Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. О применении математических инструментов в задачах управления динамическими системами 14
1.1 Краткий обзор работ, посвященных исследованию рынка сотовой связи 14
1.2 Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом 16
1.3 Принцип максимума Понтрягина для систем с постоянным запаздыванием 19
1.4 Численные методы для решения нелинейных задач оптимального управления 23
ГЛАВА 2. Математическая модель конкурентного поведения экономических агентов 29
2.1. Построение математической модели конкурентного поведения экономических агентов 29
2.2. Идентификация параметров модели конкурентного поведения двух экономических агентов 34
2.3. Исследование устойчивости неуправляемой модели 40
ГЛАВА 3. Решение задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов с учетом запаздывания 45
3.1 Постановка задачи оптимального управления конкурентным
поведением двух экономических агентов с учетом запаздывания 45
3.2 Необходимые и достаточные условия оптимальности в задаче оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов 48
3.3 Численное решение задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов методом проекции градиента 55
3.4 Решение задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов комбинированным методом 66
ГЛАВА 4. Численная реализация решения задачи оптимального управления поведением двух экономических агентов 77
4.1 Описание структуры программных комплексов 77
4.2 Идентификация параметров модели конкурентного взаимодействия экономических агентов 84
4.3 Реализация численных методов и алгоритмов решения задачи оптимального управления конкурентным поведением экономических агентов 87
Заключение 99
Список литературы
- Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом
- Идентификация параметров модели конкурентного поведения двух экономических агентов
- Необходимые и достаточные условия оптимальности в задаче оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов
- Идентификация параметров модели конкурентного взаимодействия экономических агентов
Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом
Практическая значимость работы состоит в том, что предлагаемый алгоритмический и программные комплексы могут быть использованы для повышения эффективности управления поведением предприятий связи в условиях конкуренции на рынке предоставляемых услуг с целью наращивания абонентской базы, приведения ее к плановому объему, а также увеличению прибыли за конечный период времени. Полученные результаты могут быть использованы для решения практических задач различных экономических агентов, функционирующих в условиях конкурентной деятельности: управления работой интернет-сайтов, регулирования рейтингов TV-каналов, сохранения и увеличения числа слушателей радиостанций и т.д.
Результаты работы программного комплекса «Оптимизация управления ценовой политикой предприятий связи на основе мониторинга поведения конкурентов и выбора приоритетов развития» использованы при управлении ценовой политикой Оренбургского филиала МРФ «Волга» ОАО «Ростелеком», о чем свидетельствует акт внедрения результатов диссертации от 10 января 2013 г.
Разработанные программные комплексы внедрены в учебный процесс для проведения практических и лабораторных занятий по дисциплинам «Математическое моделирование и идентификация систем управления», «Проектирование и управление интеллектуальных систем» по направлениям 010400 Прикладная математика и информатика и 010300 Фундаментальная информатика и информационные технологии (магистратура).
Достоверность и обоснованность положений, сформулированных в диссертационной работе, основаны на математическом обосновании полученных результатов и подтверждаются результатами численного моделирования.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на V Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий», ЭКОМОД-2010 (г. Киров, июль 2010 г.); V Всероссийской научно-практической конференции «Компьютерная интеграция производства и ИПИ-технологии» (г. Оренбург, ноябрь 2011 г.); III Всероссийской научно-практической конференций «Математика. Информационные технологии. Образование» (г. Оренбург, декабрь 2011 г.); Шестой международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD 2012)» (г. Москва, октябрь 2012 г.); Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, ноябрь 2012 г.); Международном семинаре "Networking Games and Management" (г. Петрозаводск, июнь 2013 г.); I-ой международной научной конференции «Формирование основных направлений развития современной статистики и эконометрики» (г. Оренбург, сентябрь 2013 г.); 26th IFIP TC7 Conference 2013 on System Modelling and Optimization (Austria, Klagenfurt, September 9-13, 2013).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 3 – в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций, а также 2 зарегистрированных программных комплекса.
Структура и объм работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и 5 приложений. Общий объем диссертации – 101 страница основного текста, библиографический список – 146 наименований. Работа содержит 20 рисунков и 4 таблицы.
Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, определена научная новизна полученных результатов и их практическая ценность. Определена структура и краткое содержание глав диссертации, сведения о публикациях и апробации работы. В первой главе представлен обзор исследований, существующих в данном направлении; освещены основные понятия, касающиеся дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории оптимального управления системами, описанными дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Глава содержит обзор численных методов для решения нелинейных задач оптимального управления.
Вторая глава посвящена разработке, исследованию и обоснованию математической модели конкурентного поведения двух экономических агентов с учетом запаздывания (на примере предприятий сотовой связи). Проведен синтез основной структуры системы управления, учитывая ограничения и всю априорную информацию об объекте исследования. Реализованы приближенные аналитические методы исследования предложенной математической модели.
Рассмотрен подход к проблеме одновременной идентификации величины запаздывания и коэффициентов системы, в основе которого лежит метод настройки модели на экспериментально полученные данные. Для демонстрации важности введения временного лага в работе рассмотрена процедура идентификации параметров модели без учета запаздывания.
Идентификация параметров модели конкурентного поведения двух экономических агентов
Телекоммуникационная отрасль относится к важнейшим секторам, обеспечивающим функционирование и согласованную работу всех отраслей экономики. Без современной национальной телекоммуникационной инфраструктуры России невозможно ее вхождение в мировое экономическое и информационное пространство. Потребность населения в телекоммуникационных услугах ежегодно растет, что определяет необходимость дальнейшего качественного развития операторов связи, и, соответственно, ставит перед ними задачу эффективного реагирования на изменение состояния внешней среды.
Решению задач, касающихся вопросов управления в компаниях сотовой связи посвящены работы Абросимова А.М., Андреева В.Б., Буяльского И.П., Власовой О.А., Гришина И.В., Диязитдиновой А.Р., Зарецкого С.Н., Коблова А.И., Кувшинова Б.М., Лапшина Д.Д., Невенчанного А.А., Туфрина П.Л., Дж. Чампи, Ширяева В.И. и др. В частности, в работе Коблова А.И. построена модель, описывающая поведение предприятий сотовой связи на рынке в условиях неопределенности и предложен алгоритм управления поведением предприятия сотовой связи, реализованный по принципу обратной связи [57]. В работах Ширяева В.И., Гришина И.В., Кувшинова Б.М. исследованы модели рынка, описывающие поведение потребителей в отношении нескольких участников рынка, решена задача оптимального управления поведением предприятий сотовой связи линейно-квадратичного критерия оптимальности [137]. Лапшин Д.Д. в своей работе предложил методы многокритериального моделирования, обеспечивающие адекватный подход к построению статических и динамических моделей оптимизации управления предприятий сотовой связи с учетом внутренних экономических особенностей и адаптации их к неустойчивому экономическому окружению [76].
Использование дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом приводит к динамическим моделям более сложной структуры, чем обыкновенные дифференциальные уравнения. Однако вычисление запаздывания в моделях конкурентного поведения экономических агентов является трудоемкой задачей. Поэтому со всей остротой встает проблема идентификации запаздывания по наблюдениям динамики экономической деятельности. Исследованию моделей, описанных системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом посвящены работы Андреевой Е.А., Афанасьевой К.Е., Болодуриной И.П., Ивановой Ю.П., Колмановского В.Б., Норкина С.Ю., Носова В.Р., Прасолова А.В., Цирулевой В.М., Эльсгольца Л.Э. и др. Например, Афанасьева К.Е. в своей работе предложила модель изменения трафика и числа абонентов предприятий сотовой связи в виде суммы логистических функций с запаздыванием по времени, а также разработала метод прогнозирования числа абонентов на основе процедуры поиска ближайшего аналога среди множества аналогичных объектов [21].
Конкуренция между компаниями ведется за потенциального клиента, которого интересует, в частности, стоимость услуг связи, предоставляемая конкретным оператором. Появление большого числа участников на телекоммуникационном рынке неизбежно приводит к усилению конкуренции, которая, в свою очередь, приводит к уменьшению числа абонентов у каждого из операторов связи. Влияние конкуренции на поведение предприятий сотовой связи рассмотрено в работах Алексеевой В.В., Асековой Б.Н., Васильевой Е.А., Дубовцева А.В., Ошанина А.Л., Тарасенко Н.Н., Уткина Н.Е., Четверговой А.В., Шурчковой Ю.В. и др. Так, в работе Четверговой А.В. произведена разработка основных направлений обеспечения конкурентоспособности предприятий систем сотовой подвижной связи и предложен комплекс рекомендаций по формированию конкурентной стратегии предприятий систем сотовой подвижной связи, основанные на выборе стратегических целей, методов и средств реализации [136].
Таким образом, важность проблемы разработки эффективного механизма управления стратегией развития предприятий телекоммуникационной отрасли в условиях конкурентной борьбы за общие ресурсы (в данном случае, за пользователей услуг связи), учитывающего фактор цены и предопределила выбор темы диссертационного исследования.
Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом Развитие математического моделирования в экономике весьма актуально. Под математической моделью динамического процесса понимают зависимость между количественными характеристиками системы, позволяющую прогнозировать дальнейшее поведение системы. В экономике как науке прогнозирование и управление параметрами системы приводит к рациональному принятию решений, несмотря на некоторые сложности в формализации связей между экономическими агентами, отсутствии четкой системы предположений и т.д. Тем не менее, предположив некоторую идеализацию, многие динамические процессы экономической системы, в том числе предприятий телекоммуникационной отрасли, могут быть описаны математическими уравнениями, отражающими причинно-следственные связи. Таким новым инструментом в последние годы стали обыкновенные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, а точнее, их наиболее изученная часть – уравнения с запаздыванием.
Изучение дифференциальных уравнений с последействием было начато Бернулли И. в 1728 г. Ученые XVIII столетия встретились с ними, аппроксимируя модели механики сплошных сред. Систематическое исследование уравнений с запаздыванием началось лишь в XX веке в работах Мышкиса А.Д., Беллмана Р. в связи с потребностями прикладных наук. Далее они нашли свое применение в принципе максимума Понтрягина Л.С., что дало мощный толчок развития этого направления.
Большой вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом внесли Габасов Р., Красовский Н.Н., Матвеев А.С., Харатишвили Г.Л., и др., а также зарубежные ученые Галаней, Ли, Чанг и др.
В настоящее время теория уравнений с запаздыванием нашла многочисленные приложения в самых разнообразных областях механики, биологии, технических и экономических наук. Эффект последействия изменяет качественное поведение решений по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями, вносит дополнительные трудности в исследование, но модели с запаздыванием являются более адекватными реально протекающим процессам [28, 46, 71, 83, 88, 109]. Дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом называется дифференциальное уравнение (ДУ), в которое неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента, причем производная максимального порядка от неизвестной функции входит в уравнение при одинаковых значениях аргумента, и этот аргумент не меньше чем все аргументы неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение.
Необходимые и достаточные условия оптимальности в задаче оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов
С помощью одного численного метода не всегда удается найти решение задачи оптимального управления с требуемой точностью. Поэтому в процессе решения задачи могут быть последовательно реализованы различные алгоритмы, одни из которых имеют достаточно широкую область сходимости и, следовательно, допускают задание грубого начального приближения, а другие начинают с хорошего приближения и позволяют получать оптимальное решение поставленной задачи.
Один из приближенных методов решения задач оптимального управления нелинейными объектами предложен Шатровским Л.И. Он основан на линеаризации заданной нелинейной системы и дальнейшей итерационной процедуре, в ходе которой при заданном в виде функции времени начальном приближении управления на каждом шаге решается линейная задача с использованием рекуррентных соотношений. В результате получается управление, достаточно близкое к оптимальному, которое и будем выбирать в качестве начального приближения в методе проекции градиента. Такой подход к выбору начального приближения управления позволит избежать попадания функционала в локальный экстремум и повысит надежность расчета оптимального управления для нелинейной задачи.
В данном параграфе представлен разработанный автором комбинированный численный алгоритм решения задачи (3.1) – (3.4) оптимального управления поведением двух экономических агентов, описанной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, который позволяет на первом этапе определять начальное приближение управления посредством операций улучшения управления, а на втором – находить оптимальное решение поставленной задачи методом проекции градиента. Задача оптимального управления, представленная выше, состоит в оптимизации ценовой политики щ(і), t є [о,т] агента ЭАі с целью максимизации числа ее абонентов. В математических терминах данная задача может быть представлена в следующем виде. Необходимо найти такую тарифную политику #,( ), ts[o,T] агента ЭАЬ которая бы максимизировала значение функционала (3.5) при ограничениях (3.1) - (3.4).
Произведем приближение функции управления щ(і) к оптимальному управлению щ (t) и определим соответствующую ему траекторию x(t). От успеха выбора начального приближения существенно зависит скорость сходимости алгоритма. Начальное приближение управления выбрано Ul\t). Рассмотрим к-ый шаг итерации. На этом шаге будем искать такое управление wf(f) , которое уменьшит функционал Уг(их) по сравнению с предыдущим шагом, то есть достаточное количество итераций определим неравенством (3.41), где х точность минимизации функционала
Отметим, что при использовании метода Шатровского получается не оптимальное, а достаточно хорошее допустимое управление, которое выбрано в качестве начального приближения управления в методе проекции градиента (алгоритм описан в п.3.2).
Далее представлены пункты алгоритма 4 определения допустимого управления для задачи оптимального управления (3.1) - (3.4), которые изменяются при выборе других функционалов качества, а именно для приведения абонентской базы предприятия сотовой связи к заданному объему в конечный момент времени (функционал (3.6)).
Опишем алгоритм определения допустимого управления для задачи оптимального управления (3.1) - (3.4) с целью увеличения прибыли предприятия за конечный период времени (функционал (3.7)).
Алгоритм 6 метода Шатровского для задачи (3.1) (3.4), (3.7) 1. выбираем некоторое начальное допустимое управление щ( )єі/ и вычисляем соответствующую ему траекторию x(t); 2. вычисляем матрицы A(t), B(t) по формулам
В данной главе на базе исходной динамической модели динамики изменения абонентской базы двух экономических агентов, представленной в главе 2, разработана задача оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов. Сформулированы математические критерии качества модели, соответствующие целям управления предприятий связи: - наращивание абонентской базы предприятия за конечный период времени; - приведение абонентской базы предприятия к заданному объему в конечный момент времени; - увеличение прибыли предприятия за конечный период времени. Особенностями построенной задачи оптимального управления являются: 1) нелинейность системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику развития абонентской базы двух экономических агентов; 2) линейность по управлению; 3) наличие постоянного запаздывания в управляемой системе по вектору состояния. С учетом перечисленных особенностей для построенной задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов, представленной системой нелинейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием в фазовых переменных, получены условия оптимальности, на основе которых реализован численный алгоритм ее решения. Проведена дискретная аппроксимация непрерывных задач. Для построения приближенного решения дискретной задачи использован метод множителей Лагранжа. Ограничения на управление учтены с помощью метода проекции градиента при произвольном выборе начального приближения управления.
Реализован метод линеаризации системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Проведена дискретная аппроксимация полученных линейных непрерывных задач. Для построения приближенного решения дискретной задачи использован метод множителей Лагранжа. Проведен поиск оптимальных решений задач оптимального управления для каждого функционала качества посредством операций улучшения управления методом Шатровского. Разработан комбинированный численный алгоритм решения задач оптимального управления поведением двух экономических агентов, описанной системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, который позволяет на первом этапе определять допустимое управление посредством операций улучшения управления, а на втором – находить оптимальное решение поставленной задачи методом проекций градиента, где в качестве начального приближения управления выбрано найденное допустимое управление.
Идентификация параметров модели конкурентного взаимодействия экономических агентов
Реализация численного решения задачи (3.1) - (3.4) для наращивания абонентской базы агента ЭАі методом проекции градиента при произвольном выборе начального приближения управления представлена на рисунках 11 - 13:
Фазовые траектории неуправляемых моделей без учета запаздывания (4.1) и с запаздыванием (4.2), описывающих динамику изменения абонентской базы двух экономических агентов представлены на рисунках 11 а), б). Определены значения целевого функционала: 91,23 и 99,35 соответственно. Решения неуправляемых моделей с нулевым запаздыванием (а) и с лагом =2 (б), построенные для функционала J1(u1) Б) Стратегии управления ценой и развития абонентской базы конкурирующих предприятий связи, представленных управляемой моделью (4.3) без запаздывания по времени приведены на рисунке 12. Значение целевого функционала равно 115,09. Решение для управляемой модели с нулевым запаздыванием, построенное для функционала J1(u1 ) В) Стратегии управления ценой и развития абонентской базы предприятий связи в условиях конкуренции, представленных управляемой моделью (4.4) с запаздыванием равным 2 кварталам приведены на рисунке 13. Значение целевого функционала равно 127,02. 12 34 56 78 9
Решение для управляемой модели с ненулевым запаздыванием, построенное для функционала J1(u1) Анализируя полученные значения целевого функционала, максимальное наращивание абонентской базы агента ЭА1 достигается при описании динамики ее развития управляемой моделью (4.4) с запаздывающим аргументом.
С целью демонстрации работы алгоритма на рисунке 14 приведены оптимальные решения задачи управления поведением предприятий сотовой связи с целью увеличения абонентской базы первого экономического агента для интервала прогнозирования Т=50 кварталам.
Решение для управляемой модели с ненулевым запаздыванием, построенное для функционала J1(u1) при Т=50 кварталов
Реализация численного решения задачи (3.1) - (3.4) с целью приведения абонентской базы агента ЭА1 к плановому значению методом проекции градиента при произвольном выборе начального приближения управления представлена на рисунках 15 – 17:
Фазовые траектории неуправляемых моделей без учета запаздывания (4.1) и с запаздыванием (4.2), описывающих динамику изменения абонентской базы предприятий связи представлены на рисунках 15 а), б). Определены значения целевого функционала 0,471 и 0,236 соответственно. Рисунок 15 – Решения неуправляемых моделей с нулевым запаздыванием (а) и с лагом =2 (б), построенные для функционала J2 (u1) Б) Ценовая политика и траектории развития абонентской базы конкурирующих предприятий связи, представленных управляемой моделью (4.3) без запаздывания приведены на рисунке 16. Значение целевого функционала 0,201.
Использование управляемой модели (4.4) с учетом запаздывания по времени для описания динамики развития абонентской базы предприятий связи улучшает значение целевого функционала и в этом случае. Реализация численного решения задачи (3.1) - (3.4) с целью увеличения прибыли агента ЭА1 методом проекции градиента при произвольном выборе начального приближения управления представлена на рисунках 18 – 20:
А) Фазовые траектории неуправляемых моделей без учета запаздывания (4.1) и с запаздыванием (4.2), описывающих динамику изменения абонентской базы предприятий связи представлены на рисунках 18 а), б) соответственно. Значения целевого функционала 6,37 и 6,94 соответственно. Рисунок 18 – Решения неуправляемых моделей с нулевым запаздыванием (а) и с лагом =2 (б), построенные для функционала J3 (u1) Б) Стратегии управления ценой и развития абонентской базы предприятий связи в условиях конкуренции, представленных управляемой моделью (4.3) без запаздывания приведены на рисунке 19. Значение целевого функционала 7,82.
Решение для управляемой модели с нулевым запаздыванием, построенное для функционала J3 (u1) В) Ценовая политика и динамика развития абонентской базы конкурирующих предприятий связи, представленных управляемой моделью (4.4) с запаздыванием равным 2 кварталам, приведены на рисунке 20. Значение целевого функционала 8,78. Решение для управляемой модели с ненулевым запаздыванием, построенное для функционала J3(u1)
Максимальная прибыль гарантирована агенту ЭА1 при описании динамики его развития управляемой моделью (4.4) с учетом запаздывания, как и в предыдущих случаях.
Анализ полученных результатов говорит о том, что введение управления, а также учет запаздывания в модели конкурентного поведения предприятий сотовой связи улучшает значения целевых функционалов, что свидетельствует об экономической эффективности этих показателей.
Таким образом, анализируя полученные результаты, предложено использовать управляемую модель (4.4) с запаздыванием по времени для описания динамики развития абонентской базы двух конкурирующих агентов.
В основу алгоритма градиентного метода положены необходимые условия оптимальности. Связи, наложенные на систему управления, учитываются введением множителей Лагранжа. При постепенном уменьшении в связях, а также в зависимости от выбора начального приближения управления, такой алгоритм может привести к точке локального минимума. Поэтому для улучшения управления применим метод Шатровского, в результате реализации которого получается управление, достаточно близкое к оптимальному (соответствующие алгоритмы для введенных функционалов качества описаны в пункте 3.4). Именно это управление и будем выбирать в качестве начального приближения в методе проекции градиента. Предложенный алгоритм численного решения задачи оптимального управления конкурентным поведением двух экономических агентов назовем комбинированным методом.
Следует отметить, что такой подход к выбору начального приближения управления позволит избежать попадания функционала в локальный экстремум и повысит надежность расчета оптимального управления для нелинейной задачи.
Реализация численного решения задачи оптимального управления конкурентным поведением предприятий связи, описанных системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (4.4) методом проекции градиента при выборе начального приближения управления на основе метода Шатровского представлена на рисунках 20 – 22.
А) Оптимальные стратегии управления ценой и развития абонентской базы предприятий сотовой связи с целью наращивания объема абонентской базы агента ЭА1 приведены на рисунке 20. Значение целевого функционала составляет 142,35.
Решение для управляемой модели с ненулевым запаздыванием, построенное для функционала J1(u1) Б) Оптимальные стратегии управления ценой и развития абонентской базы конкурирующих предприятий связи с целью приведения абонентской базы агента ЭА1 к плановому значению приведены на рисунке 21. Значение целевого функционала составляет 0,158.
Решение для управляемой модели с ненулевым запаздыванием, построенное для функционала J2 (u1)
В) Оптимальные стратегии управления ценой и развития абонентской базы предприятий связи в условиях конкуренции с целью увеличения прибыли агента ЭА1 приведены на рисунке 22. Значение целевого функционала составляет 9,31.
В результате анализа решений задачи оптимального управления методом проекции градиента и комбинированным методом установлено, что использование в качестве начального приближения управление, полученное в методе Шатровского, обеспечило улучшение значения целевых функционалов на 12% (значение J1 (u1 )), 6,5% (значение J2 (u1) ), 6% (значение J3(u1) ), что подтверждает эффективность предложенного комбинированного метода.
На основе метода проекции градиента и комбинированного метода для каждого целевого функционала (3.5) – (3.7) рассчитаны значения объемов абонентской базы агента ЭА1 в конце интервала прогнозирования, который составляет 10 кварталов (таблица 1).
Таблица 1. Значения абонентской базы агента ЭА1, рассчитанные в конце интервала прогнозирования. Цели Значения х1(T),полученные методомпроекции градиента,млн. чел. Значения х1(T),полученныекомбинированнымметодом, млн. чел. Наращивание абонентской базы 30,768 31,146 Приведение абонентской базы к плановому объему 31,281 31,331 Увеличение прибыли предприятия 30,989 31,002
Значительное увеличения пользователей услуг агента ЭА1 в конце рассматриваемого периода подтверждает эффективность применения в качестве начального приближения управления, полученного на основе метода Шатровского, для решения задачи взаимодействия предприятий связи в условиях конкурентной борьбы за потребителей услуг.
С целью определения оптимальных динамических траекторий и оптимального управления в среде Borland Delphi 7.0 разработаны программные комплексы, позволяющие определять оптимальные параметры модели и величину запаздывания, а также реализующие численное решение поставленной задачи оптимального управления конкурентным поведением предприятий сотовой связи, в основе которого лежит метод проекции градиента и разработанный автором комбинированный метод. По имеющимся статистическим данным абонентской базы, динамики предыдущей тарифной политики и тенденции развития рынка созданные программные комплексы позволяют находить оптимальные управленческие сценарии для различных предприятий, предоставляющих услуги сотовой связи. Для исследования эффективности предложенных моделей и алгоритмов проведены вычислительные эксперименты для основных операторов сотовой связи, функционирующих на российском рынке.
