Введение к работе
Актуальность темы работы. Диссертационная работа посвящена решению актуальной задачи – развитию теории ортогональных финитных функций (ОФФ),,,, направленному на расширение возможностей геометрического моделирования и алгоритмов смешанных численных методов на основе использования ОФФ. Впервые создаются и исследуются ОФФ второй степени на треугольных сетках, порождающие новые фундаментальные возможности в построении математических моделей и в их исследовании. Повышение точности приближенных решений, как для основных неизвестных функций, так и для их производных, повышение гладкости приближенных решений для производных достигается при использовании ОФФ без увеличения объема вычислений.
Смешанные вариационные принципы, в частности вариационный принцип Рейсснера, являются основой для построения численных методов, обладающих рациональными алгоритмами и дающих приближенные решения для температуры и градиента температуры с уравновешенной точностью и гладкостью в широких классах задач теории теплопроводности, и соответствующих комплексов программ. Это определяется, в частности, следующими причинами: смешанная форма постановки задачи сводит изменение модели, как правило, к трансформации лишь уравнений состояния, во многих случаях незначительной; геометрические и физические параметры системы находятся в уравнениях вне дифференциальных операторов; краевые условия формулируются, как правило, без использования производных. Отсутствуют ошибки аппроксимации производных геометрических и физических параметров, а также производных в краевых условиях, производные неизвестных функций имеют минимально возможные порядки, что снижает требования вариационно-сеточного метода (ВСМ) к базисным функциям. В результате создаются предпосылки для повышения точности приближенных решений. Немаловажна сравнительная простота программной реализации смешанных методов. Развитие численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах, началось в 60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время,,.
Важнейший недостаток ВСМ – высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений для неизвестных узловых величин, усиливается в смешанных ВСМ. Следствием одновременной и независимой аппроксимации функций и их производных является увеличенное число сеточных неизвестных. Недостатки смешанных методов устраняются при использовании систем ОФФ. Классические методики исследования сходимости метода Ритца и разностных схем становятся эффективными при изучении сходимости таких смешанных ВСМ. Приближенные решения для основной неизвестной функции и ее частных производных характеризуются уравновешенной гладкостью и точностью. Исключение части узловых неизвестных в аналитической форме до начала решения задачи на ЭВМ, возможное благодаря применению ОФФ, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, основанными на вариационном принципе Лагранжа. В задачах, в которых определяются как температура, так и ее градиент, для реализации такого смешанного ВСМ требуется выполнение арифметических операций, число которых за счет исключения узловых значений градиента существенно меньше аналогичного числа, характеризующего методику, основанную на совместном применении вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно и также дающую приближенные решения для температуры и ее градиента с уравновешенной точностью. Исключение неизвестных величин, связанных с аппроксимацией градиента температуры, становится возможным и тогда, когда в качестве базисных функций берутся ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева. Однако, такие базисные функции являются эффективными на интервалах и на областях большей размерности, если геометрия областей достаточно проста, и, кроме того, в отличие от финитных функций не приводят к системам сеточных уравнений (ССУ) с разреженными матрицами. В случае областей общего вида их заменяют ОФФ.
Первый по времени его создания ортонормированный базис вейвлетов (wavelets) с компактными носителями связан с функцией Хаара, имеющей разрывы. До работ G.Battle, I.Daubechies, Y.Meyer, J.O.Strmberg, Ph.Tchamitchian, P.G.Lemari, в которых предложены первые непрерывные вейвлеты, в том числе ортогональные вейвлеты с компактными носителями10, считалось, что ортогональность непрерывных базисных функций несовместима с их важным свойством, которое состоит в наличии у функций компактных конечных носителей и является основным у функций, применяемых в ВСМ, поскольку делает матрицы ССУ разреженными. В работах10, построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями и приведены примеры таких базисов, полученных с помощью кратномасштабного анализа16,. Но функции10,16 не являются симметричными и обладают сложной структурой. Полная симметрия вещественных ортонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями (за исключением базиса Хаара) недостижима10,16. Снижение степени несимметрии функций приводит к росту размеров конечных носителей функций16. Регулярность функций этих базисов, которая характеризуется величиной показателя Гёльдера, определяющего непрерывность функции по Гёльдеру, возрастает с ростом ширины их конечных носителей, что приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений в численных методах. Ортонормированные базисы вейвлетов с компактными носителями, как правило, не удается записать в аналитической форме, и хотя их можно построить с произвольной точностью с помощью определенных алгоритмов, это также значительно осложняет использование таких базисных функций в численных методах решения краевых задач. Многомерные базисы вейвлетов строятся с помощью тензорных произведений одномерных функций16. I.Daubechies10 удалось соединить в одном вейвлет-базисе три свойства, привлекательные для численного анализа: взаимную ортогональность базисных функций, все базисные функции получаются посредством сдвигов и растяжений одной порождающей функции, компактность носителей базисных функций. В тех задачах, в которых требуется симметрия и гладкость базисных функций, базисы I.Daubechies проигрывают базисам, построенным при помощи сплайнов. Возникают значительные трудности, препятствующие построению базисов, совмещающих отмеченные свойства базисов I.Daubechies и свойства сплайнов. Поэтому разработка ОФФ двух переменных, связанных с треугольными сетками, имеющих более высокие порядки аппроксимации и гладкость, обладающих свойствами симметрии, для областей с криволинейными границами является актуальной задачей. Решение этой задачи создает основу для построения смешанных ВСМ, обладающих рациональными алгоритмами и не имеющих недостатков классических смешанных ВСМ, а также основу для повышения качества математического моделирования и проектирования конструкций, эксплуатация которых связана с существенным влиянием тепловых полей. Построение таких ВСМ является актуальной задачей.
