Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Литературный обзор и постановка задачи оптимального управления химико-технологического процесса 20
1.1. Математическое моделирование и вычислительный экспери мент в задачах химической технологии 20
1.2. Основные понятия химической кинетики. Кинетическая мо дель реакции 26
1.3. Теоретическая оптимизация химико-технологических про цессов 32
Глава 2. Математическое моделирование и по становка задачи оптимизации процес са олигомеризации а-метилстирола 45
2.1. Реакция олигомеризации а-метилстирола 45
2.2. Построение кинетической модели реакции олигомеризации а-метилстирола 48
2.3. Постановка задачи теоретической оптимизации процесса олигомеризации а-метилстирола 53
2.4. Применение принципа максимума для поиска оптимального температурного режима процесса олигомеризации а-метилстирола 54
2.5. Математическая модель реактора идеального смешения периодического действия 58
Глава 3. Сравнительная характеристика методов приближенного решения задач принципа максимума 62
3.1. Вычислительные аспекты принципа максимума Понтрягина 62
3.2. Метод Ньютона 69
3.3. Метод последовательных приближений 71
3.4. Метод квазилинеаризации 75
3.5. Анализ методов приближенного решения задачи оптимального управления ' 78
Глава 4. Вычислительный эксперимент для задачи поиска оптимального темпера турного режима процесса олигомери зации а-метилстирола 82
4.1. Вычислительные схемы для различных постановок задачи поиска оптимального температурного режима процесса олигомеризации а-метилстирола 82
4.2. Вычислительный эксперимент 88
4.3. Выбор технологической схемы для процесса олигомеризации а-метилстирола в реакторе с перемешиванием периодического действия 95
4.4. Описание программного комплекса 98
Заключение 114
Литература
- Основные понятия химической кинетики. Кинетическая мо дель реакции
- Теоретическая оптимизация химико-технологических про цессов
- Постановка задачи теоретической оптимизации процесса олигомеризации а-метилстирола
- Выбор технологической схемы для процесса олигомеризации а-метилстирола в реакторе с перемешиванием периодического действия
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Использование физико-химической теории в сочетании с современными математическими методами и вычислительными машинами позволяет сократить сроки перехода от лабораторных установок непосредственно к промышленным аппаратам. Поэтому в настоящее время математическое моделирование промышленных процессов стало общепризнанным методом решения задач по повышению эффективности действующих и разработке новых технологических процессов и аппаратов.
Каталитические реакции играют важную роль во многих промышленных процессах. Методические основы моделирования каталитических процессов были заложены в работах отечественных ученых академика РАН Борескова Г.К. и чл.-корр. РАН Слинько М.Г. [70, 71], а также зарубежных исследователей Амундсона Н.А. и Ариса Р. [1, 2]. Они базировались на общей схеме математического моделирования, сформулированной академиком Самарским А.А. [67]. В основе этого метода лежит подход, заключающийся в'расчленении сложного химико-технологического процесса на ряд составляющих (физических и химических), раздельное их изучение и последующий синтез общей математической модели из математических моделей отдельных частей сложного процесса.
Оптимизация процессов является одним из важнейших этапов математического моделирования. Одними из первых исследований по оптимизации химического реактора были работы Темкина М.И., Пыжева В.М., Бо-
рескова Г.К., Слинько М.Г., Денбига К., Нагиева Ф.М., Островского Г.М., Волина Ю.М. и др. При общей постановке задачи оптимизации должно быть найдено большое число оптимальных параметров процесса: температура, давление, состав реакционной смеси, скорость ее подачи, длительность отдельных этапов процесса и т.д.
На сегодняшний день остаются актуальными проблемы создания исчерпывающей точной математической формулировки задачи оптимального управления; отыскания соответствующего эффективного способа решения задачи; разработки программных комплексов, облегчающих вычислительный эксперимент и инициирующих создание средств автоматического оптимального управления.
Решению этих проблем способствует математический аппарат теории оптимальных процессов. Центральным стержнем математической теории оптимального управления является так называемый „принцип максимума Понтрягина" и связанный с ним круг исследований, которые проведены коллективом математиков, возглавляемым академиком Л.С. Понтряги-ным. Принцип максимума был доказан в работах Л.С. Понтрягина и его учеников Болтянского В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. [5, 7, 62].
