Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель движения потоков на наклонных поверхностях 10
1. Уравнения движения потоков на наклонных поверхностях 10
2. Газодинамическая аналогия 19
3. Некоторые модели трения для потоков различной природы 21
Глава 2. Метод частиц и его применение в теории мелкой воды 24
1. Метод частиц для уравнения переноса 24
2. Метод частиц для системы уравнений теории мелкой воды 31
3. Численный анализ некоторых моделей теории мелкой воды 37
3.1. Организация вычислительного эксперимента 37
3.2. Задача о распространении бора 39
3.3. Задача об отражении бора от твердой стенки 42
3.4. Задача о гидравлическом прыжке 43
3.5. Задача о разрушении плотины 44
4. Апостериорная оценка погрешности метода частиц на моделях теории мелкой воды 54
Глава 3. Математическое моделирование движения оползней-потоков 65
1. Определение и описание оползней-потоков 65
2. Математическая модель движения оползней-потоков 70
3. Численное исследование движения оползней-потоков 74
4 . О математических моделях некоторых родственных геологических процессов 85
Заключение 90
Список литературы 91
- Некоторые модели трения для потоков различной природы
- Метод частиц для системы уравнений теории мелкой воды
- Апостериорная оценка погрешности метода частиц на моделях теории мелкой воды
- . О математических моделях некоторых родственных геологических процессов
Введение к работе
Бровка срыеа
ка срыва
Оползни - скользящее смещение масс горных пород вниз по склону под влиянием силы тяжести (рис.1). Оползни возникают в каком-либо участке склона или откоса вследствие нарушения равновесия пород, вызванного: увеличением крутизны склона в результате подмыва водой; ослаблением прочности пород при выветривании или переувлажнении осадками и подземными водами; воздействием сейсмических толчков; строительной и хозяйственной деятельностью, проводимой без учета геологических условий местности [53]. Оползни представляют один из видов опасных геологических процессов, являются крупным препятствием при строительстве гражданских и промышленных зданий, дорог, ОСВОеНИИ земель И Добыче ПО- 00000000\_ Треш.ны разрыва
^Оползневые ступени,
лезных ископаемых, представляют . s&SH%g^—.""" ус,»"ы
Трещины ЕСПуЧЙВаНИЙ
Деформация основания
оползья
опасность для жизни людей (рис. 2, 3). Среди стихийных бедствий и катастроф природного характера оползни стоят на 4-ом месте по- Рис , Г1родольный разрез оползня [53] еле засух, наводнений и землетрясений.
Практически нет такой страны, где оползни не причиняли бы больших убытков (рис. 4, 5, табл. 1). Считается, что наибольшая цифра оценки прямых и косвенных ежегодных убытков от оползней, принадлежит Японии - до 4.7 млрд. долларов в год [102, 103]. Считается, что убытки, которые несут государства бывшего СССР в силу большой территории, находящейся в зоне действия оползней, имеют тот же порядок, как и для Китая [100, 111], но точных цифр, к сожалению, нет.
Защита от оползней на протяжении многих веков остается одной из наиболее крупных проблем человечества. Более половины всего матери-
Таблица 1. Стоимость ежегодных убытков ряда
ального ущерба, причиняемого ополз- стран от оползней
*
A -
Рис.2. Оползень Кукарача, 2 февраля 1913 г. Объем 2.2 млн.м . Строительство Панамского канала. Железнодорожные пути пролегают по дну будущего канала. Активность оползня наблюдалась как в течение всего строительства, так и после заполнения канала водой [101 ].
Рис. 3. Повреждение железнодорожного пути Сиэтл-Такома в результате оползания склона, вызванного землетрясением, 1965 г. (штат Вашингтон, США) [111].
зневыми потоками, связано с ошибками, допущенными при расчете и проектировании противооползневых сооружений. Разработка надежных противооползневых сооружений - весьма сложная задача, успешное решение которой невозможно без количественной теории оценки устойчивости склонов и развития склоновых деформаций, основанной на комплексе математических моделей, описывающих различные стадии оползневого процесса. Однако создание такой теории связано с большими трудностями - сложность и многофакторность оползневых явлений, обилие переменных величин, определяющих ход оползневых процессов, отсутствие физически обоснованных зависимостей, дающих строгое математическое описание этих процессов. Практическое значение прогноза особенно велико, потому что при современном состоянии техники строительства стоимость противооползневых сооружений очень высокая и применение их экономически оправданно не везде и не всегда. Таким образом, изучение данного явления и прогнозирование оползней являются актуальными и практически значимыми.