Объектом исследования являются поверхности твердых тел и процессы теплопередачи. Предметом исследования являются модели поверхностей твердых тел и процессов теплопередачи, численные методы их построения и исследования.
Цель и задачи работы. Целью работы является разработка новых фундаментальных элементов математического моделирования и их реализация в построении моделей, в алгоритмах численных методов и в комплексах программ.
Для достижения данной цели решались следующие задачи:
cоздание и исследование новых ортогональных финитных функций;
построение смешанного вариационного принципа;
разработка эффективных численных методов исследования математических моделей;
разработка эффективного численного алгоритма построения геометрических моделей;
построение комплексов программ, реализующих численные алгоритмы.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы: теория сплайнов, теория вейвлетов, теория ОФФ, вариационное исчисление, функциональный анализ, матричное исчисление, математическая физика, теория теплопроводности, метод наименьших квадратов (МНК), численные методы линейной алгебры, компьютерное программирование.
Научная новизна.
-
Созданы базисные системы сеточных ОФФ второй степени на треугольных сетках, исследованы их свойства.
-
Построена математическая модель установившегося процесса теплопередачи в форме смешанного вариационного принципа.
-
Разработаны новые алгоритмы численных методов решения двумерных краевых задач теплопроводности, поставленных в смешанной форме. Эти алгоритмы связаны с использованием построенного смешанного вариационного принципа, кусочно-линейных и кусочно-квадратичных ОФФ на треугольных сетках. Разработан также алгоритм численного метода решения краевых задач математической физики, поставленных в классической форме, новизна которого связана с применением кусочно-квадратичных ОФФ на треугольных сетках. Исследована теоретическая сходимость методов.
-
Разработан комплекс программ ProbSol, реализующий смешанный численный метод.
-
Создан комплекс программ GeomModel решения задач геометрического моделирования объектов на основе использования новых дискретных математических моделей, связанных с использованием ОФФ на треугольных сетках.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Элементы математического моделирования и методов исследования математических моделей – две системы базисных ОФФ второй степени на треугольных сетках.
-
Математические модели геометрических объектов, связанные с применением ОФФ на треугольных сетках.
-
Математическая модель установившегося процесса теплопередачи в форме смешанного вариационного принципа.
-
Алгоритмы численных методов, связанные с использованием ОФФ первой и второй степеней на треугольных сетках.
-
Комплексы программ ProbSol, GeomModel, соответственно реализующих алгоритм численного метода и численный алгоритм геометрического моделирования.
Теоретическая и практическая значимость работы. Разработаны новые фундаментальные элементы математического моделирования и методов исследования математических моделей. На их основе разработаны комплексы программ, с помощью которых выполнены расчеты, показывающие высокую эффективность применения ОФФ на треугольных сетках в задачах геометрического моделирования и в алгоритмах численных методов исследования математических моделей. Работа поддержана ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России”, ГК № П2230, ГК № П1122, проектом 2.1.1/11180 программы РНПВШ.
Личный вклад автора. Построение ОФФ, исследование их свойств, доказательства теорем, разработка алгоритмов методов, их реализация в комплексах программ, расчеты, исследование сходимости.
Достоверность. Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью применения математического аппарата, доказательствами теорем, исследованиями сходимости и численными решениями тестовых задач на ЭВМ с использованием разработанных комплексов программ.
Апробация работы проведена на II и III Международных научных школах-семинарах “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ” (Саранск, МГУ им. Н.П.Огарева, 2007, 2008 гг.), на Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, УлГУ, 2009 г.), на X и XI Всероссийских Симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2009 г.; Кисловодск, 2010 г.).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 научных работ, из них 2 работы – в журнале из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 106 наименований и приложения. Общий объем диссертации составляет 158 страниц, основной текст диссертации изложен на 130 страницах. Работа включает 41 рисунок и 4 таблицы.
Похожие диссертации на Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках
