Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Построение и исследование математической модели использования ресурса с ограниченным сроком годности
1.1 Постановка задачи и математическая модель 29
1.2 Нахождение средней прибыли 29
1.3 Плотность вероятностей объема запросов на ресурс 31
1.4 Оптимизация средней прибыли 34
1.5 Плотность вероятностей длительности использования партии 36
1.6 Оценка параметров модели 39
1.7 Адаптивный алгоритм определения оптимального объма партии 42
Резюме 45
Глава 2. Управление использованием ресурса с ограниченным сроком годности
2.1 Управление прибылью предприятия при использовании ресурса с ограниченным сроком годности 46
2.1.1 Постановка задачи 46
2.1.2 Диффузионное приближение процесса использования ресурса 47
2.1.3 Математическое ожидание процесса Q(t) 48
2.1.4 Дисперсия процесса Q(t) 49
2.1.5 Функция корреляции процесса Q(t) 51
2.1.6 Математическое ожидание выручки и его оптимизация 53
2.1.7 Определение оптимального объема партии 56
2.1.8 Плотность вероятностей процесса Q(t) 58
2.1.9 Распределение вероятностей длительности использования ресурса 61
2.2 Степенное управление прибылью при использовании ресурса с ограниченным сроком годности
2.2.1 Постановка задачи 63
2.2.2 Диффузионное приближение процесса использования ресурса 63
2.2.3 Математическое ожидание процесса Q(t) 65
2.2.4 Дисперсия процесса Q(t) 66
2.2.5 Плотность вероятностей процесса Q(t) 69
2.2.6 Средняя длительность времени использования 73
2.2.7 Выбор оптимального значения параметра управления 74
2.2.8 Экспоненциальное распределение величины запроса 77
2.2.8.1 Среднее время использования партии 77
2.2.8.2 Плотность вероятностей длительности времени использования ресурса 81
2.3 Оптимальное управление прибылью при использовании ресурса с ограниченным сроком годности
2.3.1 Постановка задачи 86
2.3.2 Математическая модель 87
2.3.3 Основные вероятностные характеристики процесса Q(t) 87
2.3.4 Математическое ожидание выручки и его оптимизация 89
2.3.5 Оптимизация по объему партии 92
Резюме 97
Глава 3. Математические модели использования ресурса с непрерывно ухудшающимися свойствами
3.1 Определение оптимального объма партии 98
3.1.1 Постановка задачи 98
3.1.2 Математическая модель порчи ресурса 98
3.1.3 Математическая модель использования портящегося ресурса 99
3.1.4 Среднее время до окончания использования ресурса 100
3.1.5 Асимптотика среднего времени 101
3.1.6 Уточнение асимптотики 103
3.1.7 Определение оптимального объма партии 104
3.2 Управление прибылью при использовании ресурса с непрерывно ухудшающимися свойствами
3.2.1. Детерминированное приближение 105
3.2.1.1 Использование ресурса при постоянной прибыли 105
3.2.1.2 Нахождение закона управления использованием ресурса 108
3.2.2 Диффузионное приближение процесса Q(t) 111
3.2.3 Первый и второй начальные моменты процесса Q(t) 112
3.2.4 Оптимизация процесса использования ресурса 114
3.2.5 Пуассоновское приближение 115 3.2.6. Распределение вероятностей длительности использования
ресурса 117
Резюме 120
Глава 4. Комплекс алгоритмов и программ для вычисления оптимальных характеристик и имитационное моделирование процесса использования ресурса
4.1. Проблемно – ориентированный комплекс программ
«Управление использованием ресурса» 122
4.1.1. Описание программного комплекса 124
4.1.2. Особенности программной реализации 126
4.2. Имитационное моделирование процесса использования ресурса с ограниченным сроком годности 128
4.2.1. Математическая модель 128
4.2.2. Имитационная модель 129
4.2.3. Получение выборочных данных 131
4.2.4. Проверка гипотезы о виде распределения 132
4.3. Оценивание параметров модели использования ресурса с ограниченным сроком годности 138
4.4. Имитационное моделирование процесса использования непрерывно портящегося ресурса 141
Резюме 147
Заключение 148
Литература
- Плотность вероятностей объема запросов на ресурс
- Математическое ожидание процесса Q(t)
- Математическая модель использования портящегося ресурса
- Имитационное моделирование процесса использования ресурса с ограниченным сроком годности
Введение к работе
Актуальность работы
В настоящее время проблемам моделирования процессов использования ресурсов уделяется большое внимание. Это связано с тем, что для промышленных и торговых предприятий затраты, связанные с доставкой, хранением и реализацией сырья или продукции, существенны. Оптимизация этих процессов необходима для повышения эффективности и конкурентоспособности предприятий.
