Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Моделирование автономных многосвязных непрерывно-дискретных систем 19
1.1. Основные определения. Расчетная устойчивости системы дифференциальных уравнений возмущенного движения .19
1.2. Моделирование многосвязной управляемой непрерывно-дискретной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями 25
1.3. Двухуровневое управление многосвязной непрерывно-дискретной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями 36
1.4. Устойчивость движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы .45
1.5. Выводы 51
ГЛАВА 2. Моделирование неавтономных многосвязных непрерывно-дискретных систем 53
2.1. Моделирование линейной непрерывно-дискретной нестационарной си-стемы .53
2.2. Управление многосвязной непрерывно-дискретной неавтономной систе-мы .61
2.3. Выводы 68
ГЛАВА 3. Моделирование непрерывно-дискретных систем с периодическими матрицами коэффициентов .69
3.1. Моделирование управлений непрерывно-дискретной динамической системы с периодической матрицей 69
3.2. Моделирование многосвязной непрерывно-дискретной системы с периодической матрицей 83
3.3. Моделирование управляемой динамической системы второго порядка с использованием кусочно-постоянного управления .86
3.4. Выводы 97
ГЛАВА 4. Алгоритмы и программная реализация методов нахождения кусочно-постоянных управлений непрерывно-дискретных систем .99
4.1 Задача о стабилизации углового движения летательного аппарата с помощью кусочно-постоянного управления 99
4.2 Синтез кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве .109
4.3. Выводы 120
Заключение 121
Список литературы .
- Моделирование многосвязной управляемой непрерывно-дискретной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями
- Устойчивость движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы
- Моделирование многосвязной непрерывно-дискретной системы с периодической матрицей
- Синтез кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время развитие автоматического управления характеризуется широким внедрением дискретных регулирующих устройств (компьютеры, микропроцессоры и просто пороговые устройства) при управлении непрерывными динамическими объектами и процессами. Данные процессы характеризуются структурными изменениями в процессе функционирования, многоре-жимностью и разнородностью описания. Наиболее точно они описываются математическими моделями, сочетающими непрерывное и дискретное время, то есть, так называемыми, непрерывно-дискретным системами. Проблема разработки моделей управляющих воздействий, обеспечивающих стабилизацию программных
движений непрерывно-дискретных систем является предметом многочисленных исследований1,2,3,4,5,6,7.
Сложность алгоритмов функционирования и математических моделей современных технических объектов приводят, как правило, к невозможности применения централизованного управления на основе единой цели и алгоритма. Поэтому большинство существующих процессов, описываемых непрерывно-дискретными системами – это сложные многосвязные системы, состоящие из отдельных управляемых подсистем, объединенных в единую систему посредством внутрисистемных связей. Существенным преимуществом многосвязных систем является одновременное решение ряда локальных задач и снижение их сложности, повышение надежности работы системы в целом.
Однако такое усложнение структуры объектов вызывает возрастание проблемы их математического моделирования с разработкой соответствующих комплексов программ. До недавних пор основное внимание уделялось стабилизации моделей, описываемых непрерывно-дискретными линейными системами. Поэтому представляет большой интерес разработка методов и алгоритмов построения моделей управлений многосвязных непрерывно-дискретных систем.
Александров А. Ю., ПлатонА. В. Об устойчивости гибридных однородных систем // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2010. - № 5 (21). - С. 24 - 32.
2 Козлов Р. И, Козлова О. Р. Исследование устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных моделей
экономической динамики методом ВФЛ I, II // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 2. - С.
104-113, № 3. - С. 41-50.
3 Васильев С. Н., Маликов А. И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых гибридных сис
тем // Сборник статей «Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН». -
Казань: Фолиант, 2011. - Т. 1. - С. 23-81.
4 20. Васильев С. Н., Косов А. А. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова
и множественных гомоморфизмов // Автоматика и телемеханика. - 2011. - Вып. 6 - С. 27-47.
5 Смирнов Е. Я. Стабилизация нестационарных дискретных и гибридных систем / Е. Я. Смирнов. - Деп. в
ВИНИТИ 4 января 1982 г., № 39-82 Деп. 25 с.
6 Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В. И. Зубов. -
2-е изд. - Л.: Машиностроение, 1974. - 335 с
7 Земляков А. С. Исследование дискретно-непрерывных систем управления методом функций Ляпунова /
А. С. Земляков // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. ст. - Новосибирск:
Наука, 1988. - С. 168-173.
