Содержание к диссертации
Введение
1 Общие методы моделирования и расчета электронно-оптических систем с полевым катодом 12
2 Математическое моделирование одноострийных электронно-оптических систем с полевым катодом 30
2.1 Задача о синтезе поверхности проводящего катода 30
2.2 Математическая модель одноострийной диодной эмиссионной системы с полевым эмиттером 40
2.3 Математическая модель фокусирующей одноострийной эмиссионной системы с полевым эмиттером 48
3 Математическое моделирование многоострийных электронно-оптических систем с полевым катодом 58
3.1 Математическая модель многоострийной эмиссионной системы 58
4 Расчет коэффициента усиления поля и эмисси онных характеристик 65
4.1 Влияние геометрических параметров на коэф фициент усиления электростатического поля /3
на вершине эмиттера 65
4.2 Эмиссионные характеристики 68
Заключение
- Математическая модель одноострийной диодной эмиссионной системы с полевым эмиттером
- Математическая модель фокусирующей одноострийной эмиссионной системы с полевым эмиттером
- Влияние геометрических параметров на коэф фициент усиления электростатического поля
- Эмиссионные характеристики
Введение к работе
Актуальность темы
Явление полевой электронной эмиссии может использоваться для создания широкого круга приборов и устройств. В первую очередь это источники электронов, применяемые в электронных микроскопах, плоских дисплеях на основе полевой эмиссии, системах диагностики поверхности, высокочастотных радиопередающих системах, приборах микро- и наноэлектрони-ки. Основные отличия полевых катодов от наиболее широко применяющейся сегодня термокатодов заключаются в следующем: более узкий энергетический спектр полевых электронов, малые размеры эмитирующей области, безынерцион-ность, компактность, экономичность (отсутствие расхода энергии на принудительный нагрев). Некоторые из вышеперечисленных характеристик не являются свойством полевой эмиссии как физического феномена, а обусловлены техническими приемами, применяемыми для создания условий, необходимых для ее возникновения. А именно, необходимые значения напряженности поля в большинстве практических случаев возможно получить лишь придав эмиттеру форму острия.
ными.
Цель работы
Целью диссертационной работы являлась разработка математической модели полевого эмиттера, пригодной для описания как одноострийных, так и многоострийных полевых эмиссионных систем. Практическая реализация поставленной цели потребовала решения следующих взаимообусловленных и взаимодополняющих задач:
Разработки оригинальных математических моделей одноострийных и многоострийных эмиссионных систем с полевым электронным катодом.
Расчета основных характеристик формирующего электронный пучок электрического поля и эмиссионных характеристик таких систем.
В процессе реализации программы исследований было решено также несколько частных задач:
Разработана математическая модель диодной электронно-оптической системы с полевым катодом и плоским анодом.
Разработана математическая модель электронно-оптической системы с полевым катодом и системой фокусирующих электродов, представляющих собой соосные плоские диафрагмы.
Разработана математическая модель многоострийной системы.
На основе созданных математических моделей рассчитаны основные характеристики электростатического поля и эмиссионные характеристики систем.
Проведено компьютерное моделирование, и реализован численный эксперимент для проверки адекватности предложенных моделей.
Методы исследования
В работе основными методами исследования являются методы математического и компьютерного моделирования и численного эксперимента.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
Математические модели диодной одноострийной системы, одноострийной системы с диафрагмой, многоострийной системы.
Комплекс программ для расчета полей и эмиссионных характеристик.
Результаты расчета основных характеристик электрического поля и эмиссионных характеристик.
Математическая модель одноострийной диодной эмиссионной системы с полевым эмиттером
Основываясь на результатах, изложенных в предыдущем параграфе, рассмотрим простейшую модель одноострийной полевой эмиссионной системы, представляющей собой диод. Физический объект, математическую модель которого мы желаем построить, состоит из проводящего осесимметричного острия, закрепленного на проводящей металлической подложке так что ось острия перпендикулярна подложке, и плоского анода, параллельного подложке. Разность потенциалов, создаваемая между подложкой и анодом, служит источником электростатического поля в системе, достаточно сильного для возникновения полевой эмиссии с острия. Мы предполагаем, что эмиссионный ток при этом достаточно мал, так что влиянием пространственного заряда можно пренебречь. На данном этапе при построении математической модели мы также пренебрегаем влиянием всех остальных электродов, если они имеются в системе. Нашей конечной целью является получение эмиссионных характеристик рассматриваемой системы в зависимости от размеров и формы острия, а также прикладываемой разности потенциалов.
