Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические методы и алгоритмы решения задач баллистического перелета космического аппарата 17
1.1. Цели и задачи проектно-баллистического анализа траектории КА 17
1.2 Схема прямого двухимпульсного баллистического перелета 18
1.3 Система уравнений движения КА
1.3.1 Задача п тел 21
1.3.2 Ограниченная задача трех тел 23
1.3.3 Особенности гравитационного поля Земли 25
1.3.4. Возмущающее ускорение Солнца 27
1.3.5 Другие возмущения движения КА 27
1.3.6 Результирующая система уравнений движения 28
1.3.7 Коллинеарные точки либрации как частный случай решения
ограниченной круговой задачи трех тел 29
1.4 Методы численного интегрирования для задач небесной механики 31
1.5 Алгоритм определения оптимального баллистического перелета
1.5.1 Нулевое приближение 33
1.5.2 Краевая задача 43
1.5.3 Оптимизационная задача 47
1.6 Выводы по первой главе 51
ГЛАВА 2. Зависимость от даты попадания ка в лунную точку либрации l1 значения суммарного импульса скорости 52
2.1 Влияние прецессии орбиты Луны на выбор эпохи реализации баллистического перелета 52
2.2 Зависимость суммарного импульса скорости перелета от даты попадания в точку либрации на периоде обращения Луны вокруг Земли 54
2.3 Влияние положения Луны на энергетику баллистического перелета 59
2.4 Выводы по второй главе з
ГЛАВА 3. Вклад возмущающих факторов в энергетику перелета ка в точку либрации l1 системы земля - луна 65
3.1. Учет расстояния до Солнца для определения оптимальной даты попадания 67
3.2. Относительный вклад возмущающих факторов 72
3.3. Выводы по третьей главе 76
ГЛАВА 4. Поэтапный пример реализации разработанного алгоритма математического моделирования оптимального баллистического перелета 77
4.1. Начальные параметры реализации баллистического перелета 78
4.2. Численные значения нулевого приближения 79
4.3. Решение краевой задачи 82
4.4. Решение оптимизационной задачи 85
4.5. Влияние погрешности задания параметров выведения КА на базовую орбиту ракетоносителем на величину невязки конечного решения
4.5.1. Влияние погрешности наклонения базовой орбиты на величину невязки конечного решения 88
4.5.2. Влияние погрешности долготы восходящего узла базовой орбиты на величину невязки конечного решения 90
4.6. Выводы по четвертой главе 93
Заключение 94
Список использованной литературы 96
- Ограниченная задача трех тел
- Зависимость суммарного импульса скорости перелета от даты попадания в точку либрации на периоде обращения Луны вокруг Земли
- Относительный вклад возмущающих факторов
- Влияние погрешности задания параметров выведения КА на базовую орбиту ракетоносителем на величину невязки конечного решения
Введение к работе
Актуальность работы. Одними из перспективных направлений космической деятельности являются исследования планет и малых небесных тел Солнечной системы. В системе Земля – Луна одна из пяти точек либрации L1 за счет своего уникального расположения между Землей и Луной в случае разворачивания лунной программы может стать идеальным местом для строительства орбитальной базы обслуживания и заправки или ретрансляционного пункта и, как следствие, ключевым узлом грузового потока Земля – Луна.
Реализация этих проектов потребует практического решения транспортной задачи по доставке космического аппарата (КА) в точку либрации при обеспечении требований по энергозатратам и характеристикам и параметрам баллистики перелёта.
В некоторых космических проектах требуется достаточно быстро доставить КА в заданное пространство, для этого используют КА с химическим ракетным двигателем (ХРД).
Доставка космического аппарата с ХРД должна осуществляться, как правило, с минимизацией энергетических расходов, так как увеличение полезной массы – обычно главная задача проекта (стоимость доставки 1 кг полезного груза только на геостационарную орбиту ракетоносителем «Союз» составляет около $ 25 000).
На космический аппарат (КА) во время баллистического перелета с низкой околоземной орбиты в лунную точку либрации L1 действуют силы гравитационного воздействия Земли, Луны и Солнца, следовательно, построение математической модели движения должно проходить в рамках задачи трех тел. Масса КА пренебрежимо мала по отношению к небесным телам, поэтому математическое моделирование баллистического перелета сводится к решению так называемой ограниченной задачи трех тел.