Существует большое разнообразие типов оползней в зависимости от комплекса природных факторов. Самыми распространенными среди них являются оползни-потоки (оползни-течения), которые встречаются практически на всем земном шаре. По характеру движения они близки к движению некоторых типов селей и лавин и аналогичны течению жидкости в открытых каналах. Описание течения однородной жидкости в открытых наклонных руслах является одной из основных проблем гидравлики. Это нелинейный длинноволновой процесс, описываемый гиперболическими дифференциальными уравнениями. Как правило, длинноволновое приближение позволяет уменьшить размерность рассматриваемой задачи, а гиперболичность системы отражает основные свойства процессов передачи возмущений в потоке жидкости и конечность скорости их распространения. Поэтому для описания движения оползней-потоков (и близких по характеру движения водных, снежных и селевых потоков) используются математические модели теории мелкой воды (или теории длинных волн) [38. 43, 65). Теория длинных волн обычно применяется в достаточно важном для приложений случае, когда характерные горизонтальные масштабы волнового движения намного превосходят глубину слоя жидкости. Начало развития этой теории связано с нестационарными задачами гидравлики открытых русел. Большое значение в создании математических методов анализа эволюции нелинейных длинных волн имела ана-
-**'**Ъ*
* V';-'**
* < * J . .^
- . v ^ Vf
*3 ' nflP^^'*4 кЦ "чь.- . --і
*-~*t>
Рис. 4. Оползень Лемьё (Онтарио, Канада), 20 июня 1993 г. Объем - до 3.5 млн.м'. Грунт просел на 12 м. Затем большая его часть сместилась в долину (South Nation Valley) и временно перегородила реку. Весь процесс формирования (проседания) и движения оползня занял 1 час. Длина оползня примерно 3.3 км [88].
** #
*К "'- ::
Рис 5. Разрушение железной дороги и автодороги в результате оползня, октябрь 1990 г. (Howe Sound, Британская Колумбия, Канада). Зона отрыва располагается примерно в 300 м над автодорогой. На уборку и стабилизацию склона ушло несколько недель. [111].
логия между уравнениями мелкой воды и уравнениями газовой динамики [38, 60, 65, 80]. В частности, это позволило применить понятие разрывного решения для описания таких явлений, как гидравлический прыжок и бор. Отметим, что данная аналогия также позволила для решения уравнений теории мелкой воды применить численные методики первоначально созданные для решения уравнений газовой динамики (схемы Лакса-Фридрихса, Мак-Кормака, Куранта-Изаксона-Риса, Роу, Ошера-Соломона, метод Годунова и многие другие) [40].
В настоящей работе рассматривается плоскопараллельное течение жидкости, позволяющее ограничиться изучением одномерной нестационарной задачи. Для моделирования движения оползня-потока в качестве исходной взята модель уравнений однослойной мелкой воды, учитывающей турбулентное трение о дно, которая также использует осредненное по слою значение скорости. Соответствующие математические модели представляют собой начальные (начально-краевые) задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Очевидно, что общий метод исследования такого класса задач может быть только численным. При выборе численного метода были учтены следующие обстоятельства:
В большинстве работ по численному моделированию рассматриваемых явлений применяются различные схемы конечно-разностных методов (схема Лакса-Вендроффа, схема Мак-Кормака) [4, 18,47,48]. При этом основное внимание уделяется описанию инженерно-геологических следствий расчетов и отсутствует летальное тестирование самих вычислительных схем. Из работ такого рода трудно судить о точности получаемых численных результатов и границах их применимости.
