Введение к работе
Актуальность темы. Современное развитие наноэлектроники делает необходимой задачу теоретического исследования различных квантовых наносистем. Это связано в первую очередь с практической возможностью создания подобных структур. Квантовые свойства наносистем могут зависеть от различных факторов (от геометрической формы, от вида соединения структур, от направления и напряженности магнитного поля и т.д.), поэтому возникает не только теоретический, но и практический интерес в нахождении и исследовании данных зависимостей.
Следует также отметить, что кроме исследования квантовых свойств наноструктур, важно исследовать возмущения в подобных объектах, в частности короткодействующими потенциалами. Такие системы можно исследовать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание объектов сводится к построению возмущения оператора Лапласа и исследованию его спектра.
В некоторых случаях адекватной моделью наносистем является квантовый граф. Математическая теория одночастичных задач для квантовых графов достаточно хорошо развита. В то же время, многочастичные задачи рассматривались только для некоторых простых типов систем. Эти задачи являются более сложными, поскольку размерность конфигурационного пространства многократно возрастает в зависимости от числа частиц. С другой стороны, без учета взаимодействия частиц невозможно эффективно моделировать многие наноустройства, в частности, элементы квантового компьютера.
Целью исследования является:
-
построение модели липкого квантового графа на сфере и ее верификация;
-
разработка численного метода аппроксимации сингулярного потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида;
-
построение и изучение модели многочастичного квантового графа;
-
построение и изучение модели наносферы с двумя проводниками в магнитном поле;
-
разработка комплекса программ для вычисления энергетических уровней двухчастичной системы и коэффициента прохождения
для сферы в магнитном поле;
-
изучение влияния интенсивности взаимодействия частиц между собой на энергетические уровни;
-
изучение зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля.
Объектом исследования являются математическая модель липкого квантового графа, модель двухчастичного квантового графа и модель наносферы с двумя проводниками.
Научная новизна и значимость работы определяется следующими результатами исследования.
-
Развит математический аппарат моделирования липких квантовых графов на сфере и многочастичных квантовых графов на базе спектральной теории самосопряженных операторов.
-
Разработан численный метод аппроксимации 6-потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами.
-
Создан комплекс программ для численного исследования энергетических уровней двухчастичной модели и коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками.
-
Исследована зависимость энергетических уровней двухчастичной модели от интенсивности взаимодействия частиц между собой.
-
Найдена зависимость коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками от напряженности магнитного поля.
Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса.
Основные результаты, выносимые на защиту.
-
Математическая модель липкого квантового графа на сфере.
-
Численный метод аппроксимации 5 -потенциала, сосредоточенного на кривой, гладкими потенциалами специального вида.
-
Обоснование предложенного метода путем построения последовательности обычных гамильтонианов, сходящихся к исходному гамильтониану с сингулярным потенциалом.
-
Математическая модель двухчастичной задачи для проводника с квантовым кольцом.
-
Математическая модель наносферы с двумя проводниками в магнитном поле.
-
Программные комплексы для решения поставленных задач:
программный комплекс, написанный на языке C++, для расчета и построения спектра двухчастичной задачи;
программа, написанная на языке C++, для численного исследования зависимости коэффициента прохождения для сферы с двумя проводниками от параметров системы и напряженности магнитного поля.
Практическая значимость работы заключается в следующем:
-
используемые в работе методы и модели могут быть использованы при исследовании особенностей электронного транспорта в других нано структур ах;
-
полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств многочастичных наноэлектронных устройств и сферических наноструктур при наличии в них примесей;
-
разработанный численный метод может быть использован при математическом моделировании сферических наноструктур с сингулярным потенциалом (например, содержащих квантовый провод);
-
результаты проведенного численного анализа зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля могут быть использованы при разработке новых наноэлектронных приборов.
Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях и семинарах:
-
Третья Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, май 2006 г.
-
Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, ноябрь 2007 г.
-
VII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2010 г.
-
Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании, Саранск, июль 2010 г.
-
Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, апрель 2011 г.
-
Пятая международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" имени Е.В. Воскресенского, Саранск, июль 2011 г.
-
Восьмая Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, сентябрь 2011 г.
-
ХХХХ Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2011 г.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 опубликованных статьях, в том числе, 3 из Перечня ВАК.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 115 страницах машинописного текста. Содержит введение, три главы, два приложения, заключение, 17 рисунков, список литературы, содержащий 129 наименований.