В настоящее время принцип максимума нашел широкое применение в практике решения оптимальных задач, относящихся к области химической технологии, в работах Островского Г.М., Волина Ю.В., Слинько М.Г., Быкова В.И. и др. [33, 77]. При этом поиск оптимальных управлений сводится, как правило, к решению многоточечной краевой задачи, что показано в работах Моисеева Н.Н. [49], Островского Г.М. [56], Лурье К.А. [47], Бутковского А.Г. [10]. Численная реализация полученной задачи для по-
строенной системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс, как правило, является сложным заключительным этапом конструирования оптимального решения.
Каталитический процесс олигомеризации а-метилстирола привлекает внимание исследователей тем, что его продукты являются ценным нефтехимическим сырьем и находят практическое применение в различных отраслях промышленности. В качестве катализаторов олигомеризации а-метилстирола предлагаются различные гомогенные и гетерогенные кислотные контакты. В ходе реакции образуется большое количество побочных соединений, и в виду ее высокой экзотермичности при отсутствии соответствующего оптимального управления происходит коксование продуктов, что приводит действующий реактор в негодность. Поэтому актуальным является поиск оптимального управления процесса олигомеризации ск-метил стирол а с целью получения максимального выхода целевых про-дутков.
Исследование выполнено в рамках реализации гранта РФФИ №05-01-97908 „Математическое моделирование каталитических процессов и реакторов" .
Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов и комплексов программ компьютерного моделирования и оптимизации каталитического процесса олигомеризации а-метилстирола, позволяющих исследовать кинетическую и математическую модель процесса, учитывающую изменение числа молей реакционной смеси; определить основные параметры модели методом вычислительного эксперимента; провести оптимизацию процесса с учетом различных критериев качества; на основе по-
лученных результатов оптимизации осуществить выбор технологической схемы процесса.
Научная новизна.
Впервые исследована математическая модель каталитического процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора, которая учитывает изменение числа молей реакционной смеси.
Решена задача поиска оптимального температурного режима исследуемого процесса для различных критериев оптимизации с помощью метода принципа максимума Понтрягина, и найдены предельные показатели процесса.
Разработан алгоритм численного решения задачи поиска оптимального температурного режима, который учитывает различные постановки задачи оптимального управления, а также и позволяет решать прикладные задачи большой размерности.
С помощью разработанных алгоритмов, реализованных в комплексе программ, проведен расчет реактора с перемешиванием периодического действия.
Практическая значимость. Разработанный программный комплекс позволяет автоматизировать этапы построения кинетической модели реакции, поиск оптимального управления для различных критериев оптимизации, а также расчет реактора, моделирование которого основано на простейшей гидродинамической модели идеального смешения, в частности, реактора периодического действия с перемешиванием.
Полученные оптимальные теоретические режимы могут быть использованы для следующего этапа технологической оптимизации каталитиче-
ского процесса.
Программный продукт зарегистрирован в отраслевом фонде алгоритмов и программ Федерального агентства по образованию Российской Федерации (ОФАП ФАО РФ), Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ).
Достоверность результатов обоснована применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических и химических законов. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными показывает их удовлетворительную согласованность. Работа программного комплекса протестирована на задачах оптимального управления с известными аналитическими решениями.
На защиту выносятся:
Математическая модель процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора.
Численные алгоритмы поиска оптимального температурного режима процесса, построенные на основе принципа максимума Понтрягина.
Комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов.
Результаты вычислительного эксперимента по исследованию реактора с перемешиванием периодического действия.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 3 приложений. Полный объем составляет 151 страниц,
включая приложения на 24 страницах, 23 рисунка, 9 таблиц, библиографию.
Во введении обоснована актуальность и научная новизна диссертации, сформулирована цель, показана практическая значимость работы и изложено краткое содержание диссертации по главам.
В первой главе проводится обзор литературы, посвященной математическому моделированию и оптимизации химико-технологических процессов.
В 1.1 сформулирована общая схема математического моделирования, рассмотрены основные группы параметров, определяющих состояние химико-технологического процесса в любой момент времени и перечислены различные типы математических моделей.
В 1.2 приводятся основные понятия химической кинетики и рассматривается последовательность построения кинетической модели, на основании которой записывается математическая модель химического процесса для нестационарного случая.
В 1.3 описывается этап теоретической оптимизации химического процесса на основе кинетической модели. Рассматриваются общая постановка задачи оптимального управления с различными критериями оптимизации, методы решения оптимизационных задач.
Обосновывается использование принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимизации химико-технологических процессов. Метод позволяет находить оптимальное управление в виде кусочно-непрерывных функций. На его основе возможно построение эффективных численных алгоритмов оптимального управления.