Таким образом, можно утверждать о перспективности и актуальности развития исследований вопросов устойчивости и методов построения стабилизирующих управлений для многосвязных управляемых непрерывно-дискретных систем.
Объектом исследования являются линейные многосвязные непрерывно-дискретные системы.
Предметом исследования является модели управления многосвязных управляемых непрерывно-дискретных систем.
Цель работы – математическое обоснование новых моделей управления многосвязных непрерывно-дискретных систем с разработкой соответствующих алгоритмов и программ моделирования стабилизирующих управлений конкретных систем.
Поставленная цель определила необходимость решения следующего комплекса взаимосвязанных задач:
-
теоретическое обоснование и разработка математических моделей управления для многосвязных непрерывно-дискретных систем;
-
определение условий для поиска предельных моментов квантования линейных и многосвязных непрерывно-дискретных систем;
-
алгоритмизация процесса построения кусочно-постоянных управлений для линейных и многосвязных непрерывно-дискретных систем;
-
создание программного комплекса для численной реализации разработанных алгоритмов.
Научная новизна работы заключается в создании новых моделей управления многосвязных непрерывно-дискретных систем с разработкой соответствующих алгоритмов и программ расчета стабилизирующих управлений, позволяющих решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых линейными и многосвязными непрерывно-дискретными системами.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Метод исследования математических моделей, описываемых непрерывно-дискретными системами. Теоремы о существовании кусочно-постоянных стабилизирующих управлений для линейных систем с нестационарными и периодическими матрицами коэффициентов;
-
Модель управления движением многосвязных непрерывно-дискретных систем, стабилизирующая поведение как системы в целом, так и локальных подсистем. Полученный результат распространен для случаев непрерывно-дискретных многосвязных систем с нестационарными, а также периодическими матрицами коэффициентов;
-
Модель кусочно-постоянного управления манипулятора, использующаяся в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве;
-
Численный метод моделирования движений, описываемых управляемыми многосвязными непрерывно-дискретными системами, основанный на автоматическом расчете предельного шага квантования.
-
Программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов.
Общетеоретическая значимость и практическая ценность. Теоретической значимостью обладают разработанные модели управления движением многосвязных непрерывно-дискретных систем, алгоритм и программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых данными системами. Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что разработанные модели и комплекс программ, их реализующий, могут найти применение при синтезе управляющих воздействий в задачах автомобиле- и авиастроения, робототехники управлении летательными аппаратами и т. д.
Достоверность результатов, представленных в диссертации, обеспечивается корректностью применения методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории стабилизации. Основным математическим аппаратом исследования является метод векторных функций Ляпунова, системы сравнения и методы стабилизации.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Зубова (Санкт-Петербург, 2010); Международных научно-технических конференциях молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2011, 2012, 2014 гг.); Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки» (Тамбов, 2011); Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2012); Научные конференции «Огаревские чтения» (Саранск, 2009–2013 гг.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, из которых 4 – в изданиях, входящих в перечень ВАК.
Личный вклад автора. Все результаты, приведенные в диссертации и выносимые на защиту получены автором самостоятельно или в соавторстве, причем вклад диссертанта был определяющим.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 150 листов. Список литературы содержит 123 наименования.
Моделирование многосвязной управляемой непрерывно-дискретной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями
Во избежание увеличения размерности задачи для облегчения исследования многосвязных непрерывно-дискретных систем используется метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ).
Концепция векторных функций Ляпунова для разработки принципа сравнения и построения систем сравнения была предложена и детально разработана в работах В. М. Матросова [53, 54]. Во второй половине 60-х годов модификации теорем сравнения с ВФЛ о различных типах устойчивости и ограниченности для дифференциальных уравнений разных классов были получены также В. Лакшмикантамом с сотрудниками [106], Н. Рушем [61], С. К. Персидским [56] и др. Начиная с работ D. Siljak [86] и L. Grujic [100, 101] метод векторных функций Ляпунова стал применяться для исследования устойчивости систем со структурными изменениями.
Очень важным для широкого распространения метода ВФЛ было и то, что в работах В.М. Матросова и его учеников (А. С. Землякова [38-39], Р. И. Козлова [41-42], С. Н. Васильева [15-20], А. И. Маликова [51], А. В. Лакеева [122], Е. И. Сомова [70]) и др., а также в работах Ф. Н. Бейли [91] и В. Д. Фурасова [82] и др. была показана эффективность применения метода ВФЛ к изучению устойчивости, управляемости и других динамических свойств многосвязных систем, нелинейных систем автоматического управления, экономических и других систем.
В настоящее время метод ВФЛ активно используется при исследовании устойчивоподобных свойств решений отдельных классов многосвязных непрерывно-дискретных систем [1, 2, 4, 63 и др.] исследуется проблема устойчивости решений отдельных классов многосвязных систем.
Таким образом, можно утверждать о перспективности и актуальности развития исследований вопросов устойчивости и методов построения стабилизирующих управлений для многосвязных управляемых непрерывно-дискретных систем с помощью метода векторных функций Ляпунова. Целью диссертационной работы является математическое обоснование новых моделей управления многосвязных непрерывно-дискретных систем с разработкой соответствующих алгоритмов и программ моделирования стабилизирующих управлений конкретных систем.
Поставленная цель определила необходимость решения следующего комплекса взаимосвязанных задач: 1) теоретическое обоснование и разработка математических моделей управления для многосвязных непрерывно-дискретных систем; 2) определение условий для поиска предельных моментов квантования линейных и многосвязных непрерывно-дискретных систем; 3) алгоритмизация процесса построения кусочно-постоянных управлений для линейных и многосвязных непрерывно-дискретных систем; 4) создание программного комплекса для численной реализации разработанных алгоритмов.
Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории стабилизации. Основным математическим аппаратом исследования является метод векторных функций Ляпунова, системы сравнения и методы стабилизации.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты: 1. Теоретически обосновано использование кусочно-постоянного управления для стабилизации движения математических моделей, описываемых многосвязными непрерывно-дискретными системами. 2. Разработаны новые иерархические модели управления движением многосвязных непрерывно-дискретных систем, стабилизирующие поведение как системы в целом, так и локальных подсистем. 3. Предложены алгоритмы синтеза стабилизирующих управлений линейных и многосвязных непрерывно-дискретных системам. 4. Разработан программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых линейными и многосвязными непрерывно-дискретными системами. Научная и практическая значимость. Теоретической значимостью обладают разработанные модели управления движением многосвязных непрерывно-дискретных систем, алгоритм и программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых данными системами. Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что разработанные модели и комплекс программ, их реализующий, могут найти применение при синтезе управляющих воздействий в задачах автомобиле- и авиастроения, робототехники управлении летательными аппаратами, трафиком в компьютерных сетях и т.д. Результаты диссертационного исследования также могут использоваться в учебном процессе при обучении студентов математических специальностей. На защиту выносятся следующие основные результаты и положения: 1) Метод исследования математических моделей, описываемых непрерывно-дискретными системами. Теоремы о существовании кусочно-постоянных стабилизирующих управлений для линейных систем с нестационарными и периодическими матрицами коэффициентов; 2) Модель управления движением многосвязных непрерывно-дискретных систем, стабилизирующая поведение как системы в целом, так и локальных подсистем. Полученный результат распространен для случаев непрерывно-дискретных многосвязных систем с нестационарными, а также периодическими матрицами коэффициентов;
Устойчивость движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы
В качестве примера в п. 3.3 моделируется кусочно-постоянное управление для линейной непрерывно-дискретной системы второго порядка с периодическими коэффициентами z + p(t)z = q(t)v{ph), где - непрерывные ю -периодические функции, v = v{ph) - кусочно постоянное управление. посвящена моделированию и программной реализации стабилизирующих кусочно-постоянных управлений для линейных и многосвязных систем. Обоснована важность и определяются условия поиска предельного шага квантования, удовлетворяющего условиям теорем, доказанных ранее в работе.
В п. 4.1 исследуется процесс построения кусочно-постоянного управления линейной непрерывно-дискретной системы с разработкой алгоритма и программы в пакете MATLAB. Рассматривается задача о моделировании углового движения летательного аппарата с помощью кусочно-постоянного управления.
На основе теорем, доказанных в главах 1-3, в п. 4.2 предлагается общий алгоритм построения стабилизирующего дискретного управления многосвязных непрерывно-дискретных систем. Исследуется синтез кусочно-постоянного управления при перемещении конца схвата манипулятора вместе с объектом манипулирования по заданной траектории в пространстве. пакете MATLAB разработана программа и проведено численное моделирование данной задачи.
В данной главе исследуются многосвязные управляемые непрерывно-дискретные стационарные системы с неперекрывающимися декомпозициями. Для указанных систем находятся кусочно-постоянные управляющие воздействия, стабилизирующие их положения равновесия относительно всех и части переменных.
Доказывается теорема о возможности двухуровневого управления многосвязных непрерывно-дискретных систем, действующего как на «глобальном» уровне, так и на уровне линейных подсистем многосвязной системы.
Основные определения. Расчетная устойчивость системы дифференциальных уравнений возмущенного движения
Приведем известные определения и теоремы об устойчивости, необходимые при изложении диссертации. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения - = F(t,x\ (1.1.1) где x = {X1,...,xn)T, И ( ,4...ЛМГ Предположим, что F(t,x)eCJ-0 ,1(n\ Q = {t,x:t t0 0,\\x\\ h,h 0\ F(t,0) = 0. Далее примем, что данная система в области Q допускает единственное положение равновесия = 0. Здесь и далее индекс Г обозначает транспонирование. Приведем следующие определения. Определение 1 [26]. Будем говорить, что положение равновесия х = 0 системы (1.1.1) устойчиво по Ляпунову при t - +оо, если для любого S 0 и t0 0 существует б(ґ0,є) 0 такое, что при х(/0,/0,х0 5 справедливо неравенство \\x(t,t0,x0)\ & при t t0. Определение 2 [26]. Будем говорить, что положение равновесия х = 0 системы (1.1.1) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво, и кроме того, для любого t t0 существует такое Л(/0) 0 что при х(ґ01 А выполняется условие limbc( , 0, 0) = 0. Определение 3. Решение х = О называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если число 5(/0,є) в определении устойчивости можно выбрать не зависящим от є. Определение 4. Решение JC = 0 называется асимптотически устойчивым равномерно по t0 и х0 если оно равномерно устойчиво и существует не зависящее от t0 число А 0 такое, что х(/,х0,/0)—»0 при /-/0—»+оо равномерно относительно t0 и х0 на множестве t0 0, х0 А.
Рассмотрим линейную системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей, т.е. систему вида — = Ах, (1.1.2) dt где А - постоянная вещественная матрица размерности п х п, х = (х1?...,хи) . Справедлива теорема. Теорема 1 [26]. Линейная однородная система (1.1.2) с постоянной матрицей P 1) устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни Х,-=ХХА) матрицы А обладают неположительными вещественными частя ми причем характеристические корни, имеющие нуле вые вещественные части, допускают лишь простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни Х-=Х-(Л) матрицы А имеют отрицательные действи тельные части RQXJ(A) O{J = й)
Приведем далее теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости с использованием функций Ляпунова. Пусть дана функция V = V{t,x) ECttM Определение 5 [26]. Вещественная непрерывная функция v(t,x) называется знакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной) в D если Г(і,х) 0 (илиГ(і,х) 0) при( , )єД. Определение 6 [26]. Функция V = v(t,x) называется определенно-положительной (определенно-отрицательной) в D , если существует такая непрерывная скалярная функция Ж(х)єС(\\х\\ !г\ W(x) 0, W(x) = 0, что V(t,x) W(x) 0 (V(t,x) -W(x) 0) при И Ф О и V(t,0) = W(o) = 0. Определение 7 [26]. Говорят, что функция V = V(t,x) допускает бесконечно малый высший предел при х —» 0, если при некотором t0 О имеем V(t,x) 0 t на при х -» 0, т. е. для любого є 0 существует 5 = 5(є) 0 такое, что К(/,Х) ЄприН 5и/Е[/0,ОО]. Теорема 1 [26]. (первая теорема Ляпунова). Если для системы (1.1.1) существует определенно положительная функция V(t,x)eCfx\D), полная производная которой на решениях системы (1.1.1) является знакопостоянной отрицательной функцией, то положение равновесия системы (1.1.1) устойчиво. Теорема 2 [26] (вторая теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если для системы (1.1.1) существует определенно-положительная функция V(t,x)eC,1 ,1(D), допускающая бесконечно малый высший предел при х 0 и имеющая отрицательно-определенную производную по времени t на решениях системы (1.1.1), то положение равновесия системы (1.1.1) асимптотически устойчиво.
Далее приведем определения расчетной устойчивости и расчетной асимптотической устойчивости. Следует отметить, что впервые расчетную устойчивость и расчетную асимптотическую устойчивость ввел Дж. Ла Салль [105]. Эти виды устойчивости он называл эвентуальными.
Введем определения устойчивости движения относительно системы (1.1.1). Отметим, что при этом х = 0 может быть решением, а может и не быть.
Определение 8 [38] Положение равновесия х = 0 системы (1.1.1) называется расчетным (эвентуально) устойчивым, если для каждого є 0 найдутся такие Г(є) 0 и5(є) 0, что для всякого t0 7(є) и любого х0, удовлетворяющего условию х0 5(є) при всех t t0. справедливо неравенство \\X(t,t0,X0)\ E. Теорема 3 [38]. Положение равновесия х = 0 относительно системы (1.1.1) расчетно устойчиво и для всех достаточно малых є 0 выполняется соотношение T(s) = T0=const 0.Тогда при всех t T0 движение х = 0 реализуется в рассматриваемой системе (1.1.1).
Справедлива и обратная теорема. Теорема 4 [38]. Если система (1.1.1) автономна и имеет решение х = 0, то расчетная устойчивость движения х = 0 этой системы эквивалентна равномерной устойчивости по Ляпунову. Теорема 5 [38]. Для того, чтобы положение равновесия х = 0 относительно решений системы (1.1.1) было расчетно устойчивым, необходимо и достаточно существование такой заданной на множестве Q скалярной функции V{t,x) чтобы выполнялись следующие условия: скалярная положительно-определенная функция допускает бесконечно малый высший предел и, кроме того не возрастает при t t0.
Примечание. Если функция v(t,x) допускает полную производную по времени на решения системы (1.1.1), то условие невозрастания функции на решениях системы (1.1.1), можно заменить условием Далее введем определение расчетной асимптотической устойчивости.
Определение 9 [38]. Положение равновесия х = 0 системы (1.1.1) называется расчетно асимптотически устойчивым, если оно расчетно устойчиво и, кроме того, для любого х0, удовлетворяющего условию х0 5(є), и любого t0 T(s), где 8(E) и Г(Є) выбраны по числу є, 0 є /г, в соответствии с определением расчетной устойчивости справедливо следующее соотношение limx(/,?0,x0) = 0. t - оо Имеет место следующая теорема.
Теорема 6 [38]. Для того, чтобы положение равновесия х = 0 относительно системы (1.1.1) было расчетно асимптотически устойчивым необходимо и достаточно существование такой заданной на множестве Q скалярной функции, что для нее выполнены условия теоремы 3 и следующее условие: можно указать Т0 0 и 0 Л й, что для всякого «-мерного вектора, удовлетворяющего условию х0 А и любого t0 T0 функция V(t,t0,x0) определена при всех t t0 и выполняется условие lim V{t,t0,x0)= 0.
Моделирование многосвязной непрерывно-дискретной системы с периодической матрицей
a В п. 1.2 был рассмотрен вопрос стабилизации движения линейной непрерывно-дискретной многосвязной системы. Найденные управления действуют только на линейные подсистемы, то есть являются локальными. Однако, в некоторых случаях локальное управление, не учитывающее действительного характера взаимосвязи систем, может быть либо недостаточным для обеспечения Поэтому для достижения общесистемной глобальной цели должно осуществляться и некоторое глобальное управление, чтобы обеспечить как можно более полный учет фактического характера взаимосвязей подсистем.
Рассмотрим непрерывно-дискретную динамическую систему S, расчлененную на q подсистем S , j = 1,q, со скалярными управлениями где XSER"S, x = \xT1,...,xTqj ; As - постоянные матрицы размерности nsxns; Asj - постоянные матрицы размерности ns х п ; bs - постоянный вектор-столбец размерности п ; Ъ =(Ь1,...,Ь У; s, i = 1,q. Управление и зависит от дискретных моментов времени и представляет собой кусочно-постоянную функцию, т. е. u(t) = u(ph), te\ph;(p + 1)h]; h 0 - некоторая постоянная, постоянная матрица размерности л х п, 5 - постоянная матрица размерности пхг.Управление u = (u1,...,urJ зависит от дискретных моментов времени и представляет собой кусочно-постоянную функцию, т.е. u{t)=u{ph\ t \pK{p + 1)h\ Для исследования задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия yf = 0, z =0 (i = 1,m,j = 1,p) системы (1.4.3) по отношению к y1,...,ym воспользуемся идеей В. И. Воротникова [22] построения некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений, называемой ц системой. На основании анализа устойчивости ц,-системы делается вывод об устойчивости по отношению к части переменных положения равновесия исходной системы.