Сравнительно недавно появился ряд вычислительных схем, названных методом частиц (их называют также «безсеточными» методами, методами подвижных конечных элементов, полностью лагранжевы методы, методы на неструктурированных сетках, методы маркеров и так далее), которые применяются при численном моделировании процессов газовой динамики и гидродинамики [73-75]. Существуют также примеры применения метода частиц (наряду с конечно-разностными методами) в теории мелкой воды [86, 94-96. 104] и при моделировании движения лавинных потоков [96, 105].
В настоящей работе для численного моделирования движения оползня-потока используется вариант метода частиц, состоящий в адаптации формы частиц на каждом шаге по времени с целью выполнения условия слабой аппроксимации исходного решения, предложенный в [6-8]. Ранее он использовалась для численного решения задач газовой динамики, а в нашем случае позволяет провести численное исследование различных задач теории мелкой воды и движения оползней-потоков.
Основной целью настоящей диссертационной работы является математическое моделирование движения оползней-потоков на наклонных поверхностях методом частиц. Работа состоит из трех глав. Первая глава содержит вывод системы уравнений движения потоков на наклонной поверхности, основанный на ряде предположений о свойствах потока. Во втором параграфе отмечается существующая аналогия между системой уравнений теории мелкой воды и системой уравнений газовой динамике. В третьем параграфе приводятся некоторые модели трения для жидкости и потоков, содержащих глину и камни (типа селей) и глинистых растворов (типа оползней-течения).
Вторая глава посвящена описанию метода частиц и приведены результаты его применения к решению линейного и квазилинейного уравнения переноса в сравнении с численными решениями, полученными с помощью разностных схем. Дана постановка и приведены результаты вычислительных экспериментов для теории мелкой воды (задача о разрушении плотины, задача о распространении бора, об отражении бора от твердой стенки, задача о гидравлическом прыжке). Проведено сравнение с численным решением задачи о прорыве плотины, полученным с помощью конечно-разностных методов. Также приводятся результаты апостериорного анализа погрешности численного решения, полученного с помощью метода частиц, для задач теории мелкой воды.
В третьей главе дается физическая и математическая постановки задачи о движении оползня-потока и приведены результаты расчетов движения жидкости и оползней-потоков по склону с постоянным и переменным углом наклона. Проведено моделирование движения и остановки оползня-потока «Шарора», образовавшегося в результате Гиссарского землетрясения (23 января 1989 г., Таджикистан). Приводится обзор математических моделей близких по характеру движения к оползням-потокам селей и снежных лавин в рамках теории мелкой воды.
Следует пояснить систему ссылок. В каждой главе применяется независимая нумерация параграфов. Формулы в тексте параграфа нумеруются двумя номерами, первый из которых - номер параграфа, а второй - номер формулы. Ссылка на формулу данной главы содержит два номера, если же возникает необходимость ссылаться на формулы из другой главы, то приводятся три номера, первый из которых соответствует номеру главы. Нумерация рисунков и таблиц - сквозная по всему тексту.
Основные результаты опубликованы в следующих статьях и сборниках трудов:
Зеркаль СВ., Калинин Э.В. Математическое моделирование движения оползней-потоков//Проблемы инженерной и экологической геологии. Труды научной конференции аспирантов и молодых ученых, посвященной 100-летию со дня рождения С.С.Морозова и 60-летию кафедры инженерной геологии и охраны геологической среды геол. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. Под ред. В.А. Королева. - М.: геологический ф-т МГУ, 1998.-С. 20
Богомолов СВ., Захаров Е.В., Зеркаль СВ. Математическое моделирование движения оползня-потока методом частиц//1 руды X Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2001)». -Херсон, 2001.-С. 69-71
Богомолов СВ., Захаров Е.В., Зеркаль СВ. Моделирование волн на мелкой воде методом частиц//Математическое моделирование. - 2002. - Т. 14. - № 3. - С. 103-116
Зеркаль СВ. Апостериорная оценка погрешности метода частиц на моделях теории мелкой воды //Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. Под ред. Д.П.Костомарова. В.И.Дмитриева. - 2002. -№ 10.-С. 90-101
Автор выражает глубочайшую благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н., профессору Захарову Евгению Владимировичу и к.ф.-м.н., доценту Богомолову Сергею Владимировичу за руководство над диссертационной работой и большую помощь на протяжении всей работы. Автор приносит свою благодарность доктору геолого-минералогических наук, профессору Калинину Эрнесту Валентиновичу за постановку задачи, участие и постоянное многолетнее обсуждение результатов работы; д.ф.-м.н., доценту Эглит Маргарите Эрнестовне за полезные советы, замечания и помощь.