Вторая глава посвящена математическому моделированию и постановке задачи оптимизации процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора NaHY. .
В 2.1 описывается реакция олигомеризации а-метилстирола, исследование которой проводилось в лаборатории приготовления катализаторов Института нефтехимии и катализа РАН (г. Уфа).
Процесс олигомеризации а-метилстирола привлекает внимание исследователей тем, что се продукты (линейные димеры) являются ценным нефтехимическим сырьем.
Экспериментально установлено, что реакцию надо начинать при температуре не ниже 60С При повышении температуры и увеличении количества катализатора в реакторе резко возрастает выход побочных продуктов (циклический димер и тримеры), которые постепенно становятся основными продуктами. Это объясняется тем, что превращение линейных димеров в циклический димер рассматривается как необратимый процесс.
В 2.2 рассматривается последовательность построения кинетической модели реакции олигомеризации а-метилстирола.
Кинетические уравнения, соответствующие схеме химических превращений для реакции олигомеризации а-метилстирола, записываются на основании закона действующих масс.
2Xi <-> Хъ wi(C,r) = h{T)Cl - кю(Т)С2,
2Х, <-> Х3, W2(C,T) = к2{Т)С2х - кп(Т)Сз,
2Х,^ХА, и5(С,Т) = к3(Т)С1
Х2 <-» Х3, w4(C,T) = кА{Т)С2 - к12(Т)С3,
Х2->Х4, шв(С,Т) = h{T)C2,
X3^X4, we(C,T) = fc6(T)C3,
Хг + X2 -> X5, w7(C,T) = fc7(T)dC2,
X! + Хз -> X5, wa(C,T) = fcCTJCiCs,
Xi + X4 ^ ^5, wa(C,T) = ftft(T)CiC4l где введены следующие обозначения: Xi — а — метилстирол;Х2 — 4 —
метил — 2,4 — дифенилпентен — 1 (а — димер);Х3 — 4 — метил —
2,4 — дифенилпентен — 2 (/? — димер);Х4 — 1,1,3 — триметил — 3 —
фенилиндан (циклический димер);Х5 — тримеры; С = (Ci,...,Cs) —
вектор мольных концентраций веществ; Wj(C,T) — скорость j-ой стадии,
j = 1,9; константы скоростей k3(T),s — 1,12, зависят от температуры Т, исходя из уравнения Аррениуса:
k3(T) = ksexp(-Es/RT).
Здесь &JJ — предэкспоненциальный множитель; Е3 — энергия активации стадии; Т -— абсолютная температура; R — универсальная газовая постоянная.
Кинетической моделью реакции олигомеризации а-метилстирола является система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
<ІХі _ Ff(x,T) -a:iF„(x,T) . _ —_
~Ж~ N ' г_1'5;
(1)
d-~-W)
с начальными условиями:
Хі(0) - xl і = ЇД ЛГ(0) = 1. (2)
Функции Fn(x,T),Fi(x,T),i — 1,5 с учетом матрицы стехиометрических
13 коэффициентов имеют вид:
*i(x,T) = -2Wi(х,Г) - 2ТУ2(х,Г) - 2Щх,Т)-
-W7(x,Г) - ИЪ(х,Т) - 1У9(х,Т), F2(x,T) - Wi(x,T) - W4(x,T) - ИЪ(х,Т) - 1У7(х,Т), F3(x,T) - W2(x,T) + ИЪ(х,Т) - VK6(x,T) - ИЪ(х,Т), F4(x,Г) = W3(x,Г) + W5(x,Г) + ИЪ(х,Г) - Wfl(x,Т), *Ь(х,Т) = Ж7(х,Г) + ЇУ8(х)Г) + ^9(х,Т), F„(x,T) - -Wi(x,T) - ИЪ(х,Т) - W3(x,T)--ЇУ7(х,Г) - Ж8(х,Г) - Ж>(х,Г). Здесь Жі — концентрация г-го вещества в мольных долях; N — относительное изменение числа молей реакционной смеси; Wj(~x.,T) — приведенная скорость j-ой стадии. Для единства обозначений вводится переменная x6 = N.
В 2.3 формулируется постановка задачи оптимизации. В качестве управления рассматривается температура, так как она наиболее сильно влияет на динамику химико-технологического процесса, более всего — на протекание химической реакции.
