Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель динамических процессов в деформируемой пористой системе с фазовыми превращениями 20
1.1. Математическая постановка задачи 20
1.1.1. Система законов сохранения механики сплошной среды, заданная на двухфазной области 20
1.1.2. Определяющие соотношения для твердой и газовой фаз гетерогенной системы 24
1.1.3. Граничные условия на межфазной поверхности 25
1.1.4. Граничные условия на внешней поверхности гетерогенной системы и начальные условия 26
1.2. Математическая постановка задачи динамики двухфазной пористой среды с фазовыми превращениями в безразмерном виде 27
1.3. Применение метода асимптотического осреднения для моделирования динамических процессов в газонаполненной периодической пористой среде с фазовыми превращениями 33
1.3.1. Квазипериодические функции и асимптотические разложения 33
1.3.2. Математическая постановка интегро-дифференциальных локальных задач на ячейке периодичности 35
1.3.2.1. Локальные уравнения неразрывности, движения и энергии 35
1.3.2.2. Локальные граничные условия 40
1.3.2.3. Локальные определяющие соотношения 41
1.3.2.4. Осредненные физические параметры 42
1.3.2.5. Локальные задачи на ячейке периодичности в общей постановке 43
1.3.3. Математическая постановка глобальной задачи динамики двухфазной пористой среды с фазовыми превращениями 44
1.3.3.1. Интегральные соотношения 44
1.3.3.2. Макроскопические уравнения 45
1.3.3.3. Осредненные определяющие соотношения 47
1.3.3.4. Глобальная задача в общей постановке 48
1.4. Выводы по первой главе 53
Глава 2. Численно-аналитические методы решения локальных задач, численный метод решения глобальной задачи 54
2.1. Метод решения локальной задачи газовой динамики нулевого уровня на ячейке периодичности 54
2.1.1. Формулировка локальной задачи в криволинейной системе координат 54
2.1.2. Численно-аналитический метод решения локальной задачи 59
2.2. Метод решения локальной задачи газовой динамики первого уровня на ячейке периодичности 69
2.2.1. Формулировка локальной задачи в криволинейной системе координат 69
2.2.2. Численно-аналитический метод решения локальной задачи 86
2.3. Метод решения локальной задачи механики деформируемого твердого тела нулевого уровня на ячейке периодичности 90
2.4. Метод решения глобальной задачи 91
2.4.1. Координатная запись глобальной задачи в декартовой системе координат 91
2.4.2. Математическая формулировка глобальной задачи для случая цилиндрической формы пор 94
2.4.3. Численный метод решения глобальной задачи 95
2.4.3.1. Конечно-разностный метод «предиктор-корректор» 95
2.4.3.2. Устойчивость метода «предиктор-корректор» 96
2.4.3.3. Аппроксимация метода «предиктор-корректор» 100
2.5. Выводы по второй главе 102
Глава 3. Разработка программного комплекса для моделирования нестационарных физических процессов в газонаполненной периодической пористой среде с фазовыми превращениями 103
3.1. Блок-схема алгоритма и методика работы с программным комплексом 103
3.2. Структура базы данных численных решений локальной задачи газовой динамики нулевого уровня на ячейке периодичности 107
3.3. Тестирование программного комплекса 115
3.4. Выводы по третьей главе 115
Глава 4. Численное моделирование физических микро- и макропроцессов в газонаполненной периодической деформируемой пористой среде с фазовыми превращениями 116
4.1. Численное моделирование локальных процессов переноса газа в ячейке периодичности для случая цилиндрической формы пор 116
4.2. Численное моделирование локальных процессов переноса газа в ячейке периодичности для случая криволинейной формы пор 118
4.3. Численное моделирование макроскопических физических процессов в пористой демпфирующей среде при импульсном динамическом нагружении 132
4.4. Численное моделирование макроскопических физических процессов в пористой среде с фазовыми превращениями при локальном импульсном тепловом воздействии 138
4.5. Выводы по четвертой главе 142
Общие выводы и результаты работы 143
Литература
- Определяющие соотношения для твердой и газовой фаз гетерогенной системы
- Применение метода асимптотического осреднения для моделирования динамических процессов в газонаполненной периодической пористой среде с фазовыми превращениями
