Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Решение задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации
1.1. Математическая модель притока несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине 18
1.2. Преобразование функций течения для модели фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при линейном законе Дарси на плоскость годографа 28
1.3. Модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации 41
1. 4. О некоторых свойствах линий тока и линий равного напора в окрестности горизонтальной скважины при фильтрации по степенному закону 48
Глава 2. Решение задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского
2. 1. Модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине в случае модифицированного закона В. В.Соколовского 58
2. 2. Построение решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе В. В. Соколовского в плоскости годографа 61
2. 3. Нахождение напора для радиального течения к точечной скважине при различных нелинейных законах фильтрации 82
2. 4. Нахождение напора для фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации и при модифицированном законе фильтрации Соколовского 93
Заключение 105
Литература 108
- Преобразование функций течения для модели фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при линейном законе Дарси на плоскость годографа
- Модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации
- Построение решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе В. В. Соколовского в плоскости годографа
- Нахождение напора для фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации и при модифицированном законе фильтрации Соколовского
Введение к работе
Рассматривая различные вопросы прикладной математики и физики, постоянно приходится иметь дело с математическими моделями физических явлений. Получение всякого рода результатов в технических науках часто предполагает их численное представление. Математическая модель явления и призвана обеспечить такое представление результатов.
Большое количество математических моделей, с которыми оперирует естествознание, основано на описании явления с помощью дифференциальных уравнений. Таким образом, исследования в тех или иных областях физики могут быть основаны на решениях дифференциальных уравнений. Это могут быть как уравнения в частных производных, так и обыкновенные дифференциальные уравнения различного порядка, линейные и нелинейные. Как известно, в течение долгого времени для получения решений дифференциальных уравнений создавался специальный аппарат, который продолжает совершенствоваться и в наши дни. Этот аппарат чрезвычайно разнообразен и включает достижения многих других разделов математики помимо собственно теории дифференциальных уравнений. Эффективность применения того или иного метода к решению практических задач неразрывно связана с кругом этих задач, то есть возникновение новых классов проблем, порождает необходимость совершенствования старых методов решения или создание новых, более совершенных методов. В то же время необходимо отметить, что многие классические методы решения дифференциальных уравнений, созданные еще в XIX веке, успешно применяются и до сегодняшнего дня и обеспечивают получение необходимых результатов. Однако, в настоящее время приближенные и численные методы развиваются очень быстро и, поэтому сейчас все большее внимание уделяется численному исследованию задач с нелинейными уравнениями и построению конечно-разностных схем для решения этих уравнений. В связи с этим, иногда задаются даже вопросом, насколько нужны точные решения дифференциальных уравнений, полученные классическими методами. Ведь это связано, обьгшо, с большими трудозатратами, в то время как построение разностных аналогов дифференциальных уравнений представляется работой, гораздо быстрее приводящей к цели и дающей наглядное представление о процессе или явлении. Нам представляется, что построение точных решений и, в связи с этим, совершенствование математического аппарата, нужного для получения этих решений, совершенно необходимо. Для этого есть ряд причин. Во-первых, всякое точное решение ценно уже потому, что оно - точное. Приближенное или численное решение в будущем может быть изменено, модифицировало или усовершенствованно. Иное дело точное решение. Будучи когда-то и кем-то найденным, точное решение уже не подлежит каким-либо изменениям, модификациям или усовершенствованиям. Оно получено навсегда. В математике есть ясное понятие дифференциального уравнения и его классического решения, а также четкая связь, устанавливаемая между этими понятиями, то есть при подстановке решения в дифференциальное уравнение должно получиться тождество. Различного рода обобщенные решения, которые строятся на основании точных, могут не давать возможности исследовать локальные свойства моделируемых процессов и явлений, описываемых классическими решениями. Но следует заметить, что главные вопросы о нужности точных решений возникают, как правило, не со стороны чистой математики, а именно со стороны технических наук, где важно число, а не формула. Здесь представляется необходимым заметить следующее. Если построение математической модели является, так сказать, «аппроксимацией» природы, несколько упрощающей и схематизирующей то, что происходит в действительности, то ясно, что точные дифференциальные уравнения и точные решения позволяют сделать эту аппроксимацию точнее и тоньше, нежели разностные схемы, сами аппроксимирующие вышеупомянутые дифференциальные уравнения. В этом смысле, именно точные решения могут являться оценкой точности разностной аппроксимации. Говоря иными словами, нахождение точных решений дифференциальных уравнений часто представляет собой аппроксимацию природы более высокого порядка, нежели исследование задач для конечно-разностных уравнений. Таким образом, необходимость построения точных решений связана с выбором наиболее адекватной из возможных разностных схем, описывающих изучаемое явление.
В настоящее время наблюдается постоянно растущий интерес к изучению явлений описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако известно, насколько трудно бывает получить точные решения таких уравнений. В ряде случаев, как например, для системы уравнений Навье-Стокса, это превращается в глобальную проблему, от решения которой предпочитают отказаться в силу непреодолимых пока аналитических трудностей. Следует заметить, что, обращаясь к исследованию нелинейных математических моделей, не следует пренебрегать также и линейными дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Большой класс физических явлений описывается именно такими уравнениями. Более того, существующие способы линеаризации нелинейных уравнений приводят, как правило, к уравнениям с переменными коэффициентами, а иногда, просто к уравнениям с постоянными коэффициентами, что также повышает важность изучения этого класса задач. Одним из таких классов задач, где достаточно активно применяются различные способы линеаризации дифференциальных уравнений, являются задачи теории нелинейной фильтрации.
В данной работе мы рассмотрим модели нелинейной фильтрации несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальным скважинам, в которых возникают как чрезвычайно сложные нелинейные уравнения,, так и линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, причем мы будем иметь дело с этими последними, которые возникают после применения к нелинейным уравнениям в частных производных классического преобразования годографа.
Метод годографа является на сегодняшний день, пожалуй, одним из эффективных способов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных. Как известно, свое начало этот метод берет в работе выдающегося русского механика С, А. Чаплыгина. [I]. Методом годографа Чаплыгину удалось получить точные решения некоторых задач установившегося течения идеальной жидкости, как, например, задачи истечения из сосуда или задачи об обтекании пластинки, расположенной перпендикулярно к струе конечной толщины [1]. Эффективное применение метода годографа к задачам газовой динамики требовало некоторых ограничений на рассматриваемые задачи, вследствие того, что граничные условия для этих задач должны были быть достаточно простыми, чтобы обеспечить переход к переменным годографа [2]. Поэтому дальнейшее развитие метода годографа было в немалой степени связано с расширением его области применения к задачам иного типа. В этой связи следует упомяігуть работы С. В. Фальковича [3], связанные с применением метода годографа к задачам о струях в более сложных областях, чем рассматривались ранее. Отметим, также, что Л. С. Лейбензон впервые осуществил преобразование уравнений газовой динамики в плоскости годографа скорости к каноническому виду, что оказывается удобным в ряде вопросов [4]. Именно работы Л. С. Лейбензона, а также, особенно, С, А. Христиановича сыграли основополагающую роль в применении преобразования годографа к задачам теории фильтрации. Остановимся на этом несколько подробнее.
Известно, что уравнения описывающие фильтрацию жидкостей в пористых средах с различными законами сопротивления среды являются, как правило, нелинейными. Это, естественно, затрудняет нахождение решений многих важных задач швестными методами математической физики и заставляет обращаться к приближенным моделям. Поэтому применение С. А. Христиаиовичем преобразования уравнений фильтрации грунтовых вод, не подчиняющихся линейному закону Дарси, к новым переменным годографа, что позволило линеаризовать эти уравнения и, таким образом, значительно расширить класс задач, для которых могут быть построены точные решения [5] было принципиальным шагом в направлении построения точных решений задач подземной гидромеханики. В новых переменных была получена система уравнений, которая оказывалась инвариантной относительно произвольных конформных отображений [5]. Преобразования, рассмотренные в [5] аналогичны тем, которые были использованы С. А. Чаплыгиным в его работе [1], посвященной исследованию газовых струй, где им было применено преобразование годографа к решению задач газовой динамики. На эту аналогию обращает внимание и сам С. А. Христианович [5]. Заметим, что для решения задач теории фильтрации также может быть применено преобразование годографа. Это преобразование будет использоваться в настоящей работе. Кроме того, упомянем, что одним из первых на важность применения этого преобразования к теории фильтрации указал Ф. Энгелунд в работе [6]. Следует также отметить, что в работе [6] были рассмотрены некоторые вопросы фильтрации жидкости при двучленном нелинейном законе фильтрации, однако задачи, которые были рассмотрены в этой работе, носят, в некоторой степени, модельный характер и решения их получены при дополнительных предположениях о симметрии течения.
Обращаясь непосредственно к работе [5] можно сказать, что рассматриваемое преобразование годографа линеаризует нелинейные уравнения теории фильтрации, также как и другое преобразование, также предложенное С. А. Христиаиовичем и представляющее систему уравнений теории фильтрации в каноническом виде, аналогичном тому, который был получен Л. С. Лейбензоном для задач газовой динамики. Таким образом, отличие состоит в том, что преобразование в [5] дополнительно представляет систему уравнений, описывающих движение фильтрующегося флюида в каноническом виде. Однако для наших целей совсем не обязательно приводить уравнения к каноническому виду и поэтому мы воспользуемся более наглядным преобразованием непосредственно к переменным годографа.
Обратимся теперь к характеристике тех моделей нелинейной стационарной фильтрации, которые мы предполагаем рассмотреть в данной работе. Сначала опишем такой важнейший объект для нашей работы, как горизонтальная скважина, а затем остановимся па характеристике тех нелинейных законов фильтрации, которые возникают в подземной гидромеханике . при моделировании притока флюида к горизонтальной-скважине.
Известно, что нефть, природный газ, а также подземные воды часто залегают в пористых пластах, имеющих непроницаемую кровлю и подошву. Ранее для извлечения их всегда использовалась технология бурения вертикальных скважин, причем продуктивный пласт может быть вскрыт как на всю толщину и при этом скважина называется совершенной, так и не полностью. В последнем случае ее называют несовершенной. Следует заметить, что при добыче, скажем, нефти или газа, постоянно возникает проблема более полной выработки вскрытого пласта. Невозможность обеспечить приемлемый уровень выработки приводит к тому, что в пласте может остаться более половины флюида. Для решения этой задачи применяются различные методы, основанные на тщательной геологической разведке пласта, а также на применении вспомогательных нагнетательных скважин. В последние десятилетия, как в нашей стране, так и за рубежом активно развивается технология бурения горизонтальных скважин. Преимущества горизонтальных скважин перед обычными достаточно очевидны. Горизонтальная скважина имеет гораздо большую область дренирования. Это становится особенно актуальным в случае, когда пласт имеет малую продуктивную толщину, что в случае вертикального бурения приводит к необходимости использовать большое количество обычных вертикальных скважин. Кроме того, применение горизонтальных скважин позволяет в ряде случаев значительно повысить продуктивность выработки скважин. Общий выигрыш в производительности может быть в 3-5 раз [7]. Кроме того, следует упомянуть такие важные аспекты применения горизонтальных скважин, как бурение в тех местах, где применение обычных вертикальных скважин попросту невозможно, например, если нефтяной пласт находится под природным заповедником или верхние слои над пластом чрезвычайно трудны для бурения. Горизонтальные скважины могут быть также использованы на месторождениях ранее уже разработанных вертикальными скважинами и не дающих приемлемых дебитов, а вследствие этого просто оставленных. Кстати, в этом случае ситуация дополнительно облегчается тем, что нередко имеется возможность бурения горизонтальной скважины начиная не с поверхности земли, а пользуясь уже пробуренными и не использующимися вертикальными скважинами. В этом случае осуществляется бурение просто горизонтальных стволов из вертикальных скважин, причем ясно, что их можно бурить несколько, на разных высотах и в различных направлениях.