Задача получения эмиссионных характеристик естественным образом разбивается на две части: классическую электростатическую задачу и квантовомеханическую задачу о тун-нелировании электронов с поверхности материала, из которо го изготовлено острие, при известном значении напряженности поля на поверхности. Соответственно можно говорить и о двух математических моделях. Настоящая работа посвящена в первую очередь развитию математических моделей, позволяющих решить первую задачу. В качестве математической модели, пригодной для решения второй задачи, мы будем использовать теорию Фаулера-Нордгейма [23].
Таким образом, с учетом вышесказанного, рассмотрим следующую математическую модель, позволяющую найти распределение потенциала внутри описанной системы. Пусть подложке и аноду соответствуют основания прямоугольного кругового цилиндра, поверхности острия - некоторая осесиммет-ричная поверхность S, ось симметрии которой совпадает с осью цилиндра. Введем цилиндрическую систему кооринат так, как это показано на рис. 2.5. Электростатический потенциал [/(г, z), в силу симметрии задачи, не зависит от координаты ip и, согласно модели, является решением уравнения Лапласа со граничными условиями, заданными на поверхности цилиндра и на поверхности S: d2U{r, z) 1 dU(r, z) d2U{r, z) _ дг2 г дг dz2 (2.17) U{r, 0) = 0, 0 г а, (2.18) U{r,z) = 0, (r,z)eS U(r,c) = U0, 0 r a, U(a,z) = -U0, 0 z c.
Отметим, что такая модель будет соответствовать описанной диодной системе (имеется ввиду пренебрежение влияние всех остальных электродов), лишь если радиус цилиндра а выбран таким образом, что он много больше характерного радиуса острия.
На рис. 2.7 приведены сечения эквипотенциальных поверхностей, полученных в результате численного расчета для случая острия в форме цилиндра с полусферическим окончанием (форма углеродной нанотрубки). Значение потенциала на катоде равно нулю, на аноде — 10, расстояние между катодом и анодом — 10, длина острия — 1, радиус кривизны на вершине острия — 0.1.
Отметим, что применение метода синтеза проводящей поверхности с выбором правой части уравнения Пуассона в виде (2.21), соответствующим заряженной нити, хорошо подходит для эмиттеров, имеющих приближенно постоянную толщину, таких, как углеродные нанотрубки. Для более сложных форм зачастую модель с заряженной нитью не предоставляет достаточной гибкости для точного синтеза эквипотенциальной поверхности. В таких случаях приемлемых результатов удается добиться, воспользовавшись вместо заряженной нити осе-симметричной заряженной поверхностью, находящейся внутри желаемой поверхности эмиттера, отстоящей от нее на некотором расстоянии и повторяющей необходимые особенности ее формы.
Математическая модель фокусирующей одноострийной эмиссионной системы с полевым эмиттером
Подставим Bk из (2.54) в (2.45) и запишем результат в матричном виде: (hn- (Dkm + Ekm)Gmn)An = Fk + (Dkm + Ekm)Hm, (2.57) где Ikn — единичная матрица.
Итак, система (2.57), определяет коэффициенты Лп, и, тем самым, распределение потенциала в приосевой области по формуле (2.39). Тот факт, что приосевая область описывается непрерывно одним распределением, позволяет избежать затруднений при тараекторных рассчетах.
Отметим, что поскольку ситема уравнений (2.57) бесконечная, на практике при ее решении необходимо пользоваться методом редукции.
Кроме того, поскольку в выражения для Fn (2.48) и Ни (2.56) входят интегралы от неизвестой функции распределения заряда (возникающей в силу использования метода синтеза поверхности проводящего катода), то система уравнений (2.57) должна решаться совместно с системой уравнений относительно значений р;, соответствующих использованной квадратурной формуле, и вытекающих из требования t/(r, z) = 0, (г, z) Є S, (2.58) где S — поверхность острия. желаем построить, состоит из системы проводящих острий, закрепленных на прводящей подложке в узлах прямоугольной решетки, и плоского проводящего анода, параллельного подложке.
В качестве математической модели рассмотрим граничную задачу для уравнения Лапласа с граничными условиями, заданными на двух бесконечных плоскостях и бесконечной системе поверхностей, полученных смещением поверхности S в соответствии с семейством векторов, проведенных из начала координат во все узлы бесконечной периодической прямоугольной решетки (рис. 3.1). и = и0 и = о Рис. 3.1: Общий вид многоострийной системы
В силу симметрии, а также в соответствии с методом синтеза поверхности проводящего катода, задача сводится к решению уравнения Пуассона в замкнутой области, задаваемой неравенствами \х\ а, \у\ Ь и 0 z с и являющейся желаем построить, состоит из системы проводящих острий, закрепленных на прводящей подложке в узлах прямоугольной решетки, и плоского проводящего анода, параллельного подложке.
В качестве математической модели рассмотрим граничную задачу для уравнения Лапласа с граничными условиями, заданными на двух бесконечных плоскостях и бесконечной системе поверхностей, полученных смещением поверхности S в соответствии с семейством векторов, проведенных из начала координат во все узлы бесконечной периодической прямоугольной решетки (рис. 3.1). и = и0 и = о Рис. 3.1: Общий вид многоострийной системы
В силу симметрии, а также в соответствии с методом синтеза поверхности проводящего катода, задача сводится к решению уравнения Пуассона в замкнутой области, задаваемой неравенствами \х\ а, \у\ Ь и 0 z с и являющейся
«элементарной ячейкой» с единственным «острием» в центре (рис. 3.2). d2U(x,y,z) , d2U{x,y,z) , d2U(x,y,z) _ Граничные условия определяются заданными потенциалами обкладок и симметрией задачи: z = 0 : U = 0, z = с : U = Щ, , . и (3.2) х = ±а : dU/дх = О, ( у = ±Ъ : dU/ду = 0. Кроме того, в выбранных координатах потенциал будет симметричным по переменным х и у: U{x, у, z) = U{-x, у, z) = U(x, -у, z). (3.3) Пусть правая часть соответствует заряженной нити: p(x,y,z) = 5(x)5{y)p{z), (3.4) где S (х) - дельта-функция Дирака.
Влияние геометрических параметров на коэф фициент усиления электростатического поля
Итак, соотношение (3.12) дает распределение потенциала в аналитическом виде во всей рассматриваемой области.
На рис. 3.3 представлено сечение эквипотенциальных поверхностей рассчитанного таким образом распределения потенциала.
Следует также отметить некоторые из недостатков предложенного метода. Во-первых, из-за отсутствия осевой симметрии граничных условий получаемые методом синтеза поверхности проводящего катода эквипотенциальные поверхности также не обладают таковой. Таком образом, строго говоря, невозможно задание осесимметричных острий (наиболее часто использующихся на практике). Во-вторых, ряд (3.12) является
Распределение потенциала в многоострийной системе с острием «полусфера на цилиндре» со следующими параметрами: высота — 1 мм; радиус — 0,05 мм. Расстояние между катодом и анодом — 10 мм, понен-циал анода — 10 В. Расстояние между соседними остриями в массиве — 0,6 мм. двойным, что существено увеличивает время счета при численном нахождении его приближенной суммы.
Возможен по крайней мере один путь решения указанных проблем. Для этого в качестве математической модели многоострийной полевой эмиссионной системы предлагается использовать модифицированный вариант (2.17), (2.18) с однородными граничными условиями Неймана на боковой поверхности цилиндра. Такая модель может служить хорошим приближением к описанию поля в многоострийных системах, в особенности с гексагональным расположением острий, сохраняя при этом все преимущества двумерной модели.
Важной характеристикой полевого острия является форм-фактор, или коэффициент усиления поля (3, определяемый как отношение напряженности F на вершине острия к макроскопической напряженности FM 0 = F/FM (4.1)
Результаты, изложенные в главах 2, 3, позволяют, продифференцировав полученные выражения для потенциала по z, непосредственно исследовать зависимость (5 от геометрических параметров систем.
Выпишем значения производных для модели диодной си Напряженность выражается через производные следующим образом: F(r, z) = {[dU/drf + (dU/dzfj1/2 (4.4) Для других рассмотренных моделей производные и напряженность находятся аналогично.