- Метод решения локальной задачи газовой динамики первого уровня на ячейке периодичности
- Численное моделирование макроскопических физических процессов в пористой демпфирующей среде при импульсном динамическом нагружении
Определяющие соотношения для твердой и газовой фаз гетерогенной системы
Метод предложен академиком Н.С. Бахваловым [5] в 70-х годах прошлого века и позже развит многими отечественными и зарубежными учеными: Б.Е. Победрей [58], Г.П. Панасенко, В.И. Горбачевым [12-14], Д. Лионсом, В.Л. Бердичевским, О.А. Олейником, Г.А. Иосифьяном, А.С. Шамаевым [40], Д.И. Бардзокасом [3], И.И. Аргатовым [2], В.И. Большаковым [7] для композиционных материалов и слоистых сред без фазовых превращений, Э. Санчес-Паленсией [68], М. Хэйда [ПО], А. Бенсусаном [86], А.Ю. Беляевым [8], В.Л. Савато-ровой [66] для пористых сред без фазовых превращений в задачах теории фильтрации, рассматривался в ряде работ Ю.И. Димитриенко по неоднородным средам с фазовыми превращениями [96-99] и теории фильтрации в периодических пористых средах [20, 22, 23, 101]. Предполагается, что ПС обладает свойством периодичности, т.е. в ней можно выделить некоторый повторяющийся элемент - ЯП. Кроме того, для ПС можно ввести малый параметр к = /0 / х0 sc 1, являющийся отношением двух ее характерных размеров - линейного размера ЯП (/0) и линейного размера всей гетерогенной системы (JC0). Метод асимптотического осреднения приводит к изучению двух масштабов физических явлений в ПС периодической структуры - микро- и макропроцессов. Для этого формулируются специальные нелинейные взаимосвязанные интегро-дифференциальные задачи: локальные задачи нулевого и первого уровней, заданные на ЯП, и глобальная (осредненная) задача. Более того, удается получить аналитические формулы определяющих соотношений для каждой фазы ПС с точностью до малой величины порядка л:, которые можно использовать при решении различных практических задач вместо существующих на сегодняшний день приближенных эмпирических зависимостей. Однако необходимо дополнительно найти решение локальных задач на ЯП. В настоящее время такие задачи достаточно подробно исследованы в области механики твердых сред. Локальные задачи газовой динамики нулевого и первого уровней на ЯП представляют собой серьезную математическую проблему и решены только для случая простой (цилиндрической) формы границы раздела твердой и газовой фаз. Локальные задачи газовой динамики имеют особенности. Эти задачи являются стационарными, в них кроме дифференциальных соотношений относительно искомых функций (микропараметров) формулируются интегральные уравнения, так называемые условия осреднения, и граничные условия периодичности микропараметров на границах ЯП.
Глобальная задача описывает нестационарные физические процессы в ПС на «гомогенизированной» области, внешняя граница которой геометрически совпадает с внешней границей области, которую занимает деформируемая ПС в пространстве, но без учета ее микроструктуры. При использовании метода асимптотического осреднения особенности внутреннего строения деформируемой ПС появляются в математической записи осредненных уравнений, областью определения которых является указанная «гомогенизированная» область.
Взаимосвязь локальных задач газовой динамики нулевого и первого уровней и глобальной задачи, а также отмеченные их особенности накладывают существенные ограничения на возможность применения существующих численных методов для их решения. В диссертационной работе предложены специальные новые численно-аналитические методы решения данных локальных задач газовой динамики. Эти методы учитывают особенности внутренней структуры каркаса ПС (рассматривается криволинейная граница раздела твердой и газовой фаз), периодичность газодинамических микропараметров нулевого и первого приближения на границах ЯП, интегральные условия осреднения микропараметров и позволяют получать решение независимо от глобальной задачи, заданной относительно осредненных газодинамических параметров (макропараметров). Разработанная математическая модель и численно-аналитические методы являются вычислительным ядром созданного специализированного ПК HDynSystems 1.0.