При этом система сведется либо к системе типа (1.4.6) или (1.4.9). В первом случае ц-система построена , во втором случае необходимо продолжать введение новых переменных.
Переход к ц -системе имеет смысл только тогда, когда ее размерность меньше размерности исходной системы. Вспомогательные переменные ц-системы выбираются из переменных (в векторном виде) H = 2fe, =Bz = BDz,..., =Bz =BDkz (1 k p-1). Таким образом, для определения размерности ц,-системы, так же как и в случае [22, c. 30], рассматривается матрица к ={BT,DTBT,..JDTY1BT) где BT,DT - вектор-столбцы системы (1.4.3). А значит, для непрерывно-дискретной системы (1.4.1) верны леммы о размерности вспомогательной \х-системы для линейных систем. Приведем их формулировки.
Лемма 1.1. [22, с. 29]. Для системы (1.4.1) введением R r групп новых переменных типа всегда может быть построена вспомогательная ц-система, размерность которой не превосходит размерности исходной системы.
Лемма 1.2. [22, с. 31]. Для того, чтобы размерность ц-системы была равна m+h, необходимо и достаточно, чтобы rank К =h. Переход к системе ц,-вида эквивалентен введению вместо переменных x = [y1,...,ym,z1,...,z J новых переменных w = (y1,...,ym,)jL1,...,)jLh,v1,...,vr)T р = п = m + h + r), причем исходная система (1.4.1) принимает такой вид, что первые m+h не содержат v Установим связь между коэффициентами исходной системы (1.4.1) и вспомогательной ц-системы (1.4.7). Пусть s - минимальное число такое, что rank Ks_1 = rank Ks. Рассмотрим матрицы L (і = 1,5) вида [22,c. 32]: а) строки матрицы Ц размера hx р - линейно независимые вектора столбцы матрицы Ks_1 б) столбцы матрицы L2 размера hxh - линейно независимые вектора столбцы матрицы Ц; в) строка с номером і (j = \,...,h) матрицы L3 размера pxh является строкой с номером у матрицы L2l - обратной к Z, а остальные строки матри цы L3 - нулевые; Таким образом, вопрос об асимптотической устойчивости непрерывно-дискретной системы (1.4.1) по части переменных сводится к исследованию асимптотической устойчивости вспомогательной системы (1.4.10) по всем переменным.
Далее, используя теорему В. И. Зубова [33,с. 100] о возможности стабилизации системы вида (1.4.9) с помощью дискретного управления, убедимся, что система (1.4.3) ((1.4.4)) стабилизируется относительно части переменных.
Приведем формулировку данной теоремы для системы (1.4.10). Теорема 1.3. Если векторы К = (вТ,DTBT,...,(DTVВт) линейно незави симы, то существуют коэффициенты усиления К (управление (1.4.2)) и величина h такие, что нулевое решение системы (1.4.10) будет асимптотически устойчивым. Матрица ( + СТ) = \ 1 1 имеет собственные числа с отрицатель-ными вещественными частями и нулевое решение линейной непрерывной системы (1.4.14) асимптотически устойчиво по Ляпунову. Следовательно, для данной системы существует функция Ляпунова, удовлетворяющая неравенствам Н. Н. Красовского (1.2.7). В данном примере функция Ляпунова и оценки неравенств (1.2.17) имеют вид v(x) = xTx и Х1=Х2=1, с = 2,d = 6. Предельный шаг квантования системы (1.4.13), вычисляемый в соответствии с [31] равен /0=0,3589. Итак, кусочно-постоянное управление вида u(kh) = CTx(kh\ где Ст = (1 - 2), h h0, h0 = 0,3589 стабилизирует ц,-систему (1.4.12), и следовательно ее нулевое решение системы асимптотически устойчиво по Ляпунову. Это значит, что движение У1=21=22=0 исходной системы (1.4.11) асимптотически устойчиво по у1, хотя оно не устойчиво по Ляпунову по всем переменным.
В данной главе исследуются многосвязные непрерывно-дискретные динамические управляемые системы.
1. Доказана теорема о существовании кусочно-постоянных стабилизирующих управлений для многосвязных систем со стационарными матрицами коэффициентов.
2. Доказана теорема о возможности двухуровневой стабилизации положения равновесия многосвязной непрерывно-дискретной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями.
