Содержание к диссертации
Введение 5
Глава 1 Категорно-тензорныи подход к моделированию сетей
1.1 От тензорной к категорно-тензорнои методологии исследования
сетей 11
1.2 Электрическая сеть как система
1.2.1 Элементы электрической сети» характеристики элементов сети 15
1.2.2 Управляющие уравнения элементов сети 17
1.3 Векторные пространства электрической сети
1.3.1 Векторное пространство контурных токов 19
1.3.2 Векторное пространство приложенных напряжений 21
1.3.3 Векторные пространства узловых сетей 24
1.4 Управляющие уравнения ортогональной электрической сети
1.4.1 Чисто-контурные сети. Категория чисто-контурных сетей и категория векторных пространств этих сетей 27
1.4.2 Вывод управляющих уравнений ортогональной сети с помощью чисто-контурной сети 33
1.5 Диакоптический расчет крупномасштабных линейных сетей
1.5.1 Подсети и сеть пересечений 1.5.2 Чисто-контурная крупномасштабная сеть 41
1.5.3 Управляющие уравнения крупномасштабной ортогональной сети 47
1.5.4 Разрезание сети на подсети, имеющие общий узел 50
1.5.5 Управляющие уравнения крупномасштабной ортогональной сети
при разрезании ее на подсети, имеющие общий узел 56
1.5.6 Диакоптический метод анализа сетей Г. Крона Глава
2 Диакоптический расчет крупномасштабных сетей, использующий
1 понятие многополюсника
2.1 Характеристики многополюсника, уравнение многополюсника, эквивалентные сети многополюсника
2.1.1 Понятие многополюсника 62
2.1.2 Нахождение внутренних характеристик многополюсника 65
2.1.3 Управляющие уравнения и величины отклика линейного многополюсника 67
2.2. Векторные пространства и категории линейного многополюсника
2.2.1 Векторные пространства токов 71
2.2.2 Векторные пространства напряжений и управляющие уравнения линейного многополюсника 78
2.2.3 Координатное описание многополюсника 80
2.2.4 Категория эквивалентных сетей многополюсника 83
2.3. Диакоптический расчет сетей с применением многополюсников
2.3.1 Диакоптический расчет крупномасштабной линейной сети,
разделенной на несвязные подсистемы .86
2.3.2 Эквивалентность управляющих уравнений крупномасштабной сети, разрезаемой на несвязные подсети 98
2.3.3 Алгоритм диакоптического расчета сети с многополюсниками, не ЦУ имеющими общего узла 102
2.3.4 Диакоптический расчет крупномасштабной линейной сети, разделенной на радиально связанные подсистемы 107
2.3.5 Эквивалентность управляющих уравнений крупномасштабной сети, разрезаемой подсети, имеющие общий узел 111
2.3.6 Алгоритм диакоптического расчета сети, обусловленный делением на подсети, имеющие общий узел 113
2.4 Диакоптический расчет сопротивлений
2.4.1 Диакоптический расчет сопротивлений линейной сети, использующий категорно-тензорную модель сетей 115
2.4.2 Диакоптический расчет межузловых сопротивлений сети с - применением категорно-тензорной модели многополюсников 119
Глава 3 Диакоптический расчет крупномасштабных сетей, использующий понятие нелинейного многополюсника
3.1 Характеристики и уравнения нелинейного многополюсника
3.1.1 Характеристики и управляющее уравнение нелинейного двухполюсника 120
3.1.2 Характеристики нелинейного многополюсника 122
3.1.3 Условие сходимости итерационного процесса расчета сети,
содержащей нелинейный многополюсник 128
3.2 Векторные пространства нелинейного многополюсника
3.2.1 Векторные пространства и координатное описание нелинейного многополюсника 131
3.2.2 Категория эквивалентных сетей нелинейного многополюсника... 132
3.3 Диакоптический расчет нелинейных сетей
3.3.1 Разрезание нелинейной сети на подсети без общего узла 134
3.3.2 Алгоритм диакоптического расчета нелинейных сетей 142
Заключение 148
Библиографический список использованной литературы 149
Приложение 1 Нахождение характеристик линейного многополюсника 160
Приложение 2 Диакоптический расчет линейных сетей 169
Приложение 3 Диакоптический расчет нелинейных сетей 174
Приложение 4 Оценка эффективности применения категорно-тензорной модели многополюсников и категорно-тензорной модели электрических сетей для диакоптического метода расчета линейных сетей 178
Введение к работе
Разработка методов анализа и расчета сложных систем и процессов всегда являлась и остается весьма актуальной задачей. Один из таких методов - тензорный анализ крупномасштабных сетей, впервые предложенный Габриэлем Кроном. Однако тензорный анализ сетей Г. Крона не нашел до сих пор достаточно широкого применения при описании крупномасштабных систем. Основными причинами сложившейся ситуации, по нашему мнению, являются следующие: 1. Применение тензорного метода Крона к расчету сложных систем показало наличие в нем проблем и парадоксов.
2. Г. Крон некорректно использовал ряд общепринятых математических понятий, что породило недоверие математиков и физиков к его работам.
3. Принятый Г. Кроном стиль изложения своего метода расчета сетей, сводившийся к перечню предписаний в виде некоторых правил (на фоне глубоких идей), только подтверждал отсутствие строгой математической модели тензорного метода расчета сложных систем.
Поскольку этот метод обладает высокой степенью организации анализа сложных систем, а также чрезвычайно удобен для компьютерного моделирования, задача разработки математической модели тензорного метода расчета систем является актуальной.
Цели работы. В задачу диссертационной работы входило:
1. Построение категорно-тензорной модели многополюсников.
2. Разработка, в рамках этой модели, диакоптических методов расчета крупномасштабных как линейных, так и нелинейных сетей, для которых справедливы правила Кирхгофа.
3. Доказательство эквивалентности двух диакоптических методов расчета
крупномасштабных сетей, разработанных в рамках категорно тензорной модели сетей, а именно диакоптического метода, построенного в соответствии с идеями диакоптики Г. Крона, и метода, в котором крупномасштабная сеть не подвергалась реальному, физическому разрезанию на подсети. 4. Построение алгоритмов и создание программ для диакоптического расчета как линейных, так и нелинейных крупномасштабных сетей.
Научная новизна.
В диссертационной работе построена категорно-тензорная модель многополюсников. Введены векторные пространства воздействующих величин и величин отклика для многополюсников. Показано, что на геометрическом языке управляющим уравнением линейного
многополюсника будет изоморфное отображение между этими пространствами. Введена категория эквивалентных сетей многополюсника и показано, что переход от одной эквивалентной сети к другой осуществляется с помощью тензорного преобразования. На базе созданной модели многополюсников разработаны диакоптические алгоритмы расчета крупномасштабных линейных и нелинейных сетей, в основу которых положены идеи диакоптики Г. Крона. Показано, что данный метод диакоптического расчета сетей эквивалентен методу, в котором сети подвергаются физическому разрезанию. Оценивается эффективность этих
двух алгоритмов. Построен диакоптическіїй метод расчета межузловых сопротивлений крупномасштабной сети. Создан комплекс программ на языке C++ диакоптического расчета линейных и нелинейных (с малой квадратичной нелинейностью) сетей, в основе которого лежат разработанные в диссертационной работе алгоритмы.
Научная и практическая ценность работы заключается в том, что в ней разработана математическая модель крупномасштабных сетей, в основе которой лежит понятие многополюсника. В рамках этой модели созданы эффективные алгоритмы и программы расчета крупномасштабных линейных и нелинейных сетей (при условии малого влияния нелинейных добавок), удовлетворяющих правилам Кирхгофа. В процессе компьютерного моделирования крупномасштабных сетей возможно использование банка компьютерных моделей ее подсетей, рассматривающихся как многополюсники, что может повышает эффективность моделирования.
На защиту выносятся:
1. Категорно-тензорная модель многополюсников, в рамках которой построены векторные пространства воздействующих величин, векторные пространства величин отклика, категория эквивалентных сетей многополюсника и обоснован тензорный закон преобразования управляющих уравнений этих сетей.
2. Математическая модель крупномасштабных сетей, удовлетворяющих правилам Кирхгофа, в основе которой лежит рассмотрение подсетей как многополюсников.
