Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Исследование процесса образования тороидального вихря 21
1.1 Обзор экспериментов 21
1.2 Экспериментальные результаты 25
1.3 Математическое моделирование процесса образования ТВ 37
1.4 Численный метод решения 40
1.5 Анализ результатов 54
Глава 2 Исследование самоподержания и усиления тороидального вихря за счет тепловыделения 70
2.1 Постановка задачи 70
2.2 Математическая модель 74
2.3 Анализ результатов 79
Глава 3 Исследование образования и взаимодействия вихрей на поверхности сферического объекта 87
3.1 Обзор физических экспериментов 87
3.2 Математическая модель 90
3.3 Анализ результатов 105
Заключение 110
Список использованной литературы 111
Введение к работе
Настоящая работа посвящена математическому моделированию образования тороидальных вихрей различной физической природы и численному исследованию динамики развития вихревых структур на сферической поверхности.
Актуальность диссертации
Несмотря на давнюю историю исследования тороидальных вихрей (ТВ) (вихревых колец, плазменных тороидальных вихрей (ПТВ)) процесс их образования изучен недостаточно подробно. До сих пор детально не изучены такие важные характеристики, как распределение трёхмерного поля скоростей, распределение плотности и температуры в вихрях в различные моменты времени при их образовании. Это связано с тем, что определение этих локальных характеристик ТВ в экспериментальном отношении представляет значительные трудности. Так, при диаметре ТВ 10 см для получения поля скоростей необходимо одновременно измерить скорость, плотность и температуру жидкости (плазмы, газа), по крайней мере, в 500-1000 точках, что современными экспериментальными методами практически невозможно реализовать. По этой причине количество экспериментальных работ по определению локальных величин мало. Работы по определению распределения плотности в ТВ вообще отсутствуют. Однако, для решения ряда прикладных задач с использованием ТВ (тушение пожаров на газопроводах, разработка нелетального оружия, разработка методов повышения КПД сгорания топлива ТЭЦ) необходимо знать именно пространственно-временные распределения скоростей, плотности и температуры в таких вихрях.
Анализ наблюдения тропических циклонов (атмосферных вихрей) и опытных данных по исследованию ТВ показывает, что общей закономерностью для указанных вихрей является установление в них радиального распределения вращательной скорости, состоящего из центрального твердотельного ядра вращения и вязкого внешнего слоя. Именно вихри с таким распределением обладают большей устойчивостью: характерное время жизни тропических циклонов составляет несколько суток, ТВ различной природы до своего распада проходят расстояние от 100 до 600 раз больше их начального диаметра, при этом равный по объему объект без вихревого движения среды проходит небольшое расстояние, сравнимое с его начальным диаметром. До сих пор не достаточно подробно исследованы причины устойчивого существования таких вихрей. Устойчивость указанных вихрей можно объяснить наличием в них источников энергии (различной природы) и физических механизмов преобразования энергии этих источников в энергию их вращательного движения. Основным источником энергии тропического циклона служит скрытая теплота испарения воды,
которая освобождается при конденсации водяных паров (фазовом переходе). В плазменном ТВ в воздухе и ТВ в воздухе и воде источником энергии является наружный вязкий слой. В плазменном ТВ, кроме того, имеются дополнительные источники энергии - процесс рекомбинации ионов и электронов, химические реакции атомов и молекул.
Однако, в настоящее время не достаточно подробно изучены закономерности физических механизмов преобразования энергии вышеперечисленных источников в энергию вращательного движения вихрей. По этой причине до сих пор не удается определить зависимость величины КПД преобразования энергии источников в энергию вращательного движения вихрей от характеристик вихрей. А определение такой зависимости для КПД является одной из основных проблем исследования тропических циклонов. Знание закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей представляет собой один из ключевых моментов в исследовании тропических циклонов, и открывает возможность предсказания погоды. Следовательно, изучение закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей является актуальным. Отсюда возникает необходимость проведения адекватного математического моделирования процессов образования и динамики тороидальных вихрей, атмосферных вихрей и механизма самоподдержания и усиления вихрей.
Цель работы
Целью настоящей диссертационной работы является:
-
разработка математической модели тороидального вихря, позволяющей исследовать образование и динамику развития вихря во времени с учетом его энергетических характеристик (поступательной и вращательной энергии тороидального вихря, энергии диссипации);
-
проведение математического моделирования физического механизма самоподдержания и усиления вихрей при нагревании их веществ по периметру;
-
проведение математического моделирования образования группы вихрей на поверхности сферического объекта;
-
осуществление программной реализации разработанных математических моделей.
Положения, выносимые на защиту
-
Построена математическая модель тороидального вихря на основе трехмерной системы уравнений Навье - Стокса с учетом особенностей физического эксперимента.
-
Осуществлена программная реализация предложенной математической модели, и проведены численные эксперименты, в результате которых сделан вывод о единообразии основных характеристик тороидальных вихрей различной физической природы: ТВ в воздухе и в воде, плазменного ТВ в воздухе.
-
Проведено численное моделирование механизма самоподдержания и усиления вихрей, позволившее сделать вывод о том, что при нагревании вещества тороидального вихря в тонкой кольцевой области, расположенной по периметру, наблюдается увеличение скорости его вращения. Показано, что чем больше температура нагревания, тем больше усиление вращения.
-
Для заданной угловой скорости вращения исследована зависимость КПД преобразования тепловой энергии, выделившейся в кольцевой области, во вращательную энергию от температуры нагревания и времени протекания процесса. Установлено, что при увеличении температуры и времени нагревания величина КПД увеличивается.
-
Построена математическая модель, позволяющая описать образование и перемещение вихрей по сферической поверхности, а также проведена программная реализация данной модели, и сделаны выводы об условиях образования вихрей на конкретной поверхности.
Результаты проведенных расчетов по предложенным математическим моделям согласуются с экспериментальными данными различных исследователей.
Научная новизна работы
В диссертационной работе предлагаются новые математические модели образования и развития вихревых структур на искривленных поверхностях и тороидальных вихревых образований. Математические модели, описывающие гидродинамические процессы в вихревых структурах, основаны на трехмерной системе уравнений Навье - Стокса. Для вихревых процессов на сферической поверхности применяется осредненная по высоте тонкого слоя жидкости трехмерная система уравнений Навье - Стокса, записанная отдельно для верхней и нижней полусфер и сшивающаяся по экватору. Предложенная модель позволяет в каждый момент времени для любой точки поверхности вычислять не только скорость, плотность и температуру вещества, но и толщину слоя жидкости в этой точке. В результате математического моделирования впервые изучены условия образования и устойчивости вихревых объектов на сферической поверхности. Впервые построена математическая модель тороидального вихря, согласующаяся с условиями и механизмом образования, установленными экспериментально. Для тороидального вихря впервые определен КПД преобразования тепловой энергии во вращательную энергию на основе механизма самоподдержания и усиления вихрей. Достаточно подробно изучены трехмерное распределение поля скоростей, а также диссипация энергии вихря.
Теоретическая и практическая значимость
Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. Теоретическая значимость заключается в изучении условий образования вихревых структур, динамических характеристик таких структур, а так же механизма самоподдержания тороидальных вихрей за счет тепловыделения.
Практическая значимость состоит в возможности применения разработанного программного комплекса для решения конкретных задач в различных областях человеческой деятельности таких как: нефте - газовая промышленность (тушение фонтанирующих пожаров), энергетика, исследование климата (взаимодействие атмосферных вихрей, возможность предсказания погоды и других природных катаклизмов устойчивой структуры), разработка нелетального оружия, медицына (офтальмология).
Апробация работы
Результаты работы докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры, а также на всероссийских и международных конференциях:
-
"Ломоносовские чтения", Москва, МГУ, 2011, секция физики.
-
XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, 2010.
-
"Математика. Компьютер. Образование": XVIII международная конференции, 2011.
-
17-ая российская конференция по холодной трансмутации ядер химических элементов и шаровой молнии, 2010.
-
"Математика. Компьютер. Образование": XVII международная конференция, 2010.
-
"Математика. Компьютер. Образование.": XIX международная конференция, 2012.
Личный вклад автора
Личный вклад автора состоит в разработке представленных в диссертации математических моделей, разработке программного комплекса, позволяющего проводить расчёты на основе выбранного в качестве наиболее подходящего для поставленной задачи численного метода. Им проведен ряд численных экспериментов, результаты которых согласуются с экспериментальными данными объектов исследований и позволяют сделать выводы о природе, структуре и свойствах этих объектов.
Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка и ход научных исследований осуществлялись под руководством д.ф - м.н. Савенковой Надежды Петровны и консультанта по физике к.ф - м.н. Юсупалиева Усена. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено в
10 научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.
Публикации
Положения диссертации отражены в 10 публикациях автора, 2 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК [1,2].
Структура работы
Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (60 наименований). Объём диссертации -110 страниц.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю в.н.с. д.ф - м.н. Савенковой Надежде Петровне и научному консультанту с.н.с. к.ф - м.н. Юсупалиеву Усену за поддержку и постоянную помощь в работе.
Экспериментальные результаты
В опытах с вращающимися сосудами рабочей жидкостью обычно служила вода, фоновая завихренность возникала вследствие вращения цилиндра. Для создания подъемной силы использовались различные методы: насосы или пропускание вдоль оси вращения жидкости, отличающейся по плотности.
В вихревых генераторах источник фоновой завихренности находился в верхней части установок. Если в моделях использовалась вода, то циркуляция создавалась с помощью вращающегося диска, который располагался в верхней части неподвижного сосуда. Для создания подъемной силы использовался либо нагрев жидкости, либо небольшой пропеллер, который помещался на оси сосуда. Эксперименты такого типа выполнялись большей частью на воздушных моделях, в которых генератором завихренности служила вертушка, окруженная цилиндрическим кожухом и располагавшаяся в верхней части установки. Она же служила и источником подъемной силы, благодаря созданию в центре установки пониженного давления. Необходимой особенностью вихревых генераторов является наличие боковых стенок, что заставляет циркулирующую жидкость опускаться вниз и взаимодействовать с подстилающей поверхностью. В результате в установке возникает тонкий вертикальный вихрь. Для воздушных вихревых генераторов роль боковых направляющих выполняет цилиндрический кожух, окружающий вертушку.
Ранние работы по лабораторному моделированию атмосферных вихрей носили чисто качественный характер. Однако уже они показали, что характер потока определяется в основном соотношением двух главных параметров: циркуляции, характеризующей фоновую завихренность, и стока или объемного расхода жидкости, которое определяется подъемной силой. В качестве определяющего параметра, который отражает меру взаимодействия стока и циркуляции, в ранних работах использовалось число Россби, а в более поздних - различные параметры закрутки.
Более детальное изучение природных концентрированных вихрей и вопроса подобия физических моделей и их атмосферных аналогов требовало увеличения количественных исследований. Наибольшие успехи достигнуты в экспериментах с вихревыми камерами, в которых циркуляция создавалась либо с помощью вращающегося по периферии установки цилиндрического сетчатого экрана, либо посредством тангенциальных щелей (тангенциальных окон). Подъемная сила обеспечивалась или с помощью отсоса жидкости на верхней или на нижней границе установки, или путем нагрева дна установки. Наиболее интересные модели были предложены в работах Ward [14] и Fitzjarrald [15]. Обе эти установки относятся к разряду вихревых камер и различаются методом создания подъемной силы: механическим (установка Warda) и конвективным (установка Fitzjarralda). В работе [16] сделан вывод, что установка Warda обеспечивает в значительной степени подобие при моделировании системы торнадоподобного циклона, позволяя воспроизвести многие черты этого явления и, в частности, появление нескольких вихрей. В исследовании Fitzjarralda качественно прослежена зависимость структуры конвективного вихревого потока от угла поворота тангенциальных окон а, температуры подстилающей поверхности в центре вихря То и температуры окружающей среды Т .
Первые подробные измерения динамической структуры в модельных концентрированных вихрях появились в экспериментах с вихревыми камерами, и здесь следует отметить работы [17,18]. В этих работах было получено распределение давления и трех составляющих поля скорости в различных районах ИКВ, в том числе и в пограничном слое. Были выявлены основные свойства динамической структуры ИКВ, которые позднее были подтверждены и в других работах, посвященных лабораторному моделированию таких вихревых структур: радиальное распределение вращательной (тангенциальной) скорости Уф(г) соответствует модели Рэнкина (центральное твердотельное вращение и наружный вязкий слой); в верхней части вихря величина вращательной скорости Уф мало меняется с высотой, в пограничном слое она увеличивается по мере приближения к подстилающей поверхности, достигает наибольшего значения вблизи поверхности и затем падает до нуля; вблизи подстилающей поверхности существует максимум радиальной скорости, направленной к центру вихря; во внешней части вихря поверхностное давление мало меняется и быстро падает в центре вихря, на оси вихря вблизи от подстилающей поверхности существует минимум давления.
Успехи, достигнутые в работах по лабораторному моделированию ИКВ малой горизонтальной протяженности, наиболее полно отражены в работе [19]. Однако целый ряд аспектов в структуре вихрей такого класса, причины и условия их возникновения до сих пор остаются неисследованными.
Предпринимались также попытки лабораторного моделирования крупномасштабных атмосферных ИКВ типа тропических циклонов. Из работ такой направленности следует отметить следующие. В [20] модель представляла собой цилиндрический сосуд, рабочей жидкостью служила кислота. Через отверстия в дне сосуда внутрь него вводился раствор щелочи и при взаимодействии ее с кислотой выделялась теплота. Таким образом, авторы [20] моделировали выделение теплоты при конденсации водяного пара в ТЦ. Для создания меридиональной циркуляции в верхней части сосуда на его стенке помещалось охлаждающееся кольцо. В установке наблюдалось возникновение вихря, который воспроизводил основные черты структуры урагана. Работа носила чисто качественный характер и интересна, как одно из первых исследований, в которых сделана попытка смоделировать в ИКВ процессы конденсации.
Численный метод решения
Для моделирования процесса формирования ТВ использовались уравнения неразрывности, движения (Навье-Стокса) и состояния (Менделеева-Клайперона). В цилиндрической системе координат указанные уравнения в осесимметричном случае имеют следующий вид: dp dpvr dpv7 1 dt dr dz г dpvr dP dpvr2 dpvvz 1 2 2 dt dr dr dz r r 2 dvr d22rivr d2nvv d2rivr — rj—L + + — —2- + —y1, r dr dr drdz dz dpv„ dpvv7 dP dpv2 1 ,_. -- -+ H r z + — + H z =-Q7--pvv- (2) ot or dz dz r 0 0 о 1 ,dvr dv_4 d nv7 d nvr 2d nv_ —v(—-+—-) +—,-1L-+—— + , r dz dr dr drdz dz P = RT M где Vr,V, компоненты скорости газа P,p,rjnju - плотность, давление, динамическая вязкость и молярная масса газа соответственно, qz - объемная плотность силы, действующей вдоль оси Oz и создающей импульсную струю, R - универсальная газовая постоянная. Функция q введена для моделирования работы поршня генератора ТВ и зависит от принципа работы "поршня" и её вид должен быть таким, чтобы удовлетворялись условия образования вихря 1) - 6).
Рассмотрим принцип работы поршня. Из условий образования ТВ, установленных выше, следует, что от характеристик импульсной струи зависят начальные параметры ТВ, а характеристики струи определяются характеристиками "поршня" генератора вихря. "Поршнем" импульсного плазмотрона служит импульсный сильноточный электрический разряд в газе при атмосферном давлении и выше [38]. Для создания ТВ в воде используется электромеханический поршень [36], а для создания ТВ в воздухе - газодинамический "поршень" [41]. Под действием указанных "поршней" в рабочем объёме генератора сначала повышается давление жидкости (плазмы, газа, воды), в результате чего начинается истечение струи через сопло в окружающую среду. А через некоторое время давление в рабочем объёме снижается до давления окружающей среды (истечение струи прекращается). В этом и состоят общие черты указанных «поршней» независимо от их физической природы.
Таким образом, "поршень" генератора ТВ работает в течение времени At и создаёт заданную длину струи 1; с определенным радиальным распределением скорости в струе itj{r). Исходя из этого, объемную плотность q зададим следующей функцией: (3) Чг = #0 ДО giD A(Z), где /(0 = (l-cos(2 /A0)/2, g(r) = (1 + cos(#r / г0)) / 2, /2(z) = (l-cos(2 r(z-z1)/(z2-z1)))/2. q0 =10г/см2с2, z, = 0.5см, z2 = 0.7 5см,At = 0,05c. qo - амплитуда величины qz (в кг/ (м2 с2), (z2-zx)nr 0B - объём, в котором действует q0). Здесь g(r) представляет отражает колоколообразность распределения скорости истечения импульсной струи. Для проведения численного расчета необходимо выбрать значения характеристик импульсной струи (rnozz ,L} ,TJt ц],т}) , Р7) "поршня" генератора вихря (qo,A/ ,zi,z2) и окружающей среды (Т0,р0,//0,70). Значения этих характеристик выбираются, исходя из требований экспериментально установленных условий образования ТВ 1) - 6). Согласно этим условиям, рассматривается импульсное дозвуковое осесимметричное истечение воздуха (Tj - 293 К, р} = 101325 Па, //, = 29 10 кг/моль, 7]j = 1.82 10 5 Па с), через сопло (радиусом rnozz = 10"" м) в воздух при температуре Т0 = 293 К и атмосферном давлении ро = 101325 Па в цилиндрической системе координат (г, p,z), начало которой совпадает с центром задней стенки рабочего объёма (или неподвижного механического поршня), а ось Oz с осью симметрии рабочего объёма и сопла; струя и окружающий воздух являются сплошными средами, так как длины свободных пробегов частиц равны /; = /, =10"8м при rnozz = 10"2 м ( Кп, =Кп = 2 10-); вследствие осесимметричности струи параметры индуцированного течения и вихря не зависят от азимутальной координаты ср.
Характерные размеры окружающей среды, куда истекает порция воздуха, выбраны из требования третьего условия образования ТВ: расчёты проводились для цилиндрического объёма диаметром X] = D0 = 0.1 ми длиной Х2 = Zo = 0.05 м. (0 »r„or;,Z0 »/;„.,).
Начальные и граничные условия. На границах области ґ є [0;0.05],г є [-0.01;0.01],г є [0.005;0.0075] объёмная плотность силы qz непрерывно и дифференцируемо переходит в нулевое значение (отрицательные значения г в данном случае имеют иллюстративный характер и соответствуют отрицательной координате по оси Oz). Начальные и граничные условия для компонент скоростей vr и v2 определяются объёмной плотностью силы q.