Сформулирована следующая задача оптимального управления. Определить оптимальный температурный режим (ОТР) процесса, описываемого системой (1) с начальными условиями (2), доставляющий экстремум выбранному критерию оптимальности. В качестве критерия могут выступать требования наибыстрейшего перевода процесса из одного состояния в другое (задача о быстродействии); задача максимизации выхода целевых продуктов (линейных димеров), либо максимизации выхода целевых продуктов при минимуме выхода побочных продуктов (циклических димеров
и тримеров) и др.
Область допустимых управлений может быть задана в виде совокупности типа равенств или неравенств. Поскольку исследуемая реакция эк-зотермична, то, исходя из технологических соображений, на выбор оптимального значения температуры наложены ограничения Т\ <Т < Тъ-
В 2.4 задача поиска ОТР сформулирована в терминах принципа максимума Понтрягина, который представляет собой совокупность необходимых условий оптимальности. Это означает, что решения задачи, удовлетворяющие всем требованиям принципа максимума, могут, вообще говоря, оказаться не оптимальными, и нужно в каждом отдельном случае дополнительным исследованием устанавливать, что найденное решение действительно оптимально. С другой стороны, если при решении практических задач из физических соображений ясно, что оптимальный режим существует, а управление, удовлетворяющее условию принципа максимума, единственно, то это управление и будет оптимальным.
При составлении вычислительных алгоритмов решения задачи оптимального управления учитывались различные задания начального и конечного состояния процесса.
Согласно общей процедуре использования принципа максимума, оптимальная температура в каждый момент времени находится из условия максимума для функции Понтрягина (гамильтониана):
ff(x(t),A(4),T) = Лоуо + |>(г)^(х(*),Т) ~"(У"(ХМ,Т) + А,(*Ы0, где функции Xi(t) удовлетворяют системе сопряженных уравнений:
d\i дн . _ ~dt=~~fo' г = 1'6'
Недостаток граничных условий восполняется условиями трансверсальности, число которых равняется числу недостающих граничных условий для основной и сопряженной системы уравнений.
Таким образом, принцип максимума Понтрягина сводит решение задачи оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи для систем основных и сопряженных уравнений с заданными граничными значениями в начальной и конечной точке f'0' и t^ соответственно.
В 2.5 составляется модель реактора с перемешиванием периодического действия (РИС-П) для процесса олигомеризации а-метилстирола. Моделирование процесса необходимо осуществлять в реакторах с тепло-съемом, используя в качестве хладоагента воду.
Математическое описание неизотермического процесса представляется системой уравнений материального баланса (1) и уравнением теплового баланса
і 9
с соответствующими начальными условиями:
Ф) = а& * = 175; JV(0) = 1; Т(0) = Т;
где Т и Тх— температуры реакционной среды и хладоагента; Ср — мольная теплоемкость реакционной смеси; Q~ тепловые эффекты реакций, j = 1,9; ах-~ коэффициент теплопередачи; Sx— удельная поверхность теп-лосъема.
В третьей главе обсуждаются вычислительные аспекты принципа максимума Понтрягина и анализируются различные подходы приближенного решения задач оптимального управления с помощью принципа мак-
симума.
В 3.1 показано, как формируются граничные условия краевой задачи принципа максимума в зависимости от постановки задачи.
Краевая задача принципа максимума неустойчива и имеет ряд специфических особенностей, затрудняющих применение стандартных численных методов решения краевых задач. Краевая задача существенно усложняется в тех случаях, когда возникают особые управления.
Указанные обстоятельства весьма затрудняют исследование вопросов существования, единственности, устойчивости решения краевой задачи принципа максимума, сходимости методов ее решения. При численном решении прикладных задач оптимального управления трудности, связанные с плохой сходимостью методов, с их неустойчивостью, обычно преодолеваются на основе учета специфики конкретно решаемой задачи, ее физического смысла и т.п.
В 3.2, 3.3, 3.4 анализируются приближенные методы решения задач оптимального управления: метод Ньютона, метод последовательных приближений, метод квазилинеаризации.
В 3.5 проводится сравнительная характеристика рассмотренных методов, на основании которой в дальнейшем используется метод последовательных приближений. Суть метода заключается в сведении двухточечной краевой задачи к задаче Коши и минимизации функции конечного числа переменных.
В четвертой главе проводится вычислительный эксперимент процесса олигомеризации а-метилстирола. На основе вычислительных схем (4.1), разработанных для задач с различными критериями оптимизации,
был создан программный комплекс на языке Object Pascal в среде визуального программирования Borland Delphi 7.0, снабженный удобным пользовательским интерфейсом.