3. Диакоптические алгоритмы расчета линейных и нелинейных крупномасштабных сетей, построенные в соответствии с идеями диакоптики Г. Крона;
4. Доказательство эквивалентности управляющих уравнений крупномасштабной сети, полученных в результате использования разных подходов к разработке диакоптических методов расчета сложных сетей (без реального и с реальным разрезанием сети на подсети).
5. Комплекс программ диакоптического расчета линейных и нелинейных (с малой квадратичной нелинейностью) крупномасштабных сетей, созданных на основе разработанных диакоптических алгоритмов.
Структура работы.
у) В первой главе диссертации дано изложение категорно-тензорной
модели сетей [45]. В начале главы дан литературный обзор рассматриваемой задачи, основы которой были заложены в работах Г. Крона 30-х годов
Ту прошлого столетия, посвященных тензорному анализу сложных электрических сетей. Отмечены основные проблемы тензорного метода расчета сетей (инвариантность мощности, трактовка пересоединения элементов как перехода к новой системе координат, группа преобразования и др.) и пути их разрешения различными авторами, развивавшими тензорный анализ сетей.
На основе категорно-тензорной модели сетей построено два алгоритма диакоптического расчета крупномасштабной линейной сети. Алгоритмы характеризуются различным способом разбиения исследуемой сети на подсети. По сравнению с алгоритмом, предложенным в работе [45], оба алгоритма являются более общими, поскольку не имеют ограничений на выбор независимых узловых пар исследуемой крупномасштабной сети.
В конце первой главы описан диакоптический метод расчета крупномасштабных сетей Г. Крона.
Во второй главе работы построена категорно-тензорная модель линейных многополюсников: описаны характеристики линейного многополюсника, выведено управляющее уравнение многополюсника, сформулированы принципы нахождения эквивалентных сетей многополюсника, построены векторные пространства, соответствующие многополюснику, а также показано, что эквивалентные сети многополюсника образуют категорию.
В рамках построенной категорно-тензорной модели линейных многополюсников рассмотрен диакоптический метод расчета крупномасштабных сетей. Приведено два алгоритма диакоптического расчета линейных сетей, полученных в рамках этой модели. Алгоритмы характеризуются различным способом разбиения исследуемой сети на подсети. Здесь же показана эквивалентность диакоптических методов расчета крупномасштабных сетей, полученных в рамках различных моделей электрических сетей (модели, описанной в данной главе, и модели, описанной во второй главе).
В конце данной главы показан диакоптическни расчет межполюсных сопротивлений электрической сети, полученный в рамках категорно-тензорной модели сетей [45], а также выведен метод диакоптического расчета межполюсных сопротивлений электрической сети, полученный в рамках категорно-тензорной модели линейных многополюсников. Доказана эквивалентность этих методов.
В третьей главе диссертационной работы построена категорно-тензорная модель нелинейных многополюсников: описаны характеристики нелинейного многополюсника, выведено управляющее уравнение многополюсника, рассмотрены векторные пространства, соответствующие нелинейному многополюснику, построена категория эквивалентных сетей нелинейного многополюсника.
В рамках построенной категорно-тензорной модели нелинейных многополюсников рассмотрен диакоптическни итерационный метод расчета нелинейных электрических сетей, получен наиболее общий алгоритм диакоптического расчета нелинейных электрических сетей.
В приложении 1 рассмотрена конкретная линейная электрическая сеть. Проиллюстрировано введение векторных пространств, соответствующих этой сети, показаны некоторые базисы введенных пространств. Найдены характеристики эквивалентной сети многополюсника, соответствующего исследуемой сети. Показано, что при смене эквивалентной сети многополюсника его характеристики преобразуются по тензорным законам координатного преобразования.
В приложении 2 проиллюстрирован диакоптическни расчет линейной электрической сети. Исследуемая сеть была разбита на две подсети, которые в ходе расчета были заменены многополюсниками.
В приложении 3 проиллюстрирован диакоптическни расчет нелинейной сети. В приложении 4 произведена оценка эффективности использования у двух диакоптических методов расчета (с применением многополюсников и без многополюсников) электрических сетей по сравнению с методом контурных токов. Для этих трех методов расчета получены функции, выражающие количество элементарных математических операций, необходимых для расчета сети. С помощью этих функций была доказана эффективность диакоптических методов расчета. Теоретические расчеты подтверждаются экспериментально полученными результатами. Исследована проблема оптимального разбиения на подсети.