Некоторые модели трения для потоков различной природы
Для потоков жидкостей обычно вводят безразмерный коэффициент трения к по формуле [80]: где v - коэффициент кинематической вязкости жидкости. Эта же формула приближенно принимается и для любых не слишком сильно изменяющихся во времени ламинарных потоков вдоль плавных поверхностей. Для турбулентных течений при сравнительно небольших числах Re коэффициент к оказывается медленно убывающей функ цией Re. При увеличении Re коэффициент к практически перестает зависеть от Re, т.е. в частности, от свойств жидкости, но начинает зависеть от шероховатости дна, характеризуемой отношением размеров выступов шероховатости дна d к глубине потока h. Исследования в гидравлических лотках, руслах и каналах, расчеты движений в морях и реках накопили громадное число данных о величинах к, которые приводятся в гидравлических справочниках. Вместо коэффициента к часто используется коэффициент Шези С, выражающийся через к по формуле С = I— . Для дна с заданной шероховатостью величину
С можно в первом приближении считать известной постоянной величиной: В действительности, коэффициент Шези С слабо зависит от глубины потока. Наиболее употребительной формулой, учитывающей это, является формула Манинга: где п — число, связанное с шероховатостью стенки и определяемое экспериментально. Имеются и другие, более точные, но более сложные формулы для коэффициента Шези с. Для потоков, содержащих глину и камни, типа селей и глинистых растворов, а также для потоков сыпучих материалов рекомендуются формулы вида [80, 113]: где тс не зависит от скорости. Для сыпучих материалов тс можно называть сухим трением и считать, что оно вычисляется с помощью закона Кулона (трение пропорционально нормальному давлению).
Для потока на поверхности это означает, что где кс - коэффициент кулоновского трения. В [16] предложена модификация формулы для сухого трения, которая состоит в том, что пока не превышен предел прочности материала движущегося потока или склона трение вычисляется по формуле (3.3); если трение по Кулону оказывается выше предельного, в этом случае трение считать равным предельному. Это означает следующее: где г» - наименьший из пределов прочности на сдвиг материалов потока и дна, кс -коэффициент кулоновского трения. Все имеющиеся формулы определяют г как функции от и и /г. Во многих теоретических рассуждениях важны лишь общие свойства этих функций, конкретный же их вид необходим для практических расчетов.
Метод частиц для системы уравнений теории мелкой воды
Пусть имеется канал постоянного поперечного сечения (рис. 16) с постоянным наклоном дна, простирающийся до бесконечности вдоль оси х. И пусть в данном канале в поле силы тяжести течет несжимаемая жидкость. Предполагается, что жидкость лишена внутреннего трения, трения о стенки и дно канала, а уровень жидкости над дном канала h является малой величиной по сравнению с характерными размерами течения, размерами неровностей дна и т.п. Будем считать, что течение жидкости характеризуется одной про странственной переменной х и зависит от времени t. Тем самым считается, что скорость жидкости и имеет отличную от нуля компоненту их (которую будем обозначать и), а остальными компонентами можно пренебречь; кроме того, считается, что уровень h зависит также лишь от х и L Система уравнений, описывающая одномерное течение однослойной однородной жидкости в канале, имеет вид [38, 43, 60, 65]: [65] методом характеристик построено решение системы (2.2) (при t 0) и на этой основе дана качественная физическая интерпретация эволюции течения жидкости. Кратко она состоит в следующем. Пусть в некоторой точке х = х2 задано возмущение, такое что, либо скорость и, либо возвышение свободной поверхности h изменяется определенным образом во времени.
При этом имеется существенное различие между распространением возмущения, которое вызывается монотонным понижением свободной поверхности в точке х = х2, и возмущения, возникающего при повышении свободной поверхности в этой точке. В первом случае (при распространении понижения в покоящуюся воду) течение непрерывно всюду. Во втором случае течение будет непрерывным лишь до определенного момента времени, после чего образуются скачки, которые можно интерпретировать как развитие боров и бурунов в воде. Отметим, что в газовой динамике имеются ситуации, аналогичные этим двум случаям: рассмотрим длинную трубу, наполненную покоящимся газом и закрытую с одной стороны поршнем. Если поршень выдвигается из газа так, что в покоящийся газ распространяется волна разрежения, то возникающее движение будет непрерывным. Однако, если поршень вдвигается в газ так что образуется волна сжатия, то она всегда превращается в ударную волну. Указанная аналогия позволяет в теории мелкой воды ввести понятие волновой скорости с = Jgh , которой соответствует понятие скорости звука в газовой динамике. Решение задачи (2.2)-(2.3), построенное в [65], приведено в таблице 3. В ходе численного решения задачи (2.2)-(2.3), следуя [7], будем в начале рассматривать квазилинейные уравнения переноса, записав их в виде одного уравнения Рис. 17.
Схема перестройки частиц. 2) с целью выполнения условия соприкасаемости производится перестройка частиц, аппроксимирующих искомые функции (уровень жидкости h и расход жидкости hu) с сохранением их масс. Это приводит к изменению параметров частиц (размеров прямоугольников при постоянной площади); 3) вычисление новых значений масс час- а) тиц, аппроксимирующих расход жидкости (решение уравнения (2.6Ь), про- Ь) изводится по схеме, приведенной в [7]); 4) вычисление нового поля скоростей (искомой функции и). В данном случае процедура перестройки частиц {пункт 2), основанная на их попарном взаимодействии, состоит в следующем (рис. \1)
Апостериорная оценка погрешности метода частиц на моделях теории мелкой воды
По результатам проведенных вычислительных экспериментов были построены графики погрешности є (N) (рис. 42, 43) и є (t) (рис. 44-50). Согласно [6-8], погрешность метода частиц складывается из двух величин: погрешности схемы Эйлера решения дифференциального уравнения движения частиц - 0(т) и погрешности, связанной с дискретизацией метода частиц. Характер же последней погрешности для ме тода частиц имеет порядок О что и подтверждается в результате апостериор ной оценки погрешности по ./V (рис. 42, 43). На рис. 42 нанесены значения є (/V) для задачи о распространении бора (профиль 1) - точки розового цвета, и задачи о прорыве плотины, h2 = 0.5 (профиль 3) - зеленые точки. Сплошная линия - это график функции y = —j=. Значения погрешности получены при следующих данных: т = 0.01, для каждого N ширина частиц в начальный момент времени в обеих задачах равны.
Как видно, графики погрешностей качественно повторяют график функции —==.
На рис. 43 показана погрешность є (JV) для задачи о разрушении плотины, h2 = 0.5 (профиль 3) для различных значений шага по времени т: 0.01 (зеленые точки); 0.02 (синие точки); 0.04 (желтые точки) при прочих одинаковых начальных данных. Анализ полученных результатов показал, что разброс значений є (N) для указанных трех задач в данном случае лежит в диапазоне [0.08; 0.102].
Также для функций hnumer(x, і) и ипитег(х, і) были построены графики погрешности є (t) для всех четырех форм начального профиля (табл.2) (рис. 44-51). На рис. 44-51 нанесены значения погрешности при постоянном числе частиц N, шаг по времени т при этом уменьшается в два раза (т = 0.08; 0.04; 0.02; 0.01; 0.005 (для задачи о разрушении плотины, профиль 3 и 4)); и при постоянном шаге по времени т = 0.01, число частиц N увеличивается в два раза. Также указано максимальное значение погрешности Єтах для каждого графика.
Для задач о движении бора и гидравлического прыжка графики погрешности є (t) похожи. Поэтому приводятся соответствующие графики только для задачи о движении бора. На рис. 44-45 представлен график функции є (і) на промежутке по времени t є [12, 13]. Поведение функции носит периодический характер. Это связано с численной реализацией метода частиц. Один период функции соответствует моменту, когда частица, находящаяся на фронте скачка уровня, изменяет свои параметры -ширину и высоту при постоянной площади прямоугольника. Это и вызывает наибольшую погрешность в численном решении.
