Введение к работе
Актуальность работы. Несколько последних десятилетий ознаменовались бурным развитием нового научного направления в естествознании, которое получило название нелинейной динамики. В рамках этого направления возникли такие понятия как солитоны, бризеры, динамический хаос, синергетические структуры и т.д. Одним из достаточно новых и интенсивно изучаемых в настоящее время динамических объектов в нелинейных моделях, построенных на пространственно периодических структурах, являются дискретные бризеры (ДБ). Они представляют собой локализованные в пространстве и периодические во времени колебания различной физической природы в однородных (без примесей) гамильтоновых решетках.
Первой работой, посвященной дискретным бризерам, принято считать статью Сиверса и Такено [23], опубликованную в 1988 году. С начала 1990-х годов во всем мире началось интенсивное исследование дискретных бризеров с помощью различных физических и математических методов [24—27]. Особую роль при этом играют методы математического моделирования. Огромное число вычислительных экспериментов, проведенных на разнообразных математических моделях позволило выявить целый ряд важных свойств этих динамических объектов, которые впоследствии были подтверждены в результате проведения реальных физических экспериментов.
К настоящему времени дискретные бризеры были обнаружены в самых разнообразных макро-, мезо- и микроскопических физических системах (см., например, обзорную работу [27]). В качестве примеров сошлёмся на такие системы как слабосвязанные оптические волноводы, низкоразмерные кристаллы типа PtCl, антиферромагнетики, массивы контактов Джозефсона, Бозе-Эйнштейновские конденсаты, кантилеверные массивы, галогенные кристаллы типа Nal, биополимеры и др.. Предполагается, что дискретные бризеры могут играть существенную роль и в ряде процессов, протекающих в таких биологических объектах как молекулы ДНК, моторные протеины и т.д. Круг физических систем, в которых наблюдаются и изучаются дискретные бризеры постоянно расширяется, что свидетельствует об актуальности этой области исследований.
В настоящей работе предпринята попытка заполнить некоторые пробелы в теории дискретных бризеров с помощью численного исследования ряда математических моделей, что является актуальным в свете интенсивно ведущихся в настоящее время бризерных исследований.
Цели работы. С помощью компьютерного моделирования, теоретико-групповых и аналитических методов выполнить следующие исследования:
-
Модифицировать ряд математических моделей, используемых в настоящее время для исследования свойств дискретных бризеров, с целью возможности проведения анализа зависимости устойчивости этих динамических объектов от отношения сил межчастичных и локальных взаимодействий.
-
Разработать методику теоретико-группового анализа дискретных бризеров в плоских двумерных решётках.
-
Разработать алгоритмы и создать комплекс программ для численного моделирования дискретных бризеров.
-
С помощью вычислительных экспериментов провести исследование свойств бризеров в ряде одномерных и двумерных периодических структур.
Научная новизна.
-
Введена концепция квазибризеров и предложены числовые характеристики их отличия от дискретных бризеров. Квазибризеры являются более адекватными объектами при анализе экспериментальных данных, поскольку в физических экспериментах невозможно создать условия, отвечающие точным бризерным решениям (стр. 56—61).
-
Разработан имеющий прозрачную физическую интерпретацию интерактивный численный метод построения дискретных бризеров (PS-метод), основанный на идее парной синхронизации колебаний частиц решетки в области локализации этих динамических объектов (стр. 63—87).
-
Разработан теоретико-групповой подход, позволяющий существенным образом упростить процедуры построения и исследования устойчивости дискретных бризеров в динамических моделях на нелинейных гамильтоновых решетках. Этот подход реализован при исследовании существования и устойчивости дискретных бризеров в динамических моделях на плоской квадратной решетке (стр. 98—142).
-
Создан комплекс компьютерных программ для построения и анализа устойчивости дискретных бризеров в одномерных и двумерных периодических структурах (стр. 164—165).
-
Найдены все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия для скалярных динамических моделей, определенных на плоской квадратной решетке, и с их помощью построены дискретные бризеры в модели с однородными потенциалами и в модели связанных осцилляторов Дуффинга (стр. 100-117, стр. 123-126).
-
Для ряда дискретных бризеров различной симметрии в одномерных и двумерных решетках исследована зависимость их устойчивости от соотношения между потенциальной энергией межчастичного взаимодействия и взаимодействия частиц с узлами решетки (стр. 45—55, стр. 117-123).