Для ресурсов, срок годности которых не ограничен, большое количество математических моделей рассмотрено в работах В.А. Лотоцкого, А.С. Манделя, Е.Н. Хоботова, М.Н. Калинина и других авторов.
Однако существенная часть ресурсов имеет короткий жизненный цикл. Процессы использования ресурсов с ограниченным сроком годности или ухудшающимися во времени свойствами требуют оперативного управления в целях предотвращения убытков предприятий. К основным методам такого управления относятся определение оптимальных объемов партий заказов (EOQ – Economic Order Quantity) и изменение цены в зависимости от спроса и величины запаса.
Изучение моделей управления запасами с ограниченным сроком годности (fixed lifetime) и непрерывно портящихся с течением времени (deteriorating or perishable items) началось с работы P.M. Morse и G.E. Kimball. В статье рассмотрена модель реализации продукта, срок годности которого равен одному циклу (single-period) при случайном характере спроса. Эта модель известна как «Newsvendor problem» («Модель разносчика газет»). Обобщения этой модели рассматривались в работах Van Zyl, C.D. Roach, M.A. Cohen, W.P. Pierskalla, S. Nahmias и других авторов.
Модели управления запасами, имеющими короткий жизненный цикл, интенсивно изучаются в последние годы, о чем говорит, например, обзор M. Bakker, J. Riezebos и R.H. Teunter «Review of inventory systems with deterioration since 2001» (2013 г.).
Построению и исследованию различных моделей управления ресурсами уделяется большое внимание, и публикационная активность по этой тематике достаточно высока. Спектр рассматриваемых моделей и используемых для их анализа и оптимизации подходов очень широк. Однако многие исследователи обращают внимание на чрезмерную сложность моделей и получаемых математических выражений, тормозящую их практическое использование.
В данной работе рассматриваются, в основном, приближенные вероятностные модели использования ресурса с коротким жизненным циклом на основе диффузионной аппроксимации случайного процесса, описывающего количество имеющегося ресурса. Модели содержат небольшое ко-
личество параметров, которые, как правило, либо известны, либо могут быть легко статистически оценены. Например, случайная величина одного запроса на ресурс представлена только первым и вторым начальными моментами, т.е. для применения этих моделей нет необходимости знать функцию распределения запросов. При исследовании применяются различные эвристические оригинальные приближенные методы, позволяющие получить обозримые результаты, которые можно рекомендовать для практического применения. Таким образом, настоящая работа является актуальной.
Работы по тематике, связанной с продажей скоропортящихся товаров, были начаты доктором физико-математических наук, профессором, заслуженным деятелем науки РФ А.Ф. Терпуговым совместно с Е.В. Новицкой по предложению фирмы «Анжерское молоко», которая была заинтересована в определении объемов выпускаемой продукции с ограниченным сроком годности и партий товара, направляемых на реализацию в торговые точки. Близкие по тематике задачи решались и в работах А.Ф. Терпугова и О.Н. Галажинской.
Цель работы. Целью диссертационной работы является повышение эффективности процессов использования ресурсов с коротким жизненным циклом.
Для достижения поставленной цели надо решить следующие задачи:
1) разработать и исследовать математические модели управления
процессом использования ресурсов с коротким жизненным циклом;
-
найти оптимальные параметры управления, обеспечивающие использование всей партии ресурса к установленному сроку и максимизирующие целевую функцию; определить оптимальные объёмы начальных партий;
-
исследовать и оптимизировать модели процесса использования ресурса с постоянно ухудшающимися свойствами.
Научная новизна работы.
-
Впервые найдена плотность вероятностей длительности времени использования ресурса в диффузионном приближении модели использования ресурса с ограниченным сроком годности, что позволяет оптимизировать производственный (или торговый) процесс и рассчитать риски. На этой основе разработан оригинальный адаптивный алгоритм определения оптимального объема партии, что повышает эффективность использования ресурсов в полицикличном режиме.