Как видно на рис. 47 для задачи о прорыве плотины, h2 = 0, величина погрешность для функции unumer(x, t) при уменьшении шага по времени т со временем увеличивается. Об этом было сказано в 3 при описании таблиц, содержащих погрешность, и это показано на графике. На всех остальных графиках (рис. 44-46, 48-51) видно, что с уменьшением шага по времени и увеличением частиц значение погрешность численного решения уменьшается. ком объеме, чтобы коэффициент устойчивости склона соответствовал заданной величине и т.п. В данном случае прогноз оползней дает ответы на следующие вопросы. Может ли образоваться оползень в данном месте? Где в первую очередь возникнут оползни (например, на трассе дороги)? Каковы будут размеры оползня? Когда произойдет основное смещение оползневого тела?
Нужно отметить, что вышеуказанные задачи - вполне решаемы. Например, оползень Такабаяма в районе Ийяма (Япония) был предсказан с разницей в 6 минут между теоретическим и практическим процессами. Оползень в городе Фукуи произошел 2 декабря 1972 г. в 1 час. 30 минут. Согласно расчетам, произведенным на расстоянии 400 км, он должен был произойти 1 декабря в 20 часов 30 минут [1]. Исследование движения оползней.
Здесь имеется в виду следующий круг задач: прогнозирование мощности оползней и динамики их движения на основе данных о геометрии склона и состоянии грунтовых масс на нем, расчет необходимых параметров для противооползневых мероприятий, проведение которых требует устройства различного рода инженерных сооружений т.п. В данном случае решаются следующие вопросы. Как будет развиваться процесс, т.е. с какими скоростями будут двигаться грунтовые массы? Какова будет амплитуда смещения? Как будет изменяться конфигурация тела оползня в процессе движения и чем все завершится?
Данная работа посвящена математическому моделирования именно движения оползней-потоков по склону с постоянным и переменным углом наклона. В следующих параграфах ставится математическая задача движения оползня-потока и приводятся результаты вычислительных экспериментов.
. О математических моделях некоторых родственных геологических процессов
Сель - внезапно формирующийся в руслах горных рек временный поток, характеризующийся резким подъемом уровня и высоким (от 10-15 % до 75 %) содержанием твердого материала (продуктов разрушения горных пород). Сели движутся со скоростью до 10 м/с и более. Объемы единовременных выносов достигают сотен тысяч, а иногда и млн. м3, а крупность переносимых обломков - 3-4 м (в поперечнике), при массе 100-200 т. Обладая большой массой и скоростью передвижения, сели разрушают дороги, сооружения, пахотные земли [71].
По характеру движения и структурному составу выделяют два типа селевых потоков: нещязньш, в которых вода является транспортирующим средой для переноса твердого материала, и сдяжьш, в последних ни в процессе движения, ни при остановке выделить составные части (твердую составляющую и жидкость) невозможно [9, 70].
Несвязные водокаменные селевые потоки, по своей природе, представляет собой лишь усложненный вариант взвесенесущего водного потока, для исследования которого давно и успешно используются методы гидравлики наносонесущих потоков [10, 32]. Поэтому основные закономерности, определяющие перенос тяжелых включений водными потоками, математические соотношения и теоретические предпосылки, лежащие в основе расчета движения таких потоков, в принципе могут быть применены к описанию движения несвязного селя. Хотя вопрос об условиях применимости существующих теорий переноса твердых частиц водными потоками столь высокой концентрации, как селевые, является предметом дополнительного исследования.
В работах [51, 67, 70] представлены модели движения связного селя по относительно ровным склонам с постоянным уклоном. Эти модели ограничены рамками равномерного стационарного движения потока, описываемого различными модификациями формулы Шези. В [64] предпринимается попытка решить задачу о движении селевого потока по руслу с переменным уклоном, но в предположении стационарного характера движения. Математическая модель нестационарного движения селевого потока по руслу с постоянным уклоном дана в работе и с учетом лавинообразности движения селя [11]. В [106] модель движения потоков лавинного типа построена в рамках теории волн на мелкой воде. Она во многом аналогична гидравлической модели движения снежных лавин, селей и оползней, рассматриваемой ниже.