Таким образом, в силу сказанного выше исследование процессов теп-ломассопереноса газа в деформируемых ПС, сопровождающихся фазовым превращением, при заданном импульсном силовом или тепловом динамическом воздействии на систему, с применением методов математического моделирования физических процессов, методов механики гетерогенных сред с фазовыми превращениями составляет актуальную проблему и имеет в настоящее время важное практическое значение.
Объектом исследования являются газодинамические (плотность, вектор скорости, температура, давление и тензоры напряжений газовой фазы) и механические (тензоры деформаций и напряжений, векторы скорости и перемещения, температура твердой фазы) микро- и макропараметры ПС (функции нулевого, первого приближений и осредненные функции соответственно), имеющего одноканальную осесимметричную пористость и криволинейную границу раздела твердой и газовой фаз. Рассматривалась ЯП с подвижной криволинейной межфазной поверхностью. Исследовались макропараметры ПС в виде пористой пластины, находящейся под воздействием импульсных силовых и тепловых нагрузок.
Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели динамических процессов в деформируемых пористых средах с фазовыми превращениями, основанной на асимптотическом анализе фундаментальных законов механики сплошных сред.
Применение метода асимптотического осреднения для моделирования динамических процессов в газонаполненной периодической пористой среде с фазовыми превращениями
Обозначим главную идею применяемого метода асимптотического осреднения. Принимая предположения о периодичности внутренней структуры деформируемой ПС и используя асимптотические разложения для функций (1.39)-(1.41) по малому параметру /г, который определяется формулой (1.34), исходная задача (1.33), точно описывающая физические процессы в ПС, преобразуется к глобальной (осредненной или макроскопической) задаче (1.71), которая описывает данные процессы с точностью до малой величины порядка к. Решать задачу (1.71) существенно проще, чем исходную задачу (1.33). Это объясняется тем, что области определения исходной и глобальной задач отличаются друг от друга. Отличие состоит в следующем. Поиск решения исходной задачи (1.33) выполняется на области со сложной геометрией (Рис. 1.3), в которой учитываются особенности микроструктуры ПС. В то же время глобальная задача (1.71) определена на «гомогенизированной» области, внешняя граница которой геометрически совпадает с внешней границей области, которую занимает деформируемая ПС в пространстве (область определения исходной задачи (1.33)), но без учета ее микроструктуры.
В результате выполнения операции осреднения (раздел 1.3.3) определяющие соотношения для твердой и газовой фаз ПС (1.7)-(1.11) преобразуются в макроскопические (осредненные) определяющие соотношения, которые связывают макроскопические и локальные газодинамические и механические параметры фаз: pg и p(g0), ef], eg и p(g0), Av 0), а также es и и ,0. Как правило, при решении различных практических задач, связанных с математическим моделированием физических процессов в деформируемых ПС, осредненные определяющие соотношения записываются на основе экспериментальных данных, что отражено в работах академика Р.И. Нигматулина [51, 52]. С помощью метода асимптотического осреднения удается получить точные аналитические формулы (1.70) для определяющих соотношений. Однако, чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо дополнительно найти решение локальной задачи газовой динамики нулевого (1.60) и первого (1.62) уровней, а также локальной задачи механики деформируемого твердого тела нулевого уровня (1.61) на ЯП V4.
Дифференциальные уравнения, входящие в математическую постановку локальных задач (1.60)-(1.62), являются стационарными уравнениями сохранения массы, импульса и энергии соответствующих фаз ПС, т.е. в них отсутствуют производные по времени t от неизвестных функций нулевого и первого приближений. Локальная задача первого уровня (1.62) содержит в правых частях уравнений производные по времени t, локальным E,j и глобальным Т координатам от микропараметров нулевого приближения p(g, vf и ef, т.е. ее решение - функции первого приближения pf, v« и ef, параметрически зависит от р{р, v 0) и в{р. Областью определения локальных задач (1.60)-(1.62) являются соответствующие области Vgg и VSs в ЯП Vs. В математическую постановку этих задач входят условия периодичности функций pf, vf, ef, pf, vf, 6(gl) и u(;} по локальным координатам на соответствующих границах ЯП V и условия осреднения микропараметров по твердой и газовой фазам в ЯП (последняя строка в системах (1.60)-(1.62)). Эти интегральные уравнения вместе с локальными граничными условиями (1.54) и (1.55) и локальными определяющими соотношениями (1.56) и (1.57) замыкают соответствующие системы уравнений (1.60)-(1.62).
С одной стороны, условия осреднения необходимы для существования единственного решения локальных задач (1.60)-(1.62), что отмечено в работах Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко [5] и Б.Е. Победри [58]. С другой стороны, условия осреднения устанавливают взаимосвязь локальных (1.60)-(1.62) и глобальной (1.71) задач. Например, в локальной задаче газовой динамики нулевого уровня (1.60) такая зависимость присутствует явным образом, поскольку правые части условий осреднения содержат функции глобальных координат ґ и времени t - макропараметры pg , vg и . В локальной задаче
газовой динамики первого уровня (1.62) эта зависимость уже неявная и про 52 является через микропараметры нулевого приближения pg0), v 0) и в(80) нелинейным образом. Кроме того, взаимосвязь локальных и глобальной задач выражена через векторные функции, присутствующие в правых частях макроскопических уравнений системы (1.71) - вектор количества движения межфазного обмена P и вектор энергии относительного движения газовой фазы Eg.
Наличие фазовых превращений также привносит особенности при поиске решения локальных задач. Если физический процесс в ПС сопровождается переходом твердой фазы в газовую (например, в результате теплового воздействия на гетерогенную систему), т.е. имеет место фазовое превращение, то области газовой Vig и твердой Vus фаз в ЯП Vs являются известными функциями времени t в задачах (1.60)-(1.62). Граница раздела Е#ч? областей VSg и Vis определяется нулевым /z(0) и первым /z(1) приближением функции формы fj., которые определяются решением задач Коши, вытекающих из системы (1.13) и асимптотического разложения для /z, записанного в первой строке системы (1.40). Как было отмечено в разделе 1.3.1, особенность разработанной математической модели состоит в том, что модуль скорости D фазового превращения считается значительно меньшим по модулю, чем модуль скорости газовой фазы vg. Это утверждение заложено в форму представления асимптотического разложения для D (вторая строка формулы (1.40)), в котором левая и правая части ряда умножены на малый параметр к. Как следует из асимптотических разложений (1.39), локальные функции нулевого приближения р{р, v 0), в{р и и[) отличаются от соответствующих точных значений pg , \g, Og и us на малую величину порядка к, т.е.
Метод решения локальной задачи газовой динамики первого уровня на ячейке периодичности
Здесь второе уравнение в (2.29) получено из третьего равенства при значении z = -12, при котором F(V0)) = F(V ) = 1, согласно (2.25). После определения температуры 6 , скорости v и функции v(g0) (z) плотность р вычисляется по второй формуле в (2.27), а давление /? находится по формуле (2.11). Плотность pf, температура в{р и давление pf} вычисляются по формулам (2.24).
В зависимости от геометрических параметров, определяющих форму поровой области veg, величины осредненного числа Маха М, и коэффициента Пуассона у можно получать различные виды решения локальной задачи (2.12): дозвуковое, сверхзвуковое и трансзвуковое. Для анализа этих решений рассмотрим третье уравнение в (2.29), из которого следует, что: S(V
Дозвуковое (а), сверхзвуковое (б) и трансзвуковое (в) течения газовой фазы в поровой области ЯП V Если в поровой области veg реализуется дозвуковой режим движения газовой фазы, то модули векторов скорости частиц соответствуют абсциссам точек, принадлежащих левой ветви кривой sfv ) (Рис. 2.3а), при наличии сверхзвукового режима течения модули векторов скорости частиц соответствуют абсциссам точек, принадлежащих правой ветви графика s(v( ) поэтому микропараметры (плотность pf}, радиальная v и осевая v компоненты вектора скорости \ }, температура в{р, давление pf}) газовой фазы являются периодическими функциями по локальной координате z. Если же в поровой области имеет место переход через критическую скорость v lк р (Рис. 2.3в), т.е. течение в области V становится трансзвуковым или переходным, то периодического решения локальной задачи газовой ди 68 намики нулевого уровня на ЯП V (2.12) не существует. Существование такого перехода определяется значением массового расхода газовой фазы нулевого приближения ё0 и функцией S .
Подставляя (2.31) в (2.29) и записывая эти уравнения в узлах разностной сетки Grmn, получим следующую нелинейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных значений модуля вектора скорости v[0) и температуры 0 газовой фазы нулевого приближения в узлах
Для решения системы (2.32) применяется численный модифицированный метод Ньютона, итерационный алгоритм которого записывается следующим образом: (-1) = w _ / )w w , (2.33) где p- номер неизвестной переменной в координатном столбце ц, р = 1,п + 2; s-номер итерации; /-индекс суммирования (номер строки в матрице Якоби); А р -элементы матрицы Якоби, из которых ненулевые элементы представляются следующими выражениями:
Модификация стандартного метода Ньютона [4, 9, 73] состоит в том, что в системе (2.34) при вычислении элементов А р матрицы Якоби на s-й итерации введена модификация, заключающаяся в том, что осредненные значения (G)g и (Р) функций G(v 0)) и Р(у ) соответственно получаются путем подстановки в формулу (2.31) для Q = {G(V 0) ), ( 0)) сеточных значений модуля скорости v(0 частиц газовой фазы, взятых с итерации s-1.
Запишем локальную задачу газовой динамики первого уровня на ЯП Vs, сформулированную в главе 1, включающую локальные уравнения неразрывности, движения и энергии первого уровня, определяющие соотношения, условие на межфазной поверхности, условия периодичности и интегральные условия осреднения, в следующем виде:
Умножая левую и правую части уравнение (2.66) скалярно на dx0, учитывая свойства смешанного произведения векторов v0 и vf, принимая во внимание цепочку равенств (2.53), из которой p(0Wx0-V v0-v1 ) = = p 0Wvf-vf), получаем, что уравнение (2.66) может быть представлено в
Уравнение (2.67) с использованием формул (2.51) и (2.68) преобразуется к аналогу интеграла Бернулли - интегралу Бернулли первого приближения (локальному интегралу Бернулли первого уровня) в дифференциальной форме:
В локальной задаче газовой динамики первого уровня на ЯП Vs вместо локального уравнения энергии будем рассматривать соответствующее локальное уравнение баланса энтропии. Чтобы получить это уравнение, воспользуемся вторым законом термодинамики в дифференциальной форме (уравнением баланса энтропии) [19, 20]: где -энтропия газовой фазы, qg-вектор теплового потока, ?gm-приток тепла в газовой фазе за счет массовых источников, W - функция диссипации энергии газовой фазы (функция рассеивания), для которой: где ? -плотность внутреннего производства энтропии в газовой фазе. Считаем функции, входящие в уравнение (2.70), безразмерными, согласно процедуре, описанной в главе 1 (раздел 1.2). Функцию рассеивания W можно представить в виде [19, 20]:
Численное моделирование макроскопических физических процессов в пористой демпфирующей среде при импульсном динамическом нагружении
В данном разделе изучается влияние фазовых превращений на изменение макроскопического давления газовой фазы в порах. Рассмотрена ПС в виде закрепленной газонаполненной пластины, имеющей одноканальные поры с цилиндрической границей раздела твердой и газовой фаз. Свойства газовой и твердой фаз, геометрические размеры задачи и характерные параметры выбраны согласно разделу 4.1. ПС подвергается внешнему импульсному тепловому воздействию, которое определяется формулой: \{вт -в1т 1 +втп, если 0 t t,, где max , Q,n,t заданные температуры, для которых 9max = 2273,09 К, 6init = 293,15 К; tx, t2, t3-заданные временные значения, tx =0,742 мкс, t2 = 3,708 мкс, t3 = 4,45 мкс ; tproc - длительность моделируемого физического процесса, tproc =210,0 мкс. При этом предполагается, что в результате теплового нагрева твердой фазы возникает фазовое превращение «твердое тело газ», которое сопровождается изменением внутренней геометрии поровой области Vig ПС. Модуль вектора нормальной скорости D(0) полагается известной постоянной величиной для всех точек, лежащих на поверхности Е#ч? в ЯП Vs. Кроме того, интенсивность объемного фазового превращения J системы (1.71), полученная в разделе 1.3.3.2, принимает следующий вид: где J0 - заданная константа, зависящая от физических характеристик твердой фазы, модуля вектора нормальной скорости движения (0) поверхности Z g, а также физических параметров исследуемого процесса и т.д.
Во внутренних точках области по глобальной координате х3 заданы начальные условия, согласно разделу 4.3.
На левой границе ПС, при х3 = О, заданы граничные условия для макроскопического давления pg , температур 0g, 9s, и напряжений as33, а именно: pg (0, t) = О,101 МПа, eg (0, і) = es (0, і) = 6ext (t), зз (0, t) = 0. Для остальных макроскопических функций системы (2.132) заданы мягкие граничные условия. На правой границе ПС, при J3 = !х ах = 0,1 м, заданы граничные условия для макроскопических скоростей V3, V3 и перемещений г/0)3, а именно: v3(x ,t} = О, У { ) = 0 и wf)3( V) = 0. Для остальных макроскопических функций системы (2.132) заданы мягкие граничные условия.
Как и в разделе 4.3, при реализации разностной схемы «предиктор-корректор» (2.135)-(2.138) выбирались следующие параметры: шаг интегрирования по глобальной координате Ах3, равный 5-Ю 5 м, и параметр сглаживания asm, равный 0,0015. Результаты численного моделирования представлены на Рис. 4.27-4.31. Изменение пористости pg по длине ПС для различных значений времени / в секундах Выводы по четвертой главе Представлены результаты математического моделирования физических процессов в различных гетерогенных системах, демонстрирующие возможности разработанного программного комплекса.
1. Разработана математическая модель нестационарных физических процессов, возникающих в пористых системах под действием внешних возмущающих факторов, позволяющая описывать деформирование гетерогенной газонаполненной системы с учетом внутренней структуры каркаса и при наличии фазовых превращений.
2. Разработан метод асимптотического осреднения для нахождения микро- (функций нулевого и первого приближений) и макропараметров деформируемой пористой системы с фазовыми превращениями.
3. Разработаны новые численно-аналитические методы решения локальных задач тепломассопереноса нулевого и первого уровней на ячейке периодичности. В локальной задаче газовой динамики нулевого уровня установлено существование 1-периодических по локальным координатам дозвуковых и сверхзвуковых режимов течения газовой фазы при заданных свойствах газа, макроскопического числа Маха и геометрических параметров, определяющих форму границы раздела твердой и газовой фаз гетерогенной системы.
4. Разработан программный комплекс HDynSystems 1.0 для вычисления газодинамических и механических микро- и макропараметров деформируемой пористой системы, с помощью которого решены практические задачи тепломассопереноса газа в гетерогенном демпфирующем устройстве и пористой пластине с фазовыми превращениями, находящихся под воздействием импульсного силового и теплового источника соответственно.