Математическая модель
При выделении тепловой энергии в вихрях (тропических циклонах, тороидальных вихрях в воздухе, в плазменном ТВ в воздухе) повышается температура жидкости (воздуха, плазмы) +АТ, что приводит к уменьшению её плотности (-Ар = -(р-рк), где р и рк- плотность газа вне и в кольцевой области). В результате чего возникает сила плавучести {-Fmae), направленная к оси вращения, под действием которой легкая жидкость за время At приобретает скорость Vr, направленная к центру вихря (рис.45). Во вращающейся системе отсчета на движущуюся к оси вращения жидкость действует сила Кориолиса (FKOp ), направленная по касательной в сторону вращения. Под действием этой силы за время At у движущейся к центру жидкости увеличивается скорость вращательного движения на величину +AV„. Причинно-следственная связь механизма усиления вращения отображена на следующей схеме:
Величина изменения плотности Ар, а следовательно, величина силы плавучести во вращающейся системе координат (в поле центробежной силы) Fluae=ApQ}r зависит от термодинамического процесса. Поскольку радиальные размеры Аг = г2- г, кольцевой области, где выделяется тепловая энергия, пренебрежимо малы по сравнению с радиусом вихря, то термодинамический процесс газа в кольцевой области и вблизи неё является изобарическим, т.е. распределением давления можно пренебречь. При изобарическом процессе коэффициент температурного объемного расширения идеального газа при постоянном давлении равен Отсюда определим изменение плотности газа при тепловыделении в кольцевой области Ар = р— = р 2- и силу плавучести Fn,im=p9Cl2r (Т-Т ) (в= — - относительное изменение температуры газа, Г0=300 К о начальная температура газа).
Математическая модель представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений (уравнение неразрывности, уравнение движения, уравнение теплопроводности с источником тепловой энергии, уравнение состояния идеального газа), записанных во вращающейся системе координат относительно центра вихря: dp \drVrP { I P Q dt г dr r d(p - + (p\V)\ = -VP + juAp\- - 0er-2p[Qy], (12) 5/7(9 , X7V74/1 A/ лч h 2; X P- p RT, M где Vr, V - компоненты гидродинамической скорости газа по координатам г и р, Р, Т, р, М, ju и - давление, температура, плотность, молярная масса, динамическая вязкость и коэффициент температуропроводности газа соответственно, R - универсальная газовая постоянная, ег— единичный вектор.
В приведенной математической модели тепловыделение в вихре учитывается введением функции e t-f{r) и уравнение теплопроводности записано относительно безразмерной температуры 6 , а также учтено изменение плотности газа вихря р во времени и пространстве. Третий и четвертый члены в правой части уравнения движения описывают силу плавучести и силу Кориолиса соответственно. В данной задаче считается, что / =const и X =const.
В качестве объекта для численного моделирования был выбран воздушный тороидальный вихрь в воздухе при атмосферном давлении, полученный при численном моделировании процесса образования такого вихря в работе [89]. Задача решалась путем задания величины температуры Т в кольцевой области по периметру ядра тороидального вихря (рис.46). Толщина кольцевой области составляла 1 мм. Начальными условиями данной задачи были выбраны результаты, полученные работе [89] для момента времени t = 0,1 с. На рис. 46 приведены геометрические характеристики кольцевой области относительно центра ядра тора - оси вращения.
Анализ результатов
Французские ученые в своей работе [73] предложили оригинальный эксперимент с мыльными пузырями. Вообще говоря, мыльные пузыри — идеальная модель для изучения турбулентности в газовых оболочках планет, так как по своим физическим параметрам отношение толщины мыльной пленки к диаметру пузыря эквивалентно отношению толщины атмосферы к диаметру планеты.
Постановка эксперимента описанная в работе [73] очень проста. Половина мыльного пузыря, находящегося при комнатной температуре 17С, с радиусом в разных вариациях эксперимента от 8 до 10 см, нагревалась с помощью специального колечка, охватывающего экватор пузыря. Тепло конвективным образом распространялось от экватора к полюсам, создавая градиент (разность) температур AT. Облучая изучаемый объект белым светом, исследователи наблюдали интерференционную картину, из которой видно, что при определенной разности температур между экватором и полюсом происходило зарождение вихря, подобного атмосферному циклону. Интерференционная картина в эксперименте— это своеобразная визуализация конвективного распространения тепла по поверхности пузыря. Она возникает вследствие того, что белый свет из-за неоднородности в толщине пленки, обусловленной в свою очередь неодинаковым нагревом, «по-разному» преломляется и отражается в мыльном пузыре. Рис.57. Изображения пузырей при различных температурных градиентах. Разность температур ЛТ увеличивается от риса к с и равно 9, 17 и 31 С соответственно. На рис. d: возникновение вихря при AT = 45С.
Мыльный пузырь— тонкая многослойная плёнка мыльной воды, наполненная воздухом, обычно в виде сферы с переливчатой поверхностью. Мыльные пузыри обычно существуют лишь несколько секунд и лопаются при прикосновении или самопроизвольно.
Пузырь существует потому, что поверхность любой жидкости (в данном случае воды) имеет поверхностное натяжение, которое делает поведение поверхности похожим на поведение эластичного материала. Однако, пузырь, сделанный только из воды, нестабилен и быстро лопается. Для того, чтобы стабилизировать его состояние, в воде растворяют какие-нибудь поверхностно-активные вещества, например, мыло.
Исследователи из Центра радиоволн и молекулярной оптики в Бордо [73] обнаружили, что вихри, созданные в мыльных пузырях, ведут себя аналогично более масштабным атмосферным явлениям, таким как циклоны и ураганы. Это дает возможность промоделировать факторы, управляющие траекторией их поведения.
Примеры проявления двумерной турбулентности в планетарном масштабе. Сверху: снимок урагана Катрина— одного из наиболее разрушительных ураганов в истории США, — сделанный со спутника 29 августа 2005 года. Снизу: снимок Большого красного пятна — атмосферного образования на Юпитере, наблюдаемого уже почти 350 лет, — сделанный Вояджером-1 в 1979 году. (Изображения с сайтов web.mit.edu и ru.wikipedia.org)
С физической точки зрения ураганы (циклоны) представляют собой, в планетарном масштабе, пример развитой турбулентности — хаотического движения потока жидкости, газа или плазмы с переменными во времени плотностью, скоростью, давлением и температурой.
Поскольку система, в которой изучается турбулентность, имеет некую симметрию, то возможно перейти от изучения трехмерной модели этого явления к двумерной. Это позволяет упростить математическую постановку задачи. Циклоны и ураганы — именно тот случай, когда можно этим упрощением воспользоваться. 3.2. Математическая модель.
В работе рассматривается математическая модель с точки зрения растекания жидкости по поверхности, то есть, предположим, что жидкость огибает оболочку как препятствие. Классическая трехмерная система уравнений Навье - Стокса выглядит следующим образом:
Значения характеристик слабо меняются в вертикальном направлении, поэтому мы можем проинтегрировать исходные трёхмерные уравнения газовой динамики по высоте z0(x,y) z H(x,y,t),от zo\x y) до H\x,y,t) и получить двумерную систему уравнений для определения изменения средних по высоте характеристик потока в горизонтальном направлении. Для третьего уравнения движения вертикальные компоненты много меньше g, вертикальный градиент давления определяется mg. Следовательно, третье др _ 2у уравнение движения примет вид: - PS + з .
Математическое моделирование проводится отдельно для верхней и для нижней частей сферы, "склеенных" посередине. В основе математической постановки находится осредненная по высоте трехмерная система уравнений Навье-Стокса. Этот способ математического моделирования хорошо зарекомендовал себя для моделирования процесса электролиза алюминия [74,75], а также для задачи о растекании жидкостей по орографически неоднородной поверхности [76]. На рисунке представлено схематическое изображение мыльного пузыря. В предположении нашей модели в начальный момент времени пузырь состоит из вещества, замкнутого между двумя сферами. В процессе расчетов радиус внутренней сферы не меняется. Вещество стекает по ее поверхности. Поскольку процессы на верхней части нашего пузыря и на нижней его части моделируются отдельно, на рисунке для верхней части пузыря ось Z направлена вверх, а для нижней его части Z направлена вниз.