В связи с вышесказанным, то внимание, которое уделяется горизонтальным скважинам в нефтегазовой отрасли, как нашей страны, так и иностранных государств представляется вполне естественным. Осуществление горизонтального бурения является , сложной технической проблемой, возможность полноценного решения которой была достигнута лишь в последнее время, что и обеспечило интенсивный рост интереса к горизонтальным скважинам. Нельзя, однако, сказать, что горизонтальные скважины не использовались в подземной гидромеханике в начале - середине прошлого столетия. Одна из первых глубоких работ, связанных с применением горизонтальных скважин для систем водопроводных фильтров принадлежит П. Я. Полубариновой-Кочипой [8]. В работе [8] рассмотрены как горизонтальные, так и наклонные скважины конечной длины и получены приближенные решения задач фильтрации в напорных и безнапорных пластах.
Естественно, что для исследования течений флюидов вблизи горизонтальных скважин активно используются и численные методы. Возникающие при этом проблемы связаны с построением адекватной схемы вблизи скважины, ибо при разбиении области течения сеткой на отдельные элементы нужно, чтобы это разбиение было достаточно крупным и скважина, которая имеет конечный диаметр, попала бы внутрь одного из элементов. В дальнейшем, возникает задача нахождения давления именно в этом элементе. Кроме того, поскольку реальные нефтяные пласты имеют, как правило, большую протяженность, то их разработка производится обычно большим количеством скважин. При этом, в окрестности каждой скважины возникает одна и та же задача построения расчетной сетки адекватно описывающей течение вблизи скважины. Измельчение сетки оказывается слишком неэффективной процедурой для этого, поскольку течения в прискважинных зонах характеризуется высокими градиентами параметров, описывающих течения, что требует слишком больших затрат машинного времени и ресурсов, несмотря даже на большие мощности современных вычислительных систем. В целом, для полного расчета пласта с большим количеством скважин это оказывается неприемлемым. Поэтому предлагаются различные специальные модели течений в окрестности скважин, в которых обычные разностные соотношения заменяются другими дискретными соотношениями. Заметим, что прискважинная область может или совпадать с ячейкой сетки, содержащей скважину или выбираться отдельно, независимо от сетки. Однако в литературе нет однозначного ответа на вопрос, как следует выбирать эту прнскважинную область. Обычно это делают отдельно в каждом конкретном случае в зависимости от многих факторов, таких, например, как геологическое строение пласта. В вопросе построения моделей течения в прискважинной области следует упомянуть важнейшую работу Пнсмена [9], в которой проведено тщательное исследование модели течения вблизи скважины. Основная идея этой работы состоит в том, что, во-первых, течение в прискважинной области предполагается радиальным, а во-вторых, что для расчета течения вблизи скважины вводится понятие эффективного радиуса [9], с помощью которого расчет ведется на основании обычных разностных соотношений. Вместо собственно давления на забое скважины используется «эффективное» давление, соответствующее указанному эффективному радиусу [9]. Позднее аналогичный подход был развит Писмепом и для горизонтальных скважин [10]. Однако в некоторых более поздних работах [И, 12] было показано, что для горизонтальных скважин методика Пи смена оказывается неприменимой в ряде практически важных случаев. Альтернативный метод моделирования был предложен Бабу в работе [13]. Здесь соотношения для прискважинной области получались из рассмотрения задачи для пласта в целом. Указанный подход развивался Бабу и далее [14], что породило даже довольно интенсивную научную дискуссию между двумя этими крупными специалистами в теории фильтрации. Обращаясь в связи с этим вновь к нашей работе заметим, что, как Писмсн, так и Бабу использовали в своих работах линейный закон фильтрации Дарси, однако вблизи скважин этот закон перестает выполняться, применять его можно с некоторой условностью и, вообще говоря, следует пользоваться более сложными, нелинейными законами фильтрации. Остановимся более подробно на характеристике линейного закона фильтрации и тех нелинейных законов, которые использовались в настоящей работе.
При рассмотрении задач теории фильтрации, закон фильтрации флюида, то есть соотношение между вектором скорости фильтрации и градиентом давления, которое создается в процессе фильтрационного движения, имеет принципиальное значение. Именно сложная зависимость между вектором скорости фильтрации и величиной давления приводит к нелинейности многих важных задач. Первые исследования законов движения фильтрующихся флюидов относятся к началу XIX века. Основополагающее значение для этого имеет известный закон фильтрации, предложенный А. Дарси [15] и носящий его имя. Как известно, на основании экспериментальных данных Дарси установил линейную связь между градиентом давления и скоростью фильтрации, что позволило в дальнейшем получить решение многих задач теории фильтрации. Ключевое значение для развития теории фильтрации, а также и для нашей работы имеют исследования выдающегося советского ученого Л. С. Лейбензона, Ему принадлежат многочисленные работы в теории фильтрации, в которых и были собственно заложены теоретические основы расчета фильтрационных течений жидкостей и газов. В частности, Л. С. Лейбензоном были рассмотрены многие задачи притока жидкостей к скважинам при линейном законе фильтрации. Для нас наибольшее значение имеет его работа, посвященная построению точного решения задачи о суперпозиции источников в полосе [16]. Полученное в этой работе решение может быть применено для исследования задач о притоке к горизонтальным скважинам, потому что сам Л. С. Лейбензон не упоминал в этой работе о таком аспекте полученного им решения. Таким образом, рассматривая решение, полученное Л. С. Лейбензоном, нетрудно показать, что в соответствующей интерпретации оно представляет собой решение задачи о притоке жидкости к горизонтальной скважине в бесконечной полосе при линейном законе фильтрации Дарси. В нашей работе, основываясь на этом решении, мы рассмотрим несколько аналогичных задач, но при нелинейных законах фильтрации. Возникающие здесь аналитические трудности весьма значительны. Это видно хотя бы из того факта, что Л. С. Лейбензон не использовал в своей работе преобразования к переменным годографа, ни какого-либо другого преобразования, так как линейность задачи давала возможность построить решение непосредственно в физической плоскости.