Фундаментальной работой, посвященной задаче трех тел, является труд
В. Себехея «Теория орбит. Ограниченная задача трех тел» (1964 г.). Вопросам оптимизации баллистических перелетов в рамках задачи трех тел посвящены работы Ильина В.А., Малышева В.В., Петухова В.Г., Понтрягина Л.С., Энеева Т.М. и других авторов.
Для задачи реализации баллистического перелета в лунную точку либрации L1 В.И. Левантовский определил значение потребного суммарного импульса скорости, при этом второй импульс скорости равняется 650 м/с. Однако, задача с использованием актуальной базы данных о движении небесных тел по григорианскому календарю и реализация высокой точности решения с учетом возмущающих факторов – второй зональной гармоники Земли и влияния Солнца, а также анализ вкладов этих факторов, решена не была.
Цель диссертационной работы: разработка численной математической модели, алгоритма и программного комплекса, который учитывает данные о положении и движении небесных тел в реальном времени, для определения оптимального прямого баллистического перелета КА с минимальными энергетическими затратами с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля – Луна в заданную дату попадания с учетом возмущающих ускорений – Земли как сжатого сфероида, Луны, Солнца, а также прецессии лунной орбиты.
Достижение цели работы требует решения следующих задач:
-
Разработка численных алгоритмов для проведения баллистического анализа и создание на этой основе программного комплекса для расчёта и исследования баллистических траекторий с учётом различных факторов физической природы и обусловленных технологическими требованиями к реализации операций доставки КА.
-
Численный анализ ограниченной задачи трех тел методами прогноза и коррекции различных порядков; реализация сходимости решения системы уравнений движения и заданных координат точки либрации путем решения линеаризованной краевой задачи, определение начальных параметров, обеспечивающих минимальные энергетические расходы для произвольно выбранного времени попадания в точку либрации.
-
Исследование и сравнительный анализ относительных вкладов в обеспечение оптимального решения транспортной задачи на периоде обращения Луны следующих факторов: времени перелета, второй зональной гармоники, прецессии орбиты Луны, возмущающего ускорения Солнца.
Для математического моделирования баллистического перелета были использованы следующие подходы и методы исследования: законы движения КА в рамках задач двух и трех тел, численные и аналитические методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы решения краевых задач, методы объектно- и проблемно-ориентированного программирования и системы компьютерной алгебры.
Объект исследования – траектория перелета КА, оснащенного ХРД, с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля – Луна. Предмет исследования – математические модели для расчета и оптимизации траектории космического аппарата.
Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов диссертационной работы подтверждается использованием адекватных математических моделей движения, учитывающих основные возмущающие факторы (гравитационный потенциал Земли, Луны и Солнца, а также второй зональной гармоники Земли) на всех участках движения КА, использованием апробированных численных методов решения систем дифференциальных уравнений, решения краевой и оптимизационной задачи, а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования, численных методов, динамики и баллистики летательных аппаратов при обсуждении промежуточных и основных результатов на научных конференциях и семинарах.
Научная новизна работы:
-
Предложена численная математическая модель и усовершенствован метод поиска оптимального баллистического перелета КА в лунную точку либрации L1 в заданное время попадания, отличающиеся в использовании реальных данных о положении и скорости небесных тел в зависимости от времени, учете второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца.
-
В рамках предложенной модели сформирован эффективный алгоритм упрощенного определения краевых условий, основанный на комбинации нулевого приближения, полученного из решения задачи двух тел, и линеаризованного способа нахождения корректирующих аргументов начальных параметров.
-
Впервые разработан эффективный программно-алгоритмический комплекс моделирования оптимального прямого двухимпульсного перелета КА с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля – Луна, отличающийся возможностью учета большего числа возмущающих факторов физической природы и произвольности момента времени реализации транспортной задачи, адаптируемый для проведения баллистических расчетов траекторий доставки КА в точки либрации других планетных систем.
-
Программный комплекс предусматривает использование находящихся в открытом доступе математических моделей расчёта эфемерид небесных тел, которые позволяют в процессе движения КА получать достоверную информацию о положении и скорости Луны и Солнца в геоцентрической экваториальной системе координат в реальном времени.
-
Использование предложенных алгоритмов и разработанного программного комплекса позволило:
-
-
-
-
-
обеспечить точность попадания КА в точку либрации с величиной ошибки порядка 10-6м;
-
выявить две возможные схемы перелета для одного времени попадания в точку либрации L1, которые принципиально отличаются друг от друга, с точки зрения энергетики перелета, когда Луна находится в окрестности своих узловых точек;
-
установить зависимость значения суммарного импульса скорости от даты попадания в точку либрации для двух выявленных способов перелета, которые обладают двумя экстремумами, расположенными друг от друга на расстоянии, равном половине периода обращения Луны вокруг Земли; временная зависимость каждого из двух типов решения асимметрична, положения экстремумов суммарного импульса примерно совпадают, но сами экстремумы для двух способов перелёта противоположны по смыслу;
-
впервые определить оптимальную дату попадания в точку либрации на ближайшем периоде прецессии орбиты Луны, которая составляет 18,6 лет (2011 – 2030 гг.) и этой датой является 24 декабря 2024 г., что стало возможным за счет учета возмущающих факторов и использовании реальных данных о положении небесных тел.
-
предоставить окна запуска для осуществления оптимального баллистического перелета в точку либрации L1, длительностью от двух до трех суток для каждого из способов перелета, на каждом периоде обращения Луны вокруг Земли.
-
-
-
-
Теоретическая значимость, практическая ценность реализации результатов
Разработанный математический метод формирования оптимальной баллистической траектории в заданный момент времени попадания в точку либрации может служить теоретической основой построения численных моделей баллистических перелетов КА в точки либрации других систем трех тел Солнечной системы. В случае использования в сложных орбитальных системах (например, в окрестности крупных планет, таких как Юпитер или Сатурн) необходимо учитывать гравитационные возмущения всех небесных тел, входящих в эту систему. Практическая и техническая ценность работы заключается в разработке программного комплекса, который позволяет в любую заданную дату попадания в лунную точку либрации L1 рассчитать оптимальную траекторию перелета КА в точку либрации, определить минимальный потребный суммарный импульс скорости, оптимальное время перелета и координаты точки старта. Найдены: оптимальная дата попадания в точку либрации L1 системы Земля – Луна, координаты точки старта в геоцентрической экваториальной системе координат и минимальный суммарный импульс скорости.
Соответствие паспорту специальности.
Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, а именно пунктам: 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности;
3. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном этапе математического моделирования; 4. Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ; 5. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
-
Метод расчета и поиска оптимального решения двухимпульсного баллистического перелета КА в точку либрации L1 системы Земля – Луна с низкой околоземной орбиты.
-
Положение Луны на периоде ее обращения вокруг Земли оказывает существенное влияние на выбор схемы построения базовой орбиты КА, а именно: в некоторых случаях различие в суммарном импульсе скорости при разных схемах построения базовой орбиты составляет около 200 м/с.
-
Выбор даты попадания на периоде обращения Луны вокруг Земли в точку либрации является ключевым фактором, который определяет энергетические затраты перелета, при этом время перелета является критерием поиска оптимального решения транспортной задачи для каждой даты попадания.
-
Программный комплекс «L1Moon2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля – Луна как решение частной задачи трех тел с учетом второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца. Для обеспечения практического применения полученных результатов в обязательном порядке необходимо использовать базу данных с информацией о скорости и положении небесных тел по григорианскому календарю. Программный комплекс позволяет определить необходимые импульсы скорости для перелета в лунную точку либрации L1 в любую заданную дату попадания, при старте с любого космодрома и с любой высоты базовой орбиты.
-
На ближайшем периоде лунной прецессии (18,6 лет) оптимальной датой попадания в точку либрации L1 системы Земля – Луна является 24 декабря 2024 года, что доказывает решение уравнения движения КА с учетом возмущающих ускорений Земли, Луны и Солнца с использованием данных о реальных положениях небесных тел.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: XXV, XXVI, XXVII Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-25, Волгоград, ММТТ-26, Н.Новгород, ММТТ-27, Саратов, 2012, 2013, 2014), XI Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования» (Москва, Институт космических исследований РАН, 9-11 апреля 2014).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 10 работах, в том числе в 4 статьях в рецензируемых журналах из Перечня ВАК Минобрнауки РФ.
На Программный комплекс моделирования и оптимизации «L1Moon2025» получено свидетельство о государственной регистрации электронного ресурса ИНИМ РАО РФ (Объединённый фонд электронных ресурсов «Наука и образование» РФ).
Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.