-
Предложены три новые модификации математической модели управления прибылью путем влияния на интенсивность спроса, обеспечивающие полное использование ресурса в течение цикла: в первых двух моделях введены дополнительные параметры оптимизации, в третьей модели рассмотрена зависимость управления от функции общего
вида. Для этих моделей в диффузионном приближении в случае ли
нейной зависимости интенсивности спроса от прибыли впервые рас
считаны вероятностные характеристики процесса, и найдены опти
мальные характеристики управления.
3. Впервые приближенно решены задачи управления прибылью при
помощи функции общего вида и определения в этом случае оптимального объема партии для непрерывно портящегося ресурса. Численные методы для решения и оптимизации по параметрам соответствующих уравнений впервые реализованы автором в программном комплексе.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
-
Плотность вероятностей длительности времени использования ресурса в диффузионном приближении модели использования ресурса с ограниченным сроком годности.
-
Адаптивный алгоритм определения оптимального объeма партии ресурса с ограниченным сроком годности.
-
Вероятностные характеристики процесса использования ресурса для трех модификаций математической модели управления прибылью, обеспечивающих полное использование ресурса в течение цикла, и оптимальные характеристики управления.
-
Приближенное решение задачи управления процессом использования непрерывно портящегося ресурса при помощи функции общего вида.
-
Программный комплекс, рассчитывающий оптимальные характеристики процесса использования ресурса с коротким жизненным циклом на основе полученных в диссертации результатов.
Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, вариационного исчисления, имитационного моделирования и численные методы. При разработке программного обеспечения использованы методы объектно-ориентированного программирования.
Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней построены и исследованы достаточно общие математические модели, применимые к различным процессам использования ресурсов. Под ресурсом может пониматься и сырье, используемое в процессе производства, и продукция предприятия, выставляемая на продажу, т.е. товар. В первом случае речь идет о, так называемом, опционном сырье, т. е. его применение не является обязательным в производстве. В случае его отсутствия предприятие работает в обычном режиме и выпускает стандартную продукцию. Потребность в этом ресурсе возникает по запросу заказчиков, носит, вообще говоря, случайный характер и выгодна производителю, поскольку, в конечном счете, он получает дополнительную прибыль.
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты помогут предприятиям, использующим ресурсы с ограниченным сроком годности, оптимизировать процесс производства и увеличить свою прибыль. Основные результаты работы реализованы автором в программном комплексе, который был использован двумя предприятиями Алтайского края: ООО «Виктория» и кондитерским цехом «Эдем» при планировании закупок. Реализована имитационная модель процесса использования ресурса с ограниченным сроком годности.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов обеспечивается корректным применением математических методов, непротиворечивостью полученных результатов выводам других авторов (частным случаям), статистическим подтверждением теоретических результатов результатами имитационного моделирования, практической апробацией работы на конкретных производствах.
Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Исходные постановки задач и указание основных направлений исследования были сделаны профессором А.Ф. Терпуговым. Дальнейшее развитие первоначальных постановок и указание направлений исследования принадлежат научному руководителю, доктору физико-математических наук, А.В. Китаевой. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты и программная реализация выполнены лично автором.
Апробация работы.
Работа докладывалась и обсуждалась на 30 научных конференциях
и семинарах, среди них: V Международная научно-практическая конфе
ренция «Наука и образование – 2007» (Днепропетровск, 2007); Четырна
дцатая Всероссийская Школа-коллоквиум по стохастическим методам и
Восьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной ма
тематике (Сочи, 2007); The Second International Conference «Problems of
Cybernetics and Informatics» (Azerbaijan, 2008); Двадцать третьи Междуна
родные Плехановские чтения (Москва, 2010); Международная научная
конференция «Актуальные направления развития прикладной математики
в энергетике, энергоэффективности и информационно-
коммуникационных технологиях» (Москва, 2010); 53-я научная конфе
ренция МФТИ Всероссийская молодежная научная конференция с меж
дународным участием «Современные проблемы фундаментальных и при
кладных наук» (Москва, 2010); Студент и научно-технический прогресс:
XLVIII Международная научная студенческая конференция (Новоси
бирск, 2010); Международная научная конференция «Современные веро
ятностные методы анализа и оптимизации информационно-
телекоммуникационных сетей» (Минск, 2011, 2013); X Международная
ФАМ’2011 конференция по финансово-актуарной математике и смежным
вопросам (Красноярск, 2011); Студент и научно-технический прогресс:
51-я Международная научная студенческая конференция (Новосибирск, 2013); The 15th Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (Barselona, 2013).