3. Получены модели локального и двухуровневого кусочно-постоянного управлений, обеспечивающих расчетную устойчивость решений непрерывно-дискретных многосвязных систем. 4. Проведено исследование задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия по части переменных непрерывно-дискретных линейной системы. Доказано, что вопрос об асимптотической устойчивости непрерывно-дискретной системы по части фазовых переменных сводится к исследованию асимптотической устойчивости положения равновесия некоторой вспомогательной ц-системы по всем переменным.
Таким образом, теоретически обосновано использование кусочно-постоянного управления для стабилизации движения математических моделей, описываемых многосвязными непрерывно-дискретными системами. ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕАВТОНОМНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
В данной главе доказывается теорема о стабилизации непрерывно-дискретной нестационарной системы с помощью кусочно-постоянного управления. Рассматривается многосвязная управляемая непрерывно-дискретная неавтономная система с неперекрывающимися декомпозициями, для которой найдены кусочно-постоянные управляющие воздействия, стабилизирующие положения равновесия указанной системы. непрерывная по совокупности переменных векторная функция u{x,t).
В работе [46] изложен подход к получению достаточных условий стабилизируемости непрерывных систем управления и отысканию стабилизирующего скалярного управления u(x,t) для систем вида (2.1.2), основанный на использовании аппарата функций Ляпунова.
Отметим также [46, с. 94], что для системы (2.1.2) с произвольным стабилизирующим управлением u = u(t,x), при наличии ограничения (2.1.3) имеет место следующая интегральная оценка качества ? [xTQ(t)x\lt хт(t0)p(t0)x(t0 , V (f0). В данном пункте будем рассматривать случай, когда матрица A(t) и вектор B{t) могут быть представлены в виде A(t) = A0+ AA(t), B(t) = B0+ AB(t), где A0 и B0 - постоянные матрица и вектор, а AA(t) и AB(t) функциональные матрица и вектор такие, что для всех t t0 є2, где є1 0 и є2 0 - достаточно малые числа. Из теоремы следует, что при достаточно малых є1 и є2 система (2.1.2) может быть стабилизирована [46, с. 95]. При этом стабилизирующее управление должно удовлетворять условию вида (2.1.3), где С(t) = C0 - постоянный вектор, А0(О = Аб0 " МО + ДВ( )С0 J" МО + )С0 ]Р, а матрица P(t) = Р и определяется из матричного уравнения P(A0 + B0C0 ) + (A0 + B0C0 )TP = -Q0 - AQ0, где Q0 и AQ0 - определенно положительные симметрические матрицы. Отметим здесь, что пара А0, В0 считается управляемой, а вектор С0 выбирается таким образом, что матрица \ + В0СТ0 будет гурвицевой.
Далее будем считать, что стабилизирующее управление для системы (2.1.2), удовлетворяющее условиям предыдущей теоремы, найдено. В этом случае имеет место следующая теорема. Теорема 2.1. Если векторы B0,A0B0,...,A0 1B0 линейно независимы и, кроме того, система (2.1.2) стабилизируема в целом управлением вида и = C0X , то существуют коэффициенты усиления С = {сн }.=1 и величина h такие, что нулевое решение системы (2.1.1) будет асимптотически устойчивым. Управление u=Clx(ph) при этом будет стабилизировать непрерывно-дискретную систему (2.1.1) при h h0 (h0 0 - достаточно малое).
Синтез кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве
Первое уравнение соответствует простейшей математической модели колебаний летательного аппарата относительно оси рыскания (модель, составленная без учета боковой аэродинамической силы), а второе - рулевой машине. Система (4.1.1) имеет порядок, равный 3 (и = 3). Приняв обозначения для переменных фазового состояния объекта Анализ теорем о существовании кусочно-постоянных управлений непрерывно-дискретных систем показывает, что задача нахождения данных управлений состоит из двух этапов: нахождения коэффициентов усиления кусочно-постоянного управления и определение шага квантования. Результатом первого этапа синтеза кусочно-постоянного управления является определение непрерывного управления, решающего задачу стабилизации соответствующей непрерывной линейной системы. Далее следует этап вычисления
101 дискретного аналога найденного ранее управления, т. е. поиск предельного шага квантования. При этом, дискретное по времени управление строится, опираясь на некоторое непрерывное управление, стабилизирующее соответствующую непрерывную систему.