Результаты, представленные в работе, получены лично автором на основе обсуждения ключевых пунктов исследования с научным руководителем –
д.ф.-м.н., профессором Ю.В. Клинаевым (СГТУ) и
д.т.н., профессором М.С. Константиновым (НИУ МАИ).
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа изложена на 154 страницах, содержит 23 рисунка, 11 таблиц, 39 рисунков Приложения. Список использованной литературы включает 132 наименования.
Ограниченная задача трех тел
Одной из главных задач проектирования КА является всесторонне обоснованный выбор основных проектных параметров, удовлетворяющих техническому заданию при оптимальных показателях качества - критериях эффективности [71, 90].
Удовлетворение поставленным требованиям невозможно без проведения проектно-баллистического анализа - первичного этапа проектирования космической миссии, в рамках которого определяются необходимые энергетические и массовые затраты на реализацию транспортной задачи космического аппарата. Таким образом, можно сформулировать главную цель проведения проектно-баллистического анализа - поиск потребного приращения скорости КА и требуемых затрат топлива для такого приращения, а также определения связи найденных значений с проектными параметрами аппарата.
Для решения поставленной цели возникает необходимость математической модели движения КА [41, 84]. В общем виде эта модель представлена в виде следующей системы дифференциальных уравнений: at где х - вектор-столбец фазовых координат КА, для анализа, изменения которого математическая модель включает дифференциальные уравнения (чаще всего это скорость КА и его координаты), у- вектор функции управления движением КА (например, закон изменения тяги двигательной установки КА), с - вектор параметров КА; / - вектор-столбец функции от х,у,с; t - независимая переменная, чаще всего время движения КА. Решение задачи Коши для системы ОДУ с заданными с и у является математическим способом построения траектории КА. В общем случае при произвольно заданных условиях траектория
КА может не удовлетворять условиям транспортной задачи и, например, не выйдет на заданную конечную орбиту. Таким образом, главная задача баллистического анализа - формирование программы движения КА, при котором реализуется поставленная транспортная задача.
Несмотря на то, что существует множество научных трудов по вопросам развития небесной механики [2, 3, 15, 69, 93, 103, 112], для каждого рассматриваемого случая необходимо строить собственную математическую модель.
Схема прямого двухимпульсного баллистического перелета В настоящей работе рассматривается схема прямого баллистического перелета КА, оснащенного ХРД, с низкой околоземной орбиты (базовой) на орбиту точки либрации L1 системы Земля - Луна. В нулевом приближении рассматривается переход Цандера-Гомана [109,105] между некомпланарными орбитами (рисунок 1). орбиты точки L Рисунок 1. Схема прямого двухимпульсного баллистического перелета с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля - Луна в ГЭСК На базовую орбиту аппарат вместе с химическим разгонным блоком выводится ракетой-носителем. Баллистический перелет реализуется двумя включениями химического ракетного двигателя. Первый импульс скорости AVX (1.2) реализует переход КА на перелетную орбиту, лежащую в плоскости базовой орбиты. При этом точка старта является перицентром перелетной орбиты.
Второй импульс скорости AV2 (1.3) сообщается космическому аппарату в апоцентре перелетной орбиты, обеспечивает поворот плоскости перелетной орбиты на величину А/, который характеризует разность наклонений между базовой орбитой и орбитой точки либрации, и переход КА на орбиту точки либрации L1 со скоростью равной скорости точки либрации VLl.
Для анализа используется методическая идея импульсной аппроксимации активных участков полета, т.е. примем, что импульс скорости сообщается КА мгновенно [97].
В качестве критерия оптимальности в данной работе рассматривается значение суммарного импульса скорости. Таким образом, задача проектно-баллистического анализа в данной работе сводится к поиску минимального суммарного импульса скорости AFZ (1.5) и, как следствие, по формуле Циолковского (1.6), минимуму потребной массы топлива для реализации перелета. AFS = AV1+AV2, AV - min (1.5) m = mn T и 1-ЄХр (1.6) где mT - масса топлива необходимо для реализации транспортной задачи КА, т0 - начальная масса КА, iy - удельный импульс тяги, который задается выбранной двигательной установкой КА. Положение плоскости орбиты в пространстве в ГЭСК определяется двумя углами - наклонением базовой орбиты /0, которая характеризует отклонение вектора площадей от оси z и долготой восходящего узла &, которая характеризует отклонение линии узлов орбиты от оси х. На рисунке 1 iLl - наклонение орбиты точки LI, LI - долгота восходящего узла орбиты точки LI, z - наклонение базовой орбиты КА, - долгота восходящего узла базовой орбиты КА. - радиус-вектор точки либрации, который исходя из физических свойств коллинеарной точки либрации принадлежит радиус-вектору Луны гЛуны . R0 - положение КА на базовой орбите в момент схода с нее, и0 - аргумент широты точки схода базовой орбиты, который характеризует отклонение точки схода с базовой орбиты от линии узлов базовой орбиты, R - положение КА в произвольный момент времени относительно Земли. Пунктирной линией отображены элементы, которые находятся в южном полушарии, т.е. ниже экваториальной плоскости.