В 4.2 приведены результаты решения задачи оптимизации для различных критериев оптимальности.
В 4.3 обсуждается выбор технологической схемы работы реактора с перемешиванием периодического действия на основании полученных ОТР.
Предлагается следующее динамическое управление пуском реактора объемом Vp = 2,5м3: на начальном этапе процесса во внутренний змеевик (площадь поверхности Si = Юм2) подавать нагретый пар с температурой Тх = 130С j а когда температура реактора поднимется до температуры 68С , во внутренний змеевик и во внешний охлаждающий кожух (площадь поверхности кожуха 5г = 7м2) подавать воду с температурой Тх — 30С. При этом значения концентрации линейных димеров на выходе из реактора отличаются от теоретических значений в пределах ±3%.
В 4.4 описан разработанный программный комплекс: общие сведения, функциональное назначение, интерфейс программы и описание составляющих модулей.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
В приложении I приведены теплофизические и кинетические параметры процесса олигомеризации а-метилстирола. В приложении II приведен текст программы. В приложении III — свидетельства о регистрации программных комплексов в ОФАП ФАО РФ и ВНТИЦ .
Апробация работы. Основные положения работы обсуждались и докладывались на: XVI Международной научной конференции „Матема-
тические методы в технике и технологиях" (ММТТ-16 Санкт-Петербург, 2003); III Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2003) (диплом I степени); III Всероссийской молодежной научной школс-конфсренции „Лобачевские чтения" (Казань, 2003); Международной конференции „Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы" (Стерлитамак, 2003); Международной научной конференции „Дифференциальные уравнения и приложения" (Саранск, 2004); Всероссийской научно-теоретической конференции „ЭВТ в обучении и моделировании" (Вирск, 2004); Всероссийской научно-практической конференции „Современные проблемы химии, химической технологии и экологической безопасности" (Стерлитамак, 2004); Всероссийской конференции „Современные проблемы физики и математики" (Стерлитамак, 2004); IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов, молодых ученых по математике, физике, посвященной 95-летию БашГУ (Уфа, 2004); VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Весенняя сессия (Санкт-Петербург, 2005); Научных семинарах кафедр физико-математического факультета СГПА (Стерлитамак, 2002-2005); Научных семинарах лаборатории математической химии ИНК РАН (Уфа, 2002-2005),
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 статей и тезисов, зарегистрированы 2 программных продукта.
В совместных работах постановка задачи принадлежит профессору Спиваку СИ. и доценту Мустафиной С.А. В остальном вклад авторов равнозначный. Результаты, выводимые на защиту принадлежат автору.
Основные понятия химической кинетики. Кинетическая мо дель реакции
Константа скорости реакции не зависит от концентрации реагирующих веществ, но зависит от природы этих веществ, температуры, наличия катализатора. Для каждой реакции при данной температуре константа скорости — величина постоянная. Функциональную зависимость кинетической константы химической реакции от температуры предложил шведский ученый С. Аррениус [78]: к = ке-кг, (1.10) где к0 — предэкспоненциальный множитель; Е — энергия активации реакции; Т - абсолютная температура; R — универсальная газовая постоянная.
Из уравнения (1,7) можно установить физический смысл константы скорости химической реакции, которая численно равна скорости химической реакции при единичных концентрациях реагирующих веществ.
В основе составления кинетических уравнений для сложных процессов лежит положение о независимом протекании элементарных реакций [83]. В таких процессах одно и тоже вещество ХІ может принимать участие в качестве исходного или конечного вещества в нескольких элементарных стадиях, то есть сложная реакция может быть записана в виде: J -Xi-O, j = hn, (1.11) І=ь где Pij — стехиометрический коэффициент при компоненте ХІ в j-ой стадии; п — число элементарных стадий; ХІ — вещества, участвующие в реакции. Для элементарных реакций значениями и могут быть только 0, 1, 2 и 3 (редко). Для итоговых уравнений таких ограничений не существует. В сложных реакциях стехиометрические коэффициенты могут быть дробными [83].
Полное изменение концентрации вещества Xj в сложном химическом процессе будет равно алгебраической сумме скоростей образования и расходования реагента ХІ во всех отдельных элементарных стадиях и может быть записано в виде: dCXi dt = 2 ijiOj, i = l,m. (1.12) Уравнения химической кинетики (1.12) могут быть записаны в ком пактном векторном виде: Ю dt = Гш(Т,С), (1.13) где из — вектор скоростей стадий; С — вектор концентраций реагентов; Г — матрица стехиометрических коэффициентов, элементами которой являются стехиометрические коэффициенты веществ і/у, участвующих в реакциях. Ее строки соответствуют реакциям, а столбцы — веществам. В общем виде стехиометрическую матрицу Г можно представить:
Размерность стехиометрической матрицы (m x n), где n — число реакций; m — число веществ. Стехиометрические коэффициенты веществ щ, исходных для данной реакции, входят со знаком „+", продуктов реакции — со знаком „—". Если вещество не участвует в реакции, его стехиометрический коэффициент принимается равным нулю.
Химический состав веществ отражает молекулярная матрица размерностью (т х [), элемент a,ij которой представляет собой число атомов j-ro элемента, содержащихся в молекуле г-го реагента: / \ an ... ац А » Йтиі - Q"ml і где т — число реагентов системы, I - число химических элементов, входящих в состав реагентов.
Молекулярные веса веществ определяются по уравнению: М = А МА, где М — вектор-столбец молекулярных весов веществ; Мд — вектор-столбец атомных весов. Стехиометрические уравнения сложной реакции могут быть представлены в виде: Га = 0, где а - вектор-столбец реагентов.
Ранг матрицы Г, т.е. максимальное число линейно независимых строк или столбцов, никогда не может быть выше (п — I). Это выполняется в силу того, что всегда существует I линейно зависимых столбцов матрицы Г, задаваемой неравенством: rangT m — l. Ранг матрицы А определяется следующим образом: rang A = minim, I). Как правило, гапдА = I. Тогда ранг стехиометричсской матрицы Г определяется выражением: rangV m — гапдА. Это соотношение называется стехиометрическим правилом Гиббса. Таким образом, линейная алгебра является естественным языком, отражающим стехиометрию химической реакции [80].
Рассмотрим последовательность построения кинетической модели, на основании которой записывается математическая модель химического реактора для нестационарного случая. 1) Задается список веществ Х\, Х2, ...,Хт. 2) Задается список реакций (1-11). 3) На основании закона действующих масс с помощью (1.8) или (1.9) определяются скорости стадий (1.11). 4) Составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.12), описывающая изменение концентраций исходных, промежуточных и конечных веществ рассматриваемого химического процесса. Из (1.8), (1.9) следует, что правая часть для уравнений (1.12) есть степенная функция концентраций С
Теоретическая оптимизация химико-технологических про цессов
Оптимальный режим химико-технологического процесса целесообразно определять в два этапа. Первый — теоретическая оптимизация направлена в основном на выяснение экстремальных свойств химического производства. Существенная особенность этого этапа — это абстрагирование от возможной аппаратной реализации полученного ответа. Второй этап — технологическая оптимизация, собственно оптимизация процесса. Смысл и цель второго этапа заключается в подборе оптимальных конструктивных и режимных параметров реактора: геометрических размеров, форм, узлов, скорости подачи компонентов реакции, температуры, давления, концентрации и т.д.
Теоретическая оптимизация [54] осуществляется на основе кинетической модели с последующим выбором технологической схемы реактора, позволяющим наилучшим образом приблизиться к теоретическому оптимальному режиму. Полученный оптимальный режим позволяет оценить предельные возможности технологии. При осуществлении процесса в реальном аппарате технологические показатели, например, выхода полезного продукта могут быть ниже полученных характеристик на этапе теоретической оптимизации. Последние являются некоторой оценкой сверху качества той или иной выбранной технологии.
Для каталитических процессов постановка задач оптимизации впервые была сделана М.Г.Слинько и Г.М.Островским, а методы решения рассматривались Г.М.Островским и Ю.М.Волиным в работах [55]—[58].
Причины старения катализаторов многообразны [68], однако эти процессы протекают достаточно медленно, поэтому на начальном этапе оптимизацию можно проводить для свежего катализатора, то есть не рассматривать процесс изменения активности катализатора. Полученные результаты могут быть полезны при оптимизации более сложных процессов с учетом изменения активности катализатора в качестве начального приближения или верхней оценки эффективности производительного процесса.
Завершающим этапом теоретической оптимизации химико-технологического процесса является выбор типа химического реактора. Химические реактора классифицируют по следующим признакам [80]. 1. По принципу действия: реакторы периодического действия, непре рывного действия, полунепрерывного действия. 2. По конструкции: емкостные, трубчатые, колонные, і 3. По тепловому режиму: изотермические, адиабатические, политропи-ческис реакторы. 4. По способу организации теплообмена: с внутренним теплообменом, с внешним теплообменом, с комбинированным теплообменом.
Основой математического описания химических реакторов являют ся уравнения, выражающие закон сохранения массы и энергии при про текании процесса в данном аппарате. Закон сохранения массы отражают уравнения материальных балансов по отдельным компонентам; закон со V хранения энергии записывают в виде уравнений балансов основных форм энергии в химических реакторах — тепловой и кинетической.
В тех случаях, когда значения физических величин одинаковы во всем объеме реакционного пространства, уравнения балансов можно записать для аппарата в целом, если же они различны в различных точках реакционного пространства — уравнения балансов составляют для элементарного объема реактора. Последующее интегрирование составленных уравнений позволяет определить поля физических величин в реакторе: поля масс компонентов рассчитывают по уравнениям материального баланса, температурное поле — по уравнению теплового баланса, поля давлений — по уравнению баланса кинетической энергии. Поскольку обычно изменение давления в реакторе незначительно, поле давлений рассчитывают сравнительно редко.
Постановка задачи теоретической оптимизации процесса олигомеризации а-метилстирола
В системе дифференциальных уравнений (2.11), описывающих процесс олигомеризации а-метил стирол а, переменные ХІ, N (концентрации веществ, относительное изменение реакционного объема) являются переменными состояния, а Т ( абсолютная температура) — управляющая переменная, значение которой можно изменять по ходу реакции. Отсюда возникает задача оптимального управления: определить оптимальный температурный режим процесса, описываемого системой (2.11) с начальными условиями (2.12), доставляющий экстремум выбранному критерию оптимальности [20]. Критерий оптимальности в зависимости от постановки задачи для данной управляемой реакции может иметь, например, следующий вид: 1- х2(тк) + x3(rk) - max (задача о максимальном выходе линейных димеров); 2. х2(тк)-\-х3(тк) - х4(тк) так (задача о максимальном выходе линейных димеров при минимальном выходе циклических димеров); 3. х2{тк) + хз(тк) - х4(тк) - хь{тк) -» max (задача о максимальном выходе линейных димеров при минимальном выходе циклических димеров и тримеров); 4. Х{{тк) — max, і = 2,4, (задача о максимальном выходе г-го продукта); 5. 7 = № — ) — min (задача о быстродействии, при этом известно начальное и конечное состояние процесса). Причем для критериев (1)-(4) время продолжительности реакции 7 может быть как заданным, так и незаданным.
Область допустимых управлений может быть задана в виде совокупности типа равенств или неравенств. Реакция обладает высокой экзотер-мичностью, поэтому, исходя из технологических соображений, на выбор оптимального значения температуры наложены ограничения Т1 Т Т2. (2.13)
Для поставленной задачи оптимального управления (2.11) - (2.13) характерно следующее: 1) наличие ограничений (2.13) на управление; 2) нелинейность системы (2.11) (правая часть уравнений является показательной функцией от управления и нелинейной функцией фазовых переменных); 3) значительная сложность рассматриваемого процесса и в связи с этим большая размерность решаемой задачи.
Поэтому оптимальную задачу (2.11) - (2.13) будем решать с помощью принципа максимума Понтрягина [23], который позволит найти оптимальное управление в виде кусочно-непрерывной функции и учесть все перечисленные особенности.
Так как в общем случае время продолжительности процесса 7 может быть не задано, то введем дополнительную переменную х7 t. В связи с этим к системе уравнений (2.15) добавится еще одно уравнение:
В соответствии с общей схемой принципа максимума составим функцию Понтрягина Н, которую представим как Н = } \к Рк = л0(р0 + 2 Лк : + А6ж6 + Л7ж7. k=0 k=l х6 (2.19) Сопряженные функции Л2-, г — 1,6, удовлетворяют системе уравнений dXi дН Соответствующая неизвестной х7 функция А7 с учетом (2.19) при этом определяется уравнением d\7 дН dt дх7 которое для случая, когда правые части уравнений математического описания (2.15) не зависят явно от переменной t, имеет наиболее простой вид = 0. (2.2!) и его решением будет Л7 = С7 = const. (2.22)
Если пределы интегрирования в выражении функционала (2.17) не заданы, то значение постоянной интегрирования С7 определяется условиями трансверсальности [8] и равно Таким образом, для любого значения независимой переменной находим: X7(t) = 0. (2.23)
Следовательно, число слагаемых в выражении для функции Понтря-гина (2.19) можно уменьшить на 1, то есть и V-л х V-л Fk(x,T) - xkFn{x,T) , х Н = 2 Хк к = Л + Z Afc — + АбХб (2-24) fc=0 fc=l Жб
Поскольку для критериев (1)-(4) рассматривается задача со свободным правым концом, то есть для переменных состояния процесса значения при t = Тк не заданы, то формулируются конечные условия для сопряженной системы уравнений (2.20), исходя из условий трансверсальности [8]: \і{тк) = \1 = ЇД (2.25)
Из условий принципа максимума значение Ао равно неположительной константе, и вследствие того, что функции \{{t) рассчитываются с точностью до произвольного постоянного множителя, можно положить:
Выбор технологической схемы для процесса олигомеризации а-метилстирола в реакторе с перемешиванием периодического действия
Теоретический оптимальный температурный режим для максимума выхода линейных димеров (рис. 4.6) показывает, что начальная температура должна быть достаточно высокой, около 90С. Температура окружающей среды в цехах равна примерно 30С. Поэтому возможны два варианта ведения процесса. Первый — перед подачей в реактор подогреть сырье до температуры 90С. Однако такой подход экономически не совсем целесообразен, так как потребует дополнительные энергетические затраты. Второй подход — начинать процесс при температуре 30. Естественно, что все сложности такого варианта связаны с пуском реактора. На начальном этапе внутренний охлаждающий змеевик необходимо использовать в каче-стве подогревателя и только после „зажигания"процесса использовать его непосредственно для съема тепла и охлаждения реакционной массы [51].
Пол темпепатупой ..зажигания" ппопесса понимается темпепатупа. при которой происходит скачкообразное ускорение реакции, приводящее к резкому увеличению степени превращения исходных компонентов в продукты, к резкому увеличению тепловыделения и, естественно, повышению температуры в реакторе. При 10% содержании катализатора и начальной температуре 30С в периодическом реакторе идеального смешения температура „зажигания" равна 68.
На основании полученного оптимального температурного режима (1 4.2 ), предлагается следующее динамическое управление пуском реактора объемом Vp = 2,5м3: на начальном этапе процесса во внутренний змеевик (площадь поверхности Si — 10м2) подавать нагретый пар с температурой 130С, а когда температура реактора поднимется до температуры „зажигания", во внутренний змеевик и во внешний охлаждающий кожух (площадь поверхности кожуха . 7м2) подавать воду с температурой 30С.
Решим численно методом Кутта-Мерсона задачу Копій для системы уравнений материального и теплового балансов (2.28), (2.30) с начальными условиями: 123 (4.21) xf = o, 40) = o, JV() = 1, т() = зос.
Необходимее для расчетов значения энтальпий компонентов и зависимостей их удельных теплоємкостей от температуры оценены по методикам, приведенным в [66]. Все теплофизические параметры приведены в таб. 4.3. Тепловые эффекты Qj, j — 1,9, химических реакций приведены в таб. 4.4. Теплоемкости компонентов и мольная теплоемкость реакционной смеси по данным таб. 4.3 рассчитываются по формулам: CPi = Л+В Т/1000)+а(Г/1000)2+А(Т/1000)3, і = Ї75; Ср = СРіХі. Пересчет констант для любой температуры производится через выбранную опорную температуру (Топ = 100 = 373.2/іГ) по формулам: ЕІ Tt on h{T) = fc(ron) exp[— -(1 - - -)1 і = 1,12. Ш on J Начальная мольная суммарная концентрация Со = 7.72(кмоль/м3); коэффициент теплопередачи ах = 5,31(ккал/(м ч К)). Время продолжительности реакции Тк = 2,5 (ч).
Результаты решения задачи (2.28), (2.30) с начальными условиями (4.21) представлены на рис.(4.16), (4.17). При этом концентрации линейных димеров на выходе из реактора отличаются от теоретических не более чем на 5%.
Таким образом, можно сделать следующее заключение: для проведения процесса олигомеризации ск-метилстирола с целью получения максимального выхода линейных димеров можно применять периодический реактор с перемешиванием, снабженный теплосъемом, при следующем режиме управления температурой хладоагента: для активизации процесса в начале реакции хладоагент использовать в качестве подогревателя, то есть во внутренний змеевик подавать пар, разогретый до максимальной температуры 130С, затем, при достижении в реакторе температуры „зажигания" реакции (08С), во внутренний змеевик и во внешний охлаждающий кожух подавать воду при температуре 30С.