-
В одномерных решеточных моделях проведено исследование существования и устойчивости ряда многочастотных дискретных бризеров (стр. 87—95).
Научная и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы построения и анализа устойчивости локализованных периодических и квазипериодических колебаний гамильтоновых решеток, продемонстрированные на простых динамических моделях, можно эффективно применять при исследовании дискретных бризеров в разнообразных, более сложных физических системах. Они могут быть использованы различными коллективами исследователей, работающими в области нелинейной динамики. Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что на опубликованные по теме диссертации работы, имеются ссылки в статьях ученых, работающих в следующих организациях:
Национальный технический университет «ХПИ» (Украина);
Department of Physics, Daqing Normal University, Daqing (Китай)
Institute of General Mechanic, RWTH Aachen University (Germany)
Department of Automatics and Biomechanics, Technical University of Lodz (Poland)
Department of Mathematics, University of Patras (Greece)
Результаты и положения, выносимые на защиту
-
Разработан численный метод парной синхронизации колебаний частиц решётки для построения дискретных бризеров различных типов в динамических моделях с произвольными потенциалами взаимодействия. В диссертации проиллюстрировано применение этого метода для нескольких одномерных динамических моделей (стр. 63—87).
-
Для решеточных моделей с однородными потенциалами межчастичного взаимодействия развита методика построения и исследования устойчивости дискретных бризеров на основе свойств нелинейных нормальных мод Розен -берга(стр. 38—56).
-
Развиты теоретико-групповые методы, позволяющие существенным образом упростить построение дискретных бризеров и исследование их устойчивости в двумерных решёточных моделях. Применение этих методов позволило:
-
найти для скалярных моделей на плоской квадратной решётке все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, на которых могут реализоваться локализованные колебания различных типов (стр. 100-111).
-
расщепить вариационные системы, возникающие при анализе устойчивости этих нелинейных периодических и непериодических колебаний, на независимые подсистемы, размерность которых существенно меньше полной размерности исследуемых математических моделей (стр. 126-142).
-
Создан комплекс компьютерных программ «Discrete breather-1», позволяющий проводить построение и исследование свойств дискретных бризеров в одномерных и двумерных скалярных решёточных моделях (стр. 164—165).
-
Введена концепция квазибризеров и численные характеристики их отличия от точных дискретных бризеров в нелинейных гамильтоновых решетках (стр. 56—61).
-
Математическое моделирование, проведённое на основе разработанных методов и реализующего их комплекса программ, позволило найти ряд новых типов дискретных бризеров и исследовать их устойчивость. В частности, доказано, что симметричный и антисимметричный дискретные бризеры в моноатомных цепочках с однородным потенциалом 4-ой степени меняют характер своей устойчивости при одном и том же значении параметра, характеризующего силу межчастичных взаимодействий по отношению к силе взаимодействия частиц с узлами решётки (стр. 45—55, стр. 111-123, стр. 87-95).
Методы исследования и достоверность научных результатов. В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и численные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными из литературы данными. Апробация работы. Полученные автором научные результаты обсуждались на международных конференциях:
«Nonlinear Dynamics of Acoustic Modes in Finite Lattices: Localization, Equipartition, Transport» (Дрезден, Рермания, 2006); «Некоторые актуальные про-
блемы современной математики и математического образования» (Санкт-Петербург, 2006); «Nonlinear Dynamics» (Харьков, Украина, 2007); «Chaos 2007» (Саратов, 2007); «Nonlinear Science and Complexity» (Афины, Греция, 2008); «Nonlinear Dynamics» (Харьков, Украина, 2010); «Chaos 2010» (Саратов, 2010). Автор также принимал участие в работе целого ряда аспирантских и студенческих всероссийских научных конференций: «Ломоносов» (Москва, 2005), «Всероссийские научные конференции студентов физиков (ВНКСФ)» (2005-2009) и др.
Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендуемых ВАК: две статьи в международном журнале «Physical Review Е», одна — в «Journal of Sound and Vibration», и две - в отечественном журнале «Известия вузов: Прикладная Нелинейная Динамика».
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Работа содержит 178 страниц, в том числе 44 рисунка и 17 таблиц. Список литературы включает 108 наименований.
Похожие диссертации на Компьютерное моделирование и анализ дискретных бризеров на одномерных и двумерных нелинейных гамильтоновых решетках