Для математической модели, описывающей баллистический перелет КА в лунную точку либрации L1, максимально приближенной к реальности, необходимо рассматривать движение КА в поле притяжения Земли (при этом Землю стоит рассматривать как сжатый по полюсам сфероид, т.е. учесть вторую зональную гармонику гравитационного потенциала Земли), Луны и даже Солнца. А значит, транспортная задача доставки КА должна рассматриваться как частное решение задачи трех. 1.3.1. Задача п тел
Рассматривается движение п материальных точек с соответствующими массами т0,т1,т2,тп_1, взаимно притягивающих друг друга по закону всемирного тяготения. Нахождение и изучение движения такой системы материальных точек и является задачей п тел [15-17, 102].
Движение рассматривается в абсолютной прямоугольной системе координат Офі с началом в произвольной точке О. Неизменными остаются направления осей. ,/7,, - координаты точки т.. Взаимное расстояние между точками mi и nij выражается следующим образом:
Зависимость суммарного импульса скорости перелета от даты попадания в точку либрации на периоде обращения Луны вокруг Земли
Установлено, что орбита Луны прецессирует с периодом около 18,6 лет. За период прецессии наклонение орбиты Луны к плоскости эклиптики изменяется на величину 5,145, т.е. за 18,6 лет наклонение Луны в геоцентрической экваториальной системе координат изменяется на промежутке [23027 ±5014 ]. Для того чтобы выражение (1.4) было минимальным, необходимо, чтобы разность наклонений А/ было максимальной, а значит наклонение Луны должно быть максимальным. Определим год на ближайшем периоде прецессии, когда наклонение Луны максимально. Далее рассматриваемый год будем называть эпохой. За начало эпохи примем время 12 часов 1 января рассматриваемой эпохи.
Наклонение Луны определяется по выражению [55, 41, 73]. глунь1 =arccos -± , (2.1) где J - вектор интеграла площадей орбиты Луны; ах, уу, тг - проекции вектора интеграла площадей орбиты Луны на оси х, у и z геоцентрической экваториальной системы координат соответственно. Значения для о, ах, о и тг определим по (2.2) скорости Луны Vлуны на оси х, у и z ГЭСК соответственно. Значения гЛуны и VЛуИы и их компоненты определяются из планетария DE-403. Определив наклонения в каждую эпоху на ближайшем периоде прецессии 2011-2030 ГГ. (Рисунок 10) можно определить, что 2025 год, когда наклонение орбиты Луны іл =28,443, можно считать оптимальной эпохой для реализации баллистического перелета. Точные значения наклонения орбиты Луны в зависимости от рассматриваемой эпохи представлены в таблице 1.
Зависимость суммарного импульса скорости перелета от даты попадания в точку либрации на периоде обращения Луны вокруг Земли Период обращения Луны вокруг Земли составляет около 27,3. Рассмотрим зависимость суммарного импульса скорости для двух способов построения плоскости базовой орбиты от даты попадания КА в точку либрации на периоде обращения Луны вокруг Земли. Для этого итерационно найдем оптимальные значения решения по алгоритму, описанному в первой главе для произвольно выбранного месяца [74, 76, 80]. Шаг итерации может варьироваться, но для получения ключевых зависимостей выбран в 2 дня. Результаты решения для апреля месяца 2025 года для двух способов построения базовой орбиты представлены в таблицах 2 и 3. 12 часов дня 1 апреля соответствует 90-му дню с начала эпохи.
Значения оптимального времени перелета, долготы восходящего узла, аргумента широты и суммарного импульса скорости в зависимости от даты попадания в точку либрации L1 системы Земля - Луна для первого способа построения базовой орбиты
Значения оптимального времени перелета, долготы восходящего узла, аргумента широты и суммарного импульса скорости в зависимости от даты попадания в точку либрации L1 системы Земля - Луна для второго способа построения базовой орбиты
На основе таблиц 2 и 3 построим графики зависимостей суммарного импульса скорости, долготы восходящего узла базовой орбиты, аргумента широты и суммарного импульса скорости от времени попадания КА в точку либрации для двух способов построения базовой орбиты (рисунки 11-14).
Зависимость суммарного импульса скорости от даты попадания КА в точку либрации. Крестом и пунктиром изображены решения для первого способа построения базовой орбиты, линией и окружностью изображены решения второго способа Проанализировав зависимости, изображенные на рисунках 11-14, можем сформулировать несколько качественных утверждений: 1. Время перелета для обоих способов построения плоскости базовой орбиты практически идентично. 2. Долгота восходящего узла монотонно возрастает на периоде обращения Луны вокруг Земли. 3. Аргумент широты точки схода КА с базовой орбиты является синусоидальной функцией от даты попадания КА в точку либрации. Амплитуда колебаний составляет около 37. 4. Разброс значений суммарного импульса скорости в зависимости от даты попадания в точку либрации для первого случая построения плоскости базовой орбиты составляет около 120 м/с, для второго - около 250 м/с. 5. Зависимость суммарного импульса скорости каждого из двух способов построения базовой орбиты асимметричная, положения экстремумов суммарного импульса примерно совпадают по дате попадания в точку либрации, но сами экстремумы для двух способов перелёта противоположны по смыслу. Второй способ построения плоскости базовой орбиты с точки зрения энергетических затрат является оптимальным 6. При втором способе построении плоскости базовой орбиты можно определить достаточно длительное окно старта. Для данного рассматриваемого месяца 2025 года оптимальные даты попадания являются 102-103,5 день с начала рассматриваемой эпохи.
Относительный вклад возмущающих факторов
В системе (3.2) вторые слагаемые в правых частях уравнений 4-6 соответствуют влиянию второй зональной гармоники Земли. Стоит отметить, что весовой коэффициент в 6 уравнении меньше, чем в 4 и 5 уравнениях.
Случаю, которое учитывает влияние гравитационную силу Солнца, в рамках рассматриваемого баллистического перелета, соответствует система уравнений (3.3). dXKA
В системе (3.3) 4 и 5 слагаемые в правых частях уравнений 4-6 соответствуют влиянию Солнца, физический смысл которых аналогичен гравитационному влиянию Луны.
Определим вклад возмущающего ускорения второй зональной гармоники Земли (3.2) [77, 78] и Солнца (3.3.), а также, определим оптимальную дату попадания КА в точку либрации с учетом этих возмущений [81].
Учет расстояния до Солнца для определения оптимальной даты попадания
Орбита Земли имеет эксцентриситет, равный 0,01671123, а значит влияние Солнца, которое зависит от расстояния между Землей и Солнцем, изменяется в зависимости от даты попадания. Проанализировав изменение расстояния до Солнца в течение календарного года (рисунок 17), выберем для рассмотрения интервалы дат, когда расстояние до Солнца максимально и минимально. Для окрестности максимального и минимального значения расстояния до Солнца определим зависимость расстояния до Луны (рисунки 18 и 19).
В качестве рассматриваемой эпохи выбран 2025 год, который в параграфе 2.1 был определен как оптимальный.
Рисунок 176. Расстояние до Луны в зависимости от даты с начала рассматриваемой эпохи в окрестности минимального значения расстояния до Солнца
В параграфе 3.2 установлено, что оптимальный перелет реализуется, когда Луна находится в своем апоцентре. На основе анализа зависимостей, изображенных на рисунках 17 и 18, выберем интервал дат для дальнейшего анализа.
Определим оптимальные значения суммарного импульса скорости, времени перелета, долготу восходящего узла базовой орбиты, аргумент широты точки схода КА на базовой орбите для второго способа построения плоскости базовой орбиты на интервале дат [-10;8] и [180; 188] суток с начала рассматриваемой эпохи. Полученное решение отобразим в таблице 6.