Господствующий тип селей - водоснежные потоки (доля воды в них достигает 50 %); слабее развиты водокаменные потоки [1]. В работе [5] водоснежные потоки называются снежными селями и для расчетов их движения рекомендуется использование уравнений гидравлической схемы [22].
Лавина -снежный обвал, массы снега на горных склонах, пришедшие в движение, скользящие и низвергающиеся. Скорость движения лавин в среднем 20-30 м/сек. Лавины обычно возникают на заснеженных склонах крутизной 30-40. Лавины обладают огромной разрушительной силой, вызывая большие катастрофы, препятствуя нормальной эксплуатации дорог, промышленных сооружений и спортивных комплексов [68].
С точки зрения динамики явления различают следующие типы лавин: 1) пылевые лавины, представляющие движение взвешенных в воздухе малых частиц снега; 2) лавины из плотного сухого или мокрого снега (текучие лавины); 3) лавины, состоящие из плотного компактного ядра и движущейся поверх него снежной пыли.
Макрые щвины состоят из плотного и вязкого (мокрого) снега. Масса каждого кубометра такого снега составляет 400-600 кг. Скорость мокрых лавин колеблется в пределах 10-20 м/с. Мощность потока лавин составляет 10-15 м. Воздушная волна при движении мокрых лавин обычно не образуется.
Скорость крупной сухойлаишы достигает 100 м/с. Для них характерна высокая скорость, большая высота и воздушная волна, которая движется впереди лавины.
Задача о движении снежной лавины рассматривалась многими авторами [15,37,50,66, 113 и другие] в разных постановках. Существенный недостаток указанных постановок заключается в том, что они позволяют найти скорость снега в лавине только при условии, что форма и размеры лавины заранее известны. Между тем ясно, что все характеристики движущейся лавины должны определяться условиями на склоне и находиться в процессе решения. Модели движения сухих лавин можно найти в работах [41, 83].
В [22, 42] была предложена одномерная и двумерная математическая постановка задачи о движении снежной лавины на достаточно широком склоне без учета бокового растекания. Масса снега и воздуха, движущегося в лавине, рассматривались как тонкий слой несжимаемой жидкости. Скорость снега осреднялась по толщине лавины, и для средней скорости и толщины снега выписывались уравнения сохранения массы и импульса, аналогичные используемым в гидравлике. Передний фронт представлял собой скачок, на котором происходит разрушение снежного покрова и вовлечение его в движение. Решение данной задачи позволяло найти все параметры движущейся лавины, если известны профиль склона и характеристики снежного покрова на склоне. В [3, 4, 22, 42] было проведено аналитическое и численное исследование данной задачи, построено асимптотическое решение при t —» со и исследовано его по ведение как для склонов постоянной крутизны с однородным снежным покровом, так и для склонов переменной крутизны, на которых лежит снег с переменными свойствами.
Данная математическая модель успешно применялась для расчетов движения селей, водоснежных потоков [13, 47-49], оползней и крупномасштабных горных обвалов [16, 17, 20]. Различная физическая природа перечисленных явлений проявляется в разных численных значениях входящих в описание модели коэффициентов.
В указанной математической модели рассматривались два разных закона трения: когда так называемое сухое трение принимается пропорционально давлению потока на склон (закон Кулона) [3, 18, 22, 27, 28, 55] и в соответствии с законом [16], предложенным С.С. Григоряном [16, 17, 28, 29, 81]. В последнем случае величина касательных напряжений на контакте движущегося потока со склоном возрастает пропорционально нагрузке лишь до определенного предела, после чего (в отличие от закона Кулона) рост нагрузки уже не сказывается на величине силы трения на контакте движущегося потока со склоном. Использование этого закона в уравнениях движения позволяет объяснить аномально большую (с точки зрения закона Кулона) дальность выброса снежных, селевых и оползневых масс. При этом в обоих случаях считается, что тормозящее действие дна передается на поток вследствие действия двух механизмов: турбулентного перемешивания, т.е. гидравлического трения, и непосредственного трения частиц потока друг о друга и о дно - сухого трения. Гидравлическое трение принималось по закону трения для турбулентного потока на сильно шероховатом дне.
