов) в неоднородной популяции и проведено ее аналитическое исследование. Приведены примеры использования полученных теоретических результатов для управления эпидемиями.
Актуальность темы.
Появление математических моделей в эпидемиологии вызвано прежде всего потребностью медицинских организаций в получении научно обоснованных прогнозов распространения инфекционных заболеваний и, при угрожающем положении, принятию возможных мер по предотвращению широкомасштабного распространения эпидемии, например, пропаганде способов, позволяющих избежать заражения, вакцинации и т.д.
Специалисту, работающему в области моделирования в эпидемиологии, необходимо выбрать такую математическую интерпретацию инфекционного процесса, которая, с одной стороны, учитывала бы особенности рассматриваемого заболевания, допуская, с другой стороны, не только численное, но и аналитическое исследование.
Построение математической модели распространения инфекционного заболевания обычно начинается с выделения конечного числа состояний, в которых может находиться индивидуум по отношению к болезни (например, восприимчивый, инфицированный, иммунный) и набора параметров, которыми характеризуется каждый индивидуум. Модель может представлять собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, систему уравненийча 'частных производных, марковскую цепь, ветвящийся процесс и т.д., с помощью которых описывается изменение численностей индивидуумов з каждой из выделенных групп. При аналитическом исследовании модели обычно находится пороговое условие, зависящее от параметров модели, позволяющее определить, будет ли эпидемия развиваться или
затухать и какие меры достаточно предпринять для предотвращения эпидемии.
В случае, когда популяцию можно считать однородной и достаточно zopomo перемешивающейся (например, при моделировании распространения детских инфекций в школах), динамика изменения численности восприимчивых, заразных, иммунных индивидуумов описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это проделано, например, в одной из первых работ в области математического моделирования в эпидемиологии СП. Было найдено пороговое условие возникновения эпидемии, а именно, показано, что если начальная численность восприимчивых индивидуумов меньше некоторого зависящего от параметров модели выражения, то численность заразных индивидуумов монотонно стремится к нулю, т.е. эпидемия затухает, а если больше, то эта численность будет сначала возрастать (т.е. эпидемия будет развиваться), а затем монотонно стремиться к нулю.
При моделировании распространения некоторых заболеваний необходимо учитывать неоднородность популяции (например, в моделях распространения венерических заболеваний учитывать для каждого индивидуума пол, возраст, уровень сексуальной активности, отношение к наркотикам, частоту посещения медицинских учреждений и т.д.). Структура популяции может существенным образом влиять на динамику распространения в популяции инфекционного заболевания, на величины пороговых значений параметров. Для ее учета часто приходится усложнять используемый математический аппарат, например, увеличивать число обыкновенных дифференциальных уравнений, использовать уравнения в частных производных, дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах.
1. Kermack W.D., Мс. Kendrlc A.G. A contribution to the mathematical theory of epidemics// Journal of the Royal Statistical Society. Ser. A. 192T. V. 115. P.700-721.
— 5 —
Например, в работе 121 при моделировании распространения гонореи популяция разбита на 8 групп в зависимости от пола, сексуальной активности, наличия или отсутствия симптомов заболевания, а в работе [3 3, посвященной моделированию распроостранения безыммунных заболеваний (т.е. заболеваний, к которым у индивидуума не вырабатывается иммунитета, например, гонореи или малярии) для задания структуры популяции использованы две переменные: дискретная и непрерывная. В каждой из этих двух работ построены модели в виде- системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены пороговые условия возникновения эпидемии и показано, что при неустойчивости равновесия с нулевой численностью заразных индивидуумов (неэндемического равновесия) существует единственное асимптотически устойчивое положение равновесия с ненулевой численностью заразных индивидуумов (эндемическое равновесие).
Для учета возрастной структуры популяции обычно разбивают популяцию на несколько возрастных классов, численность которых считается постоянной, как в работе 14-1, или используют уравнения с частными производными, как в [5]. Однако при моделировании распространения неизлечимых заболеваний, например, СПИДа, нельзя использовать ни предположение о неизменности возрастной структуры, как в С43, ни о постоянной численности новорожденных, как в С53.
-
Hethcote H.W., Jorka J.A., Nold A. Gonorrhea modeling: а comparison oi control methods// Math. Biosci. 1982. V.58. P.93-109.
-
Thieme H.R. Renewal theorems lor some mathematical models in epidemiology // Journal o! Integral Equations. 1985. P.185-216.
-
Tudor D.W."An age-dependent'eplemlc model tfith application to measles // Math. Biosci. 1985. V.73. N 1. P.131-147.
-
Webb G.F. Theory o nonlinear age-dependent population dynamics. Marcel Dekker Inc. New York. 1985.
- б -
Неоднородность популяции учитывается и в многочисленных работах, посвященных моделированию распространения СПИДа. В некоторых работах были получены новые интересные качественные результаты. Например, в статье С62 показана, что при неустойчивости неэндемического равновесия может существовать несколько эндемических равновесий, что затрудняет исследование динамики распространения заболевания.
Однако, в настоящее время исследованы лишь некоторые частные аспекты распространения СПИДа в популяции (например, в работе* 171 найдены пороговые условия для модели распространения СПИДа в одной из групп риска (гомосексуалистов) с постоянной скоростью пополнения, см. также обзор работ в С83), в то время как общая теория остается неразработанной.
В настоящее время, особенно в связи с распространением СПИДа - болезни, для лечений которой до сих пор нет эффективных медицинских средств, возрос интерес к построению математических моделей, описывающих распространение эпидемии в неоднородной популяции и определению на основании построенной модели действий, достаточных для предотвращения эпидемии. При аналитическом исследовании таких моделей вызывает интерес нахождение пороговых условий в структурированной популяции, исследование поведения решений при неустойчивости неэндемического равновесия, существование
-
Lin X. On tbe uniqueness of endemic equilibria of an HIV/AIDS transmissln model for a heterogeneous population// Journal of math., biology. 1991. V.29. P.779-790.
-
Human J.M., Li J., Stanley A. Threshold conditions for the spread of the HIV infection in age - structured populations of homosexual men// Journal of theor. biology. 1994. V.166. P.9-31.
8. Schwager S.J., Castillo-Chavez C, Hethcote H.W.
Statistical and mathematical approaches'in HIV/AIDS modeling:
a review. Lecture Notes in Biomathematics. V.83. P.2-37.
Berlin: Springer-Verlag., 1989.
- т -
и устойчивость эндемических равновесий, сравнение полученных результатов с известными для классических моделей. Несмотря на усложнение математического аппарата, в моделях структурированных популяций часто получаются интересные качественные результаты, не имеющие места для более грубых моделей. Эти модели являются более эффективными в приложениях при выборе средств, позволяющих предотвратить эпидемию.
Цель работы.
Построение модели, описывающей распространение безыммунного контагиозного заболевания в неоднородной популяции, ее аналитическое исследование и применение полученных теоретических результатов для управления эпидемией.
Методы исследования. В работе используются:
-
методы доказательства теорем существования и единственности решений уравнений в частных производных с помощью принципа сжимающих отображений,
-
теоремы о неотрицательных решениях нелинейных уравнений в банаховых пространствах,
-
методы теории бифуркаций,
-
численные методы нахождения наибольшего по модулю собственного значения матрицы.
Научная новизна.
Научная новизна работы состоит в том, что
1. Построена и исследована на корректную разрешимость
новая математическая модель распространения безыммунного
контагиозного заболевания в структурированной популяции.
2. Иссдедо&ана ?^тпйттт^ирг"тч. „.стационарных решений
несколько упрощенной модели. Отличительной особенностью этой
модели является возможность ее непосредственной идентификации
на практически значимых параметрах распределения и, тем
самым, ее практического использования.
- a -
3. Получен ряд чисто математических результатов,
касающихся свойств положительности решений, задающих динамику
основной и упрощенной моделей, свойств бифуркационных
диаграмм стационарных решений упрощенной задачи с учетом их
устойчивости или неустойчивости.
4. Доказан принцип сравнения для широкого класса задач,
в частности, упрощенной. С помощью принципа сравнения найдены
верхние и нижние оценки для решений . основной и упрощенной
задач.
5. Построен алгоритм вычисления по имеющимся
статистическим данным критических параметров, определяющих,
будет ли происходить распространение или затухание эпидемии.
Приведены примеры таких вычислений.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на конференции молодых ученых МГУ в 1992 г., на семинаре по математическому моделированию в экологии и медицине на механико математическом факультете МГУ, на семинаре по прикладному нелинейному анализу в ВЦ РАН, на семинаре кафедры исследования операций на факультете ВМиК МГУ.
Теоретическая и практическая ценность.
Теоретическая часть работы (главы 1 - 4) может представлять интерес для специалистов в области математического моделирования в эпидемиологии. Результаты главы 5 могут быть использованы медиками для определения действий, достаточных для предотвращения эпидемий (проверку всего населения или некоторых его груші с целью выявления инфицированных, ведение пропаганды по применению средств индивидуальной защиты, проверку связей выявленного инфицированного индивидуума и т.д.).
Структура работы.
Диссертация объемом в 150 страниц состоит из введения, пяти глав, заключения и четырех приложений, снабжена
оглавлением и общим списком литературы, включающим 44 наименования.
Публикации.
По теме диссертации автором опубликованы 3 работы (две -в соавторстве), их список приведен в конце автореферата.
Похожие диссертации на Моделирование распространения контагиозных заболеваний в структурированной популяции