В большинстве методов синтеза цифровых систем предполагается, что период квантования заранее задан, и только небольшое число работ (см. [ 55, 57, 58, 103, 106, 107]) содержит какие-либо рекомендации по его выбору. Однако, выбор шага квантования является важным этапом построения стабилизирующих кусочно-непрерывных управляющих воздействий непрерывно-дискретных систем. Очевидно, что шаг квантования должен быть достаточно малым, так как при уменьшении периода квантования ошибка приближенных методов в сравнение с точными уменьшается. Однако, выбор слишком маленького шага нецелесообразен, поскольку это требует существенных вычислительные ресурсов, может приводить к эффекту нестабильного квантования и пропуска такта [122]. Кроме того, излишне малая величина h увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.
Приведем алгоритм нахождения стабилизирующего управления для модели вида (4.1.3), включающий в себя вычисление предельного шага квантования данной системы. Дискретизация управления. На основании оценок Н. Н. Красовского определяется максимальный шаг квантования /z0 = min{/z0} управлений и = CTx(ph). Для автоматизации процесса нахождения кусочно-постоянных управлений, стабилизирующих линейную систему (4.1.1), разработана программа в среде программирования MATLAB. Текст программы представлен в приложении. Данная программа включает в себя: - ввод данных, проверка условий управляемости пары (А, В); - синтез непрерывного стабилизирующего управления линейной системы Х = (А + ВСТ)Х, основанный на применении теории линейных матричных неравенств [87, 88]. - расчет предельного шага квантования дискретно-непрерывной многосвязной системы с использованием метода Ньютона;
Разберем подробнее реализацию данного алгоритма. В (4.1.4) примем К = 1, Т = 1, Q = 1, С2 = 2. В качестве исходных данных для программы высту 103 пают следующие данные: 5 = 0.8, ф = 0.35, ср = 1.В этом случае матрица управляемости системы имеет ранг 3, равный порядку системы. Это указывает на возможность построения автопилота, обеспечивающего любое желаемое расположения корней системы стабилизации. Далее перед нами стоит задача синтеза непрерывной управляемой системы.
Классический подход к синтезу линейных обратных связей в пространстве состояний, во всяком случае для управляемой пары, связан с каноническим представлением системы (4.1.3) и построением управления и = Стх, обеспечивающего заданные собственные значения матрицы замкнутой системы. Вместе с тем, возможен альтернативный путь синтеза стабилизирующих управлений, основанный на применении теории линейных матричных неравенств и эффективных алгоритмов их решения, реализованных в пакете MATLAB. [9].
Основная идея, положенная в основу синтеза, заключается в следующем [9]. Задача стабилизации непрерывной системы Последние два неравенства уже не содержат вектора коэффициентов усиления С и являются линейными матричными неравенствами относительно матрицы Н. Таким образом, сначала находится матрица Н, удовлетворяющая линейным матричным неравенствам (4.1.9), а затем найденная матрица подставляется в линейное матричное неравенство (4.1.8) и находятся коэффициенты усиления управления С.
Далее определяется предельный шаг квантования системы (4.1.3). В работах [31, 32] В. А. Земляков обосновал метод нахождения предельного шага квантования систем с дискретным управлением на основе оценки нормы разности непрерывного и дискретного управлений. Предельный шаг квантования находится как численное решение уравнения положительные постоян ные числа, которые находятся из неравенств Н. Н. Красовского [44], которым удовлетворяет функция Ляпунова для системы (4.1.4). В программе расчет предельного шага квантования дискретно-непрерывной многосвязной системы происходит с использованием метода Ньютона Для представленных исходных данных кусочно-постоянное управление системы (4.1.1) имеет вид Результаты компьютерного моделирования при найденном кусочно-постоянном управлении показаны на рисунке 1.
Процесс стабилизации системы (4.1.1) с использованием кусочно-постоянного управления 106 В разработанной программе предельный шаг квантования делит время на равные промежутки длиной hQ . На каждом таком отрезке (ph, (p + \)h\ p = 0,1,2,... управление u(ph) является кусочно-постоянным, а система (4.1.3) преобразуется в непрерывную систему x = Ax + BCTx(ph), x0=x(p-\)h. Данная система решается с помощью метода Рунге-Кутта IV порядка, при этом найденное значение системы в точке (p + l)h является начальным условием для непрерывной функции x = Ax + BCTx((p + \)h) на следующем интервале времени. Для проверки полученного результата проводится численное моделирование непрерывной системы (4.1.5) без учета кусочно-постоянного управления методом Рунге-Кутта IV порядка. Величину шага сетки при этом при Рис. 2. Процесс стабилизации непрерывной системы (4.1.5) мем равную предельному шагу квантования hQ =0.001.
