Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Разностные схемы, учитывающие заполненности ячеек для задач эволюционного типа 35
1.1 Задача транспорта веществ 35
1.2. Математическое моделирование распространения волновых процессов 56
1.3. Решение задач динамики популяций на основе модели хищник–жертва 70
Выводы по главе 1 80
Глава 2. Моделирование аэро-гидродинамических процессов в природных системах 82
2.1. Двумерная математическая модель гидродинамики мелководных водоемов 82
2.2. Двумерная математическая модель волновой гидродинамики 102
2.3 Трехмерная математическая модель гидродинамики мелководных водоемов 120
2.4. Результаты натурных экспериментов и верификация моделей гидродинамики 156
Выводы по главе 2 165
Глава 3. Математическое моделирование транспорта наносов и примесей в прибрежной зоне мелководных водоемов 167
3.1 Двумерная математическая модель транспорта наносов 168
3.2. Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы прибрежной зоны 183
3.3. Математическое моделирование транспорта взвесей в мелководных водоемах 208
3 3.4. Практическое применение комплекса программ, предназначенного для моделирования транспорта взвесей в мелководных водоемах 229
Выводы по главе 3 264
Глава 4. Исследование построенных разностных схем 265
4.1. Оценка погрешности и оптимальных параметров схемы с весами для решения уравнения диффузии 265
4.2. Погрешность аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса 277
4.3. Устойчивость дискретной модели транспорта веществ 283
4.4. Устойчивость трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов 288
4.5. Консервативность операторов конвективного и диффузионного переноса 294
4.6 Консервативность трехмерной дискретной математической модели движения водной среды 298
Выводы по главе 4 302
Глава5. Схемы повышенного порядка точности 304
5.1. Повышение порядка погрешности аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса 304
5.2 Схема повышенного порядка погрешности аппроксимяции для оператора конвективного переноса 309
5.3 Схема повышенного порядка погрешности аппроксимации для оператора диффузионного переноса 312
5.4. Задача восстановления донной поверхности на основе методов интерполяции 317
Выводы по главе 5 325
Глава 6. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором 327
6.1. Модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод (МПТМ) 328
6.2. Вариационная оптимизация МПТМ 329
6.3.Адаптивная оптимизация МПТМ минимальных поправок 330
6.4. Сходимость МПТМ минимальных поправок 332
6.5. Применение МПТМ для расчета задач гидродинамики 340
6.6. Параллельная реализация адаптивного ПТМ 344
6.7. Методы расчета, основанные на декомпозиции расчетной области по одному пространственному направлению 347
6.8. Декомпозиция области по двум пространственным направлениям. 351
6.9. Теоретические расчеты ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ 354
Выводы по главе 6 362
Глава 7. Применение разработанных комплексов программ гидродинамики мелководных для решения экологических задач 363
7.1. Численное моделирование биологической реабилитации Азовского моря 364
7.2. Математическое моделирование условий формирования заморов в Азовском море 373
7.3. Обратная эволюционная задача транспорта вещества 379
Выводы по главе 7 386
Заключение 387
Список литературы 391
- Решение задач динамики популяций на основе модели хищник–жертва
- Трехмерная математическая модель гидродинамики мелководных водоемов
- Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы прибрежной зоны
- Погрешность аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса
Решение задач динамики популяций на основе модели хищник–жертва
Достоверность результатов работы обоснована использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, численного анализа построенных математических моделей, корректностью применения численных методов, методов решения сеточных уравнений, теории разностных схем, а также корректностью использования апробированных специализированных программных сред.
Представленные в диссертации результаты имеют математическое обоснование: определен порядок погрешности аппроксимации, устойчивости, и проверена консервативность для построенных разностных схем. Точность математических расчетов достигается за счет использования схем второго порядка погрешности, аппроксимации по пространственным направлениям, применения подробных расчетных сеток, учитывающих степень заполненности ячеек и использования реальных физических параметров гидродинамических процессов, происходящих в мелководных водоемах, полученных на основе компьютерной обработки. При решении задач гидродинамики доказано, что используемые схемы удовлетворяют основным балансовым соотношениям.