Рассмотрим важный вопрос о зависимости f5 на вершине одиночной углеродной нанотрубки от ее длины. В качестве формы нанотрубки выберем, как и в главе 2, цилиндр с полусферическим окончанием. Исследуем зависимость коэффициента усиления поля на вершине острия от длины острия при постоянной толщине. Результаты приведены в таблице 4.1. В третьей строке для сравнения приведены результаты, полученные численно с помощью метода конечных элементов для острия в форме полусферы на цилиндрическом основании в работе [22]. Наблюдаемое соответствие результатов позволяет сделать вывод об адекватности разработанной модели диодной системы.
При изготовлении многоострийных систем, в том числе пленок из углеродных нанотрубок, важным вопросом является влияние экранировки поля соседями в зависимости от плотности упаковки острий в массиве. Исследуем зависимость коэффициента усиления поля на вершине острия от плотности упаковки острий в массиве, т.е., от отношения 2а/1, где / - длина, 2а - расстояние между соседями. Результаты приведены в таблице 4.1.
Эмиссионные характеристики
Рассмотрим важный вопрос о зависимости f5 на вершине одиночной углеродной нанотрубки от ее длины. В качестве формы нанотрубки выберем, как и в главе 2, цилиндр с полусферическим окончанием. Исследуем зависимость коэффициента усиления поля на вершине острия от длины острия при постоянной толщине. Результаты приведены в таблице 4.1. В третьей строке для сравнения приведены результаты, полученные численно с помощью метода конечных элементов для острия в форме полусферы на цилиндрическом основании в работе [22]. Наблюдаемое соответствие результатов позволяет сделать вывод об адекватности разработанной модели диодной системы.
При изготовлении многоострийных систем, в том числе пленок из углеродных нанотрубок, важным вопросом является влияние экранировки поля соседями в зависимости от плотности упаковки острий в массиве. Исследуем зависимость коэффициента усиления поля на вершине острия от плотности упаковки острий в массиве, т.е., от отношения 2а/1, где / - длина, 2а - расстояние между соседями. Результаты приведены в таблице 4.1. величинах расстояний между соседними остриями в массиве более двух длин одиночного острия согласуются с данными, приводимыми в литературе (см. например [48]), что позволяет сделать вывод об адекватности разработанной модели много-острийной системы.
Полученный результат также позволяет сформулировать рекомендации по практическому применению источников электронов на основе массивов из полевых катодов: во избежание уменьшения тока с каждого острия вследствие экранировки близлежщими остриями, при изготовлении многоострийных эмиссионных систем следует распологать острия на расстоянии друг от друга не менее двух длин одиночного острия.
Наиболее важным применением разработанных моделей является непосредственный расчет эмиссионных характеристик.
Согласно теории, разработанной Фаулером и Нордгеймом [23], зависимость плотности эмиссионного тока из плоского металлического катода при темтературе О К от напряженности электростатического поля на поверхности катода определяется следующей формулой: і = а0ЩехЧ Ь (уГ (45) где F — напряженность, а и b — некоторые комбинации физических констант, ф — работа выхода, v(y) и t{y) — эллиптические функции Нордгейма. Безразмерный аргумент эллиптиче
Разработанные математические модели позволяют адекватно описывать распределение потенциала и напряженности электрического поля в использующихся на практике системах, таких, как катоды Спиндта, системы, в которых эмиттером является одиночная нанотрубка или их регулярный массив. Модели не накладывают существенных ограничений на форму эмиттера и позволяют расслатривать острия с формой, близкой к реально используемой.
Комплекс программ, разработанный для реализации расчетов в рамках предложенных математических моделей, достаточно универсален и может быть использован вне рамок настоящей работы.
Основные результаты работы Разработана математическая модель диодной эмиссионной системы с острийным катодом и плоским анодом. Разработана математическая модель электронно-оптической системы на основе полевого электронного катода с плос кой диафрагмой. Разработана математическая модель многоострийной эмиссионной системы на основе полевого электронного катода. Создан комплекс программ, позволяющий провести численный расчет распределения электростатического потенциала предложенных моделей. На основе полученных математических моделей произведен расчет эмиссионных характеристик.