Исходя из полученных результатов (таблица 6), можем установить, что оптимальной датой с точки зрения энергетических затрат является -7 день с начала рассматриваемой эпохи, что соответствует 12:00 24 декабря 2024 года. Время перелета составляет 4,25 суток, а значит, датой схода КА с базовой орбиты является 6:00 20 декабря 2024 года. При этом можем утверждать, что 24 декабря 2024 года является оптимальной датой попадания КА в точку либрации L1 системы Земля - Луна на ближайшем периоде прецессии орбиты Луны. Таблица 6. Значения оптимального времени перелета, долготы восходящего узла, аргумента широты точки схода КА с базовой орбиты и суммарного импульса скорости в зависимости от даты попадания в точку либрации L1 системы Земля - Луна для второго способа построения базовой орбиты на интервале максимального и минимального расстояния до Солнца
Также можем определить оптимальное окно запуска, которое соответствует попаданию КА в точку либрации на интервале 23 декабря-25 декабря 2025 года. 3.2 Относительный вклад возмущающих факторов
Для определения относительных вкладов возмущающих факторов в энергетику перелета находятся оптимальные значения суммарного импульса скорости при влиянии только Земли и Луны при влиянии Земли, Луны и второй зональной гармоники Земли и при влиянии Земли, Луны, второй зональной гармоники Земли и Солнца для каждой даты попадания в точку либрации на интервале дат [-8;2] суток. Результаты приведены для второго способа построения плоскости базовой орбиты.
Также по формуле Циолковского (3.4) определим массу топлива, необходимого для реализации перелета для каждой даты попадания КА в точку либрации:
Значения суммарных импульсов скорости и массы топлива для трех рассматриваемых случаев отобразим в таблице 7.
На рисунке 19 отобразим вклад в значения суммарного импульса скорости и массу топлива возмущающего ускорения второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения гравитационного влияния Солнца по отдельности. Таблица 7. Оптимальные значения баллистического перелета при учете различных возмущающих факторов
Датапопаданияс началаэпохи,сутки Оптимальные значения при влиянии только Земли и Луны Оптимальные значения при влиянии Земли, Луны и второй зональной гармоники Оптимальныезначения при влиянииЗемли, Луны, второйзональной гармоникии Солнца Суммарный импульс скорости,м/с Массатоплива,кг Суммарный импульс скорости,м/с Массатоплива,кг Суммарный импульс скорости,м/с Массатоплива,кг
При поиске оптимальной даты попадания КА в точку либрации необходимо учитывать изменения расстояния до Солнца в течение года.
Учет дополнительных возмущающих факторов (второй зональной гармоники Земли и гравитационного воздействия Солнца) позволяет в определенных случаях увеличить массу полезной нагрузки на несколько килограммов.
Увеличение массы полезной нагрузки даже на несколько килограммов является экономически эффективным показателем космической миссии, т.к. стоимость вывода 1 кг полезной нагрузки на геостационарную орбиту составляет $ 25 000. При этом, неучет нескольких килограммов топлива может поставить под вопрос реализацию проекта.
Влияние погрешности задания параметров выведения КА на базовую орбиту ракетоносителем на величину невязки конечного решения
В параграфе 3.2 установлено, что оптимальный перелет реализуется, когда Луна находится в своем апоцентре. На основе анализа зависимостей, изображенных на рисунках 17 и 18, выберем интервал дат для дальнейшего анализа.
Определим оптимальные значения суммарного импульса скорости, времени перелета, долготу восходящего узла базовой орбиты, аргумент широты точки схода КА на базовой орбите для второго способа построения плоскости базовой орбиты на интервале дат [-10;8] и [180; 188] суток с начала рассматриваемой эпохи. Полученное решение отобразим в таблице 6.