Результаты численных экспериментов, полученные на основе разработанного комплекса программ, подтверждается многочисленными натурными экспериментами [95], проведенными на высокоточном оборудовании, а также сравнением полученных решений при помощи других программных комплексов, таких как «Mars3d» [4] и Princeton Ocean Models (POM).
Теоретическая и практическая значимость работы. Научная значимость работы состоит в создании и исследовании комплекса взаимосвязанных моделей, позволяющих более точно по сравнению с известными моделями моделировать процессы транспорта взвешенного и донного вещества, динамики наносов, распределении концентраций биогенных, загрязняющих веществ в мелководных водоемах, подобных Азовскому морю, со сложными пространственными структурами течений.
Разработанные численные алгоритмы и реализующий их комплекс программ имеют практическую значимость: позволяют проверить ряд гидрологических гипотез о ключевых механизмах транспорта взвешенного и донного вещества, динамики наносов, распределении концентраций биогенных, загрязняющих веществ.
Разработанные модели позволяют надежно обнаруживать зоны с пониженным водообменом (коэффициентом микротурбулентного обмена) по вертикальному направлению, характеризующиеся дефицитом или полным отсутствием кислорода, и их распределение в толще воды и по акватории водоема. Построенные сеточные модели численно реализованы на основе разработанных быстросходящихся параллельных итерационных алгоритмов и иметь высокие значения коэффициента эффективности для систем с распределенной памятью, содержащих многие тысячи - сотни тысяч процессоров (ядер). Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования механики сплошных сред, морской гидротехнике, при строительстве сложных морских гидротехнических конструкций, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики.
Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах: VI Всероссийской нучно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» Томск, 26-28 февраля 2008г; Международной научно технической конференции (8-12 сентября, 2008, Таганрог, Россия), ТГПИ,
Таганрог; IX Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления», ТТИ ЮФУ.
Таганрог 2009г; Научный семинар кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ (2 февраля, 2009, Таганрог, Россия); Научный семинар кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ (12 марта, 2010, Таганрог, Россия); XII Международной научно-техническая конференция «МСОИ-2011», г. Москва; IХ Всероссийская научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление» (ИТСАиУ - 2011), г. Геленджик, 3 ноября 2011 г.; Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ 2012)», Новосибирск, 26-30 марта 2012 г; Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математического моделирования, супервычислений и информационных технологий» (СПМиИТ), г. Таганрог, 25-29 июня 2012 г.; ХI Всероссийская научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» г. Таганрог, 24-26 октября 2012 г; Международной науч.-практ. конференции «Преобразование Таганрога -ключ к возрождению России», 29 30 января 2013 г; Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ 2013)», Челябинск, 1-5 апреля 2013 г,
Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ 2014)», Ростов-на-Дону, 1-3 апреля 2014 г, Школе конференции молодых ученых с международным участием «X Владикавказская молодежная математическая школа», Владикавказ – Цей, 21-27 июля 2014 г. Основное содержание диссертации изложено в следующих работах: По теме исследования опубликовано 63 печатные работы, из них 29 статей в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованный ВАК. Имеется 5 свидетельства об официальной регистрации в Роспатенте созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской федерации.
Трехмерная математическая модель гидродинамики мелководных водоемов
Построенный комплекс программ позволяет изучать волновые процессы, происходящие в некой расчетной области имеющей сложную геометрию границы. Задаваемые источники колебаний могут быть как точечными, так и распределенными.
Из рис 1.13. видно, что при распространении плоской волны, которая встречает препятствие в виде объекта, находящегося в жидкости, который имеет прямоугольную форму и простирается от дна до поверхности водной среды, происходит отражение волновых колебаний от неподвижного объекта, что, в свою очередь, приводит к изменению амплитуды волны. Источник колебаний распределен по нижней границе и имеет синусоидальную форму.
Рассеяние плоской волны на прямоугольнике Другое применение разработанный программный комплекс нашел при изучении электромагнитных процессов [134]. На рис. 1.14 (а-г) представлены результаты математического моделирования излучения электромагнитных волн линейными антенными решетками из скошенных волноводов для различных углов скоса а волноводов (цветом показана напряженность магнитного поля).
Результаты математического моделирования излучения электромагнитных волн линейными антенными решетками из скошенных волноводов для различных углов скоса а волноводов На рис. 1.15 представлены зависимости направления максимума диаграммы направленности р от угла скоса волновода а для дискретной математической модели излучения электромагнитных (поз.1) и экспериментальная зависимость (поз.2). Рассчитанная и экспериментальная зависимости совпадают в достаточно полной мере. Р 35 30 25 20 15 5 10 20 30 40 50 60 70 а
Зависимости направления максимума диаграммы направленности р от угла скоса волновода а для дискретной математической модели излучения электромагнитных (поз.1) и экспериментальная зависимость (поз.2). Заключение. Данный раздел посвящен изучению волновых колебаний, а также построению комплекса программ, предназначенных для описания волновых процессов. В основе предложенной математической модели лежит неоднородное волновое уравнение с соответствующими начальными и граничными условиями. Для решения поставленной задачи был выбран метод сеток. Дискретная модель была построена при помощи интегро-интерполяционного метода, при этом осуществлялся учет заполненности расчетных ячеек. Полученные сеточные уравнения решены адаптивным модифицированным попеременно-треугольным итерационным методом вариационного типа [85,126,130,144,145]. На основе построенных алгоритмов был построен комплекс программ, предназначенный для моделирования распространения волновых колебаний, происходящих в некой расчетной области имеющей сложную геометрию границы.
Решение задач динамики популяций на основе модели хищник–жертва Система «хищник-жертва» — сложная экосистема, для которой реализованы долговременные отношения между видами хищника и жертвы, типичный пример коэволюции. Отношения между хищниками и их жертвами развиваются циклически, являясь иллюстрацией нейтрального равновесия.
Модель «хищник-жертва» все чаще используется не только для моделирования поведения сообществ в экологии, но и применяется к социальным и экономическим моделям, что указывает на актуальность рассматриваемой задачи.
Цель данной работы состоит в рассмотрении системы дифференциальных уравнений в форме Лотки-Вольтерра [43], построении дискретной схемы повышенной степени точности, разработке комплекса программ, для численной реализации поставленной задачи, и визуализации полученных результатов. Для аппроксимации уравнений системы используем метод конечных объемов, учтем заполненности областей, что позволит рассматривать задачу в произвольной области, граница которой имеет ступенчатую форму. При этом получим более точную аппроксимацию уравнений на границе. Рассматриваемая модель системы «хищник-жертва» имеет большую практическую значимость для моделирования экологических систем, где в расчет принимаются более одного вида живых существ, одни из которых поглощаются другими.
Постановка начально-краевой задачи. Исходными уравнениями динамики популяций (модель хищник-жертва) являются [108]: - уравнение, описывающее диффузионное перемещение жертв, а также динамику изменения их концентрации за счет роста и смертности, запишется в виде: Nt = (MNK) + (MNK) + C1(N0 N)N-C2P, (1.31) - уравнение, описывающее диффузионное и конвективное перемещение хищников, а также динамику изменения их концентрации за счет роста и смертности, запишется в виде: P +uPx+vPy=(juPPx)x + (juPPy)y-C3P + C4NP, (1.32) - уравнения для компонентов вектора скорости конвективного движения хищников в направлении градиента жертв, запишутся в виде: ста + P(ut + иих + vuy) = (juvu ) x + (juvuy)y + C5N X, (1.33) av + P(v\ + uv x+ w y) = (juvv ) x + (juvvy)y +C5N y, (1.34) где N - концентрация жертв; P - концентрация хищников; N0 - предельная концентрация; и, v - компоненты вектора скорости конвективного движения хищников; Q- коэффициент роста жертв, С2- коэффициент смертности жертв; С3 - коэффициент смертности хищников; С4- коэффициент роста хищников; С5 - коэффициент таксиса; jUN - коэффициент диффузионного перемещения жертв; juP - коэффициент диффузионного перемещения хищников; juv - коэффициент диффузионного обмена для вектора скорости; а,р- весовые коэффициенты.
Система уравнений динамики популяций (1.31)-( 1.34) рассматривается при следующих начальных данных: N(x,y,t) = N0(x,y), P(x,y,t) = Р0(х,у), (1.35) u(x,y,t) = 0, v(x,y,t) = 0, при t = 0 и граничных условиях: N n(x,y,t) = 0, Fn(x,y,t) = 0, (1.36) u(x,y,t) = 0, v(x,y,t) = 0, при (х,у)єу. Дискретная математическая модель динамики популяций. Расчетная область вписана в прямоугольник. Покроем область равномерной прямоугольной расчетной сеткой co = cotxcoxxcoy. Дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переноса, в случае граничных условий в форме Неймана, могут быть записаны в следующем виде:
Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы прибрежной зоны
Результаты эксперимента позволяют проанализировать динамику изменения формы донной поверхности, функции возвышения уровня водной среды, образования гряд, наносов и волновой формы функций дна и водной поверхности. Предложенная математическая модель и разработанный программный комплекс позволяют предсказать динамику поведения донной поверхности, появление морских кос и гряд, их рост и трансформацию. Таким образом, работоспособность предложенных математических моделей транспорта наносов подтверждена результатами численным экспериментом.
Заключение. Построена двумерная математическая модель транспорта донного материала в прибрежных системах, удовлетворяющая основным законам сохранения. Новизна результатов заключается в том, что предложенная математическая модель описывает движение наносов по двум пространственным направлениям, а также следующие физические процессы и параметры: пористость донного материала, критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов, динамически изменяемую геометрию донной поверхности за счет движения водной среды, турбулентный обмен. Построена консервативная конечно-разностная схема, аппроксимирующая предложенную математическую модель транспорта наносов со вторым порядком точности относительно шага по пространственной переменной и с первым порядком точности относительно шага по времени, и исследована устойчивость построенной разностной схемы.
Разработан комплекс программ, предназначенный для расчета динамического изменения донной поверхности, областью применения которого является расчет поля скоростей водной среды и прогнозирование изменения рельефа дна мелководных водоемов. На основе разработанного программного комплекса выполнены численные расчеты гидрофизических процессов в прибрежной зоне мелководных водоемах.
Возможное применение результатов исследований связано с планированием рационального природопользования при строительстве береговых сооружений и использования конкретного участка прибрежной зоны водоема, для прогноза возможных переформирований рельефа дна, под воздействием движения водной среды и транспорта наносов. Разработанные математические модели движения наносов в прибрежной зоне водоемов могут оказаться весьма полезными при работах, связанных с дноуглублением каналов, защитой от заносимости судоходных каналов и портов, дампинга грунта, прогнозом силового воздействия на прибрежные сооружения и береговые конструкции, для определения положения оптимальных трасс морских каналов и т.п.
Вопросы исследования загрязнения воздушной среды являются классической проблемой нашего времени. Центральное место в современных проблемах защиты окружающей среды приобретает задача исследования процессов распространения примесей в атмосфере. В настоящее время во всем мире наблюдается рост производственных предприятий и наземного транспорта, что значительно влияет на качество воздуха в атмосферы. Для анализа и точного расчета уровня загрязнения атмосферы необходимо привлечение математического аппарата, а именно методов математического моделирования. Одним из практически важных разделов наук, связанных с изучением математического моделирования, является изучение процесса распространения примесей в приземном слое атмосферы [11].
Математическое моделирование является надежным и эффективным методом анализа и оценки состояния воздушной среды, которое позволяет определить распределение концентрации примеси в атмосфере, учитывающее многокомпонентный характер среды. Атмосфера представляет собой сложную динамическую систему, в которой протекают различные динамические и физико-химические процессы. Эти процессы обусловлены как атмосферной циркуляцией, так и трансформацией газовых и аэрозольных примесей.
Движение воздушной среды и распространение в ней загрязняющих веществ (ЗВ) проходит в четыре стадии [142]: модель движения многокомпонентной воздушной среды, которая предназначена для поля вектора скорости, учитывающая турбулентный обмен, переменную плотность, зависимость плотности воздушной среды от давления; - модель, описывающая процессы переноса примеси, учитывающая переход воды из жидкого в газообразное состояние и наоборот, осаждение вещества, транспорт загрязняющих веществ - модель притока тепла, которая описывается уравнениями теплопроводности газа и конденсата, учитывающая теплообмен между жидкими и газообразными состояниями и транспорт тепла; - модель расчета давления, учитывающая сжимаемость среды, тепловое расширение, источники вещества, связанные с переходом воды из жидкого состояния в газообразное и обратно, а так же турбулентное перемешивание многокомпонентной воздушной среды.
Переход от трехмерных моделей к двумерным. С целью получения нетрудоемких для вычисления дискретных моделей осуществляется переход от трехмерных моделей к двумерным. Рассмотрим трехмерное уравнение диффузии-конвекции-реакции:
Погрешность аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса
Заключение. Результаты эксперимента позволяют проанализировать динамику изменения геометрии дна, образования структур и наносов, переноса взвесей в акватории, а также уровень загрязнения вод. Данная математическая модель и разработанный проблемно-ориентированный комплекс программ позволяют предсказать появление морских гряд и кос, их рост и трансформацию, прогнозировать изменение поля концентрации в случае выброса от источника, прогнозировать заиление подходных судоходных каналов, заносимость гидротехнических конструкций и сооружений.
Построена двумерная математическая модель транспорта донного материала в прибрежных системах, удовлетворяющая основным законам сохранения. Новизна результатов заключается в том, что предложенная математическая модель описывает движение наносов по двум пространственным направлениям, а также следующие физические процессы и параметры: пористость донного материала, критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов, динамически изменяемую геометрию донной поверхности за счет движения водной среды, турбулентный обмен. Построена консервативная конечно-разностная схема, аппроксимирующая предложенную математическую модель транспорта наносов со вторым порядком точности относительно шага по пространственной переменной и с первым порядком точности относительно шага по времени, и исследована устойчивость построенной разностной схемы.
Разработан программный комплекс для расчета транспорта взвеси и переформирования донной поверхности применительно к мелководным акваториям, который учитывает процессы диффузии-конвекции, движение водной среды, процессы подъема, переноса и осаждения донного материала, турбулентный обмен по вертикальному и горизонтальному направлениям.
В качестве примера практического использования проблемно-ориентированного комплекса программ, решается задача переформирования донной поверхности в результате осаждения взвеси на дне, а затем переноса осажденного материала по дну. На основе разработанного комплекса был выполнен расчет ущерба рыбному хозяйству за период ремонтного черпания Подходного судоходного канала к причалам Архангельского терминала.
Оценка погрешности и оптимальных параметров схемы с весами для решения уравнения диффузии
Часто в прикладных задачах возникает необходимость решать задачу диффузии. Для данного класса задач, наиболее эффективными методами решения, являются сеточные методы, которые, тем не менее, обладают погрешностями аппроксимации. В данном разделе рассмотрено линейное трехмерное уравнение диффузии с переменными коэффициентами, для которого найдена оценка погрешности аппроксимации схемой с весами. Предложен алгоритм нахождения оптимального значения веса, обеспечивающего минимум погрешности для данного значения шага сетки.
Введение. Рассматривается задача нахождения оптимального параметра схемы с весами для трехмерного уравнения диффузии. При помощи данного уравнения описывается широкий класс задач математической физики [68,92,93]. Одними из наиболее распространенных методов решения подобных задач являются сеточные методы. При решении прикладных задач на основе метода сеток возникает необходимость оценки погрешности аппроксимации уравнения в зависимости от шага по временной переменной. В случае, если шаг слишком велик, точность решения сильно падает. Если шаг слишком мал, то возрастает трудоемкость вычислений. При этом возникает необходимость выбора оптимального шага.