Охарактеризуем теперь те нелинейные законы фильтрации, которые возникли уже вскоре после работ Дарси, касающихся линейного закона и которые являются, по видимому, наиболее важными для практики, Что касается линейного закона фильтрации Дарси, то он находит свое применение и поныне. Однако уже вскоре после его открытия было обнаружено, что в ряде случаев происходит отклонение от линейного закона. Основными причинами, вызывающими нарушение закона Дарси являются увеличение скорости фильтрации, а также увеличение диаметра частиц, из которых состоит пористая среда [7]. В частности, в ряде экспериментальных исследований было обнаружено, что при превышении скоростью фильтрации некоторого значения, называемого критической скоростью, наблюдаются отклонения от линейного закона [17]. Для численной характеристики границы применимости линейного закона Дарси может быть использовано число Рейнольдса, подобно тому, как оно используется в обычной гидродинамике для характеристики границы перехода ламинарной формы течения в турбулеіггную. Первой теоретической работой по исследованию границы применимости закона Дарси является работа Н. Н. Павловского [18]. Используя аналогию с движением жидкостей по трубам, в этой работе был установлен диапазон критических значений числа Рейнольдса 7,5 - 9 [18]. Надо заметить, что вообще определение критических значений числа Рейнольдса для движений флюида в пористой среде представляет значительные трудности. Это связано, в частности, с тем обстоятельством, что при рассмотрении числа Рейнольдса в теории фильтрации в качестве характерного размера берется эффективный диаметр песчинок, а не диаметр пор, который определить еще труднее, чем эффективный диаметр песчинок. Но и определение эффективного диаметра частиц, слагающих грунт, представляет собой также весьма сложную задачу. Существует несколько способов вычисления эффективного диаметра, которые даже для одного грунта дагат иногда резко расходящиеся результаты [19]. Таким образом, получается широкий диапазон для критического значения числа Рейнольдса, который не позволяет точно установить, когда происходит переход. Сравнительно небольшой разброс значений Re в работе [18] обусловлен тем, что в этих исследованиях были использованы лишь немного видов образцов пористых сред [7]. Большой анализ по сопоставлению различных методов определения критического числа Рейнольдса был проведен В. Н. Щелкачевым. Результатом этих исследований было установление того факта, что критические значения числа Рейнольдса, при превышении которых наблюдаются существенные отклонения от линейного закона Дарси, представляют собой целый диапазон значений и не определяются однозначно [19]. Все это связано не только с невозможностью точно определить эффективный диаметр слагающих пористую среду частиц, но и с тем обстоятельством, что значение критического числа Рейнольдса зависит от структуры порового пространства, а кроме того, и от постепенности или плавности перехода от одного режима фильтрации к другому [19].
Важность этих работ по установлению границ применимости линейного закона фильтрации для нашего исследования заключается в том, что хотя опыты показывают, что в пластах при притоке флюида к скважинам скорости фильтрации в целом не велики, то есть, может быть применен линейный закон фильтрации, но в окрестности скважин это не так, и значение числа Рейнольдса превышает критическое, а следовательно, закон фильтрации требует уточнения и будет, таким образом, уже нелинейным.
Обратим особое внимание на следующее обстоятельство. В работах первой половины XX века, то есть эпохи зарождеЕШя теории фильтрации, проводилась та мысль, что превышение числом Рейнольдса некоторого критического значения и вызываемое этим превышением отклонение закона фильтрации от линейного связано с переходом ламинарного течения в пористой среде в турбулентное, то есть так, как это объясняется, например, в трубной гидравлике. Однако позднее было установлено, что критические значения числа Рейнольдса значительно меньше тех, при которых течение становится турбулентным [19]. Отсюда следует, что объяснение отклонения закона фильтрации от линейного при больших скоростях должно быть иным. Оно заключается в том, что вследствие многочисленности и извилистости пористых каналов, слагающих породу, а кроме того, из-за меняющегося диаметра пористых каналов, при движении происходят быстрые изменения величины и направления скорости флюида, что обуславливает возникновение сил инерции, которые проявляются в увеличении гидродинамического давления. При больших скоростях фильтрации силы инерции становятся весьма значительными и начинают преобладать над силами вязкости [7]. Поэтому уже на ранних этапах развития теории фильтрации проводились исследования, которые позволили бы установить связь между градиентом давления и скоростью фильтрации так, чтобы полученный закон был бы применим и в области больших скоростей. В этой связи особенно следует отметить степенной закон фильтрации, предложенный А. А. Краснопольским [20]. Этот закон, в силу квадратичной нелинейной зависимости градиента давления от скорости дает возможность учесть влияние сил инерции.при больших скоростях фильтрации, следовательно, он применим для изучения течений вблизи скважин, где скорости велики, а кроме того, его часто применяют для описания движения воды в трещиноватых породах [19, 20]. Кроме того, для исследования фильтрационных потоков в случае, когда нарушается закон Дарси, используют и нелинейные законы фильтрации, которые можно было бы объединить общим названием степенного закона фильтрации. В этом случае имеет место следующая зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации [7]:
Величина, стоящая в скобках означает отношение падения давления на длине L к самой длине и в пределе переходит просто в градиент давления. Величина п обычно меняется в диапазоне от 1 до 2, хотя заметим, что возможно рассмотрение и законов фильтрации, когда я принимает и другие значения, большие двух [21, 22]. В таких задачах возникают интересные эффекты иерадиалыюсти течения в окрестности скважины, которые могут быть получены при исследовании найденных решений краевых задач. В случае, когда п=2 получаем закон фильтрации А. А. Краснопольского.
В первой главе предлагаемой работы рассмотрена задача фильтрации несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации. В частном случае, это решение задачи фильтрации с законом А. А. Краснопольского. Важность применения степенного закона для данной задачи обусловлена уже упоминавшейся выше особенностью фильтрационных течений, в которых в окрестности высокодебитиых скважин имеет место значительное увеличение скоростей фильтрации. Это приводит к отклонениям от линейного закона Дарси и здесь возникает возможность использования закона фильтрации, в который скорость входит в степени большей единицы. Задача допускает аналитическое решение в плоскости годографа скорости, которое и было получено в работе.
В качестве важных исследований в том же направлении связанных с задачами, где применен степенной закон фильтрации, укажем на работы [23, 24], в которых получены решения некоторых задач со степенным законом.
Выше мы уже упоминали о том, что в случае фильтрации флюида по нелинейному закону уравнения движения оказываются достаточно сложными даже после линеаризации задачи с помощью преобразования годографа. В этом случае возникают дифференциальные уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. Естественно, линейные уравнения проще исходных нелинейных уравнений движения в физической плоскости и для построения решений таких уравнений существует достаточно обширный набор аналитических методов. Как уже упоминалось выше, наиболее эффективными среди этих методов остаются, по-видимому, метод интегральных преобразований и метод разделения переменных. Но после применения этих методов, возникают новые трудности, связанные с построением решений уже обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Об этих трудностях было уже сказано выше. Вследствие этих причин возникает мысль подходить к задачам математической физики, или, как в нашем случае, теории фильтрации, с другой точки зрения, А именно, можно попытаться аппроксимировать физическое явление, в рамках уже принятой и фиксированной основной модели, таким образом, чтобы результирующие уравнения имели бы наиболее простой вид, или приводились бы к виду, допускающему применение уже развитых известных аналитических методов. В теории фильтрации эта процедура может быть реализована следующим образом. Сложность задачи нелинейной фильтрации, с математической точки зрения, обусловлена тем, что результирующие уравнения, в плоскости годографа скорости, остаются все же достаточно сложными для аналитического исследования. Заметим, что в ряде задач при отображении исходной области течения на плоскость годографа, получаемая при отображении область может иметь разрезы, а также быть многоугольником. Все это увеличивает трудности, с которыми приходится сталкиваться при рассмотрении этих задач.
Следует упомянуть, что для решения таких усложненных задач, со сложной структурой области в плоскости годографа был развит приближенный числеппо-аналититческий метод прямых [25, 26], в котором область в плоскости годографа разрезалась на меньшие области так, чтобы в полученных областях уже не было разрезов, и граничные условия можно было бы достаточно легко сформулировать. Развитие этого метода, с целью повышения порядка точности проводилось в [27].
Однако можно рассмотреть специальным образом сконструированные законы фильтрации, которые, с одной стороны, адекватно отражали бы зависимости между физическими величинами, существующими в задаче, хотя бы на некоторых промежутках, а с друтой стороны, позволяли бы свести уравнения к наиболее простым и относительно легко решаемым. Один из известных и часто встречающихся законов фильтрации такого рода был предложен В. В. Соколовским [28]. Особенностью этого закона является возможность свести уравнения в плоскости годографа к уравнению Лапласа, что позволяет применить к таким задачам развитый аппарат теории аналитических функций. Закон В. В. Соколовского применим для вязкопластических жидкостей при небольших скоростях фильтрации. Кроме того, заметим, что при некоторых модификациях этого закона, можно рассмотреть задачи, в которых скорости фильтрации велики, а уравнения также можно свести к уравнению Лапласа. Эти свойства модифицированного закона Соколовского были указаны в работе [29].
Мы будем рассматривать модифицированный закон В. В. Соколовского, который отличается от закона предложенного самим В. В. Соколовским изменением одного из знаков с минуса на плюс. В этом случае, для решения задачи применим аппарат теории аналитических функций. Во второй главе настоящей работы мы применяем модифицированный закон В. В. Соколовского для рассмотрения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине. В процессе рассмотрения возникает краевая задача для уравнения Лапласа в неограниченной области, которая решается методами теории аналитических функций. Решение в плоскости годографа удается получить в элементарных функциях.
В связи с вышеизложенным следует также упомянуть, что построение законов фильтрации, дающих возможность упростить уравнения в плоскости годографа, не ограничивается, конечно, законом В. В. Соколовского. В этом отношении представляют интерес работы, посвященные обобщениям закона В. В. Соколовского, а также закона с предельным градиентом [30, 31]. Однако проблема, которая возникает при применении таких законов, состоит в том, что они, приводя к значительному упрощению основных уравнений, могут плохо аппроксимировать реальные законы фильтрации. В таких случаях, как уже упоминалось, логично применять эти законы не во всей области рассмотрения, а в ее частях, если, конечно, это оправдывается постановкой задачи.
Отклонения от линейного закона фильтрации Дарси обнаруживались уже на ранних этапах развития теории фильтрации. Проводились обширные экспериментальные исследования по сопоставлению между собой различных нелинейных законов, с целью получить наиболее точные аппроксимации реальных физических явлений. Особый вклад в этом направлении принадлежит Ф. Форхгсймеру, который провел многочисленные эксперименты по сопоставлению между собой различных законов фильтрации в различных средах [21]. Именно его имя посит установленный им двучленный закон фильтрации, являющийся обобщением закона Дарси на случай больших скоростей и дающий наилучшее согласие с опытом на всем диапазоне изменения скорости фшїьтращш. Следует, впрочем, заметить, что этот двучленный закон фильтрации был установлен несколько ранее Дшпгои [32], однако его работа не привлекла, по-видимому, такого внимания, которого бы она заслуживала. Справедливость этого закона была подтверждена и более поздними многочисленными экспериментальными исследованиями, а также наблюдениями на промысловых месторождениях. В этом направлении следует упомянуть работы Е, М. Минского [33,34].
Указанное согласие двучленного закона фильтрации с данными наблюдений вызвано тем, что в нем учтены два основных фактора, определяющих движение жидкости в пористой среде. С одной стороны, как и в линейном законе фильтрации, двучленный закон учитывает силы вязкого трения, действующие между пористой средой и флюидом. Эти силы являются доминирующими при небольших скоростях фильтрации и приводят к линейному соотношению между градиентом давления и скоростью фильтрации. С другой стороны, при возрастании скорости фильтрации возникают новые эффекты, обусловленные извилистостью поровых каналов. В результате этого происходят резкие и значительные изменения скорости фильтрации, как по величине, так и по направлению. Все это приводит к возникновению инерционных сил, которые, при достижении скоростью фильтрации некоторых значений, могут стать уже доминирующими в движении. Для инерционных сил градиент давления пропорционален квадрату скорости фильтрации. Таким образом, сочетание и учет двух этих эффектов и дает закон, который может использоваться как при малых, так и при больших значениях скорости фильтрации. Естественно, что особую актуальность данный закон приобретает в задачах о притоке флюида к скважинам, ибо здесь можно выделить области течения, где скорости малы, что бывает, например, вблизи точек торможения потока, а также области больших скоростей в окрестности скважин. В частности, все это относится и к горизонтальным скважинам. Задачи связанные с двучленным законом фильтрации представляют значительные аналитические трудности вследствие сложности получаемых уравнений даже в плоскости годографа, однако простой пример радиального течения при нелинейном законе фильтрации, показывает, что значения давления в окрестности скважины весьма близки для двучленного закона фильтрации и закона фильтрации А. А. Краснопольского, являющегося частным случаем степенного закона фильтрации. Это указывает на важность рассмотрения именно степенного закона фильтрации, хотя не следует понимать это так, что от рассмотрения задач для двучленного закона можно вообще отказаться.
Для обоих рассмотренных законов фильтрации, степенного и закона В. В. Соколовского, мы рассмотрели также вопрос о нахождении формул для напора или давления в окрестности скважины. Заметим, что это можно сделать аналитически на основании полученных точных решений для функции тока, что и было проделано в работе. Кроме того рассмотрена радиальная фильтрация несжимаемой жидкости при произвольном нелинейном законе, где получены формулы для напора. Последнее рассмотрение не является особенно трудоемким, однако позволяет сопоставить между собой решения, полученные для общего случая фильтрации к горизонтальной скважине и решения, в отсутствии ограничивающих кровли и подошвы, то есть, указывает на проявление эффекта «горизонтальности» в рассматриваемых задачах.
Преобразование функций течения для модели фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при линейном законе Дарси на плоскость годографа
В этой и следующей главах будут рассмотрены несколько задач о притоке несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине при различных нелинейных законах фильтрации. Как уже упоминалось во введении, мы будем использовать для исследования этих вопросов переход в плоскость годографа скорости. Однако, прежде всего, дадим описание рассматриваемых процессов в рамках принятой нами модели.
Мы рассматриваем плоское движение несжимаемой однофазной жидкости в пласте к горизонтальной скважине, которая расположена на оси Oz. Пласт представляет собой бесконечную горизонтальную полосу в плоскости (х,у) ширины 1h с непроницаемой кровлей и подошвой (рис. 1, 1). Непроницаемость кровли и подошвы пласта естественно означает просто отсутствие движения жидкости через границы пласта или, говоря более строго, равенство нулю вертикальной составляющей скорости фильтрации на кровле и подошве пласта. В центре пласта, то есть на равном расстоянии от его кровли и подошвы, находится горизонтальная скважина, которую мы рассматриваем в виде точечного стока, расположенного в начале координат. Нетрудно видеть, что если мы вместо точечного стока в начале координат будем рассматривать точечный источник, то ничего принципиально в картине течения не изменится. Линии тока останутся прежними, лишь векторы скорости, которые направлены по касательным к линиям тока, получат противоположное направление, по сравнению со случаем стока. В данной работе мы будем всегда предполагать наличие в начале координат именно источника. Следует также заметить, что, конечно, реальные скважины имеют конечный диаметр, но, учитывая относительные размеры пластов и скважин, можпо сказать, что, так как характерные размеры пластов значительно превосходят характерные размеры диаметра скважин, то рассмотрение такой модели вполне оправдано.
Заметим, что на бесконечном удалении от скважины, то есть, при х - ±да находится контур питания скважины. Давление на контуре питания постоянно.
Нетрудно заметить также, что в рассматриваемой постановке течение является симметричным как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу (рис. 1.1). Это означает, что нам достаточно построить решение задачи лишь в одном из четырех квадрантов, а решения в остальных найдутся просто заменой знака при соответствующих переменных.
Если принять, что полный расход через контур, охватывающий скважину и целиком лежащий внутри пласта равен Q, то, учитывая стационарность течения, получим, что на линии О А ф=0, а на линии ОВА - у =Q/4 (рис. 1.1).
Рассмотрим течение в первом квадранте и найдем, во что отображается рассматриваемая область при применении преобразования годографа. Новыми переменными в нашей задаче будут iyv,9), где w - модуль вектора скорости фильтрации где, в свою очередь и и v суть компоненты вектора скорости фильтрации по осям X VI у соответственно, а 0 есть угол между направлением скорости фильтрации в данной точке поля течения и положительным направлением оси Ох. Линия тока OAt на которой ці=0, в физической плоскости это положительная часть оси абсцисс (рис. 1. I), переходит в плоскости годографа в часть оси ординат О А (рис. 1. 2). Часть линии тока ОВ, на которой у=(?/4, в физической плоскости это отрезок на положительной части оси ординат (рис. 1. 1) переходит в вертикальный луч &=лН., и 0 (рис. I. 2). Часть линии тока ВА, на которой \у=}/4, в физической плоскости это луч y=h, х 0 (рис. 1. 1), переходит в вертикальный отрезок ВА на оси ординат (рис. 1. 2). Заметим, что взаимная однозначность отображения нарушается в точке В физической плоскости. Она отображается на отрезок и =0, 0 О к/2. Ордината точки А в плоскости годографа легко находится из равенства: Отсюда следует, что есть ордината точки В в физической плоскости.
Модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации
Однако в данном параграфе мы как раз и разбирали это уже известное из работы [16] решение, преобразовав его из физической плоскости в плоскость годографа. Впрочем стсдует еше «ш, что уравнение Лапласа получаете для фикции тока „ напора при линейном законе фильтрации я в физической плоскости, что делает излишним переход в этом случае па плоскость годографа. При рассмотрения нелинейных законов фильтрации ситуация оказывается значительно более сложной, а уравнения в физической плоскости сильно нелинейными, что и вызывает необходимость применен,, преобразования к новым переменным с целью линеаризации задан, Полученные в этом параграфе соотношения „ля линейного закона фильтрации Дарси имеют вспомогательное значение при рассмотрении задач для нелинейных законов фильтрации, к которым мы и обратимся. Степенной закон фильтрации является вполне естественным обобщением линейного закона
Дарси „а случай больших скоростей. Действительно, именно наличие степени выше первой позволяет учесть влияние инерционных сил, которые сушествениы при больших скоростях фильтрации и определяются нерегулярными и быстрыми изменениями величин и направлений скоростей флюида при взаимодействии его с пористой средой. Формула для степенного закона фильтрации в переменных годографа имеет вид. В равенстве (1. 3. 1) г, есть константа, причем из физического смысла задачи мы предполагаем, что „ 0. Заметим также, что случай „=1 соответствует задаче с законом фильтрации Дарен, решение дл, которой дается формулой Лейбензоиа [16] и не будет здесь рассматриваться. С петом соотношения (1. 3. 1), основная система уравнений движения для степенного закона фильтрации запишется в виде: Подставляя выражение (І. 3. 1) в основное уравнение (1. 1. 15), получаем следующее уравнение: Уравнение (1. 3. 2) вместе с граничными условиями (I. 1. 2) определяют постановку задачи для степенного закона фильтрации [40,41 ]. Для решения этой задачи, преобразуем граничные условия (1. I. 2) и уравнение (1.3. 2) следующим образом. Введем в рассмотрение функцию 4і такую, что: где у - функция тока для степенного закона фильтрации, а \уо - функция тока для задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при законе фильтрации Дарси, которая была введена в предыдущем параграфе и там же было получено выражение этой функции в переменных плоскости годографа.
Поставим теперь краевую задачу для функции 4 . Поскольку как для задачи со степенным законом фильтрации, так и для задачи с законом фильтрации Дарси граничные условия одинаковы, то в задаче, формулируемой для функции Т граничные условия будут нулевыми, то есть: Функция тока \J/D, описывающая приток жидкости к горизонтальной скважине при законе Дарси в физической плоскости дается выражением (1. 2. 5), а в переменных плоскости годографа эта функция тока имеет вид (1.2.15). Сделаем в уравнении (1. 3. 5} замену переменных, полагая w = exp(r/v/ij. Получаем Подставляя найденные выражения в (1. 3. 5), будем иметь В результате приходим к уравнению Заметим, что в результате этой замены исходная полуполоса в є [О, %j w є [0,+0=) переходит в полосу 9 є [о,%] гє(-оо,+ со) . Таким образом, исходная задача свелась к решению линейного неоднородного уравнения в частных производных эллиптического типа с постоянными коэффициентами и с нулевыми граничными условиями в полосе.
Построение решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе В. В. Соколовского в плоскости годографа
В первой и второй главах настоящей работы была рассмотрена задача о притоке несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине при двух нелинейных законах фильтрации - при степенном законе фильтрации, а также при модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского. Для этих задач были построены точные решения в плоскости годографа. В этом параграфе мы рассмотрим более простой вопрос о радиальной фильтрации по нелинейному закону, причем мы рассмотрим различные нелинейные законы фильтрации и сопоставим между собой полученные результаты, а затем попытаемся распространить подобный анализ на случай фильтрации к горизонтальной скважине в пласте.
В случае радиальной фильтрации по любому закону, линейному или нелинейному функция тока задается одним и тем же выражением [50,36] где в - угол наклона радиуса вектора в физической плоскости, проведенного из начала координат к оси абсцисс. Следует заметить, что из (2. 3. 1) видно, что линиями тока в радиальном случае и будут лучи с началом в точке (0,0),поскольку функция тока в данном случае зависит только от угла, а это, в свою очередь означает, что угол наклона вектора скорости совпадает с углом наклона радиуса вектора. Поэтому, выражение (2, 3. 1) представляет собой функцию тока радиального течения не только в физической плоскости, но и в плоскости годографа, надо лишь оговорить, что мы понимаем под углом 9. В дальнейших рассуждениях, так как мы находимся в плоскости годографа, под Сбудем понимать именно одну из переменных годографа, то есть угол наклона вектора скорости к оси абсцисс. Мы будем пользоваться этим и в дальнейшем. Из (2. 3. 1) следует, что
Рассмотрим теперь выражение для напора при различных законах фильтрации. Прежде всего, для линейного закона фильтрации Дарси мы имеем с точностью до умножения на несущественную сейчас постоянную [36] что с точностью до константы Ъ совпадает с полученной выше формулой для напора при радиальном течении при законе фильтрации Краснопольского. Заметим, что константа Ъ определяется экспериментально, а такое рассмотрение формул для двучленного закона и для степенного закона является просто в некоторой степени, традиционным. Поэтому формулы для напора и можно считать совпадающими при больших скоростях фильтрации. Это совпадение указывает, в частности, на важность рассмотрения степенного закона фильтрации, которые может моделировать вблизи скважины фильтрацию по двучленному закону, но данное совпадение отнюдь не должно приводить нас к мысли о том, что рассмотрение задач при двучленном законе фильтрации является излишним [51, 52]. Графическое сопоставление линейного, степенного и двучленного законов фильтрации представлено на рис. 2. 6, 2. 7, а на рис 2. 8. показаны графики напоров для этих трех течений в случае радиальной фильтрации в зависимости от скорости фильтрации, то есть, фактически, в плоскости годографа. Видно, что само соотношение, выражающее линейный закон фильтрации дает значительные отличия, как от степенного, так и от двучленного закона, которые, в свою очередь, наоборот, близки друг к другу в широком диапазоне скоростей фильтрации. Аналогично из графика 2.8, изображающего напор при радиальной фильтрации видно, что с ростом величины скорости фильтрации проявляется значительное отклонение в величинах напоров для степенного и линейного законов фильтрации, а двучленный закон лучше согласуется со степенным в более широком диапазоне изменения скоростей.
Рассмотрим, наконец, и модифицированный закон фильтрации Соколовского. В этом случае
Мы видим, что при небольших скоростях фильтрации закон В. В. Соколовского близок к линейному закону Дарси, хотя и не совпадает с ним точно. Это представляется важным ввиду того, что некотором диапазоне малых скоростей фильтрации также, как и при больших скоростях, наблюдаются отклонения от линейного закона фильтрации. Последние соотношения показывают также, что модифицированный закон Соколовского имеет смысл использовать при не очень больших скоростях фильтрации. Графическое сопоставление линейного закона фильтрации и модифицированного закона фильтрации Соколовского представлено на рис. 2. 9, а на рис 2. 10. показаны графики напоров для этих течений в случае радиальной фильтрации в зависимости от скорости фильтрации, то есть, фактически, в плоскости годографа. График 2. 9 показывает, что модифицированный закон фильтрации Соколовского описывает фильтрационное течение также отклоняющееся при больших скоростях от течения, описываемого линейным законом фильтрации, но, если сопоставить кривые линейного и степенного законов с законом фильтрации Соколовского, то видно, что степенной закон и закон Соколовского дают отклонения от линейного закона Дарси по давлениям «в разные стороны», что указывает дополнительно на важность рассмотрения этих законов, позволяющих затронуть боа типа отклонений от линейного закона фильтрации. Из графика 2. 10 видно, что качественно, при больших скоростях фильтрации мы получим также весьма значительные отклонения в напорах для этих двух законов. Заметим, что стремление кривой для напора при законе Соколовского к нулю при больших скоростях не является принципиальным, так как графики носят скорее качественный характер и, кроме того, величина напора, как известно зависит от некоторого начального уровня его отсчета, который может быть выбран в каждой задаче отдельно.
Нахождение напора для фильтрации несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации и при модифицированном законе фильтрации Соколовского
В предыдущем параграфе мы рассматривали вопрос о нахождении напора в случае радиального течения от источника или стока при различных нелинейных законах фильтрации. Теперь обратимся к рассмотрению случая, когда область течения ограничена двумя горизонтальными прямыми, подошвой и кровлей пласта, а в центре пласта помещен точечный источник или сток, который представляет собой горизонтальную скважину. Для степенного закона фильтрации и для модифицированного закона фильтрации В. В. Соколовского мы построили точные решения в плоскости годографа для функции тока vy. Как уже упоминалось во введении, наибольшие проблемы при расчете течений в нефтяных пластах связаны с трудностью построения адекватной модели течения в прискважиінюй области. Несмотря на мощность современных вычислительных средств, для того, чтобы осуществить расчет в протяженных пластах с большим количеством скважин эта мощность является недостаточной, если идти по обычному пути измельчения сетки вблизи скважин. Поэтому предлагались различные модели течений в непосредственной окрестности скважин [9, 10, 14]. Важность полученных решений для функции тока течения и следующих из этих формул соотношений для расчета напора состоит как раз в том, что указанная проблема решается аналитически, а не приближенными численными методами. Таким образом, полученное аналитическое решение может быть использовано для расчета характеристик течения в призабойной области, а вне ее можно использовать обычные разностные методы.
Найденная функция тока связана с напором для соответствующего течения соотношениями (1. I. 14). Таким образом, для всякой задачи с любым законом фильтрации знание функции тока на основании (1. 1. 14) дает нам возможность сразу же найти обе частные производные напора по w и по в. Это означает, что нам известно поле градиента напора Н во всей области рассмотрения. Для того, чтобы определить сам напор Н заметим, что одним из основных свойств этой функции, которые были использованы при выводе системы (1. 1. 14) и следующего из нее уравнения в частных производных второго порядка для функции тока у является условие равенства смешанных производных напора по w и по 9. Пусть теперь нам известно значение напора в какой либо точке рассматриваемой области плоскости годографа бе[0,л/2], н е[0,+оо). Тогда значение напора в любой другой точке этой же области может быть выражено в виде криволинейного интеграла второго рода от величины с/Н, по любой кривой с началом в точке, где напор известен и с концом в точке, где ищется напор, то есть
Интеграл не зависит от кривой в силу упомянутого выше равенства смешанных производных напора. В силу независимости интеграла от кривой, по которой производится интегрирование, ее естественно выбрать так, чтобы подынтегральное выражение выглядело наиболее просто. Предположим, что значение напора известно в некоторой достаточно удаленной точке от скважины. Под достаточной удаленностью мы подразумеваем такую точку, значение давление или напора для рассматриваемых нелинейных законов фильтрации в которой можно было бы принять равным значению напора при линейном законе фильтрации Дарси. Это можно обосновать тем, что на большом удалении от скважины скорости всегда невелики, а значит можно говорить о справедливости линейного закона фильтрации, напор для которого, в случае горизонтальной скважины известен и был записан в первой главе в соотношении (1.2. 13). Поскольку при удалении от скважины величины скоростей будут асимптотически совпадать на линиях ;c=const, то мы без ограничения общности примем дополнительно, что эта точка расположена на оси абсцисс. Точкой, для которой мы попытаемся найти соотношения для напора, будет точка в окрестности скважины, расположенная также на оси абсцисс. В силу своей близости к началу координат, то есть, к точке расположения источника или стока можно сказать, что эта точка даст нам значение напора на забое скважины. В первой главе мы уже подробно останавливались на вопросе отображения области в физической плоскости на плоскость годографа. Из тех же несложных соображений первой главы мы видим, что отрезок оси абсцисс переходит при преобразовании годографа в некоторый отрезок оси в=0, причем точка, в которой напор известен окажется лежащей вблизи точки А (рис. 1. 2), причем несколько выше се, а точка соответствующая значению w до которого производится интегрирование будет находиться вблизи точки О, но естественно на той же оси Н). Таким образом, криволинейный интеграл сводится к интегралу Римана по отрезку оси w и имеет вид:где во избежании п таницы с пределами интегрирования и подынтегральными функциями мы обозначили w через г в подынтегральном выражении.