Исходя из полученных результатов (таблица 6), можем установить, что оптимальной датой с точки зрения энергетических затрат является -7 день с начала рассматриваемой эпохи, что соответствует 12:00 24 декабря 2024 года. Время перелета составляет 4,25 суток, а значит, датой схода КА с базовой орбиты является 6:00 20 декабря 2024 года. При этом можем утверждать, что 24 декабря 2024 года является оптимальной датой попадания КА в точку либрации L1 системы Земля - Луна на ближайшем периоде прецессии орбиты Луны. Таблица 6. Значения оптимального времени перелета, долготы восходящего узла, аргумента широты точки схода КА с базовой орбиты и суммарного импульса скорости в зависимости от даты попадания в точку либрации L1 системы Земля - Луна для второго способа построения базовой орбиты на интервале максимального и минимального расстояния до Солнца
Также можем определить оптимальное окно запуска, которое соответствует попаданию КА в точку либрации на интервале 23 декабря-25 декабря 2025 года. 3.2 Относительный вклад возмущающих факторов
Для определения относительных вкладов возмущающих факторов в энергетику перелета находятся оптимальные значения суммарного импульса скорости при влиянии только Земли и Луны при влиянии Земли, Луны и второй зональной гармоники Земли и при влиянии Земли, Луны, второй зональной гармоники Земли и Солнца для каждой даты попадания в точку либрации на интервале дат [-8;2] суток. Результаты приведены для второго способа построения плоскости базовой орбиты.
Также по формуле Циолковского (3.4) определим массу топлива, необходимого для реализации перелета для каждой даты попадания КА в точку либрации:
Значения суммарных импульсов скорости и массы топлива для трех рассматриваемых случаев отобразим в таблице 7.
На рисунке 19 отобразим вклад в значения суммарного импульса скорости и массу топлива возмущающего ускорения второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения гравитационного влияния Солнца по отдельности. Таблица 7. Оптимальные значения баллистического перелета при учете различных возмущающих факторов
Датапопаданияс началаэпохи,сутки Оптимальные значения при влиянии только Земли и Луны Оптимальные значения при влиянии Земли, Луны и второй зональной гармоники Оптимальныезначения при влиянииЗемли, Луны, второйзональной гармоникии Солнца
Относительный вклад в значение массы топлива, необходимого для реализации перелета, учета возмущающего ускорения второй зональной гармоники Земли (изображено сплошной линией) и возмущающего ускорения Солнца (пунктирная линия). За ось абсцисс принято значение массы топлива при учете только влияния Земли и Луны 3.3 Выводы по третьей главе При поиске оптимальной даты попадания КА в точку либрации необходимо учитывать изменения расстояния до Солнца в течение года. Учет дополнительных возмущающих факторов (второй зональной гармоники Земли и гравитационного воздействия Солнца) позволяет в определенных случаях увеличить массу полезной нагрузки на несколько килограммов.
Увеличение массы полезной нагрузки даже на несколько килограммов является экономически эффективным показателем космической миссии, т.к. стоимость вывода 1 кг полезной нагрузки на геостационарную орбиту составляет $ 25 000. При этом, неучет нескольких килограммов топлива может поставить под вопрос реализацию проекта.
Алгоритм разработанной численной математической модели оптимального баллистического перелёта КА, описанный в п. 1.5, можно представить в виде блок-схемы (рисунок 20).
Блок-схема программного комплекса "LlMoon2025" и алгоритма поиска оптимального баллистического перелета КА в точку либрации L1 системы Земля - Луна Численное моделирование перелёта КА реализуется в системе компьютерной алгебры Mathcad [40, 95] с использованием разработанного программного комплекса "ЫМооп2025" [82, 101], реализованного как консольное приложение для поэтапного Начальные параметры реализации баллистического перелета Начальными параметрами являются гравитационные параметры Земли, Луны и Солнца (4.1), средний радиус Земли и высота базовой орбиты (4.2), дата попадания КА Тк в точку либрации с начала рассматриваемой эпохи в юлианских столетиях (4.3), радиус-векторы Луны (4.4) и точки либрации L1 (4.5) и их компоненты в ГЭСК в дату попадания КА в точку либрации, вектор скорости Луны (4.6) и точки либрации L1 (4.7) в ГЭСК.
Найденные оптимальные значения при реальных запусках КА могут быть изменены погрешностями, которые образуются в течение эксплуатации и при выведении на базовую орбиту КА. Накопленные погрешности оказывают влияние на итоговую точность реализации транспортной задачи и величину невязки конечного решения. Для анализа остановимся на погрешностях, которые накапливаются при выведении КА ракетоносителем на базовую орбиту.
Влияние погрешности наклонения базовой орбиты на величину невязки конечного решения Погрешность наклонения базовой орбиты КА при выведении с использованием «Бриз-М» составляет Д/0 =±0,025 [С. 122 96]. Итерационно определим величину невязки конечного решения на интервале А/0. Выберем шаг dij =+70,0050 (/ номер шага) и найдем величину невязки для каждого шага погрешности (Таблица 10).