Результаты работы были отмечены: дипломом победителя национального конкурса инновационных проектов (НКИП - 2011), г. Москва, 2011 г.; дипломом лауреата 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», г. Москва, 2010г.; дипломом финалиста Международного молодежного конкурса научно-исследовательских работ, г. Таганрог, 2012 г., дипломом победителя отборочного тура Всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук, г. Ульяновск, 2012 г.; присуждена Стипендия Президента Российской Федерации, 2013 г.
Публикации. По результатам проведенных исследований опубликована 21 статья в научных журналах, докладах и материалах конференций различного уровня, в том числе четыре [1-4] в рецензируемых журналах из перечня ВАК. Получено шесть свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ [5-10].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 146 наименований и приложения. Общий объем диссертации составляет 174 страницы, в том числе основной текст 149 страниц.
Плотность вероятностей объема запросов на ресурс
В настоящее время проблемам моделирования процессов оптимального использования ресурсов уделяется большое внимание. Это связано с тем, что для промышленных и торговых предприятий затраты, связанные с доставкой, хранением и реализацией сырья или продукции, существенны. Оптимизация этих процессов необходима для повышения эффективности и конкурентоспособности предприятий.
Основы современной теории управления использованием и запасами ресурсов были заложены работами F. W. Harris [98], [99], который одним из первых рассмотрел математическую модель экономически обоснованного заказа (EOQ -Economic Order Quantity). Модель EOQ позволяет находить оптимальный размер партии заказа для продуктов (ресурсов) с неограниченным сроком годности в детерминированной постановке, при известной величине производственных затрат. Дальнейшая разработка этой модели принадлежит W. E. Camp, [90]. Значительный вклад в изучение модели EOQ внес R. H. Wilson, [145]: рассмотренное им обобщение EOQ известно как Wilson`s ELS (Economic Lot Size) формула. Подробное описание этих моделей и их многочисленных расширений содержится практически в любой монографии, например, E. A. Silver, D. F. Pyke, R. Peterson [138], A. C. Hax, D. Candea [101].
Выбор оптимальной политики заказа, когда партия продукта используется в течение нескольких временных периодов (циклов) при условии постоянного (произвольного) спроса на продукт, рассмотрен в статьях A. Dvoretzky, J. Kiefer, J. Wolfowitz [94], [95]; K. J. Arrow, T. Harris and J. Marschak. [81].
Математические модели, относящиеся к управлению многопродуктовыми запасами при постоянном и переменном (случайном) спросе, рассмотрены в работах В. А. Лотоцкого, А. С. Манделя [31], Е. Н. Хоботова, М. Н. Калинина [77] и других авторов. Как показывает экономическая практика, существенная часть ресурсов, используемых предприятиями, имеет короткий жизненный цикл. К основным методам управления ресурсами с коротким жизненным циклом относятся определение оптимальных объемов партий заказа, а также управление ценой в зависимости от спроса, времени и величины запаса.
Изучение моделей управления запасами с ограниченным сроком годности (fixed lifetime) и непрерывно портящихся с течением времени (deteriorating or perishable items) началось с работы P. M. Morse, G. E. Kimball [119]. В этой статье рассмотрена модель реализации продукта, срок годности которого равен одному циклу (single-period), при условии, что спрос на продукт имеет случайный характер. Эта модель известна как «Newsvendor problem» («Модель разносчика газет»). Обобщение этой модели в случае нескольких циклов (multi-period), было продолжено в работах Van Zyl [141], W. P. Pierskalla [129], W. P. Pierskalla, C. D. Roach [128], M. A. Cohen, W. P. Pierskalla [92,93], S. Nahmias, W. P. Pierskalla [124], S. Nahmias [122, 123] и других авторов.
Модели управления запасами и использованием ресурсов, имеющих короткий жизненный цикл, интенсивно изучаются и в последние годы. За это время появилось несколько обзорных статей, относящихся к данной тематике: обзор S. Nahmias [123] для ресурсов с ограниченным сроком годности; F. Raafat [130] для непрерывно портящихся ресурсов. В обзоре 2013 года M. Bakker, J. Riezebos и R.H. Teunter «Review of inventory systems with deterioration since 2001» [82] приведены ссылки на большое количество работ, опубликованных после 2001 года.
Спрос на ресурс – один из наиболее важных факторов, влияющих на управление производственной деятельностью и запасами предприятий. Значительная часть моделей, относящихся к управлению ресурсами с коротким жизненным циклом, построена в предположении, что спрос на ресурс является детерминированным. Сюда относятся случаи, когда спрос считается постоянным, или зависит от дополнительных факторов, таких как время, цена и размер запасов предприятия. Так, в работах E.P. Chew, C. Lee и R. Liu [91]; S. Mukhopadhyay, R. N., Muk herjee и K. S. Chaudhuri [120]; B. Sezen [136], N. H. Shah, H. N. Soni, K. Patel [137] для продукции с ограниченным сроком годности предполагается, что спрос является известной функцией от цены, а в статьях R. Maihami, I. N. Kamalabadi [115]; R. Maihami, I. N. K. Abadi [114]; B. Sarkar, S. Saren, H. M. Wee [133] – от цены и от времени, в работе H. L. Yang [146] рассмотрена оптимизация модели, в которой спрос и размер запасов зависят от времени, а в статье Y. P. Lee, C. Y. Dye [108] исследован случай, когда спрос зависит от размера запасов предприятия.
Для ресурсов, которые непрерывно портятся с течением времени, в статье K. Maity, M. Maiti [116]; B. Sarkar, S. Sarkar [134] рассматриваются модели управления запасами при условии, что спрос на ресурс зависит от размера его запасов; в работе S. Panda, S. Saha, M. Basu [126] рассмотрен спрос, имеющий вид кусочно – постоянной функции цены и времени. В статьях A. Roy, S. Kar и M. Maiti [131]; P.L. Abad [78, 79]; R. Begum, R. R. Sahoo, S. K. Sahu [84] изучаются модели управления ресурсами, спрос на которые зависит от времени и цены, а процесс порчи ресурса рассматривается как случайный с известной функцией распределения вероятностей; в работе V. K. Mishra [118] дополнительно рассматривается стоимость утилизации неиспользованного ресурса.
Значительная часть работ, в которых спрос рассматривается как случайный, содержит предположение о конкретном виде его функции распределения. Для моделей, относящихся к управлению запасами с ограниченным сроком годности, это статьи R. Haijema [97]; M. Ketzenberg и M. E. Ferguson [105]; в случае продукции, которая непрерывно портится с течением времени, – работы Z. Lian, X. Liu и N. Zhao [112]; P. Manuel, A. S. Lawrence и G. Arivaraginan [117]. В статье Y. Li, B. Cheang и A. Lim [110] рассматривается модель управления запасами с ограниченным сроком годности с функцией распределения спроса общего вида.
Математическое ожидание процесса Q(t)
При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической ста тистики, вариационного исчисления, имитационного моделирования и численные методы. Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ. При разра ботке программного обеспечения использованы методы объектно ориентированного программирования.
Положения, выносимые на защиту.
1. Плотность вероятностей длительности времени использования ресурса в диффузионном приближении модели использования ресурса с ограниченным сроком годности.
2. Адаптивный алгоритм определения оптимального объма партии ресурса с ограниченным сроком годности.
3. Вероятностные характеристики процесса использования ресурса для трех модификаций математической модели управления прибылью, обеспечивающих полное использование ресурса в течение цикла, и оптимальные характеристики управления.
4. Приближенное решение задачи управления процессом использования непрерывно портящегося ресурса при помощи функции общего вида.
5. Программный комплекс, рассчитывающий оптимальные характеристики процесса использования ресурса с коротким жизненным циклом на основе полученных в диссертации результатов. Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов обеспечивается корректным применением используемых математических методов, непротиворечивостью полученных результатов выводам других авторов (частным случаям), совпадением теоретических результатов с численными расчетами и результатами имитационного моделирования, практической апробацией работы на конкретных производствах.
Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Исходные постановки задач и указание основных направлений исследования были сделаны профессором А. Ф. Терпуговым. Дальнейшее развитие первоначальных постановок и указание направлений исследования принадлежат научному руководителю, доктору физико-математических наук, А.В. Китаевой. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты и программная реализация выполнены лично автором.
Научная новизна работы.
1. Впервые найдена плотность вероятностей длительности времени использования ресурса в диффузионном приближении модели использования ресурса с ограниченным сроком годности, что позволяет оптимизировать производственный (или торговый) процесс и рассчитать риски. На этой основе разработан оригинальный адаптивный алгоритм определения оптимального объма партии, что повышает эффективность использования ресурсов в полицикличном режиме. 2. Предложены три новые, в сравнение с работой Е.В. Новицкой, модификации математической модели способа управления прибылью путем влияния на интенсивность спроса, обеспечивающие полное использование ресурса в течение цикла: в первых двух моделях введены дополнительные параметры оптимизации, в третьей модели рассмотрена зависимость управления от функции общего вида. Для этих моделей в диффузионном приближении в случае линейной зависимости интенсивности спроса от прибыли впервые рассчитаны вероятностные характеристики процесса, и найдены оптимальные характеристики управления.
3. Впервые приближенно решены задачи управления прибылью при помощи функции общего вида и определения в этом случае оптимального объма партии для непрерывно портящегося ресурса. Численные методы для решения и оптимизации по параметрам соответствующих уравнений впервые реализованы автором в программном комплексе.
Теоретическое значение работы заключается в том, что в ней построены и исследованы достаточно общие математические модели, применимые к различным процессам использования ресурсов.
Под ресурсом может пониматься и сырье, используемое в процессе производства, и продукция предприятия, выставляемая на продажу, т.е. товар. В первом случае речь идет о, так называемом, опционном сырье, т. е. его применение не является обязательным в производстве. В случае его отсутствия предприятие работает в обычном режиме и выпускает стандартную продукцию. Потребность в этом ресурсе возникает по запросу заказчиков, носит, вообще говоря, случайный характер и выгодна производителю, поскольку, в конечном счете, он получает дополнительную прибыль.
Математическая модель использования портящегося ресурса
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты помогут предприятиям, использующим скоропортящийся и портящийся ресурс, оптимизировать его использование и увеличить свою прибыль. Основные результаты работы реализованы автором в программном комплексе, который был использован ООО «Виктория» и кондитерским цехом «Эдем» при планировании закупок, о чем составлены акты о внедрении. Реализована имитационная модель процесса использования ресурса с ограниченным сроком годности.
Апробация работы.
Работа докладывалась и обсуждалась на 30 научных конференциях и семинарах, V Международная научно-практическая конференция «Наука и образование – 2007» (Днепропетровск, 2007); Четырнадцатая Всероссийская Школа-коллоквиум по стохастическим методам и Восьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2007); The Second International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics» Dedicated to 50th of the ICT (Azerbaijan, 2008); Двадцать третьи Международные Плехановские чтения (Москва, 2010); Международная научная конференция «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях» (Москва, 2010); 53-ая научная конференция МФТИ Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2010); Студент и научно-технический прогресс: XLVIII Международная научная студенческая конференция (Новосибирск, 2010); Международная научная конференция «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей»(Минск, 2011); X Международная ФАМ 2011 конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск,2011); The 15th Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA2013) (Barselona, 2013).
Результаты работы были отмечены: дипломом победителя национального конкурса инновационных проектов (НКИП-2011), г. Москва, 2011 г.; дипломом лауреата 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», г. Москва, 2010 г.; дипломом финалиста Международного молодежного конкурса научно-исследовательских работ, г. Таганрог, 2012 г., дипломом победителя отборочного тура Всероссийского конкурса науч но-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук, г. Ульяновск, 2012 г; присуждена Стипендия Президента Российской Федерации.
По результатам проведенных исследований опубликовано 27 статей в научных журналах, докладах и материалах конференций различного уровня, в том числе четыре [1-4] в рецензируемых журналах из перечня ВАК.
В первой главе ставится задача математического моделирования процесса переработки или реализации ресурса с ограниченным сроком годности Т, по истечении которого ресурс подлежит утилизации, причем спрос на ресурс в течение производственного цикла носит случайный характер. Построенная модель подлежит исследованию с целью максимизации общей средней прибыли предприятия и определения соответствующего оптимального объема партии ресурса. Ставятся также задачи исследования вероятностных характеристик процесса использования ресурса и разработки статистических процедур оценивания входных параметров модели.
Принимая во внимание соображения, приводящие к центральной предельной теореме, будем считать, что число запросов п является нормальной случайной величиной с М{п} = тт и В{п} = з2т, и величины шт и G2T при больших Т асимптотически пропорциональны Т. В работе показано, что общий объм спроса на продукцию в течение цикла Т имеет асимптотическое распределение с плотностью
Имитационное моделирование процесса использования ресурса с ограниченным сроком годности
Рассматривается проблема управления процессом реализации производственного ресурса, который непрерывно портится с течением времени. Основой для моделей данной главы является описание процесса порчи ресурса (вероятностное или детерминированное). Общая схема математического моделирования процесса использования ресурса основана на модели, рассмотренной в первой главе.
Определение оптимального объма партии 3.1.1 Постановка задачи
Рассматривается проблема управления процессом использования производственного ресурса, который непрерывно портится с течением времени. Основной задачей является вероятностное описание процесса порчи ресурса и связь предложенной стохастической модели с общей математической моделью процесса использования ресурса, рассмотренной в первой главе. Особенностью решаемой задачи является то, что в данном случае целесообразно рассмотреть зависимость длительности цикла использования ресурса от процесса порчи ресурса. Основным критерием является получение предприятием максимальной прибыли.
Математическая модель порчи ресурса Ниже предлагается одна из возможных математических моделей порчи ресурса. Пусть вся партия ресурса состоит из отдельных элементов, которые могут испортиться в процессе хранения и которые при использовании ресурса (то есть, в течение цикла) необходимо выбрасывать.
Пусть в партии ресурса Q(t) таких элементов. Предположим, что на интервале [t, t + At] с вероятностью р = кАґ + o(At) каждый элемент может испортиться. Обозначим через Л 2() число испортившихся на этом интервале элементов. Тогда каждый элемент можно рассматривать как опыт в схеме Бернулли, так что Д 2() подчиняется биномиальному распределению: р(АГ)\ - fAQ r AQn - гЛб"Аб
Отсюда можно найти вероятностные характеристики AQ. Используя свойства биномиального распределения, получим
Таким образом, если рассматривать только процесс порчи ресурса, то его количество можно аппроксимировать диффузионным процессом dQ{t) = -KQ(t)dt + G2Q{t)dwt. (3.1) где wt - стандартный винеровский случайный процесс. 3.1.3. Математическая модель использования портящегося ресурса Математическая модель использования ресурса предложена в главе 1. Пусть использование ресурса является стационарным случайным процессом и х(t) есть количество ресурса, использованное к моменту времени t. Обозначим г а\Щ г mT{a2-al) + G2Ta} 2 bmL-L = mCi, bm v [— 1—L = ai, (3.2) Г- оо J1 Г- .оо J1 где тт и o2T - соответственно среднее число и дисперсия числа запросов на ресурс за время Т. Будем по-прежнему считать, что запросы на ресурс независимы друг от друга и объм запроса , есть случайная величина с М{,} = а1 и М{ 2} = а2. Тогда диффузионное приближение для процесса х(t) имеет вид dx(t) = m0dt + a0dwt, (3.3) где wt - стандартный винеровский случайный процесс [28, 39]. Объединяя (3.1) и (3.3), можно предложить следующую математическую модель количества ресурса Q(t), оставшегося не использованным к моменту времени t, dQ(t) = -(KQ + т0 )dt + yla2Q + a20dwt. (3.4) 3.1.4. Среднее время до окончания использования ресурса Обозначим через T(Q) среднее время, оставшееся до использования всего ресурса, если в данный момент времени количество ресурса, имеющегося в наличии, было Q. Пусть прошло бесконечно малое время At. Тогда количество ресурса, имеющегося в наличии в этот момент времени, будет Q - Ах, где Лх - количество использованного и испортившегося ресурса за промежуток времени At. Поэтому имеет место следующее соотношение T(Q) = At + M{T(Q -Ах)}. (3.5) Предполагая T(Q) дважды дифференцируемой функцией и разлагая е в ряд Тейлора, получим T(Q) = At + T(Q) - T (Q)M{Ax} + "(Q)M{Ax 2 } + o(At). Учитывая (3.4), получим T(Q) = At + T(Q) - T (Q)(KQ + Щ W + - T"(Q)(G2Q + a20 )At + o(At). Сокращая T(Q), деля на At и делая предельный переход At - 0, получим уравнение относительно T(Q) "(Q)(G2Q + G2) (Q)(KQ + m) = -1, (3.6) 2 0 0 которое надо решать при следующих граничных условиях:
